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Atualmente, vem sendo posto em destaque que as operações englobam diferentes significados, o que exige conhecimento dos professores sobre esse aspecto. No caso da multiplicação, variadas classificações foram realizadas por diversos autores (VERGNAUD 2009; NUNES e BRYANT, 1997; VALE e PIMENTEL, 2004; VAN de WALLE, 2009d e BRASIL, 1997), embora não tenhamos identificado diferenças relevantes entre elas.

Vergnaud (2009) apresenta os problemas multiplicativos a partir de dois grandes grupos de relações: o isomorfismo de medidas e o produto de medidas.

Nos problemas com isomorfismo de medidas, ele argumenta que se tem uma relação quaternária, ou seja, aquela que liga quatro elementos entre si. Nos problemas desse grupo são identificadas quatro quantidades – duas são medidas de certo tipo e as outras duas, de outro tipo. Os problemas desse grupo conduzem uma solução pela multiplicação, pela divisão ou regra de três. Como nesse trabalho o foco é a multiplicação, exemplificaremos com situações voltadas ao nosso objeto.

Tenho 3 pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote. Quantos iogurtes eu tenho?

Minha mãe quer comprar tecido a R$ 24,80 o metro para fazer um vestido e um paletó. Ela necessita de 3,50 metros de tecido. Quanto ela deverá gastar? Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$ 19,50 por três garrafas. Quanto vou gastar? (VERGANUD, 2009, p. 239 – 240).

Todos esses exemplos podem ser representados por um mesmo esquema que apresenta quatro quantidades:

Nos problemas de produto de medidas se tem “uma relação ternária, entre três quantidades, das quais uma é o produto das duas outras ao mesmo tempo no plano numérico e no plano dimensional” (VERGNAUD, 2009, p. 253). Como exemplo, temos:

3 rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada moça e cada moça com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?

Uma sala retangular tem 4m de comprimento e 3m de largura. Qual é a sua área?

Para Vergnaud (2009) o esquema que melhor representa esse tipo de problema é a tabela cartesiana, uma vez que “de fato, é a noção de produto cartesiano de conjuntos que explica a estrutura de produto de medidas” (p. 254).

Ao apresentar as classes de problemas de tipo multiplicativo, com a relação de isomorfismo de medidas, Vergnaud (2009) distingue três situações, nas quais o x represneta a incógnita:

Multiplicação: 1 a b x

Divisão – busca do valor unitário

1 x

b c

Divisão – busca de quantidade de unidades

1 a

x c

A primeira situação traz a ideia de multiplicação propriamente dita, na qual se tem o valor da unidade, sendo necessário encontrar o valor de b, que corresponde a n unidades; a segunda situação tem-se o valor correspondente a n unidades, mas é preciso encontrar o valor de uma unidade, por isso é um problema de divisão que busca o valor unitário; a terceira representa uma situação na qual se sabe o valor da unidade e a quantidade correspondente a n unidades, mas a incógnita se refere a n, ou seja, o número de cotas.

Embora essa classificação possa ser interpretada como simples, o autor ressalta que as dificuldades apresentadas por crianças até o final da primeira fase do ensino básico são inúmeras, uma vez que cada uma dessas 3 classes se divide em numerosas subclasses se considerarmos: se os números são inteiros ou não, se são pequenos ou grandes, se o valor unitário é decimal; se envolvem números decimais; se os valores referência são inferiores a 1, entre outras.

Essas mesmas recomendações são feitas aos problemas do grupo de produtos de medidas, que podem conduzir a uma multiplicação ou a uma divisão, e variar quanto aos valores das quantidades que estarão presentes na relação (inteiros, decimais, números grandes, números inferiores a 1).

Nunes e Bryant (1998) fundamentam seus estudos a partir de três grupos de situações do campo multiplicativo: situações de correspondência um-para–muitos; situações de co- variação envolvendo relações entre variáveis e situações de distribuição e cortes sucessivos (metades) que já trazem a ideia de divisão. As situações de correspondência um-a-muitos envolvem uma relação constante entre dois conjuntos, sendo esta constante e invariável, constituindo-se base para o conceito de proporção. Por exemplo: um carro tem 4 rodas. Quantas rodas há em 3 carros? Quando dizemos que 3 carros possuem 12 rodas, mantemos a mesma relação constante de 1 para 4.

As situações de co-variação envolvem relações entre variáveis e seriam aquelas nas quais “os números envolvidos se referem a valores sobre variáveis e não a conjuntos. Os conjuntos são feitos de elementos descontínuos e as variáveis são contínuas” (NUNES e BRYANT, 1997, p. 146). Por exemplo: um kg de feijão custa 4,00, quanto custam 3 kg? Nos problemas de correspondência um-a-muitos se tem dois conjuntos – o de carros e o de rodas (descontínuos) - e a relação entre os dois é expressa pela proporção 1:4. No segundo grupo encontramos as variáveis quilograma, valor em reais e uma terceira que conecta as duas - o preço por quilo. Além disso, as situações do 2º grupo conduzem mais naturalmente a valores fracionários como ½ quilo de feijão, enquanto seria absurdo nos referirmos a ½ carro.

As situações de distribuição envolvem a ideia de divisão, devendo ser considerado o tamanho do todo, número de partes e tamanho das partes, que deve ser igual para todas elas. Por exemplo: há 12 bolinhos (tamanho do todo) para serem distribuídos entre 3 crianças (nº de partes). Cada criança receberá 4 bolinhos (tamanho da parte ou quota).

Em um trabalho mais recente, Nunes et al. (2005) se referem ao campo multiplicativo com dois grupos de situações: aquelas que conduzem à correspondência e aquelas que conduzem à distribuição.

Buscando ampliar a ideia de multiplicação para além dá adição de parcelas iguais, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) apresentam quatro grupos de significados correspondentes à multiplicação integrados à operação de divisão.

A ideia comparativa:

 Pedro tem R$ 5,00 e Marina tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Marina?  Geane tem 4 balas e Miriam tem 5 vezes mais do que ela. Quantas balas tem Miriam?

Comparação entre razões envolvendo a ideia de proporcionalidade na multiplicação:  Carlos vai comprar três caixas de lápis. Cada caixa custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar por três pacotes? (1 para 8; 3 para 24);

 Se duas mangas custam R$ 1,50, quanto custam quatro mangas? (1,50 para 2; 3,00 para 4).

Configuração retangular:

 Numa sala de aula as carteiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas carteiras há na sala?

 Qual é a área do retângulo cujos lados medem 5 cm por 8 cm? A ideia de combinatória:

 Numa sorveteria, há sorvetes de 6 sabores diferentes que podem ser servidos com cobertura ou sem cobertura. De quantos modos diferentes pode-se pedir um sorvete, sem misturar sabores?

Esse último tipo de problema, conforme Pessoa (2009), embora faça parte do raciocínio combinatório evidencia o significado de produto cartesiano. Entretanto, o raciocínio combinatório envolve outras ideias como: permutação, arranjo e combinação propriamente dita.

Vale e Pimentel (2004) apresenta três interpretações para a multiplicação: adição de parcelas iguais (que pode ser em grupos ou em arranjo retangular); o modelo de área, que mesmo sendo representado por meio de um arranjo retangular, difere daquele por expressar quantidade contínua; e o produto cartesiano, que traz a multiplicação com a ideia de combinatória.

A classificação feita por Van De Walle (2009d) identifica ‘quatro classes diferentes de estruturas multiplicativas’: grupos iguais (que envolve problemas com adição repetida e taxas); comparação multiplicativa; combinações ou produto cartesianos; e problemas de produto de medidas (comprimento X largura, correspondente à área). Entretanto, o autor

reitera que essas duas últimas classes de problemas são trabalhadas de maneira incipiente na maioria das orientações curriculares.

Em sua tese sobre o processo de formação de professores envolvendo o campo multiplicativo, Santos (2012) apresentou um quadro com quatro eixos: proporção simples (problemas de um-para-muitos ou muitos–para-muitos); proporção múltipla (problemas de um-para-muitos ou muitos–para-muitos); comparação (problemas com relação desconhecida ou referido desconhecido) e produto de medidas (problemas configuração retangular, área ou combinatória).

Dentre os diferentes conceitos que envolvem o conteúdo de multiplicação, dois deles merecem destaque por não encontrarmos uma discussão mais específica: a proporcionalidade e a combinatória.

A proporcionalidade, embora seja de muita importância no cotidiano e em contextos científicos, se constitui em um conceito difícil, sendo adquirido de forma tardia, por volta dos 14 e 15 anos (TOLEDO e TOLEDO, 1997; FERREIRA e GOMES, 2004). Porém, desde os primeiros anos a criança já utiliza relações proporcionais em seu contexto: ao interpretar desenhos, fotografias, imagens de objetos em escalas menores, são exemplos dessas relações (TOLEDO e TOLEDO, 1997).

Em uma pesquisa sobre o letramento no Brasil, o 2º INAF5, dois aspectos foram investigados sobre o raciocínio proporcional: “1. a capacidade de identificar relações de proporcionalidade direta e inversa; 2. A habilidade de, conhecida a existência de uma relação de proporcionalidade entre duas quantidades, inferir o valor de uma delas, quando a outra é alterada” (FERREIRA e GOMES, 2004, p. 129). Ou seja, em um nível teríamos a capacidade de identificar tais relações, no outro, de encontrar/produzir um resultado com base nessas relações. Nessa pesquisa, as questões que envolviam o raciocínio proporcional estavam incluídas no nível maior de alfabetismo matemático.

Essa pesquisa evidenciou que, no geral, os sujeitos demonstraram maior capacidade de identificação de relações de proporcionalidade que a capacidade de realizar cálculos de valores dependentes dessas relações. Embora os entrevistados tivessem lápis e papel e calculadoras a sua disposição, essa capacidade não foi evidenciada, o que torna o dado mais preocupante, indicando a fragilidade no trabalho com cálculos e procedimentos algoritmos no contexto escolar.

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Outro fator conclusivo a que chegam Ferreira e Gomes (2004), após analisar os dados da pesquisa é a correlação entre o domínio de habilidades do raciocínio proporcional, o nível maior de alfabetismo matemático e o grau de instrução dos sujeitos pesquisados. No entanto, não foi identificada uma relação recíproca e direta entre esses aspectos, uma vez que 42% dos sujeitos com o Ensino Médio completo, não foram classificados no nível mais alto de alfabetismo matemático. Pouco mais da metade dos entrevistados com maior nível de instrução conseguiram acertar a questão: “Essa fita branca custa dois reais o metro. Quanto vai custar um pedaço de oitenta centímetros?”.

Os problemas multiplicativos que exploram o raciocínio combinatório estão localizados em variadas classificações. Por exemplo, em Vergnaud (2009) tais problemas estão localizados no grupo de problemas de produto de medidas, em Nunes e Bryant (1997), os encontramos nos problemas de produto cartesiano, incluído no grupo de correspondência um-a-muitos e nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática temos a denominação de problemas de combinatória.

Pessoa (2009) identificou o desenvolvimento do raciocínio combinatório de crianças do 2º ano do Ensino Fundamental até alunos do 3º ano do Ensino Médio por meio de um instrumento constituído de problemas ensinados no contexto escolar: produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação. Embora cada um desses tipos tenha invariantes lógicos diferentes, “são todos problemas combinatórios porque possuem a característica de levantamento de possibilidades – por contagem direta ou indireta” (PESSOA, 2009, p. 73). Para os anos iniciais, os problemas mais explorados desse conjunto são aqueles denominados de produto cartesiano.

Neste trabalho, tomaremos a classificação dos Parâmetros Curriculares Nacionais para a elaboração dos instrumentos a serem aplicados juntamente aos professores e seus alunos, problematizando em determinados momentos contribuições dos autores citados.

2.5 A adição e a multiplicação – continuidade e descontinuidade: para além da