Vamos considerar agora os espaços X1 e X0, análogos a B1 e B0, mas nos quais as funções tomam valores complexos e a não linearidade é dada pela função f(z(t)) =
z(t)2, isto é,
F(z) = z′+z2. .
Continua sendo verdade que as derivadas DF(z) são operadores de Fredholm de índice zero, pelos mesmos argumentos (Observação 1.10). A caracterização do conjunto crítico é quase a mesma: ao procurar um autovetor de DF(z)k = µzk, somos levados,
para obter periodicidade, a exigir, para a não linearidade geral f(z(t)), a condição exp
Z 1
0 [µz−f
′(z(s))]ds =1,
assim como no caso real. Mas dessa vez, os autovalores µz de DF(z) : X1 → X0
são dados por R01 f′(z(s))ds +2nπi, n ∈ Z, ainda associados a autovetores k(t) =
expR0tµz− f′(z(s))ds
. O conjunto crítico, por sua vez, passa a ser
C =
z∈ X1;Z 1 0 f
′(z(s))ds =2nπi, n∈ Z.
Assim, para f(z(t)) = z(t)2, o conjunto crítico Cn consiste na família infinita de
hiperplanos paralelos de alturas transladadas em nπi, n∈ Z.
A primeira diferença substancial está no fato de que, agora, o núcleo de DF(z)para
z crítico não precisa ser transversal a Cn em z, isto é, ele pode ser ortogonal ao vetor 1.
Para construir exemplos em cada hiperplano crítico, vamos separar u(t) em sua parte real e imaginária, isto é, u(t) = α(t) +iβ(t), α, β :S1 → R. Então
k(t) =e−R0t2α(s)ds cos − Z t 0 2β(s)ds +isen − Z t 0 2β(s)ds
Ora, se tomarmos α(t) =0 e β(t) =nπ, temos que u(t) ∈ Cne que k(t) =cos − Z t 0 2nπds +isen − Z t 0 2nπds e, portanto, k(t) = cos(2nπt)−isen(2nπt) Assim, h1, ki = Z 1 0 k(s)ds = Z 1 0 cos(2nπs)ds+i Z 1 0 sen(2nπs) donde segue-se queh1, ki = 0.
Pelo Teorema da Função Inversa, a forma local de F próxima a um ponto regular é a função identidade. Qual é a forma local de F próximo a um ponto crítico? Dessa vez, pontos críticos dividem-se pelo menos em dois tipos diversos. Vamos considerar aqueles pontos críticos z cujo vetor k associado é, de fato transversal a Cn em z.
Repetindo o argumento da seção 1.4 que obteve a forma local da dobra para o caso real F(u) = u′ +u2, vemos que, agora, no caso complexo, a forma local se torna (ve, z) 7→ (ve, z2), em que ev ∈ Cn e z ∈ C. Assim, perto de pontos críticos genéricos,
Apêndice A
Operadores de Fredholm
Um resultado conhecido, quando estamos tratando de uma aplicação linear entre espaços de dimensão finita, é o Teorema do Núcleo e da Imagem. Ele estabelece que, se
Xe Y forem espaços vetoriais de dimensão finita e T : X →Yum operador linear, então dim X =dim ker T + dim im T
Em particular, se X e Y tiverem a mesma dimensão n, então T é injetor (dim ker T =0) se, e somente se, T for sobrejetor (dim im T =n).
A alternativa de Fredholm é um análogo desse resultado para espaços de dimensão infinita: ela nos garante que os pontos em que T deixa de ser injetor são justamente os pontos em que T deixa de ser sobrejetor.
Antes de apresentarmos a alternativa de Fredholm, começaremos recordando como se relacionam o domínio e imagem de um operador linear e seu adjunto.
Teorema A.1 Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F um operador linear.
Suponhamos a existência de T∗. Então:
(i) ker T∗ = (im T)⊥;
(ii) ker T = (im T∗)⊥;
(iii) im T ⊂ (ker T∗)⊥. Se F for um espaço de Hilbert, vale a igualdade;
(iv) im T∗ ⊂ (ker T)⊥. Se E for um espaço de Hilbert, vale a igualdade.
Em particular, se T : E → F for um operador linearcontínuo definido no espaço de Hilbert
E, então vale a decomposiçãoortogonal
Para motivarmos a alternativa de Fredholm, começamos com o seguinte exemplo:
Exemplo A.2 Seja A uma matriz hermitiana n×n. Considere o sistema linear não- homogêneo Ax = b. Suponhamos que xpseja uma solução desse sistema. Claramente,
xp+ztambém é solução desse sistema, para qualquer z∈ ker A. Mas todas as soluções
de Ax = b são da forma xp+z, em que z ∈ ker A. De fato, se x0 for outra solução de Ax = b, temos que A(x0−xp) = 0, de modo que x0−xp = z ∈ ker A. Ou seja,
x0= xp+z.
Assim, existe um vínculo entre as soluções de Ax = b e as de Ax = 0. Se ker A={0}, então existe A−1e x= A−1bé a única solução de Ax=b.
Se ker A tiver dimensão k, existem k soluções linearmente independentes x1, . . . , xk
de Ax = 0. Se Ax = b tiver solução xp, então todas as suas soluções serão
xp+α1x1+. . .+αkxk. Mas Ax =bpode não ter solução: basta que b6∈im A. Uma vez
que
Cn =ker A⊕ (ker A)⊥,
e, já que estamos em espaços de dimensão finita, temos que, como A é hemitiana, (ker A)⊥ =im A =im A. Assim, Ax =btem solução se, e somente se, b ∈ (ker A)⊥. ✁ Uma passagem simples no Exemplo A.2 deve ser ressaltada: im A é fechada, pois im A é subespaço deCn.
Para quaisquer espaços normados E e F e qualquer operador S : E → F, podemos considerar o mesmo problema, isto é, tentar determinar para quais elementos y ∈ F
existe x ∈ Etal que a equação
Sx=y
é satisfeita. Em outras palavras, podemos dizer que essa equação possui solução quando y ∈ im S. Em particular, se im S = F (S é sobrejetora), então nossa equação possui solução para qualquer y. Se para qualquer y ∈ im S a solução é única (S é injetora), podemos definir o operador inverso x =S−1y.
Colocamos agora a mesma questão para um operador contínuo S : E → E em um espaço de Hilbert. Segundo o Teorema A.1, vale
E=ker S∗⊕ im S.
Se ker S∗ = {0}, podemos garantir que im S é fechada? Se esse for o caso, então
ker S∗ ={0}implicaria que E =im S e, em particular, a equação
Sx=y
Infelizmente, em geral, não temos im S = im S. Para ilustrar este fato, daremos um exemplo mais adiante.
Vamos, agora, definir um tipo de operador que será fundamental para as próximas afirmações.
Definição A.3 Sejam E e F espaços normados. Um operador linear T : E → F é compacto, se, para toda seqüência limitada (xn) ⊂ E, a seqüência (Txn) possuir uma subseqüência
convergente.
Vale ressaltar que os operadores compactos formam um espaço vetorial sob a operação de soma e multiplicação por escalar (real ou complexo) habitual e que vale o seguinte resultado:
Proposição A.4 Sejam E, F e G espaços normados. Se o operador linear T : E→ F é compacto e o operador linear S : F → G é limitado, então a composição S◦T : E → G é um operador compacto.
Vamos agora dar o exemplo de um operador (no caso, compacto) em que sua imagem não é um subespaço fechado.
Exemplo A.5 Definimos o operador S : ℓ2→ ℓ2, em queℓ2denota o espaço de todas as seqüências tais que ∑∞
0 |xn|2converge, dado por
S(x1, x2, . . . , xn, . . .) = x 1 1 , x2 2 , . . . , xn n, . . . . O operador S é auto-adjunto, pois
hSx, yi =
∑
n i=1 xi nyi = ∞∑
n=1 xi yni =hx, Syi.Temos que Sx =0 implica x=0. Assim, ker S ={0} = ker S∗.
Além disso, S é compacto. De fato, se considerarmos os operadores Sn : ℓ2 → ℓ2
definidos por
Sn(x1, . . . , xn, . . .) = x11,x22, . . . ,xnn, 0, . . . , 0
,
então cada operador Sn tem posto finito e, dado ǫ >0, para todo x ∈ ℓ2vale
k(S−Sn)xk2 = ∞
∑
i=n+1 xni 2<ǫ2,desde que tomemos n suficientemente grande. Assim, S é compacto, como limite de operadores de posto finito. 1
Consideremos a equação Sx = y, com y = 11, 12, . . . ,1n, . . . ∈ ℓ2. É fácil verificar que essa equação não tem solução x ∈ ℓ2, já que a seqüência (1, 1, ..., 1, ...) não está em
ℓ2. ✁
Observação A.6 Generalizando o exemplo anterior, pode-se mostrar que a imagem
im T de um operador compacto T : E → E definido em um espaço de Hilbert de dimensão infinita nunca é fechada. Este fato é conseqüência do Teorema da Aplicação
Aberta.2 ✁
Recapitulando, no caso em que S : E → E satisfizer ker S∗ = {0}, estamos tentando
obter condições que garantam que im S é um subespaço fechado.
Definição A.7 Sejam E e F espaços normados. Dizemos que T : E → F é um operador de Fredholm(de índice zero), se ele satisfizer as seguintes condições:
(i) A imagemim T é fechada; (ii) ker T tem dimensão finita α; (iii) ker T∗tem dimensão finita α′;
(iv) α =α′.
Se um operador satisfaz apenas (i), (ii) e (iii), podemos definir seu índice como i = α−α′. É comum chamarmos um operador desse tipo de operador de Fredholm de
índice i.
Exemplo A.8 (Operador Shift)
Consideramos T :ℓ2 → ℓ2dado por
Tα = (a2, a3, ..., an, ...), em que α= (a1, a2, a3, ..., an, ...).
1Note que todo operador de posto finito é compacto e o limite uniforme de operadores compactos é
compacto.
2O Teorema da Aplicação Aberta garante que o operador compacto T : E → im T é tal que Br(0)∩im T⊂T(B1(0))para r suficientemente pequeno. Assim, decorre do Teorema de F. Riesz que im T
é localmente compacto e, portanto, tem dimensão finita. Note que esse teorema nos dá uma caracterização de espaços de dimensão finita. Lembremos que um espaço é localmente compacto quando todo ponto possui uma vizinhança compacta. Uma definição equivalente a essa é dizer que toda sequência limitada possui subseqüência convergente (Teorema de Bolzano−Weierstraβ).
Temos que ker T tem dimensão 1, e T é sobrejetora. Daí, im T é fechada. Além disso, como ker T∗ = (im T)⊥ = {0}, temos que esse é um operador de Fredholm de índice
i(T) =1.
Se definirmos um operador S : E →Epor
Sα = (0, a1, a2, ..., an, ...), em que α = (a1, a2, a3, ..., an, ...),
temos que ker S = {0}, e que im S tem codimensão 1 e, portanto, ker S∗ tem dimensão
1. Trivialmente vemos que im S é um subespaço fechado, já que todos elementos dela tem a primeira coordenada nula e as restantes são a própria seqüência α. Assim, S é um operador de Fredholm de índice i(S) = −1.
Note que neste exemplo temos que S =T∗
A alternativa de Fredholm nos fornece condições para que um operador linear seja um operador de Fredholm (de índice zero) e, portanto, sua imagem seja um subespaço fechado. Para isso, basta escrevê-lo na forma(I−T), com T compacto.
Teorema A.9 (Alternativa de Fredholm)
Sejam E um espaço de Hilbert e T : E→ E um operador compacto. Então
(i) ker(I−T)tem dimensão finita;
(ii) im(I−T)é um subespaço fechado; mais precisamente,im(I−T) = [ker(I−T∗)]⊥;
(iii) dim ker(I−T) =dim ker(I−T∗);
(iv) ker(I−T) ={0}se, e somente se,im(I−T) =H. Em particular, I−T é um operador de Fredholm de índice 0.
Observação A.10 O enunciado da alternativa de Fredholm pode ser generalizado para
a soma de um operador inversível com um operador compacto, isto é, um operador que se escreve dessa maneira satisfaz a alternativa de Fredholm.
Observação A.11 Muitas vezes a alternativa de Fredholm é apresentada para o
operador (λI−T). Uma vez que λI−T = λ(I−Tλ) e o operador Tλ é compacto, essas
apresentações são equivalentes. ✁
Antes de darmos uma interpretação para a alternativa de Fredholm, definiremos o operador integral, que fornecerá um exemplo padrão de operador compacto.
Definição A.12 Seja k(s, t)uma função contínua definida em[0, 1]× [0, 1]e E=C([0, 1],K)
(em queKrepresenta o corpoRouC) o espaço das funções contínuas definidas em[0, 1]. Para
cada x(t) ∈C([0, 1],K), definimos um operador integral K: E →E por
K(x)(s) =
Z 1
0 k(s, t)x(t)dt
Observação A.13 Mostra-se facilmente que K é linear e K(x)(s) ∈ C([0, 1],K). O operador K é chamado de operador de Hilbert-Schimidt associado ao núcleo k(s, t)
Observação A.14 Da mesma forma, se x ∈ L2([0, 1],K) e k(s, t) ∈ L2([0, 1],[0, 1],K), então K : L2([0, 1],K)→ L2([0, 1],K)é um operador integral contínuo.
Finalmente, enunciaremos um resultado para podermos utilizar a alternativa de Fredholm que, em muitos casos, é o procedimento padrão para garantirmos que a imagem de um operador é fechada.
Proposição A.15 O operador K é compacto.
A seguir, faremos um raciocínio que será válido para qualquer operador T : E → F
que seja Fredholm de índice 0 e cujo núcleo seja, no máximo, unidimensional.3
Temos que im T é um subespaço fechado de F e, portanto, im T = (ker T∗)⊥. Segue-
se então, pelo Teorema A.1, que im T
= (ker T∗)⊥
(im T)⊥ = ker T∗ ,
isto é, vale a decomposição da Figura A.1.
Sabemos que, se T é um operador de Fredholm de índice zero, então dim ker T = dim ker T∗. Ora, caso T seja injetor (dim ker T = 0) e, conseqüentemente, T∗ também,
temos que T será sobrejetor, pois(im T)⊥ =ker T∗ e, portanto, bijetor.
Nos casos em que T deixar de ser injetor (e, consequentemente, T∗ também), temos
que o núcleo de ambas aplicações tem dimensão 1. O que a Alternativa de Fredholm garante é que a dimensão do núcleo no domínio é justamente a dimensão complementar à im T, já que(im T)⊥ =ker T∗.
✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂✂ E · ker T im T∗ ✲
T
✛T
∗ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂ ✂✂✂ F · ker T∗ im TFigura A.1: Decomposição dos espaços E e F, em que T : E → F satisfaz a alternativa de Fredholm.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BUENO, Hamilton P. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: SBM, 2006. Coleção Textos Universitários.
[2] BUENO, Hamilton P. Análise Funcional. Notas de aula. Belo Horizonte: UFMG. [3] CAMPOS, Juan; MAWHIN, Jean. Periodic Solutions of Quaternionic-valued
Ordinary Differential Equations. Annali di Matematica Pura ed Applicata, v. 185, p. 109-127, 2006.
[4] LANG, Serge. Real and Functional Analysis. 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1993.
[5] LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 3.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. Coleção Matemática Universitária.
[6] LIMA, Elon Lages. Análise no Espaço Rn. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. Coleção Matemática Universitária.
[7] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. 6.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2000. V.2. Projeto Euclides.
[8] MALTA, Iaci P.; SALDANHA, Nicolau C.; TOMEI, Carlos. Geometria e Análise Numérica de Funções do Plano no Plano. 19o Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio
de Janeiro: IMPA, 1993.
[9] MALTA, Iaci P.; SALDANHA, Nicolau C.; TOMEI, Carlos. Morin Singularities and Global Geometry in a Class of Ordinary Differential Operators. Topological Methods
in Nonlinear Analysis, v. 10, p. 137-169, 1997.
[10] MUNKRES, James R. Topology: a First Course. Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1975.
[11] SALDANHA, Nicolau; TOMEI, Carlos. Functions from R2 to R2: a Study in
Nonlinearity. Rio de Janeiro: Puc-Rio, 2003.
[12] SOTOMAYOR, Jorge. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de Janeiro: IMPA, 1979. Projeto Euclides.