intervalares
As operações aritméticas em imagens inteiras intervalares são aplicadas pixel a pixel. Elas envolvem apenas uma posição espacial de pixel intervalar por vez, de modo que são feitas no local, ou seja, o resultado da operação aritmética feita na posição (x, y) é
armazenado naquela posição.
Em alguns momentos é apresentado apenas uma das infinitas imagens considera-se a imagem intervalar como um conjunto infinito de imagens devido a cada pixel intervalar ser contínuo contidas em uma imagem intervalar para servir de referência e esta será denominada imagem média.
Definição 4.3.1 Imagem Média
Seja A= ai j uma matriz, onde ai j= [ai j,ai j] de ordem m × n. A imagem média de A, é uma matriz Imd = Ii j de ordem m× n, tal que:
Imd = ai j+ai j
2 para todo i, j∈ N.
A seguir, serão definidas algumas operações aritméticas e lógicas entre pixels intervalares. Para estas definições, é considerado o intervalo degenerado K= [k, k] onde
k ∈ R é a maior intensidade possível de uma imagem. Sejam p(x, y) e q(x, y) pixels
intervalares tal que p(x, y) = [pi,ps] e q(x, y) = [qi,qs], respectivamente, então:
Definição 4.3.2 Soma entre pixels intervalares
A soma, s(x, y) = p(x, y) + q(x, y), é um pixel intervalar, igual à soma das intensidades
dos pixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:
s(x, y) = [min(pi+ qi,k), min(ps+ qs,k)]
Definição 4.3.3 Subtração entre pixels intervalares
A diferença, m(x, y) = p(x, y) − q(x, y), é um pixel intervalar, igual à diferença das
intensidades dos pixels intervalares respeitado o limite inferior de intensidade, isto é:
m(x, y) = [max(pi− qs,0), max(ps− qi,0)]
Definição 4.3.4 Produto entre pixels intervalares
O produto, t(x, y) = p(x, y) × q(x, y), é um pixel intervalar, igual ao produto das
intensidades dos pixels intervalares respeitado o limite superior de intensidade, isto é:
t(x, y) = [min(pi× qi,k), min(ps× qs,k)]
Definição 4.3.5 Divisão entre pixels intervalares
A divisão, d(x, y) = qp(x,y)(x,y), é um pixel intervalar, igual ao quociente das intensidades dos pixels intervalares, isto é:
d(x, y) = [max(pi
qi
), max(ps
qs
)], qi,qs6= 0
Definição 4.3.6 Soma entre imagens intervalares
Sejam as matrizes de pixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m× n. A soma entre estas imagens é a matriz intervalar S= si j de ordem m× n, construída pixel a pixel tal que, para cada ai j ∈ A e bi j∈ B:
Sejam as matrizes de pixels intervalares A= ai je B= bi jde ordem m×n. A subtração entre estas imagens é a matriz intervalar M= mi jde ordem m×n, construída pixel a pixel tal que, para cada ai j ∈ A e bi j∈ B:
mi j = ai j− bi j
Definição 4.3.8 Multiplicação entre imagens intervalares
Sejam as matrizes de pixels intervalares A= ai j e B= bi j de ordem m× n. O produto entre estas imagens é a matriz intervalar K= ki j de ordem m× n, construída pixel a pixel tal que, para cada ai j ∈ A e bi j∈ B:
ki j= ai j× bi j
Definição 4.3.9 Divisão entre imagens intervalares
Sejam as matrizes de pixels intervalar A= ai j e B= bi j de ordem m× n. O quociente entre estas imagens é a matriz intervalar D= di j de ordem m× n, construída pixel a pixel tal que, para cada ai j ∈ A e bi j∈ B:
di j = ai j
bi j,06∈ bi j
As operações lógicas tradicionais definidas sob uma imagem digital intervalar binária, dar-se-ão da mesma forma que quando utilizadas nas imagens tradicionais por utilizar apenas a informação sob ponto de vista espacial. Os resultados obtidos também serão similares uma vez que, ao definir a imagem intervalar, mante-se a posição espacial de cada pixel intervalar, modificando apenas a forma de apresentação de seus tons de cinza que são definidos agora como intervalo.
Definição 4.3.10 Disjunção de imagens intervalares
Sejam A= [ai j] e B = [bi j] imagens intervalares de ordem m × n. A disjunção destas imagens é a matriz C= ci j de ordem m× n, construída pixel a pixel escolhendo aquele de intensidade maior. Isto é, A∨ B = C, onde ci j = sup[ai j,bi j], para todo i, j.
Figura 4.1: Imagem média da Lena disjunta com uma imagem constante.
Definição 4.3.11 Conjunção de imagens intervalares
Seja A= ai j e B= bi j imagens intervalares de ordem m× n. A conjunção destas imagens é a matriz C= ci j de ordem m× n, construída pixel a pixel escolhendo aquele de intensidade menor. Isto é, A∧ B = C, onde ci j = in f [ai j,bi j], para todo i, j.
A operação de conjunção pode ser vista na Figura 4.2 extraída de ([4]).
Figura 4.2: Imagem média da Lena conjunta com uma imagem constante.
Definição 4.3.12 Negação de imagens intervalares
Sejam A = ai j e K = ki j imagens intervalares de ordem m× n, onde ki j = K. A negação de A é a matriz¬A = ¬ai j de ordem m× n, construída pixel a pixel escolhendo o complemento com respeito a K. Isto é,¬A = K − A. Assim ¬ai j = ki j− ai j, para todo i, j.
A operação de complemento ou negativo pode ser vista na Figura 4.3.
A abordagem aqui apresentada teve como base o trabalho desenvolvido por Lyra, em [4]. Lyra desenvolveu importantes fundamentos do processamento digital de imagens onde pela primeira vez vários aspectos dessa teoria foi apresentado sob a ótica intervalar. Em seu trabalho ele apresentou importantes conceitos de análise de imagens tais
Figura 4.3: Imagem da Lena original e negativa.
como imagens representadas por matriz de pixels na forma intervalar, operações entre pixels intervalar, convolução intervalar, transformada de Fourier intervalar entre outros conceitos.
Os dois capítulos a seguir, desenvolvem a proposta desse trabalho. O capítulo 5 propõe um modelo para imagens binárias que contenha incertezas. Já o capítulo 6, extende o capítulo 5, propondo um modelo para imagens em níveis de cinza que apresentam incertezas.
Morfologia para imagens binárias
intervalares
Transformar uma imagem em níveis de cinza em uma imagem binária, processo chamado de binarização ou limiarização, é provavelmente, uma das técnicas mais utilizada em várias aplicações, incluindo segmentação de imagens. Isto porque se faz uso freqüente de processos de reconhecimento de caracteres que necessitam de imagens binárias. Toda técnica de binarização, busca particionar uma imagem em duas classes C1 e C2, a partir de um limiar L. De forma ideal, o limiar L situa-se em um determinado ponto da imagem, onde uma das regiões, digamos C1 representa a região onde fica os pixels pretos e C2 onde ficam os pixels brancos. A escolha do limiar é importante porque dela vai resultar uma imagem com mais ou menos pixels brancos. Em um processo que busca selecionar um objeto de uma imagem, por exemplo, a técnica frequentemente utilizada é a binarização. Esse processo, em geral é feito durante uma segmentação de imagens ([67]). A figura 5.1, extraída de [67] mostra uma imagem em tons de cinza e sua respectiva binarização. A imagem original é parte de uma mama densa.
A morfologia matemática se apresenta como uma ferramenta que melhor se adequa ao processo de binarização, por ser uma abordagem não linear e por processar da mesma maneira imagens em níveis de cinza e binárias. Alguns tipos de técnicas, apesar da simplicidade do processo, dependendo da qualidade do original, não apresenta bons resultados, isso porque pode haver "buracos"nas linhas, borda rompida na região limite ou região "estranha"de pixels. O modelo que será apresentado a seguir, poderá ser usado para
processo da binarização e que em geral ocorrem próximo ao limiar. Técnicas intervalares apresentam-se como boas ferramentas para lidar com problemas dessa natureza e as incertezas oriundas do processo de binarização serão codificados em um intervalo, a saber, o intervalo[0, 1]. Em outras palavras, as imagens oriundas de processos de binarização,
terão pixels com valores[0, 0], [0, 1] e [1, 1], onde [0, 1], será o valor de incerteza.
Figura 5.1: Imagem Binarizada
Este capítulo, apresenta então um modelo intervalar binário, onde a representação intervalar significa a presença de incerteza entre valores exatos do conjunto binário
{0, 1}. Para isso, será introduzido o conjunto de pixels Ω= {[0, 0][0, 1], [1, 1]}, onde
como mencionado [0, 1] representa a informação de incerteza. O conjunto Ω e suas propriedades algébricas, serão aqui estudadas, e sobre este conjunto serão definidas as operações morfológicas elementares de dilatação e erosão. Neste capítulo demontra- se ainda que, tanto Ωquanto a classe das operações morfológicas sobre Ω formam um reticulado completo.
Uma outra contribuição deste capítulo, é demonstrar que a estrutura algébrica deΩ, diferentemente do caso binário, não constitui uma álgebra Booleana, mas uma estrutura algébrica mais fraca chamada álgebra pseudo Booleana. Em outras palavras, a introdução de um valor de incerteza no universo dos pixels binários afeta (enfraquece) a estrutura algébrica da álgebra dos pixels binários {0, 1}. Assim, o conceito de imagens binárias,
é generalizado permitindo o mapeamento de uma coordenada no valor de incerteza representada pelo intervalo[0, 1], ou seja, o modelo será capaz de expressar as incertezas
preta, a coordenada de valor [1, 1] representa a cor branca, e o valor [0, 1] representa a
indefinição.
5.1
Construção do espaço algébrico
Ω
Esta seção apresentará a estrutura algébrica do conjunto de pixels Ω, citado anteriormente. De forma a tornar o texto autocontido, sempre que for necessário serão apresentados resultados conhecidos da literatura.
Proposição 5.1.1 Toda cadeia
P
é um reticulado distributivo; i.e. um reticulado onde para quaisquer elementos x, y, z valem as seguintes propriedades: (I) x∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) e (II) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)Prova Seja
P
uma cadeia, então dados x, y∈P
, como x≤ y ou y ≤ x, então x ∨ y, x ∧ y ∈P
. LogoP
é um reticulado.Dados x, y, z∈
P
, comoP
é uma cadeia, então tem-se dois casos: (1) y, z≤ x e (2) x ≤ y ou x ≤ z.No Caso (1), y, z≤ x, então y ∨ z ≤ x. Logo, (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)hip= y ∨ z, e x ∧ (y ∨ z) = y ∨ z.
Ou seja, x∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
No Caso (2) x ≤ y ou x ≤ z. Caso x ≤ y, como y, z ≤ y ∨ z, então x ≤ y ∨ z, i.e.
x∧ (y ∨ z) = x. Mas (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = x ∨ (x ∧ z) e por absorção x ∨ (x ∧ z) = x. Portanto,
x∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Caso x ≤ z, então como y, z ≤ y ∨ z, então x ≤ y ∨ z e x ∧ (y ∨
z) = x. Além disso, (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = (x ∧ y) ∨ x = x. Logo, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Portanto, em todos os casos x∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
A proposição x∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) sai por dualidade.
Corolário 5.1.2 O conjunto dos números reais, R, é um reticulado distributivo;
onde (1) min(a, max(b, c)) = max(min(a, b), min(a, c)) e (2) max(a, min(b, c) =
min(max(a, b), max(a, c)).
Prova Dados a, b, c∈ R, como se tem uma quantidade finita de elementos e R é uma
[1, 1] [1, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 0] [1, 1] [0, 0] [0, 1] [0, 1] [1, 1] [0, 1] [0, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 1] [0, 1] [0, 0] [0, 1]
Tabela 5.1: Operações binárias∨ e ∧ sobreΩ
operações de máximo e de mínimo.
Definição 5.1.3 SejaΩ= {[0, 0], [0, 1], [1, 1]}, onde [0, 0] ≤ [0, 1] ≤ [1, 1]. SobreΩdefine- se as operações∨ e ∧ de acordo com a Tabela 5.1.
Proposição 5.1.4 A estruturahΩ,∨, ∧, [0, 0], [1, 1]i forma um reticulado completo, onde
as operações∨ e ∧ são as operações de supremo e ínfimo respectivamente.
Prova ComoΩé uma cadeia finita, então ele é um reticulado completo, e claramente∨ e ∧, definidas na tabela 5.1, são suas operações de supremo e ínfimo respectivamente, pois
quaisquer dois elementos x e y do conjuntoΩ, tem-se que x∧ y ≤ x, y e x, y ≤ x ∨ y, o que
pode ser verificado na tabela 5.1.
Corolário 5.1.5 O conjuntoΩé um reticulado completo distributivo.
Prova Direto das proposições 5.1.1 e 5.1.4.
No que segue, apresentam-se algumas definições de complemento e pseudo- complemeto [31].
Definição 5.1.6 Seja L um reticulado contendo o elemento zero (⊥). Sejam a e b
elementos do reticulado L. Um elemento c∈ L é dito ser o ∧-complemento de a em L, se c é o maior elemento tal que a∧ c = ⊥. Supondo que o reticulado L tenha o
elemento unidade (⊤), um elemento c é dito ser o ∨-complemento de a em L se c é o
Segue da definição que o ∧-complemento (∨-complemento) de a, se existe, é
unicamente determinado por a. As noções de ∧-complemento e ∨-complemento são
duais.
Se um elemento a∈ L tem simultaneamente o ∧-complemento c1 e∨-complemento
c2, então, c1 e c2 não são necessariamente iguais. Por exemplo, se o reticulado L for
distributivo então c1≤ c2, pois
c1= c1∧ ⊤ = c1∧ (a ∨ c2) = (c1∧ a) ∨ (c1∧ c2) = ⊥ ∨ (c1∧ c2) = c1∧ c2.
Definição 5.1.7 Um elemento c∈ L é dito ser o complemeto de um elemento a ∈ L, se c
é simultâneamente o∧-complemento e ∨-complemento de a. Então a ∧ c = ⊥ e a ∨ c = ⊤
Definição 5.1.8 O pseudo complemento de a relativo b, quando existe, é denotado por
a⇒ b. Um reticulado é dito ser relativamente pseudo-complementado, se a ⇒ b existe,
para quaisquer par de elementos a, b∈ L [62].
Corolário 5.1.9 Por definição, para todo x∈ L, x ≤ a ⇒ b se e somente se
a∧ x ≤ b (5.1.1)
Observe que
"Todo reticulado relativamente pseudo-complementado tem maior elemento⊤; entretanto, em geral não tem menor elemento ⊥ [62], pp 53"
Definição 5.1.10 Um reticulado relativamente pseudo-complementado que possui menor
elemento "⊥"é chamado álgebra pseudo-Booleana [62], pp 58.
Definição 5.1.11 Dado Ω = {[0, 0], [0, 1], [1, 1]}, as tabelas 5.2 e 5.3 definem
respectivamente, as operações de pseudo-complemento relativo: "a⇒ b; ∧-complemeto:
"¬a"; ∨-complemento: "a"; e negação: "∼ a".
Observe que a diferença entre as operações ¬a, ¯a e ∼ a reside no tratamento da
[0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 1] [0, 0] [1, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 1] [1, 1]
Tabela 5.2: Operação de complemento relativo
¬ [0, 0] [0, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 0] − [0, 0] [0, 1] [1, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 0] ∼ [0, 0] [0, 1] [1, 1] [1, 1] [0, 1] [0, 0]
Tabela 5.3: Operações de pseudo-complemento,∨-complemento e negação sobreΩ
a= b = [0, 0], o maior elemento que satisfaz a definição a ∧ c ≤ b é c = [1, 1], pois [0, 0] ∧ [0, 0] = [0, 0]; [0, 0] ∧ [1, 1] = [0, 0] e [0, 0] ∧ [0, 1] = [0, 0]. Os outros elementos
são calculados de modo análogo (veja [62], pp 54).
Proposição 5.1.12 A estrutura hΩ,∨, ∧, [1, 1], [0, 0]i forma um reticulado completo
distributivo com pseudo-complemento relativo.
Prova Pelo corolário 5.1.5,Ωé um reticulado completo distributivo. A Tabela 5.2 define as operações de pseudo complemento relativo sobreΩ.
Corolário 5.1.13 A estruturahΩ,∨, ∧, ⇒, ¬, −i é uma álgebra psedo-Booleana com ∨-
complemento.
Prova hΩ,∨, ∧, ⇒i é uma álgebra relativamente pseudo-complementado cujo menor
elemento “[0, 0]”, entãoΩé uma álgebra pseudo-Booleana. Adicionalmente, a estrutura possui a operação de∨-complemento "a"definida na Tabela 5.3.
Definição 5.1.14 Uma operação f :Ω→Ωchama-se reversão, sempre que f([0, 0]) = [1, 1] e f ([1, 1]) = [0, 0].
Existem três operações de reversão sobre Ωque são descritas na tabela 5.3. Observe que elas se diferenciam apenas quando o argumento é o elemento indefinido[0, 1]. Isso
significa que essas operações coincidem com o complemento no caso binário, portanto qualquer operação morfológica que envolve o complemento no caso binário, irá possuir três versões para o caso do conjunto Ω aqui proposto, a saber, uma versão pra cada operador de reversão.
A álgebra pseudo Booleana Ωmunida das operações −, ∼, ¬, constitui o espaço de
pixels intervalares dotados do valor de incerteza[0, 1].
No que segue, apresenta-se a estrutura algébrica das imagens cujos pixels são valorados no conjuntoΩ.