Em nossa revisão bibliográfica, estão os estudos realizados sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra, os quais nos possibilitaram estabelecer aspectos a serem utilizados em nossa análise de livros didáticos.
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos
Os PCNs visam à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite de fato sua inserção, como cidadãos, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura (p. 15).
Para que essa inserção do cidadão, nosso aluno, ocorra de fato, os PCNs sugerem que a Matemática desempenhe seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo
do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.
Indicam ainda objetivos gerais quanto ao ensino de Matemática no Ensino Fundamental tendo em vista essa construção da cidadania. A proposta é levar o aluno a:
¾ Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
¾ Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);
¾ Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
¾ Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
¾ Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
¾ Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
¾ Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções;
¾ Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Tendo em vista que hoje a maioria dos livros didáticos salienta estar de acordo com os PCNs, recorremos aos objetivos gerais aqui apresentados, assim como ao estudo já realizado dos objetivos específicos para terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, para compor nosso primeiro aspecto.
Buscaremos observar dois pontos: 9 A História da Matemática 9 Resolução de Problemas.
Os PCNs destacam algumas possibilidades de trabalho em sala de aula, dentre elas a de trabalhar com a História da Matemática, levantando alguns pontos para justificar esse trabalho.
¾ A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área de conhecimento.
¾ Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.
¾ Conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. ¾ A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da
própria identidade cultural.
¾ O recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.
Os PCNs apontam a resolução de problemas como ponto de partida do aprendizado indo em contrapartida à reprodução de procedimentos.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão
oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca dos conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (PCNs, 1998, p. 40).
Resolver um problema matemático significa realizar uma seqüência de ações ou operações para se obter um resultado; assim, os PCNs pressupõem que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução, compare seus resultados com os de outros alunos e valide seus procedimentos.
Os PCNs destacam alguns princípios ao se trabalhar com a resolução de problemas:
¾ A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. São necessárias situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las.
¾ O problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.
¾ Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. O aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular.
¾ A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem.
Os PCNs afirmam que muitos professores consideram que é possível trabalhar com situações do cotidiano ou de outras áreas do currículo somente depois de os conhecimentos matemáticos envolvidos nessas situações terem sido amplamente estudados pelos alunos. Destacam que geralmente os conteúdos são abordados de forma linear e os alunos acabam tendo poucas oportunidades de explorá-los em contextos mais amplos.
Objetivamos essencialmente buscar respostas ao seguinte questionamento:
De que maneira os livros didáticos vêm incorporando os objetivos sugeridos pelos PCNs?
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra
Berdnarz, Kieran, e Lee (1996) apresentam as diferentes abordagens para introduzir o ensino de Álgebra e, de acordo com cada uma delas, teremos um uso para variáveis, ao contrário de Usiskin (1994), que apresenta as diferentes concepções de Álgebra intrinsecamente relacionadas à utilização das variáveis. O que percebemos é que as concepções e o ensino de Álgebra se inter-relacionam. Quadro 2: Comparação entre as concepções de Álgebra, segundo Usiskin, e as abordagens para o ensino de Álgebra, de acordo com Berdnarz, Kieran e Lee
Concepções de Álgebra (Usiskin)
Abordagens para o ensino de Álgebra (Berdnarz, Kieran e Lee)
• Álgebra como Aritmética generalizada
• Generalização das leis que regem os números
• Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
• Regras de transformações e soluções de equações
• Solução de problemas
específicos ou classes de problemas
• Como estudo de relações entre as grandezas
• Introdução de conceitos de variável e função
• Álgebra como estudo das estruturas matemáticas
• Estudo de estruturas algébricas
Como a Álgebra pode ser introduzida a partir de uma dessas abordagens, as quais, na verdade, determinam de alguma forma as concepções algébricas que os alunos continuarão a manter com a Álgebra depois dessa introdução, estabelecemos nosso segundo aspecto.
Procuramos na análise dos livros alguma resposta à seguinte questão: Nos livros didáticos, que tipo de abordagem é utilizada para introduzir e desenvolver a Álgebra? Apenas uma abordagem é trabalhada ou há várias se inter-relacionando?
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável
Para Usiskin (1994) as diferentes concepções de Álgebra se relacionam com os usos distintos das variáveis, como veremos na tabela a seguir:
Quadro 3: Concepções de Álgebra relacionando-se com os usos das variáveis
Concepção da Álgebra Usos das variáveis
• Aritmética generalizada • Generalizadoras de modelos (traduzir, generalizar)
• Meio de resolver certos problemas
• Incógnitas, constantes (resolver, simplificar)
• Estudo de relações • Argumentos, parâmetros
(relacionar, gráficos)
• Estrutura • Sinais arbitrários no papel
(manipular, justificar)
Os PCNs também trazem as diferentes interpretações da Álgebra e as diferentes funções das letras, deixando claro que para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico o aluno deve estar engajado em atividades que inter- relacionem as concepções variadas da Álgebra e os diferentes usos das variáveis.
Tendo em vista esses aspectos, buscamos na análise de livros respostas à seguinte indagação:
Nos livros didáticos quais são os diferentes usos dados à idéia de variável que eles apresentam? Variável como coisa conhecida? Incógnita? Argumento?
Generalização de modelo aritmético? Símbolo abstrato? Variável para expressar relações e funções?
Iremos analisar cada coleção, verificar quais critérios ela atende, relacionando cada critério atendido ao tipo de tarefa a ser desenvolvida.