Como já discorremos, o século XVIII foi marcado pelo Iluminismo que contribuiu para o desenvolvimento do pensamento e produção científica por toda a Europa. Dos matemáticos que mais produziram neste período, encontramos Euler que de acordo com o historiador Clifford Truesdell, citado em Silva (2009, p. 34), foi responsável por “25% de toda publicação matemática do século XVIII”. Entretanto, vale salientar, que a produção científica de Euler não esteve voltada somente para o campo da Matemática, mas também desenvolveu trabalhos no campo da Mecânica, Astronomia e Física. Ele também foi responsável por algumas equações e símbolos matemáticos, como por exemplo:
i. V – A + F = 2 ii. + 1 = 0
iii. , , e, i = √ e entre outros.
Em relação à Matemática, Euler produziu conhecimentos voltados para Geometria, Equações Diferencias, Cálculo de Variações, Séries Infinitas, Cálculo Diferencial, Combinatória e Probabilidade, Teoria de Equações e Teoria dos Números (DUNHAM, 1999).
Entre seus trabalhos produzidos nos diferentes campos da matemática, Euler teve um importante papel para a Teoria dos Números. Seu interesse neste ramo da matemática se deu a partir da influência de Christian Goldbach (1690-1764), um matemático que ficou conhecido
13
De acordo com D’Ambrosio (2009, p. 26), há uma discordância de datas quanto ao falecimento de Euler, entretanto, a data aqui presente, a saber, 18 de setembro de 1783, é considerada como a data oficial de seu falecimento.
ao conjecturar que todo par maior que 2 podia ser representado como uma soma de dois números primos. Assim, por meio de Goldbach, de acordo com Dunham (1999, p.7), Euler passou a estudar as conjecturas feitas por Fermat sobre esta área, criando, desta forma, grande interesse e fascinação pela Teoria dos Números. Sua produção neste ramo da matemática corresponde à quatro volumes em Opera Omnia que, quando unida a área da álgebra e análise resultam em 40 % de todas as suas produções no conhecimento matemático.
Assim, entre suas contribuições para a Teoria dos Números, podemos citar: a generalização do Pequeno Teorema de Fermat14, isto é, ap – 1 ≡ 1 (mod p), a introdução da função sigma, a função zeta e a sua contribuição a teoria dos números amigáveis.
Portanto, os três capítulos seguintes discorrerão, respectivamente, sobre os três trabalhos de Euler acerca dos números amigáveis que foram publicados, respectivamente, em 1747, 1750 e 1849. Vejamos agora a análise feita ao primeiro artigo que foi publicado em 1747, a saber, De numeris amicabilibus.
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O Pequeno Teorema de Fermat diz que, de acordo com Fossa (2003, p. 49): “Sejam a, p ϵ Z, com p primo e
3 ANÁLISE DO PRIMEIRO ARTIGO DE EULER
Neste capítulo, analisaremos o primeiro artigo de Euler publicado na Nova Acta Eruditorum (Figura 13) em 1747 com o título De numeris amicabilibus (Sobre os Números Amigáveis). Este artigo recebeu o número E100 no índex Eneström15. Assim, objetivamos apresentar a abordagem de Euler sobre os números amigáveis no seu contexto histórico e matemático, e fazer uma pequena investigação dos métodos usados pelos matemáticos que foram citados por ele. Por fim, teceremos alguns comentários sobre os trinta pares de números amigáveis que estão presentes no final do artigo.
Figura 13 – Capa Nova Acta Eruditorum.
Fonte: BIBLIOTHÉQUE..., ([200-?]).
Durante o século XVIII, Euler publicou seus trabalhos em diferentes lugares. Entre estes, podemos citar a Acta Eruditorum que durante o período Iluminista foi considerado um dos mais importantes jornais internacionais (LAEVEN, 1990). Fundado na cidade de Leipzig, Alemanha, por Otto Mencke em 1682, o periódico publicava artigos de importantes cientistas dos séculos XVII e XVIII. Os referidos artigos abordavam, sempre em latim, assuntos relacionados à Física, Matemática, Geografia, Teologia, Direito, História e Medicina.
Em 1707, o jornal passou a ser editado pelo filho de Mencke, o historiador Jonhann Burckhard Mencke (1674-1732)e em 1732, após o falecimento deste, o mesmo passou a ser publicado sobre o título Nova Acta Eruditorum. Foi neste jornal que Euler, entre os anos de
1733 a 1773, publicou quinze artigos com assuntos relacionados à Matemática e à Física, e entre estes, encontramos seu primeiro trabalho sobre os números amigáveis, a saber, De numeris amicabilibus.
Um par de números, de acordo com Euler (1747, p. 267; tradução Fossa e Leôncio, 2009, p. 88), é chamado amigável quando “cada um produz o outro quando todas suas partes alíquotas16 são somadas”. Os números 220 & 284, por exemplo, são deste tipo, pois a soma das partes alíquotas de 220, a saber, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, produzem 284 e, por sua vez, as partes alíquotas de 284, isto é, 1+2+4+71+142, resulta em 220. Os números amigáveis foram investigados por vários matemáticos, como, os pitagóricos, o árabe Thabit Ibn Qurra (836-901) (Figura 14) que foi responsável por descobrir a fórmulas17 e , Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650) (Figura 15) e Frans van Schooten (1615-1660) (Figura 16). Entretanto, nenhum destes matemáticos foi capaz de apresentar mais do que três pares de números amigáveis. Uma análise mais detalhada acerca da história dos números amigáveis se encontra em Fossa (no prelo).
Figura 14 - Thabit Ibn Qurra Figura 15 – Descartes Figura 16 - Van Schooten
Sabendo dos pares de números amigáveis que foram encontrados e analisados pelos matemáticos citados anteriormente, Euler deu início a sua investigação acerca destes números. No seu primeiro artigo, De numeris Amicabilibus, ele apresenta-nos a dificuldade encontrada e o desinteresse dos matemáticos de sua época em fornecer mais pares de números amigáveis. A razão para isto é que, de acordo com o contexto histórico da época, os matemáticos deste
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Ver capítulo 1, Introdução, nota de rodapé 3.
17De acordo com Dickson (1971, p. 39), “o árabe Thabit Ibn Qurra notou que 2nht e 2ns são números amigáveis se h = 3.2n-1, t = 3.2n-1-1 e s = 9.22n-1 -1” forem números primos maiores do que 2.
Fonte: O’Connor e Robertson, (2012). Fonte: O’Connor e Robertson, (2012). Fonte: O’Connor e Robertson, (2012).
período focalizaram sua atenção para o estudo do cálculo infinitesimal que era um conhecimento que estava sendo bastante desenvolvido e difundido na Europa. Desta forma, os problemas relacionados à aritmética passaram a ser desprezados pela maioria destes matemáticos. Além disso, vale salientar que, para Euler (1747, p. 267; tradução Fossa e Leôncio, 2009, p. 88), “a investigação das propriedades dos números sem dúvida frequentemente requer mais argúcia que as mais sutis questões da geometria”, exigindo, assim, de seus pesquisadores/estudiosos mais dedicação e perseverança para analisá-los.
Assim, de acordo com Euler (1747, p. 267), nem mesmo Descartes, o fundador da Filosofia moderna e da Geometria Analítica, teve muito sucesso em produzir números amigáveis. Numa carta enviada, no dia 31 março de 1638, a Marin Mersenne (1588-1648), Descartes apresentou sua regra para achar números amigáveis. O método de Descartes (1898, p. 93-94), apresentado na carta, consistia em achar três números primos que produzam números amigáveis da seguinte maneira: inicie com 2 ou uma potência qualquer de 2, isto é, . Multiplique a potência por 3 e, em seguida, subtraia uma unidade do resultado, ou seja, 3×2n – 1 que será a representação do primeiro número primo que desejamos encontrar. Para o segundo número, multiplique a mesma potência de 2 por 6, isto é, 2n×6 e do resultado subtraia uma unidade, a saber, 6×2n– 1. O terceiro número primo, de acordo com a regra de Descartes, deverá ser encontrado da seguinte maneira: 18×(2n)2 – 1, isto é, eleve ao quadrado a mesma potência que utilizamos nos números anteriores e, em seguida, multiplique o resultado por dezoito. Logo em seguida, subtraia uma unidade do resultado encontrado que foi multiplicado por dezoito. Assim, se os números encontrados, a saber, 3×2n – 1, 6×2n – 1 & 18×(2n)2 – 1, forem todos números primos, então o produto do último primo pelo dobro da potência assumida, isto é, 2×(2n)×(18×(2n)2 – 1) resultará em um dos números de um par de números amigáveis.
Através deste método, Descartes (1898, p. 94) apresentou três números que, quando somadas as partes alíquotas de cada um, produzirão seus respectivos números amigáveis. Os três números encontrados por este método são respectivamente: 284 (um número do par conhecido na antiguidade pelos pitagóricos), 18416 (apresentado por Fermat no ano de 1637) e o número 9437056 (apresentado por Descartes no ano de 1638). No artigo de Euler, o par de números amigáveis descoberto por Descartes, 9437056 & 9363584, é representado em fatores de número primos, a saber: 27.191.383 & 27.73727, como podemos visualizar na Figura 17 no final deste capítulo.
A Tabela 1, a seguir, é uma representação de como Descartes, utilizando sua regra, obteve os três pares de números amigáveis. Esta tabela está organizada da seguinte maneira:
na parte horizontal observamos os valores que foram atribuídos a incógnita n que apresenta a seguinte variação na tabela 1≤ n ≤ 8. Já na parte vertical, x, 3x – 1, 6x – 1 e 18x2 – 1 representam a regra dada por Descartes onde x é a potência de dois assumida, isto é, 2n. Os números apresentados em asterisco são todos os números primos encontrados, dentro do intervalo assinalado, por meio da regra de Descartes e, por fim, os números que estão representados na forma 2x(18x2 – 1) são elementos de pares de números amigáveis, isto é, 284, 18416 & 9437056. Em virtude de pouco espaço, limitamos em apresentar, aqui, a potência 2n, variando 1 ≤ n ≤ 8. Entretanto, foram analisados as potências 2n, com 1 ≤ n ≤ 5000, no MAPLE18 e, como resultado, observamos que números amigáveis não são encontrados para valores de n maiores do que 6.
Portanto, por meio da nossa análise, onde 1 ≤ n ≤ 5000, observamos que a regra apresentada por Descartes produz apenas trinta e três números primos e, assim, após encontrarmos para as potências 2, 23 e 26 os três números amigáveis apresentados por esta forma (Tabela 1), foi observado que não é possível encontrar mais pares além destes para este intervalo, isto porque, a medida que aumentamos o valor de n, fica cada vez mais difícil encontrar números primos para a regra 6.2n – 1 e 18.(2n)2 – 1 e, termos simultaneamente números primos para 3.2n – 1, 6.2n – 1 e 18.(2n)2 – 1. Portanto, através desta análise, concluímos que a regra usada por Descartes para achar números amigáveis é improdutiva para o intervalo 7 ≤ n ≤ 5000.
Tabela 1 - Representação da regra de Descartes
1 2 3 4 5 6 7 8 2* 4 8 16 32 64 128 256 5* 11* 23* 47* 95 191* 383* 767 11* 23* 47* 95 191* 383* 767 1535 71* 287 1151* 4607 18431 73727* 294911* 1179647 284 2296 18416 14742 4 11795 84 943705 6 7549721 6 60397926 4
Fonte: Tabela realizada a partir da regra apresentada por Descartes.
Baseando-se no método usado por Descartes, van Schooten (1657) utilizou equações indeterminadas para determinar os pares de números amigáveis. Desta forma, van Schooten (1657, p. 420) afirma que, para achar números amigáveis, devemos tomar 4x para um número e 4yz para outro, isto é, a2x & a2yz, sendo x, y, z números primos. Observe que a2x & a2yz é semelhante à forma apresentada por Euler (1747, p. 168), 2nxy & 2nz. Assim, temos que as
partes alíquotas do número 4x, isto é, seus divisores exceto o próprio 4x, será: 1, 2, 4, x & 2x. Logo, pela definição de números amigáveis, temos: 7 + 3x = 4yz. Isolando a incógnita x, encontraremos a seguinte equação: , isto é, .
De modo semelhante, as partes alíquotas do número 4yz serão: 1, 2, 4, y, 2y, 4y, z, 2z, 4z, yz & 2yz. Logo, pela definição, temos: 4x = 7 + 7y + 7z + 3yz, isto é, . Assim, reduzindo a equação, encontraremos:
ou
ou também,
ou
Assim, van Schooten observou que quando y = 5, ele encontrou z = 11 e x = 71. Isto, consequentemente, resultou que o número 4x procurado será 284 e o número 4yz = 220.
Dando continuidade a sua análise, van Schooten observou que para os números da forma 8x & 8yz, isto é, a3x & a3yz não é possível encontrar números amigáveis, pois não obteremos números primos para y. Entretanto, para os números da forma 16x & 16yz, isto é,
a4x & a4yz encontraremos o próximo par, 18416 & 17296, que será achado pela seguinte
substituição: e ou e , onde y = 47, z
= 23 e x = 1151. Por fim, o último par, encontrado por ele, é dado pela regra: 128x & 128yz, isto é, a6x & a6yz. Assim, utilizando esta regra encontraremos
,
. De acordo com van Schooten (1657, p. 423), assumindo y = 191 será descoberto o
número primo 383 para z e o número primo 73727 para x e, assim, o outro par achado será: 128x = 9437056 & 128yz = 9363584.
Em van Schooten (1657, p. 423) conclui que mais números amigáveis podem ser achados, porém apresenta apenas três pares. Assim, até a publicação do primeiro artigo de Euler, De numeris amicabilibus, em 1747, só se tinha conhecimento dos três pares de números amigáveis que mencionamos anteriormente, a saber, 220 & 284, 17296 & 18416, 9363584 & 9437056. Além disso, vale salientar que no terceiro artigo De numeris amicabilibus, Euler nos explica que van Schooten não foi capaz de produzir mais pares, não porque o método apresentado por ele fosse improdutivo, mas devido ao modo como o método
estava sendo utilizado. Assim, ele concluiu que dificilmente alguém imaginaria que todos os números amigáveis pudessem ser gerados a partir da fórmula a2x & a2yz.
Portanto, de tudo o que foi dito e das análises históricas que fizemos, podemos ver como era extremamente difícil achar os números amigáveis durante ou anteriormente ao século XVIII. Entretanto, como resultado de suas investigações acerca destes números, Euler apresentou em 1747 uma lista contendo trinta pares de números amigáveis (Figura 17) e, neste mesmo lugar, argumentou que poderia encontrar mais números além destes. Este resultado superou todas as investigações feitas pelos matemáticos que haviam pesquisado acerca destes números e que não tiveram sucesso nestas investigações.
Desta forma, com a publicação do primeiro artigo de Euler, De Numeris amicabilibus, encontramos o primeiro marco para o desenvolvimento de um método que produzisse mais de três pares de números amigáveis. Neste artigo, apesar de Euler não apresentar os métodos utilizados para a produção de novos pares, além dos já conhecidos, ele nos esclarece o porquê de importantes matemáticos que investigaram a natureza destes números não terem sido capazes de encontrar outros pares. Além da pequena explicação histórica acerca da investigação destes pares, Euler nos apresenta a definição de números amigáveis e exibe o primeiro par descoberto, a saber, 220 & 284. Em seguida, observa que apesar de Descartes e van Schooten terem dedicado muito tempo na investigação destes números, não foram capazes de produzir além de três pares. Por fim, Euler (1747) apresenta a fórmula utilizada por ambos matemáticos para esta investigação, a saber, 2nxy & 2nz onde x, y e z são números primos e, ao mesmo tempo, deveremos ter z = xy + x + y e 2n(x + y + 2) = xy + x + y +1, isto é, z = 2n(x + y + 2) – 1.
Como podemos observar, esta é a regra conhecida desde o século IX pelo árabe Thabit Ibn Qurra, que foi mencionado no início deste capítulo. De acordo com Cajori (2007, p. 160), Thabit havia criado esta regra a partir da elaborada por Euclides para achar números perfeitos. Assim, a regra de Thabit, segundo Dickson (1971, p. 39), se h = 3.2n– 1, t = 3.2n-1 – 1 e s = 9.22n-1 – 1 forem números primos maiores do que 2, então 2nht e 2ns formam um par de números amigáveis19. Atualmente, não temos evidências se Descartes, van Schooten ou até mesmo o próprio Euler tivera conhecimento do trabalho de Thabit, já que o mesmo não é citado em nenhum dos artigos de Euler. Entretanto, as correspondências entre Fermat – Mersenne e Descartes – Mersenne nos revelam que estes matemáticos do século XVII estavam investigando um método para encontrar pares de números amigáveis e, assim, de
19 Ao fazermos nossas verificações, dentro do intervalo 1 ≤ n ≤ 5000, concluímos que a regra nos permite encontrar somente três pares de números amigáveis neste intervalo.
acordo com Borho (1972, p. 571), “esta regra foi redescoberta em 1636 por Fermat e, em 1638, por Descartes e generalizada por Euler”, onde Fermat, diferentemente de Descartes, utilizando seu método, apresentou apenas dois pares de números amigáveis, a saber, 220 & 284 e 18416 & 17296.
Portanto, a partir desta regra, Euler questionou se todos os números amigáveis estavam ou não contidos dentro dela, já que quando assumidos valores maiores para n os valores de z tornam-se rapidamente grandes e, consequentemente, fica cada vez mais difícil determinar se z é ou não um número primo e, além disso, torna-se difícil encontrar, simultaneamente, x, y e z primos. Além destes problemas, tanto Euler, como também os demais matemáticos, tiveram suas investigações limitadas, isto porque, de acordo com Euler (1747, p. 268), as tabelas de números primos apresentadas não ultrapassavam 100.000.
Por fim, o artigo finaliza com a apresentação de uma lista contendo os trinta pares de números amigáveis, incluindo os três pares descobertos anteriormente à pesquisa de Euler. Todos estes pares estão decompostos em fatores de números primos, para mostrar a estrutura contida na fórmula 2nxy & 2nz e das outras fórmulas que foram derivadas a partir dela.
Por meio do software MAPLE, pudemos analisar todos os pares de números amigáveis apresentados no primeiro artigo por meio de um programa que elaboramos (apêndice D), a fim de certificarmos que todos estes pares apresentados são números amigáveis. Além disso, o software nos possibilitou verificar a decomposição de todos os pares em fatores de números primos. Portanto, ao analisarmos a lista apresentada no artigo De numeris amicabilibus (Figura 17) encontramos alguns erros. Esses erros já haviam sido apontados na literatura (FOSSA; LEÔNCIO, 2009).
Assim, o par XIII, isto é, 24.19.8563 & 24.83.2039, que também pode ser representado como 2603152 & 2707792, não é um par de números amigáveis, pois o mesmo não satisfaz a definição. Isto é, a soma das partes alíquotas de 2603152 resulta em 2706528, enquanto que, a soma das partes alíquotas de 2707792 resulta em 2604368.
O par XXIII apresenta um erro de impressão, ou seja, no original encontramos 513 na coluna esquerda, mas deveria ser 5.13 (Figura 17). Outro erro20, provavelmente de impressão, corresponde ao par XXIV da lista, 33.5.31.89 & 33.5.7.11.29, isto é, 372465 & 301455. Este par não forma números amigáveis, porém se colocarmos 32 em vez de 33, teremos aqui: 124155 & 100485 que são números amigáveis.
Figura 17 - Lista dos trinta pares de Números Amigáveis
Fonte: Euler, (1747).
Desta forma, concluímos nossa análise histórica e algébrica acerca do primeiro artigo de Euler sobre os números amigáveis. Nesta análise, pudemos situar o artigo De numeris amicabilibus, no contexto histórico do século XVIII e apresentar as dificuldades matemáticas encontradas por importantes matemáticos para a descoberta de números amigáveis. Observamos, também, a dedicação e genialidade de Euler em apresentar trinta pares de números amigáveis, dispondo apenas de uma tabela de números primos limitada a 100000.
O próximo capítulo, da presente dissertação, será dedicado a análise do segundo artigo de Euler, De numeris amicabilibus, publicado em 1750. Lá, observaremos detalhadamente os métodos e as ferramentas matemáticas utilizadas por este ilustre matemático para a descoberta dos pares de números amigáveis que foram encontrados por ele. Vale salientar, que neste segundo artigo, Euler mostra um catálogo contendo 61 pares de números amigáveis, onde apenas vinte e quatro pares, que foram apresentados na lista de números amigáveis do primeiro artigo De numeris amicabilibus, estão incluídos no catálogo.
4 ANÁLISE DO SEGUNDO ARTIGO DE EULER
O segundo artigo de Euler é uma continuação do seu primeiro trabalho publicado em 1747 e recebeu o mesmo título deste: De numeris amicabilibus. Foi publicado originalmente em 1750 na Opuscula varii argumenti sob o título: Conjectura Physica circa propagationem soni ac Luminis una cum aliis dissertationibus analyticis De numeris amicabilibus De natura aequationum, ac De rectificatione ellipsis (Conjectura Física sobre a propagação do som e da luz com outras análises dissertativas sobre os números amigáveis, sobre a natureza das equações e sobre as retificação das elipses), como mostra a (Figura 18). O livro é composto por quatro capítulos direcionados para questões da Física e Matemática, onde De numeris amicabilibus está voltado para Teoria dos Números.
Figura 18 - Capa do livro Conjectura Physica
Fonte: BAYERISCHE STAATSBIBLIOTHEK ..., (2012).
De acordo com Eneström (2012), este artigo foi escrito em 1747, porém somente no ano de 1750, ele foi revisado pela comunidade científica e publicado na Opuscula varii Argumenti, e republicado em Commentationes Arithmeticae de 1849 (Figura 19) e na Opera Omnia, segundo volume, em 1915 (Figura 20). A tradução deste artigo, que analisaremos a seguir, foi feita da versão original publicada em Opuscula varii Argumenti.
Figura 19 - Capa do livro Commentationes Arithmeticae
Fonte: BIBLIOTHÉQUE..., ([200-?]).
Figura 20 - Capa da Opera Omnia
Fonte: BIBLIOTHÉQUE..., ([200-?]).
Este artigo, diferente dos demais, apresenta detalhadamente os métodos utilizados por Euler para a obtenção dos 61 pares de números amigáveis, conforme foi mencionado no capítulo anterior. Desta forma, almejamos neste capítulo, analisar os métodos e as tabelas apresentadas no segundo artigo, que contribuíram para o sucesso de Euler na obtenção destes pares de números amigos.
Euler (1750, p. 23, tradução Leôncio e Fossa) define números amigáveis da seguinte maneira:
Dois números são chamados amigáveis, se são compostos de tal maneira que a soma das partes alíquotas21 de um é igual ao outro e, por sua vez, a soma das partes alíquotas do segundo é igual ao primeiro. Um exemplo de números deste tipo é o par: 220 e 284. Isto é, a soma das partes alíquotas de 220 quando somadas, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 produzem 284, e por outro lado, a soma das partes alíquotas de 284, 1+2+4+71+142, resultam em 220.
Suas observações relatam que o menor par de números amigáveis, a saber, 220 & 284, foi mencionado anteriormente por Michael Stifel (1487-1567), matemático alemão considerado um dos maiores algebristas do século XVI e responsável por inventar os