Neste item abordaremos a terceira questão da atividade C e as situações- problema da atividade D. Entendemos ser relevante apresentarmos possíveis soluções das situações-problema.
3) Expresse algebricamente as funções modulares: f(x)=|x|; f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a. x para x ≥ 0 f(x) = |x| = -x para x<0 x+a ≥ 0 então x≥ -a f(x)=|x+a| =
-x+a < 0 então x<-a
x+a se x≥ 0
f(x)=|x+a| =
Situação-problema 1: Há dois fios pendurados no teto de uma sala a certa distância um do outro. Segurando um deles com a mão, não se consegue alcançar o outro com a outra mão. Como amarrar as extremidades dos dois fios? Com os conceitos de módulo e função modular, expresse algebricamente a questão15.
Solução algébrica
Hipóteses do problema:
a) O problema não informa a distância entre os dois fios e nem os seus comprimentos. Supomos que são do mesmo tamanho.
b) Um dos fios não se alcança com uma das mãos, então supomos que é necessário algum objeto que complete esta distância que falta, por exemplo, um alicate.
c) Expressaremos a distância em módulo.
Consideremos |x|: a distância do 1º fio até uma das mãos.
|x+a|: a distância do objeto que está na outra mão até o 2º fio. Com a ϵ IR*.
Portanto teremos: f(x)= |x|+|x+a|
Solução geométrica
Utilizando o software GeoGebra visualizamos a resolução da situação-
problema 1.
15 Lembrando que a questão foi adaptada da obra: BROLEZZI, A.C. Problemas e criatividade: uma
Figura 2: Apresentação de um esquema da situação-problema 1 no GeoGebra
Fonte: Elaborado pela autora
Situação-problema 2: Quatro pessoas chegam a um rio no meio da noite. Há uma ponte estreita, mas ela só pode aguentar duas pessoas ao mesmo tempo. Porque é noite, a tocha deve ser usada para atravessar a ponte. A pessoa A pode atravessar a ponte em um minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos, e a D em 8 minutos. Quando duas pessoas atravessam a ponte juntos, devem se mover no ritmo da pessoa mais lenta. A questão é: todos poderão atravessar a ponte em 15 minutos ou menos? Com os conceitos de módulo e função modular, expresse algebricamente e geometricamente a questão. Utilize o software GeoGebra16.
Solução algébrica
Hipóteses do problema
a) Na ponte só passam no máximo duas pessoas ao mesmo tempo e uma delas deve estar com a tocha.
16
Este problema foi adaptado de: GRIBAKIN, G. Some simple and not so simple maths problems. Disponível em: www.am.qub.ac.uk/users/...gribakin/problem.ht.
b) A travessia deve ser no tempo da pessoa mais lenta.
c) Consideramos o sentido da ida como valor positivo e o da volta como valor negativo. Devido não existir tempo negativo indicaremos por módulo a distância do retorno.
d) A pessoa A atravessa em 1 minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos e a D em 8 minutos.
e) Retornará com a tocha a pessoa mais rápida.
Sugerimos o esquema abaixo:
Quadro 8: Apresentação de um esquema da situação-problema 2
Fonte: Elaborado pela autora
Portanto: x = 2+|-1|+8+|-2|+2 x = 15
Resposta: 15 minutos
Solução geométrica
Utilizando o software GeoGebra podemos expressar o problema por meio de segmento com comprimento fixo.
Estão no início da Ponte A, B,C e D Saem juntos A e B
Travessia do tempo de B que é o mais lento: 2 minutos
Chegam A e B Ficaram C e D
Chega A
Travessia de volta é de 1 minuto Fica B Retorna A Fica A
Saem juntos C e D
Travessia do tempo de D que é o mais lento: 8 minutos
Agora estão B, C e D Ficou A
Chega B
Travessia de volta é de 2 minutos Ficam C e D Retorna B Saem juntos A e B Travessia do tempo de B
que é o mais lento: 2 minutos
Ficaram C e D Chegaram A e B
Figura 3: Apresentação de um esquema da situação-problema 2 no GeoGebra
4.4.1 Resolução apresentada pelo professor A
Quadro 9: Exercícios de Funções Modulares pelo professor A
Protocolo do professor A - atividade C
O professor A mostra no desenvolvimento dos exercícios de funções modulares que compreende as definições de módulo e função modular expressando-as algebricamente.
Quadro 10: Resolução da situação-problema 1 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor A- atividade D
O professor A inicia a solução da situação-problema 1 conjecturando a ideia de distância com o significado de módulo e depois considera duas hipóteses e as expressa de forma algébrica. Entendemos que o sujeito possui compreensão dos conceitos de módulo e de função modular, conforme associa Lima (2009) a aplicação do conceito de módulo com distância. Sua observação quanto à necessidade de algum objeto entre a distância da mão esquerda até o fio B, mostra uma visualização detalhada no entendimento do problema. Tal solução corrobora os apontamentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998) quando afirmam que a resolução de problemas é uma orientação para a aprendizagem que proporciona o contexto para se apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
Quadro 11: Resolução da situação-problema 2 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade D
O professor A inicia a solução da situação-problema 2 conjecturando os dados da questão com os conceitos de módulo, definindo, claramente, que módulo significa distância (STEWART, 2009). O sujeito adota suas próprias decisões sobre a expressão algébrica do problema e segundo afirmam Pozo e Echeverría (1998) reflete tendo autonomia crescente neste processo de tomada de decisões.
4.4.2 Resolução apresentada pelo professor B
Quadro 12: Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor B
O professor B possui compreensão quanto à definição de função modular, a qual decorre diretamente do conceito de módulo, ou seja, é definida por y=|x| ou f(x)=|x| e que em certas funções é necessário o uso de duas ou mais sentenças (STEWART, 2009). Em cada função modular, o sujeito B descreve e mostra conexões quanto às condições que satisfazem as variáveis.
Quadro 13: Resolução da situação-problema 1 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor B – atividade D
A descrição do professor B não é esclarecedora quanto à sua compreensão dos conceitos de módulo e função modular expressos algebricamente na questão. Perguntamos na entrevista ao sujeito B porque solucionou apenas geometricamente a situação-problema 1. Respondeu que “a resolução geométrica era suficiente para compreensão do problema”. Não significa que o professor não compreenda o problema, ou não saiba expressá-lo algebricamente, pois mostra no quadro anterior, referente a atividade C, um conhecimento satisfatório quanto aos conceitos e definições de módulo e função modular. Segundo Vila e Callejo (2006) talvez não dispunha no momento de um algoritmo que relacionasse os dados, as variáveis e a conclusão, desta forma, não conseguiu estabelecer relações.
Quadro 14: Resolução da situação-problema 2 algebricamente pelo professor B
Protocolo do professor B – atividade D
Na situação-problema 2, o professor B compreende as informações da questão e consegue dispor de um algoritmo que relaciona os dados, a variável e a conclusão, conforme afirmam Vila e Callejo (2006). Mostra também entender o significado de módulo enquanto distância (LIMA, 2009) e expressa o problema algebricamente a partir de hipóteses descritas no enunciado.
4.4.3 Resolução apresentada pelo professor C
Quadro 15: Exercícios de Funções Modulares pelo professor C
Protocolo do professor C – atividade C
O professor C mostra nos exercícios de funções modulares que compreende, segundo Stewart (2009) a notação de módulo e suas propriedades, bem como a definição de função modular e a sua expressão algébrica.
Quadro 16: Resolução das situações-problema 1 e 2 algebricamente - professor C
Protocolo do professor C – atividade D
Com a afirmação do professor C, registrada no protocolo, não podemos analisar sua compreensão quanto aos conceitos de módulo e função modular referentes às expressões algébricas das situações-problema 1 e 2. Perguntamos na entrevista por que não solucionou algebricamente as questões, e ele respondeu: “não tenho nem ideia por onde começar nenhum desses problemas”.
4.4.4 Resolução apresentada pelo professor D
Quadro 17: Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor D
Protocolo do professor D – atividade C
O professor D mostra não ter compreensão total da definição de módulo e de função modular, não apresenta a definição por duas setenças, ou seja, y=|x| ou f(x)=|x| descrevendo que f(x)=|x|= x para x≥0 e –x para x<0.
Quadro 18: Resolução das situações-problema 1 e 2 algebricamente – professor D
Protocolo do professor D – atividade D
O professor D não expressa algebricamente as situações-problema 1 e 2, conforme registrado no protocolo, desta forma, não podemos analisar sua compreensão quanto à definição de módulo e função modular.
Desta forma, podemos concluir neste item que os professores A e B mostram em suas expressões algébricas de exercícios e situações-problema com função modular que compreendem o conceito de módulo e função modular.
Nas respostas do professor C é possível analisar sua compreensão sobre conceito de módulo e função modular apenas nos exercícios da atividade C.
O professor D mostra no exercício da atividade C que compreende parcialmente o conceito de módulo e função modular e nas situações-problema, por não apresentar soluções algébricas não podemos analisar sua compreensão sobre o tema.
Vale à pena destacar que:
O professor A apresenta soluções algébricas para os exercícios com função modular e para as duas situações-problema.
O professor B também apresenta solução algébrica para os exercícios com função modular e para a situação-problema 2.
Os professores C e D apresentam soluções algébricas para os exercícios com função modular e não apresentam nenhuma solução para as duas situações- problema.
4.5 Uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de situações