A natureza das capacitˆancias e resistˆencias do canal do transistor faz com que este tenha condutˆancias controladas, o que equivale em princ´ıpio a uma s´erie
de pequenos misturadores operados por segmentos de condutˆancia, como mostra a figura 3.2.
Figura 3.2: Modelo n˜ao-quasi-est´atico do transistor da figura 3.1.
Este modelo ´e analisado no regime n˜ao-quasi-est´atico, para mostrar que o mesmo opera de modo a detectar a corrente ID mesmo em frequˆencias acima de
fT.
O modelo distribu´ıdo ´e um caso particular da solu¸c˜ao geral dada por Dyako- nov e Shur [50, 51], que foram os primeiros a analisar o mecanismo de detec¸c˜ao de sinais por transistores em terahertz, considerando um modelo bi-dimensional onde os el´etrons fluem como ondas em plasma. As ondas de plasma, na verdade, s˜ao uma analogia a forma com que ocorrem as oscila¸c˜oes de densidades de eletrons em altas frequˆencias, onde as colis˜oes entre eletrons causam um atraso entre o deslocamento dos mesmos em fun¸c˜ao da tens˜ao de controle de seu fluxo em um canal por onde flui uma corrente. Neste caso, o canal de um transistor por onde fluem os eletrons pode ser visto como uma cavidade ressonante para as ondas de plasma [52]. A analogia utilizada por eles permitiu analisar o efeito da gera¸c˜ao destas ondas de plasma atrav´es do comportamento hidrodinˆamico dos eletrons no canal do transistor.
A solu¸c˜ao geral ´e baseada na equa¸c˜ao de Euler para o movimento de fluidos e na da continuidade, dadas respectivamente pelas equa¸c˜oes 3.5 e 3.6:
∂v ∂t + v ∂v ∂x = − e m ∂U ∂x (3.5) ∂U ∂t + ∂(U v) ∂x = 0 (3.6)
onde ∂U/∂x ´e o campo el´etrico longitudinal no canal do transistor, v e m s˜ao, respectivamente, a velocidade e a massa efetiva do eletron.
Na equa¸c˜ao da continuidade, o termo ∂(nv)/∂x ´e o gradiente do produto da densidade de portadores n e de sua velocidade v, que depende da tens˜ao aplicada
na porta do transistor e, em resposta ao campo el´etrico ∂U/∂x ao longo do canal do transistor, ´e respons´avel pela multiplica¸c˜ao de dois termos peri´odicos, ou seja, pela detec¸c˜ao do sinal em terahertz.
A solu¸c˜ao destas equa¸c˜oes permitiu isolar casos particulares, que s˜ao os re- gimes oscilat´orio e n˜ao-oscilat´orio (ou superamostecido) [?]. No primeiro caso, ´e considerada uma alta densidade de eletrons, de modo que a inercia entre eles gere as ondas de plasma oscilat´orias. No segundo caso, onde ainda ocorrem colis˜oes entre eletrons, estas ondas de plasma s˜ao amortecidas, cessando-se as oscila¸c˜oes em algum instante. Para uma mesma frequˆencia em terahertz, o que definir´a estes regimes s˜ao a intensidade do campo el´etrico e o comprimento do canal, pois s˜ao as vari´aveis que determinam a densidade dos eletrons que fluem ou ficam parados no canal do transistor. No segundo caso, o tratamento do comportamento das ondas de plasma pode ser simplificado, de modo que o equacionamento ´e equivalente a an´alise do transistor no regime n˜ao-quasi-est´atico [53].
Considerando que o regime n˜ao-quasi-est´atico de um transistor MOSFET ´e um caso particular da solu¸c˜ao dada por Dyakonov e Shur, pode-se analisar o mecanismo de oscila¸c˜ao do fluxo de eletrons pelo modelo distribu´ıdo de circuito apresentado na figura 3.2.
Para esta an´alise, deve-se modelar as condutˆancias e as capacitˆancias, res- pectivamente, gn(v) e Cn, ao longo do canal, ou seja, em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao
x.
Uma vez que o canal ´e composto por componentes de condutˆancia controladas em fun¸c˜ao da tens˜ao gn(v), com uma condutividade que depende da posi¸c˜ao no
canal, G(v(nδx, t)). Logo, gn(v) ´e dado em fun¸c˜ao de δx, pela equa¸c˜ao 3.7.
gn(v) =
G(v(nδx, t))
δx (3.7)
De forma similar, Cn, em fun¸c˜ao de δx, ´e dada pela equa¸c˜ao 3.8.
Cn= W Coxδx (3.8)
Analisando o circuito distribu´ıdo, temos que:
gn−1(vn−1− vn) − gn(vn− vn+1) = Cn
d(vn)
dt (3.10)
logo, a rela¸c˜ao de condutividade e capacitˆancia ao longo do canal ´e dada por: ∂ ∂x[G(v(x, t)) ∂v(x, t) ∂x ] = CoxW ∂v(x, t) ∂t (3.11) onde, G(v(x, t)) = µCoxW (v(x, t) − VT H) (3.12)
logo, a tens˜ao em fun¸c˜ao do tempo e da posi¸c˜ao no canal, ´e dada por: ∂ ∂x[µ(v(x, t) − VT H) ∂v(x, t) ∂x ] = ∂v(x, t) ∂t (3.13)
A solu¸c˜ao num´erica desta equa¸c˜ao diferencial parcial ´e apresentada por Oje- fors e Pfeiffer [54], indicando a detec¸c˜ao do sinal em terahertz.
As se¸c˜oes a seguir apresentam as figuras de m´erito utilizadas para a carac- teriza¸c˜ao de detectores em terahertez e o projeto destes circuitos deectores a MOSFET desenvolvido neste trabalho.
3.3
Figuras de M´erito em Detectores para Te-
rahertz
Antes de seguir adiante no projeto dos circuitos detectores, faz-se necess´ario apresentar quais as principais figuras de m´erito para se analisar a performance dos detectores e de arranjos de detectores.
Duas figuras de m´erito s˜ao importantes na an´alise dos detectores em terahertz, a primeira refere-se a resposta do detector em fun¸c˜ao da radia¸c˜ao terahertz inci- dente, conhecida como responsividade, e a segunda diz respeito a performance quanto ao ru´ıdo, conhecida como NEP (do inglˆes, Noise Equivalent Power ), ou potˆencia equivalente do ru´ıdo.
A responsividade de um detector pode ser dada em fun¸c˜ao da corrente detec- tada ou da tens˜ao detectada, em fun¸c˜ao da potˆencia incidente, e s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes 3.14 e 3.15.
RI = Iout Pin (3.14) RI = Vout Pin (3.15) A responsividade ´e expressa em A/W em fun¸c˜ao da corrente detectada ou em V /W quando o sinal medido ´e uma tens˜ao de sa´ıda.
A NEP de um detector pode ser expressa em fun¸c˜ao da responsividade de corrente ou de tens˜ao, expressa pelas equa¸c˜oes 3.16 e 3.17.
N EPI = In RI (3.16) N EPV = Vn RV (3.17) dada em W/√Hz.
O ru´ıdo em um detector pode ser dado pelo seu ru´ıdo flicker e o seu ru´ıdo t´ermico. Em aplica¸c˜oes pr´aticas, como o imageamento, t´ecnicas de chopping s˜ao utilizadas para se modular o sinal em uma baixa frequˆencia, de modo a eliminar a influˆencia do ru´ıdo flicker na detec¸c˜ao. Logo, o ru´ıdo do detector pode ser aproximado como sendo dominado pelo seu ru´ıdo t´ermico em uma largura de banda de 1 Hz, dado pela equa¸c˜ao 3.18.
Vn=p4kT Rds (3.18)
onde k ´e a constante de Boltzmann, T ´e a temperatura e Rds ´e a resistˆencia
do canal do transistor em triodo, dada por:
Rds =
1
µnCoxWL(VGS− VT H)
(3.19) Neste trabalho, os detectores foram projetados de modo que o sinal medido na sa´ıda fosse uma tens˜ao DC proporcional a potˆencia de entrada na faixa de terahertz, logo, a responsividade ser´a dada pela equa¸c˜ao 3.15 e o NEP ser´a dado pela equa¸c˜ao 3.17.