5.1 Hvordan fremstilles kjønn?
5.1.1 I hvilken grad vektlegges kjønn ?
Nesta seção, discutiremos alguns modelos de redes que crescem pela adição de novos nós e de ligações feitas de forma que represente os processos de crescimento que originam as redes reais. As ligações são realizadas de forma preferencial.
Os primeiros modelos de redes com as característicias citadas no parágrafo ante- rior, foram propostos, inicialmente, por estudisos como: G. U. Yule em 1925 [50], H. A. Simon em em 1955 [51], D. S. Price em 1965 [52], entre outros. Todavia, é importante res- saltar que o modelo inicial que, possivelmente, é o primeiro exemplo do que conhecemos
hoje como rede livre de escala5, foi aquele proposto por Price.
O modelo proposto por Price em 1965, se refere ao estudo das redes de citações de artigos científicos. Ele encontrou que a distribuição do número de vezes que um artigo é citado (entrada) e a distribuição do número de vezes que um artigo cita outros (saída), seguem uma distribuição tipo lei de potência. Seu trabalho, baseou-se nas ideias de H. A. Simon que mostrou que as leis de potência surgem quando estamos na presença do con- ceito ”rich get richer”. Em outras palavras, este conceito pode ser entendido, por exem- plo, como: a quantidade de dinheiro que ganhamos depende da quantidade que já temos. Este conceito é também conhecido como efeito cumulativo [53]. Price foi, provavelmente, o primeiro a discutir, específicamente, a vantagem cumulativa no contexto das redes. A sua ideia era que a taxa com que um artigo recebe novas citações deve ser proporcional ao número das que já possui.
Em anos recentes, final da década de 1990, muitos trabalhos na literatura mos- traram que muitas redes reais possuem uma distribuição de conectividade em forma de lei de potência [10, 48, 54, 55]. As redes com essas características diferem bastante das re- des aleatórias clássicas. As redes reais, caracterizam-se por apresentar alguns poucos nós muito conectados enquanto a maioria dos demais possuem baixo índice de conexões. Esta propriedade as torna significativamente heterogêneas, indicando que sua distribuição de conectividade decai na forma de uma lei de potência. Por outro lado, as redes aleatórias clássicas possuem, em média, a mesma conectividade para seus nós. São homogêneas e seguem, para as conexões, uma distribuição de Poisson com pico bem definido em torno da conectividade média, indicando uma escala característica para esse tipo rede (ver fi- gura 2.15).
As diferenças estruturais entre esses dois tipos de redes, levaram os pesquisado- res a questionarem sobre o mecanismo responsável pelo aparecimento de estruturas livre de escala presentes em muitas redes reais. A resposta para esta questão, surgiu com os tra- balhos de Barabási et al [10, 47, 48]. Eles atentaram para detalhes essenciais que estavam sendo negligenciados em trabalhos anteriores e consideraram, em seu modelo, o cresci- mento da rede e o fato de que as ligações entre seus nós ocorre de forma preferencial. Desde então, muitos modelos têm sido propostos, visando retratar mais realisticamente as redes reais. Para tanto, os novos modelos incluem diferentes variações na ligação pre- ferencial como, por exemplo, envelhecimento dos nós [56], parâmetros de qualidade [57],
5O termo livre de escala, se refere àquelas distribuições que não seguem uma escala típica. Essas distribuições são consideradas
(a) (b)
(c) (d) (e)
Figura 2.15: a) Rede das ligações aéreas entre cidades dos Estados Unidos (rede livre de escala), com os pólos representados pelos símbolos em vermelho. b) Rede das auto-estradas interestadu- ais dos Estados Unidos (rede aleatória clássica), modelado por um grafo com uma distribuição de conectividade homogênea. c) Distribuição de conectividade para a rede livre de escala, mostrando o decaimento lento, caracterizando o comportamento do tipo lei de potência. d) Gráfico da dis- tribuição de conectividade em escala log-log, enfatizando o comportamento tipo lei de potência. e) Distribuição de conectividade para a rede aleatória clássica, mostrando o comportamento da distribuição tipo Poisson com um pico bem definido em torno de um valor característico. Figuras disponíveis em http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm.
parâmetros de afinidade [22, 23, 58], distância geométrica [59], entre outros.
a) Modelo de Barabási e Albert
Em 1999, Barabási e Albert, publicaram um artigo com o intuito de abordar o problema das redes de ”cauda pesada“6(heavy-tailed) [47]. Neste trabalho, eles apresen-
taram um modelo de crescimento muito simples, objetivando explicar a arquitetura livre de escala presentes em redes do mundo real. O modelo proposto por eles consiste numa
6Em redes desse tipo, a distribuição de conectividade varia de forma lenta com o aumento da conectividade. As suas propriedades
são distintas das caracterizadas por distribuições do tipo Poisson. Em geral, nestes casos, os estudiosos desse assunto tentam interpolar as distribuições empíricas da conectividade por dependências específicas tipo lei de potência [60]. Esta característica está presente em muitas das redes reais.
redescoberta do modelo proposto por Price em 1965. A ideia era crescer uma rede, adi- cionando, preferencialmente, as novas conexões aos nós mais conectados para explicar o efeito ”rich get richer“. Este modelo, é conhecido por modelo com ligação preferencial.
i) Descrição do modelo
O modelo proposto por Barabási e Albert, é uma rede recursiva não direcionada que juntamente com os ingredientes crescimento e ligação preferencial pode ser definida como segue. O crescimento da rede inicia a partir de uma dada configuração de nós e ligações que não é importante para a estrutura da rede quando esta já está grande. Assim, em cada passo de tempo
1. adicionamos um novo nó à rede contendo m0≥ 1 nós e
2. ligamos este novo nó a m≤ m0nós escolhidos preferencialmente. Cada um desses m
nós é escolhido com uma probabilidade proporcional à sua conectividade, ou seja,
Π(ki) =
ki
∑jkj
. (2.9)
O índice i representa o i-ésimo nó e kia sua conectividade.
3. repetimos os passos anteriores até o tamanho desejado e após t passos de tempo, teremos N = m0+ t nós e 2mt ligações (ver figura 2.16).
A combinação de crescimento e ligação preferencial, como observado na figura 2.16, resulta numa dinâmica interessante para a conectividade individual dos nós. Alguns dos nós, que foram incorporados à rede logo nos primeiros estágios do seu desenvolvi- mento, têm maiores probabilidades de serem os mais conectados, dado que eles têm um tempo maior para adquirir ligações. Esses nós são os responsáveis pelos surgimento de pólos7à medida que as ligações vão sendo distribuídas por causa da adição de novos nós
na rede.
(a) t= 0 (b) t= 1 (c) t= 2 (d) t= 3
(e) t= 4 (f) t= 5 (g) t= 6 (h) t= 7
Figura 2.16:Crescimento de uma rede livre de escala. A rede inicia com dois nós, m0= 2. Em cada passo de tempo, adicionamos um nó que se liga preferencialmente a outros dois nós pré-existentes de acordo com a equação 2.9. De acordo com a expressão N= m0+ t em t = 7, temos N = 9 nós e 28 ligações.
Os dois ingredientes, crescimento e ligação preferencial, desempenham um papel fundamental no modelo de Barabási e Albert e são necessários para a ocorrência da lei de potência que descreve o comportamento da distribuição de conectividade para esse mo- delo [10]. Entretanto, essa condição necessária, nem sempre é válida. Segundo a referên- cia [76] é possível, para alguns modelos de rede livre de escala, obter um comportamento lei de potência, levando em conta apenas o crescimento da rede sem ligação preferencial ou ligação preferencial sem crescimento da rede.
ii) Algumas propriedades do modelo de Barabási e Albert
Assim como os modelos discutidos anteriormente, o modelo de Barabási e Al- bert apresenta algumas propriedades de interesse. Nesta seção, apresentaremos algumas das propriedades discutidas na literatura, como a evolução da conectividade dos nós no tempo, distância do menor caminho médio, o coeficiente de agregação e uma breve dis- cussão sobre robustez deste modelo.
1. Evolução temporal da conectividade
Em um artigo publicado em 1999 [48], Barabási e colaboradores introduziram um cálculo analítico para obter a dependência temporal da conectividade kide um dado nó i
em uma rede livre de escala. Como já sabemos, a conectividade de um dado nó i cresce com o tempo à medida que adicionamos nós à rede, e estes se conectam com i, obedecendo a uma probabilidade dada pela equação (2.9). Admitindo que a conectividade ki é uma
variável real e contínua, a taxa de variação com que kimuda deve ser proporcional a Π(ki)
(ver equação 2.9). Consequentemente, kisatisfaz a seguinte equação [10]:
∂ki
∂t = mΠ(ki) = m ki
∑jkj
. (2.10)
Observando a regra de crescimento com ligação preferencial do modelo proposto por Barabási e colaboradores, é possível ver que a soma no denominador da equação (2.10), é sobre todos os nós existentes antes da adição do novo nó. Dessa forma, temos que a soma sobre kj pode ser expressa pela equação:
∑
j
kj = 2mt − m, (2.11)
que para t→ ∞ pode ser re-escrita com ∑jkj = 2mt. Substituindo esse resultado na equa-
ção (2.10), temos
∂ki
∂t = ki
2t. (2.12)
A solução da equação (2.12), tomando a condição inicial ki(ti) = m, pois cada nó novo
possui m ligações, é dada por
ki(t) = m ( t ti) β , (2.13) onde β = 1
2. Este resultado, mostra que a conectividade de cada nó, evolui no tempo da
mesma forma e segue uma lei de potência com expoente bem definido, como pode ser visto na inserção da figura 2.17(b).
A teoria desenvolvida por Barabási e colaboradores também calcula, analitica- mente, a distribuição de conectividade P(k), que é dada pela seguinte expressão:
P(k) = ∂p[ki(t) < k] ∂k = 2m1βt m0+ t 1 k 1 β+1 , (2.14) onde p[ki(t) < k] = p ̂̂ ̂̂ ̂̂t1> 2m 1 βt k1β ̂̂ ̂̂ ̂̂= 1 − 2m 1 βt k1β(m0+ t) . (2.15)
A equação (2.15), representa a probabilidade de um dado nó i ter conectividade ki(t) < k.
No limite quando t→ ∞, esta equação pode ser expressa da seguinte forma:
P(k) ∼ 2mβ1kγ, (2.16)
com γ= 1
β+ 1 = 3 independente de m, como mostra a inserção da figura 2.17(a) em compa-
ração com dados simulacionais.
(a) (b)
Figura 2.17:a) Distribuição de conectividade para o modelo de Barabási e Albert, com N = 3×105e m0= m = 1 (círculos), m0= m = 3 (quadrados), m0= m = 5 (diamantes) e m0= m = 7 (triângulos). A inclinação da linha tracejada é γ= 2.9 (o valor para o limite termodinâmico é γ = 3). A inserção no gráfico representa a distribuição de conectividade re-escalada, P(k)/2m2, para os mesmos valores de m. A inclinação da linha tracejada é γ = 3. b) Distribuição de conectividade para m0 = m = 5 e redes de tamanho N = 1 × 105 (círculos), N
= 1.5 × 105 (quadrados) e N
= 2 × 105 (diamantes). A inserção no gráfico mostra a evolução temporal para a conectividade de dois nós adicionados à rede no tempo t1 = 5 e no tempo t2= 95. Para este caso, temos m0= m = 5. A linha tracejada tem inclinação 0.5 como predito pela equação (2.13). Figura retirada da referência [62].
Em redes reais, observamos leis de potência em sistemas de diferentes tamanhos e que independem do tempo. Dessa forma, é esperado que um modelo que descreva tais sistemas tenha P(k) que também independa do tempo ou que seja do tamanho da rede (N = m0+ t). Isto mostra que, apesar do crescimento contínuo, a rede atinge um es-
tado estacionário, livre de escala, como previsto pela equação (2.16) e mostrado no gráfico 2.17(a).
2. Comprimento do menor caminho médio
O comprimento do menor caminho médio para o modelo de Barabási e Albert cresce, aproximadamente, com o logaritmo de N dado pela seguinte expressão generali- zada8:
l= Aln(N − B) + C. (2.17)
O fato do menor caminho médio crescer com o logaritmo de N expressa que este sistema possui efeito de mundo pequeno.
A figura 2.18, compara o comprimento do menor caminho da rede de Barabási e Albert com o de um grafo aleatório clássico. Para serem comparáveis, foram escolhidos mesmos tamanhos de rede N e mesma conectividade média܂k܂ = 4. Este gráfico, indica que o tamanho do menor caminho médio, gerado pelo modelo de Barabási e Albert é menor do que o de um grafo aleatório clássico para qualquer tamanho de rede. Isto mostra que a rede de Barabási é mais coesa que um grafo aleatório.
8Resultados analíticos, propostos por Bollobás e Riordan, indicam que existe uma correção para a de-
pendência do logaritmo de N, onde a distância entre os nós cresce com o logaritmo de N da seguinte forma: l∼ ln(N)/lnln(N) [63].
Figura 2.18: Gráfico do menor caminho médio ¯l versus o tamanho da rede N para o modelo de Barabási e Albert com܂k܂ = 4. Este gráfico, compara o modelo de Barabási e Albert (círculos) com um grafo aleatório de mesmo tamanho e mesma conectividade média (quadrados). A linha tracejada segue a equação (2.17). Figura retirada da referência [10].
3. Coeficiente de agregação
Nesta seção, continuamos comparando o modelo de Barabási e Albert com grafos aleatórios clássicos. Para tanto, usamos a figura 2.19 que compara o coeficiente de agrega- ção entre esses dois casos. Neste exemplo, são consideradas redes de diferentes tamanhos N, mas mantida a mesma conectividade média܂k܂ = 4 para os dois modelos. O coeficiente de agregação para a rede livre de escala é cerca de cinco vezes maior que o de uma grafo aleatório clássico. Entretanto, o coeficiente de agregação para o modelo de Barabási e Al- bert diminui lentamente com o tamanho da rede, seguindo uma lei de potência do tipo C∼ N−0.75, enquanto que um grafo aleatório decai como CȂ ܂k܂N−1.
Figura 2.19:Gráfico do coeficiente de agregação C versus o tamanho da rede N para o modelo e Barabási e Albert com܂k܂ = 4. O gráfico compara o modelo de Barabási e Albert (círculos) com um grafo aleatório (linha cheia) com CrandȂ ܂k܂/N. Figura retirada da referência [10].
4. Robustez
A robustez de uma rede é a propriedade que ela tem de resistir a ataques, sejam eles coordenados ou aleatórios. A figura 2.20 ilustra essa propriedade. A figura 2.20(a) mostra uma rede tipo aleatória que sofre ataques aleatórios sobre seus nós. É possível notar sua fragilidade e a facilidade com que a rede se fragmenta diante da diluição dos nós. Este efeito ocorre por causa da própria estrutura homogênea da rede.
As redes livres de escala, por não possuírem uma escala típica, se comportam diferentemente das redes aleatórias. A sua estrutura heterogênea permite que ela seja robusta diante de ataques não coordenados, como mostra a figura 2.20(b). Entretanto, esse tipo de rede se torna frágil se os ataques contra elas são direcionados a seus pólos. A figura 2.20(c) mostra muito bem essa fragilidade. É possível ver que a rede se fragmenta com muita facilidade nessas condições.
As redes livres de escala são, atualmente, objeto de estudos para muitos pesqui- sadores. A motivação é que essas redes são comuns na Natureza. Como exemplo, pode- mos citar as redes biológicas (redes celuares, redes ecológias), as redes de comunicação (Internet, WWW), as redes dos aeroportos, entre outras (ver tabela 2.1 para mais alguns exemplos) [10]. O interessante em compreender tais redes é que muitas delas necessitam
ser protegidas contra ataques. Por exemplo, a rede mundial de computadores que pode, com muita facilidade, espalhar vírus através de seus roteadores ou as principais redes de aeroportos do mundo que podem sofrer ataques terrorístas, entre outros.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.20:a) Robustez a ataques acidentais aos nós em uma rede aleatória clássica b) Robustez a ataques acidentais aos nós em uma rede livre de escala. Para facilidade de comparação foram removidos os mesmos nós em ambas as redes. c) Robustez a ataques intencionais aos pólos de uma rede livre de escala. Figuras disponíveis em http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm.
REDES COMPLEXAS E ESTATÍSTICAS NÃO GAUSSIANAS
“A irreversibilidade é um problema puramente estatís- tico."
Jan Von Plato (1951)
A descrição de processos e fenômenos físicos da matéria macroscópica se deu paralelamente ao desenvolvimento da formulação das leis básicas da Física. De fato, o primeiro passo, nessa direção, ocorreu com a Teoria Cinética dos Gases, culminando com os trabalhos de Maxwell e de Boltzmann no final do século XIX. Naquela época, algumas questões fundamentais foram abordadas, entre as quais podemos citar: (i) a descrição mi- croscópica de um sistema macroscópico, (ii) a probabilidade como conceito inerente aos processos físicos, (iii) e a formulação de uma equação cinética com propriedade explícita de irreversibilidade. No cerne dessas questões, está o conceito de entropia que surgiu pri- meiro em Termodinâmica na metade do século XIX, e constitui um conceito fundamental para as bases da Mecânica Estatística.
No contexto da Termodinâmica, a função entropia é definida, para estados de equilíbrio, através da equação ∆S = ∆Q/T, podendo ainda ser escrita em termos de pa- râmetros extensivos como energia interna U, volume V e número de partículas N de um dado sistema composto1e possui as seguintes propriedades [64]:
1Um sistema composto é constituído por um conjunto de sistemas simples separados por paredes ou vínculos
• Para um sistema composto, a entropia, S, é aditiva sobre cada um dos seus com- ponentes. Por exemplo, se o sistema for constituído por dois fluidos puros, temos que
S(U1, V1, N1, U2, V2, N2) = S1(U1, V1, N1) + S2(U2, V2, N2). (3.1)
A adiditividade da entropia significa que S(U, V, N) é uma função homogênea de primeiro grau das suas variáveis, ou seja, S(λU, λV, λN) = λS(U, V, N) para qualquer valor de λ. Por exemplo, para λ= 2, dobrando a energia, o volume e o número de de partículas, a entropia também dobra.
• A entropia é uma função contínua, diferenciável e monotonicamente crescente da energia.
• Na remoção de um vínculo interno, os parâmetros assumem valores que maximizam a entropia. A entropia, como função dos parâmetros extensivos, constitui uma equa- ção fundamental de um dado sistema e contém toda a informação termondinâmica desse sistema.
Podemos considerar a formulação do conceito de entropia como uma das grandes realizações da Ciência. Permitiu formar o corpo teórico da termodinâmica de equilíbrio e de processos irreversíveis. Constitui a pedra fundamental da Mecânica Estatística e tam- bém exerce papel fundamental na Teoria de Informação. Entretanto, apesar de sua vasta funcionalidade, é sabido que se o sistema apresenta interações de longo alcance ou se apresenta correlações temporais de longa duração, o formalismo de Boltzmann-Gibbs é inadequado para tratar tais sistemas. Por essa razão, algumas propostas de generalização do conceito de entropia têm surgido nas últimas décadas. Mas o que dizer dessas genera- lizações? Será que essas novas entropias serviriam de base para a generalização de teorias nas áreas de conhecimento que o conceito usual tem servido? Uma entropia generalizada manteria as interpretações físicas que são atribuídas à entropia usual? Que fenômenos não conseguem ser explicados com o formalismo atual? A Mecanica Estatística genera- lizada manteria seu caráter preditivo, ou seja, seria capaz de descrever comportamentos macroscópicos usando apenas informações microscópicas? [65].
São muitas as questões e quase todas ainda estão em aberto. Esta tese não pre- tende respondê-las. Entretanto, discutiremos, nas seções seguintes, algumas questões que já se encontram muito bem fundamenentadas, como Boltzmann-Gibbs e outras que ainda tentam se estabelecer. Entre essas, apresentaremos a estatística não extensiva de Tsallis e a
estatística extensiva de Kaniadakis. No final do capítulo, seção 3.5, apresentaremos uma nova proposta com o objetivo de relacionar a estatística de Kaniadakis e um novo ramo de pesquisa em Física, conhecido como Redes Complexas.
3.1 Boltzmann e a noção probabilística da entropia
De acordo com a segunda lei da Termodinâmica, enunciada pelo físico alemão Rudolf Clausius (1822− 1888) em 1865, é possível mostrar que em uma transformação de um estado inicial I para um estado final F , onde I e F são estados de equilíbrio, vale a desigualdade [66–68] SF − SI ≥ ∫ F I dQ T . (3.2)
Para o caso particular de um sistema isolado, dQ= 0, temos SF ≥ SI. O que significa que,
para qualquer transformação que ocorre em um sistema isolado, a entropia do estado final nunca é menor do que a entropia no estado inicial. A igualdade só existe se a transforma- ção for reversível. No caso de uma transformação irreversível, ou seja, uma transformação passando por estados de não equilíbrio, a entropia do estado final SF é sempre maior que
a entropia do estado inicial SI. Em outras palavras, a entropia S nunca decresce, atingindo
um máximo no estado final de equilíbrio.
Um fato interessante a respeito dos processos irreversíveis é que, ao contrário dos processos reversíveis, sua descrição é inviável pela mecânica de Newton. Como exemplo, consideremos a seguinte situação: imaginemos um recipiente dividido em duas partes por uma parede impermeável. Em um dado instante é feito vácuo em uma de suas partes, enquanto que na outra parte existe um gás em equilíbrio térmico. Ao ser retirada a parede, o gás, que está em equilíbrio, difunde-se para a região de vácuo, atingindo um novo estado de equilíbrio, após um tempo suficientemente longo. Através dessa experiência é possível ver que esse processo é irreversível, pois não se conhece nenhuma experiência, desse tipo, que ocorra o processo inverso, espontaneamente, retornando à situação inicial.
De um ponto de vista microscópico, a difusão do gás, nessa experiência, ocorre por causa da colisão entre suas moléculas, levando o sistema a uma nova configuração de equilíbrio. Poderíamos esperar que, pelo fato de as colisões entre as moléculas serem
regidas pela mecânica de Newton, ocorresse uma inversão da velocidade de todas as mo- léculas em suas novas posições e o gás retornasse à sua posição inicial. Embora, para a Mecânica, esse princípio seja possível, essa situação é totalmente improvável. Mas, se os processos irreversíveis não podem ser descritos pela Mecânica de que maneira podemos descrevê-los?
O primeiro a tentar uma solução para esse problema foi Maxwell, quando apre- sentou, em 1867, uma ideia probabilística para a segunda lei da Termodinâmica. Ele ima- ginou um gás a uma temperatura fixa contido em um recipiente, contendo uma parede divisória com uma janela e um ser2 (o demônio de Maxwell) capaz de controlar a passa-