4 Avbøtende tiltak
3.6 M ASSEHÅNDTERING , MASSETRANSPORT OG DEPONIER
ou seja, o aquecedor do sensor quente pode ser traduzido por um modelo ma- tem´atico linear de primeira ordem, bastante simples de controlar por software. Para isso basta conhecer as constantes CT e RT.
9.5
An´alise t´ermica do sensor frio
Para o arrefecimento do sensor frio foi usado um frig´ıstor que, em termos matem´aticos pode ser considerado como uma bomba de calor que transfere a potˆencia t´ermica da face mais fria para a face mais quente que est´a ligada a um dissipador de calor. Por outro lado, devido ao facto de no frig´ıstor estar a circular uma corrente el´ectrica, existe uma potˆencia dissipada por efeito de Joule.
Para a constru¸c˜ao do modelo matem´atico consideraram-se os seguintes parˆametros: CT d Capacidade t´ermica do dissipador.
RT d Resistˆencia t´ermica entre o dissipador e o ar.
CT s Capacidade t´ermica da pe¸ca que cont´em o sensor.
9.5. An´alise t´ermica do sensor frio
RT Resistˆencia t´ermica entre a face quente e fria do frig´ıstor
Tq Temperatura da face quente.
Tf Temperatura da face fria.
Tamb Temperatura ambiente.
Da potˆencia el´ectrica fornecida ao frig´ıstor, uma parte vai ser usada para bombear o calor da face fria para a face quente e a restante vai ser dissipada por efeito de Joule:
Pel´ectrica = Pbombeada+ Pjoule (9.6)
ou
(
Pjoule = K × Pel´ectrica
Pbombeada = (1 − K) × Pel´ectrica K ∈ [0, 1] (9.7)
Se se considerar que metade da potˆencia dissipada por efeito de Joule afecta a face fria e a outra metade afecta a face quente, podem ser escritas duas equa¸c˜oes, uma para cada face. Sendo assim, para a face fria vir´a:
1
2Pjoule− Pbombeada+ Pexterior+ Ptransf erida = Pacumulada1 (9.8) em que Pacumulada1 ´e a potˆencia t´ermica acumulada na pe¸ca que cont´em o sensor,
Ptransf erida´e a potˆencia que consegue voltar `a face fria a partir da quente e Pexterior
´e a potˆencia recebida proveniente do ambiente. Para a face quente, a equa¸c˜ao ser´a:
1
2Pjoule+ Pbombeada− Ptransf erida = Pacumulada2 + Pdissipada (9.9) em que Pacumulada2 ´e a potˆencia t´ermica acumulada no dissipador e Pdissipada ´e a
potˆencia dissipada por este.
Se se fizer a substitui¸c˜ao das equa¸c˜oes 9.8 e 9.9 na 9.7 e sabendo que:
Pacumulada2 = CT ddTdtq Pdissipada = Tq −Tamb RT d Pacumulada1 = CT sdTdtf Pexterior = Tamb −Tf RT s Ptransf erida = Tq −Tf RT (9.10)
no final fica: dTf dt = Pel´ectrica 3K−2 2CT s + Tf − RT−RT s RTRT sCT s + Tq 1 RTCT s + Tamb RT sCT s dTq dt = Pel´ectrica −K+2 2CT d + Tf 1 RTCT d + Tq − RT d−RT RTRT dCT d + Tamb RT dCT d (9.11)
Uma outra representa¸c˜ao do sistema a controlar consiste em usar espa¸co de estados. Neste caso, despresando a perturba¸c˜ao introduzida pela temperatura ambiente, a descri¸c˜ao completa do sistema pode ser feita por duas equa¸c˜oes:
dx
dt = Ax + Bu e y = Cx + Du, (9.12)
em que x representa as vari´aveis de estado (Tq e Tf), u a entrada (Pel´ectrica) e y
a sa´ıda (Tf). Das equa¸c˜oes 9.11 e 9.12 tira-se que:
A = −RT−RT s RTRT sCT s 1 RTCT s 1 RTCT d −RT−RT d RTRT dCT d B = 3K−2 2CT s −K+2 2CT d C = [1 0] e D = 0 (9.13)
Este modelo tamb´em pode ser controlado por um algoritmo de controlo pro- porcional por coloca¸c˜ao de polos, s´o que neste caso no sistema apenas ´e medida a vari´avel de estado Tf, sendo necess´ario estimar o valor de Tq. Isto s´o ´e poss´ıvel se
no algoritmo de controlo por coloca¸c˜ao de polos for usado um m´etodo de obser- vador de estado que, sabendo o valor da entrada do sistema e o valor da vari´avel Tf em cada instante, possa estimar correctamente o valor de Tq. Este algoritmo
ser´a descrito no cap´ıtulo seguinte.
9.6
Sum´ario
Este cap´ıtulo foi dedicado ao estudo dos componentes mecˆanicos mais im- portantes do prot´otipo, nomeadamente as partes ´opticas, o chopper e as partes t´ermicas. Foram vistos alguns materiais para a constru¸c˜ao da ´optica e foram de- duzidos os modelos matem´aticos das partes t´ermicas. O sistema de aquecimento do sensor quente pode ser aproximado por um modelo de primeira ordem, en- quanto que para o sistema de arrefecimento do sensor frio foi deduzido um modelo de segunda ordem. Nos cap´ıtulos seguintes ser´a vista uma forma de os contro- lar usando o m´etodo de controlo proporcional por coloca¸c˜ao de polos. Tamb´em ser´a visto um modo de determina¸c˜ao experimental das constantes usadas nos modelos.
Cap´ıtulo 10
Software
do prot´otipo
Depois de terem sido estudadas as ferramentas de hardware que resolvem as exigˆencias do prot´otipo, chegou a hora de tecer algumas considera¸c˜oes sobre o softwarenecess´ario para que este funcione correctamente. Desse mesmo software fazem parte a lineariza¸c˜ao da resposta da ponte de Wheatstone com sensor de temperatura, o c´alculo da temperatura do corpo sobre o qual o pir´ometro est´a a efectuar a medida usando a equa¸c˜ao 5.4, a actualiza¸c˜ao do display e o controlo da temperatura dos sensores.
10.1
Lineariza¸c˜ao da resposta dos sensores de
temperatura
O sensor de temperatura de platina tem uma resposta que, embora se apro- xime muito da linearidade, tem algum desvio desta. Se se associar este desvio com a n˜ao linearidade introduzida pela ponte de Wheatstone, no final existir´a um erro de n˜ao linearidade que pode chegar aos 2% perto do fim da escala de medida. No entanto, em sistemas baseados em microcontrolador, onde ´e poss´ıvel o tratamento digital dos sinais, a correc¸c˜ao de erros de n˜ao linearidade torna-se relativamente f´acil. O mesmo algoritmo pode corrigir erros de ganho do ampli- ficador, fazer o ajuste de offset fino do conjunto ponte amplificador e no caso particular da medida da temperatura, pode fazer tamb´em a convers˜ao para uni- dades de temperatura (Kelvin ou graus Celsius).
Um modo simples de se implementar um algoritmo deste tipo seria construir uma tabela em que a determinados valores digitais correspondentes a tens˜oes medidas se fizessem corresponder valores de temperatura. Os valores interm´edios seriam achados por interpola¸c˜ao. `A medida que o n´umero de entradas da tabela aumenta, a precis˜ao global tamb´em aumenta, no entanto os recursos de tempo de processamento e de mem´oria do microcontrolador tamb´em aumentam. Para sistemas de tempo real, este m´etodo tamb´em deve ser evitado, j´a que o tempo para se procurar uma entrada da tabela pode variar de convers˜ao para convers˜ao,
o que ´e mau, j´a que depois ´e mais dif´ıcil de se conseguir um per´ıodo de amostragem constante.
Outro processo de constru¸c˜ao do algoritmo seria aproximar a curva de resposta do sistema por uma fun¸c˜ao polinomial de grau n. Neste caso apenas ´e necess´ario ter presente em mem´oria os n + 1 coeficientes do polin´omio e fazer algumas multiplica¸c˜oes e somas para obter o valor final da temperatura. O tempo de processamento, neste caso ´e constante, j´a que o tempo que o processador leva a fazer uma multiplica¸c˜ao ou uma soma n˜ao depende do valor dos factores ou parcelas. Como exemplo pode ser referido o caso da resposta do sensor de platina em ponte de Wheatstone que pode ser aproximada por um polin´omio do segundo grau, em que o erro m´aximo cometido pela aproxima¸c˜ao ´e de cerca de 0.03%! Para se calcularem os coeficientes do polin´omio do segundo grau podem ser usadas as equa¸c˜oes 8.4 e 6.2 com trˆes valores de temperatura: um pr´oximo de zero, outro a cerca de meio da escala e o ´ultimo perto do seu final. No caso de ser pretendida uma precis˜ao maior, pode colocar-se o sensor em trˆes banhos a temperaturas diferentes1 e registar os trˆes valores lidos pelo conversor anal´ogico digital. Se U
1,
U2 e U3 forem os valores lidos pelo conversor anal´ogico digital e T1, T2 e T3 as
respectivas temperaturas, ent˜ao o valor dos coeficientes do polin´omio (a, b e c) ser´a dado pela solu¸c˜ao do sistema:
T1 = a.U12 + b.U1 + c T2 = a.U22 + b.U2 + c T3 = a.U32 + b.U3 + c
Como existem dois sensores de temperatura inseridos em duas pontes de Whe- atstone, nas descri¸c˜oes seguintes ser˜ao chamados de a1, b1 e c1 aos coeficientes do
polin´omio de lineariza¸c˜ao do sensor mais quente e a2, b2 e c2 aos coeficientes do
polin´omio de lineariza¸c˜ao do sensor mais frio.