Dada a nossa experiência em sala de aula, percebemos as dificuldades dos alunos em relação aos conceitos abordados nas diferentes formas de introduzir a Álgebra.
Assim, uma outra maneira de estudar o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra é identificar os tipos de erros que os alunos comumente cometem nessa matéria e investigar as razões desses erros.
Booth (1994) realizou um estudo com alunos de 13 a 16 anos e verificou erros semelhantes em todos eles, mostrando que muitos destes podiam ter origem nas idéias dos alunos sobre aspectos como, entre outros, o significado das letras e das variáveis.
Observou que uma das diferenças mais marcantes entre a Aritmética e a Álgebra é a utilização, nessa última, de letras para indicar valores. Em Aritmética, as letras também aparecem, mas de forma diferente. Por exemplo, a letra m, em
Aritmética, pode ser utilizada para representar “metros”, mas não para representar o número de metros, como em Álgebra.
Um dos aspectos inerentes da Álgebra talvez seja a própria idéia de “variável”. Mesmo quando as crianças interpretam as letras distintas, devem necessariamente representar valores numéricos diferentes.
De uma maneira geral, as pesquisas apontam problemas no ensino da Álgebra, trazendo à tona as dificuldades de certas noções ou interpretações que os estudantes desenvolvem em relação ao uso das letras, à notação, à escrita, às convenções associadas com certos conceitos e ao caráter da Matemática, que fazem parte do início da aprendizagem da Álgebra.
A noção de variável, de modo geral, não tem sido explorada no ensino fundamental e por isso muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e também o médio) pensam que a letra em uma sentença algébrica serve sempre para indicar (ou encobrir) um valor desconhecido, ou seja, para eles a letra sempre significa uma incógnita (PCNs, 1998, p. 118).
De acordo com Kieran (1989), a Álgebra na escola secundária normalmente começa com instruções do conceito de variável. As crianças já viram as letras sendo empregadas em fórmulas, como a área de um retângulo; porém, em suas experiências passadas, elas não se relacionaram com os diversos usos da variável.
Usiskin (1994) descreve alguns desses muitos usos da variável afirmando que, se considerarmos a Álgebra como aritmética generalizada, então podemos ter as variáveis como generalizadoras de padrão; por exemplo, generalizando 3 + 5 = 5 + 3 ao padrão a + b = b + a, as habilidades algébricas estão centradas em traduzir e generalizar relações conhecidas entre números. Se considerarmos a Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, então teremos as variáveis como valores desconhecidos; por exemplo, traduzindo um problema em uma equação, as habilidades algébricas estão centradas em simplificar e resolver. Se considerarmos a Álgebra como o estudo entre relações ou entre quantidades, as variáveis serão argumentos ou parâmetros. Nesta concepção da Álgebra, variáveis variam verdadeiramente. Finalmente, se considerarmos a Álgebra como o estudo de estruturas como grupos, anéis, domínios de integridades, corpos, e espaço vetorial, então,
variáveis são objetos arbitrários numa estrutura relacionada por certas propriedades.
É, ainda, Usiskin que tenta descrever o que é a Álgebra na escola média, e a princípio poderia dizer que tem relação com a compreensão do significado das “letras” e das operações com elas, mas logo percebe que a redução da Álgebra ao estudo das variáveis não dá conta dessa descrição.
O problema surge em identificar quando uma letra representa uma variável, ou não. Começa por considerar algumas equações, todas com a mesma forma – o produto de dois números é igual a um terceiro – e observa que cada uma delas tem um caráter diferente.
Segundo o autor, esses caracteres refletem os diferentes usos dados à idéia de variável. No primeiro caso, A = b. h, com caráter de fórmula, em que A representa a área, b a base e h a altura, e têm caráter de coisa conhecida. No segundo caso, 40 = 50x, com caráter de equação (ou sentença aberta), em que pensamos em x como uma incógnita. No terceiro caso, senx = cosx. tgx, com caráter de identidade, sendo x o argumento de uma função. No quarto caso, 1 = n.(1/n), com caráter de propriedade, generaliza um modelo aritmético e n identifica um exemplo do modelo. No quinto caso, y = kx, com caráter de equação de uma função que traduz uma proporcionalidade direta, x também é o argumento de uma função, y o valor e k uma constante; somente aqui há o caráter de “variabilidade”, do que resulta o termo variável.
Na década de 1950, a palavra variável era descrita por Hart como “um número mutável”, e que, “em cada fórmula, as letras representam números. O uso de letras para representar números é a principal característica da Álgebra” (HART apud USISKIN, 1994, p. 10).
As concepções de variável foram mudando com o tempo, e o próprio Hart, mais tarde, faz uma afirmação mais formal de variável: “Uma variável é um número literal que pode assumir dois ou mais valores durante uma determinada discussão” (apud USISKIN, 1994, p. 10).
Ainda na década de 1950, Caraça define o conceito de variável.
Seja (E) um conjunto qualquer de números, conjunto finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um símbolo, por ex: x. A este símbolo,
representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos variável (1951, p. 127).
Para ele, portanto, uma variável é o que for determinado pelo conjunto numérico que ela representa.
No final da década, surgiram novas e diferentes concepções como a de May e Van Engen (apud USISKIN, 1994, p. 10):
Uma variável, grosso modo, é um símbolo pelo qual se substituem os nomes de alguns objetos, comumente números, em Álgebra. Uma variável está sempre associada a um conjunto de objetos cujos nomes podem ser substituídos por ela. Esses objetos chamam-se valores da variável.
Segundo Usiskin (1994), na década de 1990, a tendência era evitar a distinção “nome-objeto” e pensar numa variável como um símbolo pelo qual se podem substituir coisas, mais precisamente coisas de um determinado conjunto, enquanto consideradas indistintas.
Ainda de acordo com o autor, muitos alunos acham que todas as variáveis são letras que representam números. Nem sempre isso é verdade, pois muitas vezes as variáveis podem representar proposições, outras vezes uma função, podendo ser a representação de uma matriz ou um vetor e, ainda, não necessariamente serem representadas por letras.
As concepções de variável mudam com o tempo, tornando-se difícil encontrar uma única definição que seja a mais correta ou a única possível, e dificultando, talvez, a aprendizagem destas. Portanto, tentar definir a idéia de variável poderá acarretar uma tal simplificação, não atendendo às muitas definições, conotações e símbolos que cabem a ela.
Percebemos que há muitas opções de introduzir a Álgebra, mas que também surgem muitas dificuldades, por parte de professores e alunos, ao entrar em contato com ela. Diante desses obstáculos, temos uma questão geral:
• Como se dá o ensino dos conteúdos algébricos hoje? Sob quais perspectivas?
Associado a esta questão vem o fato de que, hoje, em todas as escolas públicas do estado de São Paulo os alunos recebem o livro didático distribuído gratuitamente pelo governo estadual. Os livros didáticos são recomendados pelo
Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e escolhidos pelos próprios professores.
O livro didático é, atualmente, um dos recursos mais eficazes à nossa disposição, fornecendo-nos informações, propondo atividades, ajudando a organizar o trabalho em classe, apresentando textos interessantes para leitura, entre outras funções. Além disso, em muitos deles, o manual do professor é, realmente, um auxiliar precioso.
“O livro didático exerce grande influência sobre a atuação do professor em sala de aula, pois ele se torna freqüentemente a única ferramenta disponível para o seu trabalho” (PNLD, 2005, p. 196).
Percebendo sua importância como instrumento de acesso ao ensino, surge-nos outras questões:
• Como está ocorrendo o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio do livro didático?
• Como se trabalham, hoje, os conteúdos algébricos em sala de aula? • Como o livro didático, presente hoje em todas as escolas, é utilizado pelos professores?
• Sob quais perspectivas os livros didáticos introduzem o pensamento algébrico?
• Será que os livros conseguem dar conta do pensamento algébrico?
2.1.1 Definição da questão de pesquisa
Muitas são as questões acerca da introdução da Álgebra via livros didáticos, porém há a necessidade de delimitarmos nossa questão de pesquisa.
Nosso objetivo é investigar como a noção de variável tem sido abordada pelos livros didáticos brasileiros referentes aos 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental.
Com fundamento nesta perspectiva, levantamos a questão: Como os livros didáticos do Ensino Fundamental abordam a noção de variável sob a ótica da organização praxeológica de Chevallard?