O conceito de multiplicação, ao longo da história, sofreu modificações mediante a compreensão que se teve da unidade. Conforme Isoda e Olfos (2011), no Livro VII dos Elementos, Euclides define a operação M x N, onde M e N são números que representam M vezes e N vezes a unidade. Nesse conceito, “a unidade é definida com aquilo em virtude do qual cada uma das coisas que há, se chama uma”. A característica de um não é outra senão a de “ser a medida de alguma multiplicidade, e o número, de ser uma multiplicidade da medida”, o que leva a compreensão metafísica de que o um não seja um número, uma vez que “a unidade de medidas não é a pluralidade de medidas” (ISODA e OLFOS, 2011, p. 50, tradução nossa).
Ainda conforme esses autores, em 1637, com Descartes, a unidade não foi mais vista como o 1 indivisível, mas uma medida arbitrária dada a qualquer real positivo, sendo essa definição aquela difundida por Freudenthal em 1983 para o ensino de multiplicação. Essa
definição vem sendo usada, especificamente, em propostas pedagógicas, como é o caso da Orientação Curricular Japonesa que explicita a seguinte definição de multiplicação:
o valor da medida que equivale ao valor da unidade. Se a medida e o valor da unidade são números naturais, o produto é a soma repetida de quantidade que corresponde a unidade, porém, quando não é, a mesma definição serve para multiplicar decimais, frações e medidas quaisquer (ISODA e OLFOS, 2011, p. 50, tradução nossa).
Nas Orientações Curriculares no Brasil não encontramos nenhuma definição acerca das operações, mas uma categorização de significados, conforme discutiremos mais adiante.
No que se refere aos procedimentos de cálculo envolvendo a multiplicação, na história da Matemática são encontrados variados registros, como por exemplo: a multiplicação egípcia, a multiplicação russa, o método das gelosias, entre outros, nos indicando criatividade na construção de processos algorítmicos por matemáticos3, muito antes da proposição da técnica Fibonacci, utilizada atualmente nas escolas (CHAMORRO, 2011; SILVA, 2003).
Comparando o ensino da multiplicação em países asiáticos e iberoamericanos, Isoda e Olfos (2011) analisam a organização do currículo para os anos iniciais da escolarização, apontando duas perspectivas como tendências internacionais sobre o ensino de multiplicação: a perspectiva da contextualização e a presença do princípio de extensão. Na contextualização, tem-se a ênfase na resolução de problemas e na comunicação, pautando-se em conceitos como contexto, destrezas básicas, aritmética concreta, memorização e modelo de contextos.
Sobre o princípio da extensão do conceito, tem-se uma gradação desde a compreensão da multiplicação como quantidade de elementos que se repetem: as tabelas de multiplicar (2 ao 5; 6 ao 9; de 1 e 0; potências de 10); a multiplicação com multidígitos; a multiplicação com decimais, frações e negativos e medida.
Na análise comparativa entre os oito países estudados (Cingapura, Hong Kong, Coréia, Japão, México, Colômbia, Peru e Chile), foram observados quatro aspectos: a multiplicação no marco da extensão numérica, a introdução ao conceito, o descobrimento e a memorização de tabelas e aprendizagem da multiplicação com multidígito. Não foram considerados: a relação entre a multiplicação e a divisão; o uso da calculadora; o trabalho com múltiplos e operações combinadas e o cálculo mental.
Estabelecendo um paralelo entre os países latino-americanos e os asiáticos, constata-se que há uma maior ênfase nos contextos e significados nos currículos dos países latinos, ao
3 Esses procedimentos algoritmos encontrados na História do desenvolvimento da operação de multiplicação
mesmo tempo em que é percebida certa ‘não-diretividade’ no que se refere à gradação e à sequência dos conceitos que permeiam esta operação. Uma das razões para tal fato é a opção feita para que a escola ou os próprios docentes assumam essa responsabilidade devido à diversidade cultural existente nos referidos países.
Quanto às propostas asiáticas, identifica-se amplitude do âmbito numérico e a formação do sistema de representação, com orientações desde as primeiras séries sobre o uso de termos específicos como multiplicando e produto, bem como as sentenças simbólicas. Em Cingapura, por exemplo, isso ocorre desde a 1ª série. Nestas propostas, há maior organização, coerência e conexão entre os currículos que nas propostas iberoamericanos, sendo o México o país que mais se aproxima e o Chile, o que mais se distancia.
Analisando especificamente o enfoque curricular japonês, mesmo considerando aspectos peculiares àquele país4, alguns procedimentos curriculares merecem ser destacados: a compreensão do sistema de numeração decimal, o cálculo mental e a utilização das propriedades da multiplicação como ferramentas para a ampliação da capacidade de cálculo (ISODA e OLFOS, 2011).
O ensino de multiplicação, na Espanha, é analisado por Chamorro (2011) que aponta quatro grandes problemas: o primeiro se refere ao abandono da memorização de resultados, atribuindo-se essa responsabilidade ao próprio aluno, tendo na escola um ensino ainda baseado em métodos que incentivam a simples repetição. O segundo problema é que o algoritmo de multiplicação universalmente ensinado e utilizado socialmente, o de Fibonacci, não é precisamente o mais adequado. Ele exige a retenção na memória de resultados das tabelas, a colocação dos resultados parciais, o que se constitui inconveniente, causando erros quando há zeros intercalados.
O terceiro problema destacado por Chamorro (2011) é que a compreensão do sentido da multiplicação não é trabalhada suficientemente, não se partindo das situações em que se utiliza a operação. E, por fim, não se tem visto o ensino simultâneo com técnicas operatórias e mecanismos de controle que lhes permitam avaliar se o resultado obtido faz sentido ou não. Desta forma, o contrato didático implícito é que a responsabilidade do aluno se encerra quando chega a um número como resultado da multiplicação, cabendo ao professor fazer a correção.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) compreendem a multiplicação como uma operação aritmética que precisa ser estudada juntamente com a
4 Uma cultura idiossincrática de organização minuciosa, com significativa valorização ao trabalho do professor,
divisão, ampliando-se a compreensão de multiplicação enquanto adição de parcelas iguais. Ao serem explicitados os conteúdos matemáticos para as séries iniciais do Ensino Fundamental, os PCN de Matemática dão mais ênfase ao trabalho com adição e subtração que multiplicação e divisão, mesmo se referindo ao 2º ciclo que envolve os 4º e 5º anos. Para o 1º ciclo, têm-se os seguintes tópicos referentes ao trabalho pedagógico com a multiplicação:
Para o 1º ciclo:
Análise, interpretação, resolução e formulação de situações-problema, compreendendo alguns dos significados das operações, em especial da adição e da subtração.
Utilização de sinais convencionais (+, -, x, :, =) na escrita das operações.
Construção dos fatos básicos das operações a partir de situações- problema, para constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo. Organização dos fatos básicos das operações pela identificação de regularidades e propriedades.
Cálculos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais (BRASIL, 1997, p. 71 – 72).
Para o 2º ciclo, no bloco das operações aritméticas, têm-se os seguintes tópicos que se relacionam com a multiplicação:
Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais e racionais.
Resolução das operações com números naturais, por meio de estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias convencionais, com compreensão dos processos nelas envolvidos.
Ampliação do repertório básico das operações com números naturais para o desenvolvimento do cálculo mental e escrito.
Desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de resultados pelo uso do cálculo mental e da calculadora (BRASIL, 1997, p. 87).
Embora saibamos que os conteúdos do 2º ciclo englobam os do 1º ciclo, percebemos que só há uma referência direta à multiplicação nos conteúdos listados para o 1º ciclo, apesar dessa operação ser explorada com maior profundidade nos últimos anos do Ensino Fundamental I.
No Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica o conteúdo de multiplicação é avaliado no 5º ano do Ensino Fundamental, com base em dois descritores: o “D18 - Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais” (BRASIL, 2008, p. 136), o qual exige que os alunos tenham “a habilidade de multiplicar ou dividir números de quatro ou mais algarismos com números de um, dois ou três algarismos, com a presença de zeros, em cada ordem separadamente” (Idem, p. 136), referindo-se, especificamente, aos procedimentos
algorítmicos; e o “D20 – Resolver problemas com números naturais, envolvendo diferentes significados da multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade, configuração retangular e combinatória” (BRASIL, 2008, p. 139). Nesse descritor, a ênfase é a compreensão dos significados da multiplicação ou divisão, exigindo, por sua vez, habilidade de cálculo.
Vê-se que nos dois descritores a multiplicação aparece associada à divisão pelo fato das duas constituírem um mesmo campo conceitual. Nesse trabalho, embora consideremos a relação intrínseca entre essas operações, manteremos o foco na multiplicação.