Neste capítulo, foi visto que o conjunto das imagens binárias intervalares não constitui uma álgebra booleana, como é o caso das imagens binárias. Entretanto, mostrou-se que a álgebra que modela a inclusão de pixels com valores indefinidos, é uma álgebra pseudo-Booleana. Foram apresentadas as operações usuais desta álgebra para as funções binárias intervalares, tais como operações de supremo e ínfimo, a operação de pseudo- complemento relativo e três operações de reversão: negação, pseudo complemento e o
∨-complemento.
binárias é uma operação de reversão. Com a introdução da noção de “pixel” com valores indefinido obteve-se mais de uma operação de reversão, que se diferenciam apenas no tratamento do valor indefinido. Obviamente como a indefinição não ocorre no caso binário, todas elas coincidem com a complementação. Pode-se interpretar os tipos de reversão acima da seguinte maneira: Tanto o pseudo quanto o ∨-complemento são
operações ad-hoc que são acionadas diante da indefinição, ao passo que a negação deixa ao usuário (humano ou não) decidir a indefinição detectada.
Um Modelo Intervalar para Imagens
em Níveis de Cinza
Uma das técnicas mais utilizadas em processamento de imagens digitais é a segmentação. Segmentação é um processo de divisão de uma imagem em múltiplas regiões (conjunto de pixels) e é tipicamente usada para localizar objetos e limites (linhas, curvas, etc.) em imagens. O resultado da segmentação de uma imagem é um conjunto de regiões que coletivamente cobre a imagem inteira, ou um conjunto de contornos extraído da imagem (detecção de bordas). Algumas aplicações práticas de segmentação de imagens são: imagens médicas (localização de tumores ou outras patologias e diagnósticos), localização de objetos em images de satélites (ruas, florestas, etc.), reconhecimento de faces, impressões digitais, etc.
Localizar um objeto em uma imagem pode ser uma tarefa difícil. No processo de segmentação, delinear a região do objeto a ser detectado, principalmente se o objeto está localizado em uma região onde existem a presença de incertezas, necessita de um bom mecanismo de controle dos erros que conduzem à incertezas. No caso de imagens médicas, por exemplo, algumas vezes essa técnica é empregada para diagnosticar doenças como o câncer [67]. A figura 6.1 extraída de [67] mostra uma imagem de uma mama e uma segmentação dessa imagem para destacar um nódulo canceroso. Observe que, destacar o nódulo não é uma tarefa fácil devido as incertezas existentes em torno deste. Algumas aplicações de métodos de segmentação de imagens podem ser encontrados em [11, 26, 48]. Um recente trabalho sobre segmentação usando morfologia matemática e
conjuntos fuzzy, pode ser visto em [2].
Figura 6.1: Imagens apresentando um processo de segmentação em uma mama com suspeito de nódulo canceroso. (a) Imagem original, (b) imagem binarizada e (c) imagem segmentada com o nódulo destacado.
O modelo que será apresentado neste capítulo é uma alternativa para processos de segmentação. Acredita-se que o uso de um modelo intervalar junto com operações morfológicas permitirá, além de detectar as incertezas, localizar mais facilmente as regiões imprecisas e desse modo ter um maior controle dos erros dentro de limites confiáveis.
Neste capítulo apresenta-se um modelo intervalar para lidar com incertezas em imagens em níveis de cinza e aplicado à morfologia matemática. A principal meta é então construir uma estrutura algébrica intervalar no qual seja possível definir os operadores morfológicos elementares.
De um modo geral, modelos intervalares tem como objetivo lidar com erros computacionais, e no caso de imagens, esses erros geralmente conduzem a informações incertas. Para lidar com as incertezas, algumas vezes é necessário fazer uso de algum mecanismo de controle. Existem diversos mecanismos. Por exemplo, a lógica fuzzy que é bastante utlizada em várias áreas incluindo morfologia matemática. A matemática intervalar também tem grandes aplicações em situações práticas que exigem controle de erros computacionais. No caso de procesamento digitais de imagens, essa teoria já vem sendo aplicada em alguns trabalhos recentes como em [4, 6].
Grandes aplicações da morfologia matemática são realizadas nas mais diversas áreas. Existe uma grande concentração de uso de metodologias buscando tratar com questões de incertezas através de operadores morfológicos. Os mais conhecidos métodos são
modelos de distribuição probabilístico, tal como processos estocásticos. Os mais recentes trabalhos neste contexto, usam as teorias: fuzzy e matemática intervalar (morfologia fuzzy intervalar) [50]. Aqui oferemos uma ferramenta que faz uso somente da teoria intervalar (morfologia intervalar) [58].
Uma das técnicas bastante utilizada na morfologia matemática é filtragens de imagens corrompidas por ruídos. Para isso, às vezes são necessárias várias sequências de operação morfológicas (filtros sequênciais). No caso de imagens em tons de cinza, essas tranformações, na maioria das vezes são perceptíveis pela intensidade do brilho (regiões mais clara ou mais escura em relação a imagem original). Em geral, o objetivo é a eliminação ou modificação de tons nas regiões onde existe a necessidade do efeito que deverá ser causado por algumas operações morfológicas. Todo esse processo envolve técnicas que são tratadas por sistemas computacionais e que, por este motivo frequentemente há ocorrência de erros que conduzem as incertezas em alguns pixels.
No Capítulo 5 foi desenvolvido um modelo para lidar com incertezas em imagens binárias com informação de incerteza. Foi considerado um conjunto intervalar com três elementos, onde um deles representa uma indefinição. No capítulo anterior a incerteza entre os valores “0” e “1” foi representada pelo intervalo degenerado[0, 1]. Este capítulo
generaliza a idéia de um intervalo não degenerado[l, L] ser a representação da incerteza
de um valor de pixel em uma coordenada, desta vez para tons de cinza; ou seja, para N valores. Neste caso, um intervalo degenerado[l, L] reprepresentará a incerteza do “real”
valor do pixel que varia entre l e L, onde l ≤ L ≤ N. A representação da incerteza em
imagens em níveis de cinza como um intervalo [l, L] pode ser aplicada, por exemplo,
em sequências de imagens obtidas de uma mesma cena e na mesma posição, que geram portanto, incerteza em relação ao "verdadeiro"valor do pixel.
As incertezas são representadas através de intervalos de confiança e faz uso da aritmética intervalar para realizar as operações necessárias. Em geral a teoria intervalar fornece um mecanismo para representar e manipular algum tipo de incerteza, principalmente originadas por disceminação de dados contínuos e propagação destas incertezas.
6.1
Construção do espaço algébrico para imagens
intervalares em escala de cinzas
Nesta seção, será introduzida a estrutura algébrica intervalar que modelará as funções que representam as imagens em níveis de cinza e onde um pixel terá a forma de um intervalo.
Definição 6.1.1 Seja n∈ N e IN = {[a, b] ∩ N : [a, b ∈ IR]}. Define-seΩN como sendo o conjunto dado porΩN= {[x, y] ∈ IN : x ≤ y ≤ n}. Um intervalo da forma [a, a] é chamado intervalo degenerado.
Aqui, um intervalo X ∈ΩN será denotado por X= [x, x].
Observação 6.1.1 Observe queΩN= {X ∈ IN :
O
≤ X ≤ N} ondeO
= [0, 0] e N = [n, n]. A ordem, "≤", utilizada será a ordem de Kulisch-Miranker quefoi definida no capítulo 3.
Observação 6.1.2 A relação de ordem de Kulisch e Miranker é uma ordem usual em
abordagens de matemática intervalar, porém existem outras ordens, tais como a ordem de inclusão que é dada por: X ≤ Y ⇔ x ≤ y e y ≤ x. Escolheu-se a ordem Kulisch e
Miranker, por generalizar o caso pontual, no sentido que, quando considera-se intervalos degenerado, esta coincide com o caso pontual.
Lema 6.1.2 ΩN possui menor e maior elementos; a saber
O
e N respectivamente.Prova Dado X ∈ΩN, onde X = [x, y], com [0, 0] ∈ΩN, [0, 0] ≤ [x, y], pois 0 ≤ x e 0 ≤ y. Com[n, n] ∈ΩN, então[x, y] ≤ [n, n], pois x ≤ n e y ≤ n.
A Figura 6.2 representa a estrutura do reticulado ΩN. É possível observar que esta estrutura é uma cadeia finita; lembrando que, um intervalos da forma [x, y] com x 6= y
representa uma incerteza.
Definição 6.1.3 Dado X ,Y ∈ ΩN tal que X = [x, x] e Y = [y, y], então, define-se as seguintes operações:
Figura 6.2: Estrutura do reticuladoΩN
X∧Y = [min(x, y), min(x, y)] (6.1.2)
Proposição 6.1.4 ΩN é um reticulado completo.
Prova ΩN é um reticulado completo com as operações de supremo e ínfimo ∨ e ∧ de acordo com a definição 6.1.3. Seja S⊆ΩN, se S= /0, entãoWS=
O
eVS= N. Portanto, se S=/0entãoWS∈ΩN eVS∈ΩN. Caso S6= /0, seja µ1(S) = {x ∈ N : ∃y ∈ N, [x, y] ∈ S} e µ2(S) = {v ∈ N : ∃u ∈ N, [u, v] ∈ S}. Como, µ1(S) e µ2(S) são superiormente einferiormente limitadas, então existe o supremo e o ínfimo de µ1(S) e de µ2(S),
denotada por∨µ1(S), ∧µ1(S), ∨µ2(S) e ∧µ2(S) respectivamente. Desse modo, claramente
V
S= [∧µ1(S), ∧µ2(S] eWS= [∨µ1(S), ∨µ2(S)].
Proposição 6.1.5 ΩN é um reticulado distributivo.
Prova Dados X ,Y, Z∈ΩN, onde X = [x, x], Y = [y, y] e Z = [z, z], então: (1) X∧ (Y ∨ Z) = (X ∧Y ) ∨ (X ∧ Z)
(2) X∨ (Y ∧ Z) = (X ∨Y ) ∧ (X ∨ Z)
Assim:
(1) X∧ (Y ∨ Z) = [x, x] ∧ ([y, y] ∨ [z, z]) = [x, x] ∧ [max(y, z), max(y, z)]
= [min(x, max(y, z)), min(x, max(y, z))]
= [max(min(x, y), min(x, z)), max(min(x, y), min(x, z))] = [min(x, y), min(x, y)] ∨ [min(x, z), min(x, z)]
= ([x, x] ∧ [y, y]) ∨ ([x, x] ∧ [z, z]) = (X ∧Y ) ∨ (X ∧ Z)
(2) Análogo ao item 1
A seguir, será apresentado o complemento intervalar para imagem em níveis de cinzas (veja [18]).
Definição 6.1.6 SejahΩN,≤,
O
,Ni um reticulado completo. Uma operação C :ΩN→ΩN é um complemento se satisfaz as seguintes propriedades:1. C(
O
) = N e C(N) =O
2. X≥ Y ⇔ C(X) ≤ C(Y ), ∀X,Y ∈ΩN
3. se, além disso C(C(X)) = X então C é chamado de complemento forte
De acordo com a aritmética intervalar de Moore em [60] a subtração intervalar é dada por:
X−Y = [x − y, x − y] (6.1.3) Isso leva a seguinte definição de complemento
Definição 6.1.7 Sendo X = [x, x] ∈ΩN tome¬ :ΩN →ΩN por
¬X = [n, n] − [x, x] = [n − x, n − x] (6.1.4)
Corolário 6.1.8 Para X = [x, x], então
¬X = [¬x, ¬x] (6.1.5)
onde¬x = n − x e ¬x = n − x
Proposição 6.1.9 A função¬ :ΩN→ΩN é um complemento forte.
Prova
1. ¬[0, 0] = [n − 0, n − 0] = [n, n]
e¬[n, n] = [n − n, n − n] = [0, 0] ¬[0, 0] = [n − 0, n − 0] = [n, n]
2. Seja X=[x, x] e Y = [y, y] X≥ Y ⇔ x ≥ y e x ≥ y ⇔ N − X ≤ N −Y ⇔ n − x ≤ n − y e n − x ≤ n − y ⇔ [n − x, n − x] ≤ [n − y, n − y] ⇔ ¬X ≤ ¬Y 3. ¬(N − X) = N − (N − X) = N + (−N − X) = N + (−N) + X = 0 + X = X, desde que N é degenerado.
Antes de introduzir as imagens intervalares em escala de cinzas, será definida uma classe especial de operações de soma e diferença entre dois elementos do conjunto ΩN. Este conceito é baseado no caso pontual desenvolvido por Heijmans em [40], sendo importante porque as funções que modelam as imagens intervalares em tons de cinza serão definidas sobre um conjunto finito deΩN.
Definição 6.1.10 Sejam IZ= {[a, b] ∩ Z : [a, b] ∈ IR}, munido da aritmética de Moore e
V = [v, v] ∈ IZ,
O
= [0, 0] e N = [n, n]. A operação T 7→ T ∔V sobreΩN é definida porT ∔V =
O
, se T =O
ou T+V ≤O
[0,t + v] se T >O
e t+ v ≤ 0 T+V, se T >O
eO
≤ T +V ≤ N N, se T >O
e T+V > N [0, n] se T >O
e[0, n] ⊆ T +V [t + v, n] if T >O
e t+ v ≥ N (6.1.6)E a operação T → T ˙−V sobreΩN é definida por
T ˙−V = [0,t − v] se T < N e
O
⊆ T −V [t − v, n] se T < N e N⊆ T −VO
, se T < N e T−V ≤O
T−V, se T < N eO
≤ T −V ≤ N N, se T = N ou T −V > N (6.1.7)Proposição 6.1.11 Seja A, B∈ΩN, então
A ∔ B= [A ∔ B, A ∔ B] (6.1.8)
e
A ˙−B = [A ˙−B, A ˙−B] (6.1.9)
Prova Direto da definição 6.1.10.
Observação 6.1.3 A definição para o caso pontual, (veja [40, pp 14]), é dada do seguinte
modo:
Seja v∈ Z, define-se t ∔ v e t ˙−v por
t ∔ v= 0, se t = 0 ou t > 0 e t + v ≤ 0 t+ v, se t > 0 e 0≤ t + v ≤ n n se t > 0 e t+ v ≥ n (6.1.10) t ˙−v = 0, se t= 0 ou t < n e t − v ≤ 0 t− v, se t < n e 0≤ t − v ≤ n n, se t= n ou t − v > n (6.1.11)