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5.1.2 Kjønnsroller gjennom likestilling og kultur
Em Mecânica Estatística, temos como objetivo determinar propriedades macros- cópicas, de um dado sistema de partículas, a partir de informações microscópicas. En- tretanto, o tempo que dura uma medida macroscópica é extremamente longo quando comparado aos tempos característicos dos processos moleculares. Esse tempo longo per- mite que o sistema passe por um grande número de estados, fazendo com que as medidas macroscópicas sejam sempre médias temporais de sistemas microscópicos. Calcular essas médias através dos métodos da Mecânica, integrando as equações de movimento para to- das as partículas, parece uma tarefa impraticável do ponto de vista teórico, dado a ordem de grandeza do número de partículas
Em 1902, o físico norte americano Josiah Williard Gibbs publicou um livro inti- tulado ”Princípios Elementares da Mecânica Estatística“, no qual revisitou o trabalho de Boltzmann de 1877 [66]. A nova abordagem apresentada por Gibbs ficou conhecida como a teoria dos ensembles e alimentou a busca por uma fundamentação estatística para as leis gerais da Termodinâmica.
Gibbs resolveu o incômodo, descrito acima, desenvolvendo um formalismo apro- priado para o cálculo das médias das grandezas termodinâmicas. Ao invés de tratar um gás onde as moléculas estão em constante colisões, como fez Boltzmann, ele partiu do espaço de fase ocupado pelo gás. Nesse caso, o sistema em estudo é visto como uma in- finidade de cópias, ou seja, ensembles de sistemas simililares em sua natureza (macroes- tados), mas diferentes entre si nos valores particulares que seus parâmetros, coordenadas de posição e momento, assumem em cada instante de tempo (microestado).
Agora, a dependência temporal da trajetória dos pontos no espaço de fase não é mais importante. A cada ponto desse espaço (qi, pi), identificado como uma cópia do sis-
tema real em um dado microestado, é atribuído um peso probabilístico expresso por uma função densidade de probabilidade dada por ρ(qi, pi). Dessa forma, as grandezas termo-
dinâmicas expressas por f(qi, pi), são representadas por seus valores médios ܂f܂, para
um certo macroestado, onde cada microestado contribui com um peso correspondente ρ(qi, pi). A média temporal, portanto, é subststituída por uma média sobre o ensemble
estatístico4, escrita como [64, 69]:
܂f܂ = ∫ f(qi, pi)ρ(qi, pi)d3Nqd3Np
∫ ρ(qi, pi)d3Nqd3Np
, (3.7)
o que garante que todas as grandezas termodiâmicas podem ser interpretadas como mé- dias de suas correspondentes funções f(qi, pi) tomadas sobre o espaço de fase. A conexão
com a Termodinâmica é feita através da função entropia, que em termos de probabilida- des, pode escrita como
S= −kB∑ i
piln(pi), (3.8)
com∑ipi = 1 e kBa constante de Boltzmann.
A equação (3.8) é a forma generalizada da expressão (3.6), possuindo, portanto, as mesmas propriedades como aditividade e extensividade. Para o caso particular de proba- bilidades iguais, ou seja, pi = 1/Ω, quando há Ω estados acessíveis ao sistema, essa equação
recai na equação de Boltzmann (3.6). A equação (3.8) também é conhecida na literatura como entropia de Shannon. A maximização dessa equação sob vínculos apropriados pro- duz, para um sistema em equilíbrio com um reservatório térmico a temperatura T , o fator de Boltzmann-Gibbs
pi =
1
Zexp(−βEi), (3.9)
sendo β = 1/kBT, Ei a energia do estado i do sistema e Z = ∑jexp(−βEj) a função de
partição.
As equações (3.8) e (3.9) são o marco da Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs e têm sido amplamente usadas, com sucesso, especialmente em Física [77]. E, desde seu estabelecimento, elas constituem uma das peças fundamentais da física contemporânea. Entretanto, estas equações parecem não ser universais tendo um domínio de validade res- trito. Nesse contexto, embora a Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs tenha aplicação notória em muitos sistemas e situações, ela precisa ser modificada para outros como, por exemplo, os Sistemas Complexos. Assim, a possibilidade de algum tipo de generalização da estatística de Boltzmann-Gibbs é necessária.
Nas seções seguintes, destacaremos duas das possíveis generalizações de estatís- tica de Boltzmann: a estatística não extensiva de Tsallis e a estatística extensiva de Kania- dakis.
3.3 Entropia não extensiva
O domínio de validade da Termodinâmica padrão e da mecânica estatística de Boltzmann-Gibbs têm sido discutido nas últimas décadas. A questão é que muitos siste- mas da Natureza não obedecem aos critérios estabelecidos pela estatística clássica (Boltzmann- Gibbs). Como exemplo desse tipo de sistemas, podemos citar: difusões anomalas tipo Lévy [70], turbulências em plasmas [71], materiais granulares tipo pilhas de areia [72], neutrinos solares [73], entre outros. Neste contexto, Constantino Tsallis, em 1988, propôs uma nova generalização da entropia de Boltzman-Gibbs inspirada em distribuições pro- babilísticas de geometrias multifractais [74, 75].
conceito de não extensividade e é dada pela seguinte relação: Sq= kB q− 1 (1− W ∑ i pqi) (3.10)
normalizada por∑ipi= 1, com q ∈ R. Nessa expressão, kBé uma constante positiva (cons-
tante de Boltzmann), pia probabilidade de encontrar o sistema no estado microscópico i e
qo índice entrópico que caracteriza o grau da não extensividade do sistema. Quando q= 1 a q-entropia, representada por Sq, recai na entropia extensiva padrão de Boltzmann-Gibbs.
Outra propriedade de interesse é que Sq é sempre concava para valores positivos de q, e
sempre convexa para valores negativos.
A equação (3.10), ainda pode ser, convenientemente escrita, como
Sq= −kB W
∑
i=1
pqilnq(pi), (3.11)
onde a q-logaritmica, definida conveniente para a teoria de Tsallis, é dada pela equação
lnq(x) ≡
x1−q− 1
1− q , ∀(x, q) (3.12)
com ln1(x) = ln(x), o lagaritmo padrão. É possível, ainda, verificar que expq(lnq(x)) =
lnq(expq(x)) = x. A função inversa da q-logaritmica, a q-exponencial, é definida como
expq(x) ≡ [1 + (1 − q)x]1/(1−q)
, ∀(x, q) (3.13)
desde que tenhamos[1 + (1 − q)x] > 0 e expq(x) = 0 para qualquer outra situação. Quando q= 1, temos que exp1(x) = exp(x), recuperando a exponencial ordinária (padrão).
A figura 3.1 mostra o comportamento assintótico da q-exponencial, expressa por expq(−x), para diversos valores de q. Quando q = 1 a q-exponencial se comporta como a exponencial padrão.
Figura 3.1: Esta figura mostra o comportamento da q-exponencial expq(−x) versus x para diver- sos valores de q. A cauda da distribuição segue um comportamento tipo lei de potência. Quando q= 1, a distribuição recai na exponencial padrão. Figura proveniente da referência [85].
Um resultado interessante da teoria proposta de Tsallis é que ela viola o princípio de aditividade estabelecido no terceiro postulado da Termodinâmica5. Por exemplo, dado
um sistema composto constituído de dois sub-sistemas A e B independentes, temos que a entropia generalizada, Sq, é expressa como
Sq(A + B) kB = Sq(A) kB + Sq(B) kB + (1 − q) Sq(A) kB Sq(B) kB , (3.14)
onde a não extensividade é expressa pelo termo cruzado, (1 − q)[Sq(A)Sq(B)]/kB, dessa
equação. Assim, quando q= 1, temos que S1 é aditiva (extensiva), recuperando a equação
(3.1). Quando q> 0, Sqtorna-se subatidiva (subextensiva) e superaditiva (superextensiva)
quando q< 0.
A violação da aditividade representa o rompimento com um conceito fundamen- tal em Termodinâmica, o de sistema isolado6. Nesse caso, quando dois sistemas A e
B, independentes, são postos em contato, para formar um sistema composto, cada sub- sistema contribui com uma parte. Em outras palavras, olhando para a equação (3.14), cada subsistema, do sistema composto A+ B, contribui com Sq(A)[1 + 12(1 − q)Sq(B)] e
Sq(B)[1 + 1
2(1 − q)Sq(A)] [65], significando que um sistema já sentia a presença do outro
5O terceiro postulado da Termodinâmica diz que a entropia é uma função contínua, diferencial e monotonicamente crescente da
energia e é aditiva sobre os sub-sistemas constituintes de um dado sistema composto. Para mais detalhes ver a referência [64].
antes da junção entre os dois, o que indica que não eram isolados.
Finalmente, determinamos a distribuição de probabilidades pi, através do forma-
lismo canônico, maximizando a entropia de Tsallis, dada pela equação (3.10), fazendo uso das seguinte condições de vínculos:
W ∑ i=1 pi= 1 e ܂E܂q= ∑ W i=1p q iEi ∑W i=1p q i = Uq, (3.15)
sendo Ei os autovalores do Hamiltoniano do sistema. Com isso, temos:
pi =
1 Zq
expq(−βq(Ei− Uq)). (3.16)
Nesta expressão, βq ≡ β/∑Wi pi, β o parâmetro de Lagrange associado com o segundo
vínculo, e Zq≡ ∑Wi expq(−βq(Ei− Uq) a função de partição generalizada.
A estatística não extensiva de Tsallis, desde sua criação em 1988, tem sido aplicada em uma grande classe de problemas em Física. Em anos recentes, essa estatística tem sido aplicada a sistemas cuja estrutura topológica se enquadram dentro do que conhecemos hoje como Redes Complexas. Alguns exemplos desse tipo de sistemas são: a internet, a WWW, linhas aéreas, sistemas sociais, etc. Mas, de que maneira não extensividade e Redes Complexas se relacionam?
Em 2004, em uma tese de doutorado, Soares mostrou que é possível relacionar a q-exponencial com redes livres de escala através de sua distribuição de conectividade P(k) [18,59]. Segundo as referências [76,77], a forma mais frequente, dessas distribuições, segue uma lei de potência que pode ser escrita como:
P(k) ∼ 1 (k0+ k)γ
, (3.17)
com k0> 0 e γ > 0. Se redefinirmos k0 e γ, como nas referênicas [76, 77], ou seja,
k0 ≡
ηq
q− 1 e γ≡ 1
q− 1, (3.18)
a equação (3.17) pode ser escrita como
sendo P0 a constante de normalização e ηq uma constante positiva associada ao número
característico de ligações.
A verificação da equação (3.19) pode ser feita, escrevendo o análogo da equação (3.10), em termos da distribuição de conectividade, ou seja,
Sq = 1 q− 1 {1− ∞ ∑ k=1 [p(k)]q}, q ∈ R. (3.20)
Nesta representação, quando q= 1 é recuperado a estatística padrão, S1 = −∑∞k=1p(k)lnp(k),
de Boltzmann-Gibbs-Shannon. No passo seguinte, maximizamos a equação (3.20) sob as condições de vínculos ∞ ∑ k=1 p(k) = 1 e ∑ ∞ k=1k[p(k)]q ∑∞ k=1p(k)q = ܂k܂ q, (3.21)
onde ܂k܂q é um número fixo caracterizando a largura da distribuição de conectividade.
Com isso, obtemos
P(k) = expq(−k/ηq) ∑∞
k′=1expq(−k′/ηq)
(3.22) como era esperado. Esta distribuição, ainda, pode ser determinada, tomando-se como base uma extensão analítica do modelo de Barabási e Albert publicado em 2000 [78]. Nesse modelo de evolução de rede, em cada passo de tempo, m novas ligações são acrescentadas com probabilidade p, ou m ligações existentes são retiradas com probabilidade r, ou um novo nó com m ligações é adicionado com probabilidade 1− r − p. Todas as ligações são feitas com probabilidade Π(ki) = (ki+ 1)/(∑jkj+ 1), onde ki é a conectividade do i-ésimo
nó. Com isso, a distribuição estacionária de conectividades P(k), para este modelo, é escrita de forma que [18, 59, 77]
q= 2m(2 − r) + 1 − r − p
m(3 − 2r) + 1 − r − p ≥1 (3.23)
e ηq= k0(q − 1), com k0 dado por
k0= 1 + (p − r)[1 +
2m(1 − r)
1− r − p ] >0. (3.24) Um modelo teórico (nomeado modelo de Natal por Tsallis) incluindo crescimento, ligação preferencial e distância geográfica, também foi introduzido por Soares et al em 2004com o objetivo de justificar, computacionalmente, a previsão (3.19). Neste modelo,
cada novo nó que chega ao sistema é posto a uma distância r do baricentro do aglomerado já existente. Essa distância satisfaz a uma distribuição lei de potência caracterizada por um parâmetro αG que rege o crescimento da rede. O novo nó que chega é ligado a um dos
nós pré-existentes proporcionalmente à sua conectividade e inversamente proporcional a uma potência da distância geográfica, r, caracterizado pelo parâmetro αAque governa a
ligação entre os nós.
De acordo com o modelo de Natal, como mostra a figura 3.2(b), a distribuição de conectividade é bem ajustada por uma q-exponencial do tipo mostrada nas equações (3.19) e (3.22). Já a figura 3.2(a), mostra o efeito do parâmetro αG(parâmetro que governa
o crescimento do modelo) sobre a distribuição de conectividade e indica que a distribuição não é afetada por este parâmetro. As figuras 3.3(a) e 3.3(b), mostram o comportamento de qe ηq, respectivamente, com respeito ao parâmetro αA. No primeiro caso, q se comporta
como uma exponencial do tipo q= 1+(1/3)exp(−0.526)αA. No limite quando α→ 0, temos
q= 4/3 em concordância com a equação (3.18), correspondendo à classe de universalidade de Barabási e Albert para γ= 3. No limite quando α → ∞, obtemos q → 1 como é esperado para ligações de curto alcance. No segundo caso, temos que ηq se comporta linearmente
com αAde acordo com a função: ηq = 0.083 + 0.092αA.
(a) (b)
Figura 3.2: Modelo de crescimento com ligação preferencial. A probabilidade de ligação é pro- porcional a 1/rαA
i , onde ri é a distância geográfica do nó que chega ao nó i do aglomerado pré- existente. a) Distribuição de conectividade para valores típicos de αG, mostrando que essa distri- buição independe desse parâmetro. b) Distribuição de conectividade para valores típicos de αA. Os pontos são os resultados simulacionais e as linhas sólidas os melhores ajustes com expq(−k/ηq). Figuras provenientes da referência [18] .
(a) (b)
Figura 3.3:As figuras a) e b) mostram a dependência de q e ηqcom respeito a αA. Em a), q segue um comportamento exponecial dado por q = 1 + (1/3)exp(−0.526)αA (∀(αG)). Quando αA = 0, temos q= 4/3, recuperando a classe de universalidade de Barabási e Albert com γ = 3. Em b), ηq comporta-se linearmente com αA como mostra a função ηA = 0.083 + 0.092αA(∀(αG)). Figuras provenientes da referência [18].
3.4 Entropia extensiva generalizada de Kaniadakis
Após Gibbs propor a primeira generalização da entropia de Maxwell-Boltzmann, muitas outras entropias, clássicas ou quânticas, surgiram no âmbito da Mecânica Esta- tística. Entre essas generalizações podemos citar: Renyi [79], Sharma-Mittal [80], Tsal- lis [?], entre outras. As distribuições, sejam elas clássicas ou quânticas, que regem tais generalizações sempre dependem de algum parâmetro de deformação. Por exemplo, as estatísticas quânticas de Fermi-Dirac e Bose-Einstein, definidas por f = Z−1[exp(ε) − η]−1,
são vistas como um parâmetro de deformação η = ∓1, respectivamente, recuperando a estatística de Maxwell-Boltzmann quando a deformação η vai a zero. Uma distribuição clássica que pode ser obtida deformando Maxwell-Boltzmann é a distribuição de Tsal- lis f = Z−1[1 − (1 − q)ε]1/(1−q). Neste caso, a distribuição de Maxwell-Boltzmann emerge,
Nesta seção, apresentamos uma discussão breve sobre uma nova estatística apre- sentada por G. Kaniadakis em 2001. Ele propõe uma nova generalização da entropia de Boltzmann-Gibbs através da variação de um parâmetro de deformação κ. Esta entropia é baseada num princípio denominado de Princípio de Interação Cinética, que é subjacente a uma cinética não-linear, em sistemas de partículas, independentemente da representação usada para descrever evolução temporal de tais sistemas. Este princípio, portanto, go- verna a cinética das partículas e impõe a forma da entropia generalizada associada com o sistema e permite obter a distribuição estatística estacionária dessas partículas7 [81–83].
Neste contexto, segundo Kaniadakis, sua entropia pode ser escrita como
Sk(f) = −܂ln{κ}[f(x)]܂ = −∫ dxf(x)ln{κ}[f(x)], (3.25)
onde f é a função distribuição estacionária de probabilidades. Quando κ= 0, Skrecupera
a entropia padrão de Boltzmann-Gibbs.
A função logaritmica na equação (3.25) é, uma função generalizada, conhecida como κ-logaritmo, cuja definição é expressa por
ln{κ}(x) =xκ− x−κ
2κ . (3.26)
Esta é uma função real (∀x ∈ R+) monotonicamente crescente e côncava no intervalo κ∈
(−1, 1), sendo dln{κ}(x)/dx > 0 e d2ln
{κ}(x)/dx2 < 0. Essa função é simétrica com respeito
a κ, ou seja, ln{κ}(x) = ln{−κ}(x) e, quando κ → 0, recai no lagaritmo padrão. Referente ao comportamento assintótico da função κ-logaritma, temos que seu comportamento segue uma lei de potência:
ln{κ}(x) ∼ x→0+− 1 2∣κ∣ 1 x∣κ∣ e ln{κ}(x) ∼x→+∞ 1 2∣κ∣x ∣κ∣, (3.27) com ln{κ}(x) → −∞ quando x → 0+e ln {κ}(x) → +∞ quando x → +∞ [83,84].
A distribuição estacionária da entropia proposta por Kaniadakis é baseada em uma função exponencial deformada, a κ-exponencial expressa por exp{κ}(x), que é a fun- ção inversa da κ-logaritma, definida como
expκ(x) = (√1+ κ2x2+ κx) 1/κ
. (3.28)
7Por simplicidade, não aborddaremos este princípio nesta tese. Para mais detalhes sobre o Princípio de Interação Cinética ver a
Esta é uma função real (∀x ∈ R) monotonicamente crescente, convexa e simétrica com res- peito a κ, ou seja, exp{−κ}(x) = exp{κ}(x). Por conseguinte, quando κ → 0 a κ-exponencial recai na exponencial padrão e satisfaz ainda seguinte a relação:
exp{κ}(x)exp{κ}(−x) = 1. (3.29)
Outra propriedade de interesse da κ-exponencial, é o comportamento assintótico tipo lei de potência que ela apresenta e que é expresso pela seguinte relação:
exp{κ}(x) ∼
x→±∞(2∣κx∣)
±1/∣κ∣. (3.30)
Para exemplificar o comportamento da κ-exponencial, a figura 3.4(a) apresenta o com- portamento da função κ-exponencial na forma exp{κ}(−x) para um valor fixo de κ = 0.3. Através dessa figura, é possível identificar três regimes distintos: uma região exponencial, uma região intermediária e uma região mostrando a cauda da distribuição como uma lei de potência. A curva gerada pela exponencial κ é também comparada com uma expo- nencial padrão e uma lei de potência pura. A figura 3.4(b), mostra a κ-exponencial para diversos valores de κ. É interessante mencionar que, nesta seção, não apresentamos todas as propriedades estabelecidas para a κ-logaritmo e a κ-exponencial. Outras propriedades podem ser encontradas nas referências [81–85].
Um fato de interesse, que é necessário mencionar, é a respeito da aplicabilidade da estatística proposta por Kaniadakis. Essa estatística é relativamente nova. Porém, ela tem sido útil em algumas áreas do conhecimento como em Astrofísica, aplicada ao estudo da distribuição de velocidades de aglomerados estelares abertos e da distribuição de ve- locidades rotacionais de estrelas pertencentes ao campo da sequência principal através de dados observacionais [86,87]; Economia, aplicada ao estudo da distribuição da renda pes- soal em países da Europa [88] e Redes Complexas, aplicada ao estudo da distribuição de conectividade em uma rede livre de escala [89]. Além dessas aplicações, é possível citar outros exemplos referentes a raios cósmicos, plasma, propagação de informação, propaga- ção de fraturas, teoria de jogos, [90] ou mesmo trabalhos voltados para a área acadêmica como a generalização do teorema H de Boltzmann para a mecânica quântica [91], entre outros.
(a)
(b)
Figura 3.4: a) κ-exponencial exp{κ}(−x) (linha cheia) versus x para κ = 0.3. Esta função é com- parada com a exponencial ordinária (linha pontilhada) e com uma lei de potência pura (linha tracejada). b) κ-exponencial exp{κ}(−x) versus x para diversos valores de κ. κ = 0 corresponde a exponencial ordinária (linha cheia). Este valor de κ equivale a q = 1 na teoria proposta por Constatino Tsallis. Figuras provenientes da referência [85].