4 Resultat
4.2 Intervju oppdrettere
operações com números fracionários em livros didáticos, será feita uma breve análise de alguns livros didáticos do quinto ano do ensino fundamental entre 1987 e 2011. Buscaremos verificar como é sugerido tal ensino antes e depois da instituição dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, a,b).
Tal escolha se deve ao fato de os PCN (BRASIL, 1997, b) sugerirem que o trabalho com representações fracionárias, por serem menos frequentes na vida cotidiana, se limite a “metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que das representações” (p.68). Sugerem ainda que as frações sejam tratadas, no segundo ciclo do ensino fundamental 1, a partir de alguns significados: parte- todo, quociente, razão e operador. Quanto às operações sugerem, para o segundo ciclo, o cálculo com números racionais, mas apenas na representação decimal. Assim, no quadro 1 apresentamos o primeiro grupo de livros, publicados antes dos PCN, que serão analisados e que foram escolhidos aleatoriamente porque os possuíamos em nossa biblioteca.
Em 1996 é iniciado pelo MEC a primeira avaliação pedagógica de livros didáticos que culminou com o primeiro Guia de Livros Didáticos de 1ª a 4ª série. Assim, buscaremos nesses guias se as operações com números fracionários continuam sendo apresentadas ou se, como orienta os PCN, foram excluídas.
Quadro 1 – Lista de livros analisados
LIVRO NOME AUTOR ANO SÉRIE EDITORA
L1 A conquista da matemática José Ruy Giovanni 1989 Quarta FTD
L2 Matemática D’Olim Marote 1992 Quarta Editora Ática Fonte: construção própria
O livro L1 inicia a seção que trata da operação de adição de números fracionários, com denominadores iguais, a partir de uma situação de compra de lotes de um terreno (figura10) que são representados por um retângulo dividido em 12 partes congruentes e é apresentada a adição 5
12+ 2 12=
7
12. Como podemos ver a situação refere-se à concepção parte-todo, a partir de uma representação figural de grandeza contínua. O aluno deve ler o problema e preencher lacunas em frases
com números fracionários fazendo uma conversão de representação figural para representação numérica. Na página seguinte, apresenta a subtração de números fracionários com mesmo denominador a partir de uma situação que envolve o comprimento de uma avenida (figura 11), por meio da representação de um segmento dividido em 10 segmentos de mesma medida. A concepção mobilizada na situação é a de medida e a situação representa a subtração 108 −105 = 103. Da mesma forma, que para a adição o aluno deve preencher lacunas a partir da conversão de representação figural para representação numérica.
Figura 10 – adição e subtração de frações – mesmo denominador – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 144
Figura 11 – subtração de frações – mesmo denominador – L1
A seguir formaliza as duas situações, como mostra a figura 12, apresentando a regra em língua natural e quatro exemplos de adição e subtração resolvidas. Na página seguinte apresenta quatro situações e dois exercícios para aplicação da regra formalizada das situações anteriores.
Figura 12 – síntese das operações de adição e subtração - mesmo denominador - L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 145
Para as operações de adição e subtração de números fracionários com denominadores diferentes, o autor apresenta três situações. Na primeira (figura 13), apresenta um retângulo dividido em 10 partes congruentes e solicita ao aluno que pinte 1
2 de verde e 1
5 de azul. A seguir, solicita ao aluno que complete lacunas mostrando o total da figura que foi pintada e a representando por uma adição em que os números fracionários são transformados em equivalentes de mesmo denominador. Nessa situação a concepção mobilizada é parte-todo, em grandeza contínua e apresenta a conversão de representação figural para representação numérica.
Na segunda situação o autor ilustra a subtração 1 2−
1
5 a partir da mesma representação da situação anterior, solicitando também o preenchimento de lacunas. Na terceira situação ilustra a adição 1
3+ 1
4 a partir da representação de um segmento dividido em doze segmentos de mesma medida, mobilizando a concepção de medida para números fracionários.
Figura 13 – adição de números fracionários - denominadores diferentes - L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 147
A partir das três atividades, como mostra a figura 14, o autor explicita o tratamento dos números fracionários dados para a obtenção de equivalentes com mesmo denominador.
Figura 14 – tratamento para obtenção de números fracionários equivalentes – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 148
Na sequência o autor formaliza a regra operatória para adição e subtração de números fracionários com denominadores diferentes (figura 15) em linguagem natural focando a redução a números fracionários de mesmo denominador.
Figura 15 – formalização da regra para adição e subtração – denominadores diferentes – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 148
O autor inicia a seção de multiplicação de números fracionários a partir da multiplicação de um número natural por um número fracionário (figura 16), em que a multiplicação é tomada como soma de parcelas iguais. Apresenta a representação de um segmento dividido em cinco segmentos de mesmo comprimento, concepção de medida para número fracionário, e a conversão dessa representação figural para a representação de números fracionários: 1
5+ 1 5+ 1 5= 3 × 1 5 = 3
5. A seguir apresenta exercícios.
Figura 16 – multiplicação de número natural por número fracionário – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 156
Na sequência, o autor apresenta a multiplicação de dois números fracionários (figura 17) a partir da figura de um quadrado, que representa uma
unidade e outras figuras que mostram esse quadrado com partes pintadas para serem observadas e servirem de referência para o preenchimento de frases com lacunas por números fracionários. Vemos que a concepção mobilizada, mais uma vez, é parte-todo e é solicitado a conversão de representações figurais para representações no registro dos números fracionários.
Figura 17 – multiplicação de números fracionários – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 159
Encerra a discussão de multiplicação apresentando uma síntese (figura 18) em que explicita a regra a partir do produto 35×12 =103. O autor não formaliza a multiplicação de números fracionários como sendo o “o produto dos numeradores sobre o produto dos denominadores”, atem-se apenas a exemplos. Na continuação apresenta exercícios e discute “fração de uma quantidade”, mobilizando assim o número fracionário enquanto operador.
Figura 18 – síntese da multiplicação de números fracionários – L1
Para iniciar o tópico de divisão de números fracionários o autor define o que são números inversos, como mostra a figura 19, a partir de exemplos de produtos iguais a 1.
Figura 19 – números Inversos – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 159
A seguir, apresenta a divisão de um número fracionário por um número natural (figura 20) a partir da representação de um retângulo dividido em quatro partes congruentes e, a partir da observação do aluno, solicita que preencham lacunas em frases que diferenciam a parte pintada da parte listada, para a percepção de que metade da figura foi dividia em duas partes congruentes. Encerra apresentando a sentença matemática para a divisão representada. Solicita a repetição do procedimento para um outro retângulo para a percepção de que a metade da figura foi dividida em três partes, encerrando com a sentença matemática.
Figura 20 – divisão de número fracionário por número natural – L1
Seguindo a mesma ideia, o autor apresenta a divisão de números fracionários (figura 21) fazendo uma analogia à divisão de números naturais como sendo a busca de “quantos cabem em determinada quantidade”. Utiliza a representação de dois retângulos divididos em partes congruentes, frases para serem preenchidas e as sentenças matemáticas que representam as duas situações: 4 5: 1 5= 4 e 4 6: 2 6= 2.
Podemos notar que o autor substituiu a notação de divisão utilizada para os naturais, por dois pontos e que escolheu números fracionários que tivessem tanto os numeradores, quanto os denominadores como múltiplos.
Figura 21 – divisão de números fracionários – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 170
A seguir apresenta dois exercícios de aprendizagem e uma regra prática como mostra a figura 22. Para que a regra seja percebida, o autor apresenta a divisão de 1 por ½ e duas divisões de números fracionários por números naturais, enfatizando o inverso e a multiplicação. Na sequência (figura 23) o autor explicita a regra de divisão de números fracionários como sendo a “multiplicação do primeiro número fracionário pelo inverso do segundo número fracionário” e apresenta quatro exemplos para ilustrar tal regra.
Figura 22 – uma regra prática para divisão de números fracionários – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 171
Figura 23 – regra para divisão de números fracionários – L1
Fonte: Giovanni, 1989, p. 172
O autor buscou dar sentido às operações com números fracionários focando a conversão de representações figurais para representações de números fracionários e para a língua natural. No entanto, deixou de aproveitar os conhecimentos adquiridos para a adição, quando foca a equivalência de números
fracionários não o mínimo múltiplo comum, e a divisão de número fracionário por número natural, quando utiliza tanto numeradores, quanto denominadores como múltiplos, para buscar uma regra para a divisão de números fracionários que fosse mais significativa para os alunos, ou seja, “o quociente dos numeradores sobre o quociente dos denominadores”, como apresenta Silva e Almouloud (2008).
O autor do livro L2 inicia a seção que trata das operações de adição e subtração de números fracionários apresentando a regra geral para a adição de números fracionários com mesmo denominador (figura 24) e dois exemplos ilustrativos. O primeiro com representação figural, concepção parte todo, e a sentença matemática a partir da conversão da representação figural para a representação numérica. O segundo apresenta apenas a sentença matemática e uma observação para a simplificação do resultado.
Figura 24 – adição com números fracionários de mesmo denominador – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 82
O mesmo acontece para introduzir a operação de subtração de números fracionários com mesmo denominador, como podemos ver na figura 25.
Figura 25 – subtração de números fracionários com mesmo denominador – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 84
Para trabalhar a operação de adição de números fracionários com denominadores diferentes, inicia com a regra operatória (figura 26) em que enfatiza a redução desses números para equivalentes de mesmo denominador. No entanto, no exemplo mostra que para essa redução é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) a partir do conjunto dos múltiplos de cada um dos denominadores. Como podemos ver na figura 26, o autor faz um lembrete para o professor “efetuar subtrações de frações com denominadores diferentes”.
Figura 26 – adição de números fracionários com denominadores diferentes – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 84
No que segue o autor apresenta quatro atividades e sete problemas envolvendo adição e subtração de números fracionários.
Para trabalhar a operação de multiplicação de números fraccionários o autor solicita a observação de três desenhos (figura 27) para ilustrar a multiplicação de um número natural por um número fracionário, a partir da ideia de multiplicação como adição de parcelas iguais. Logo a seguir, apresenta a regra geral para multiplicar um número natural por um número fracionário.
Figura 27 – multiplicação de números fracionários – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 87
Na sequência apresenta a regra para multiplicar dois números fracionários (figura 28) seguidos de dois exemplos numéricos com flechas que ilustram a operação de multiplicação que deve ser realizada, tanto com os numeradores, quanto com os denominadores. Na sequência propõe uma lista de exercícios de fixação do que foi trabalhado, que identifica por atividades.
Figura 28 – multiplicação de números fracionários – L2
Em continuidade ao assunto o autor apresenta o tópico “fração de fração” (figura 29|) a partir da ilustração de um chocolate que foi dividido em duas partes e, depois, uma delas foi também dividida em duas partes. Com isso pretende discutir a ideia de “metade da metade” e introduzir a noção de um número fracionário como operador. Após a ilustração, apresenta a definição de “fração de fração” que nada acrescenta à compreensão do que está sendo tratado e, mais que isso, conduz o aluno a utilizar o termo “fração” tanto para número quanto para uma figura.
Figura 29 – fração de fração – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 89
Seguindo o mesmo princípio apresenta como calcular “fração de um número” (figura 30) e frações inversas.
Figura 30 – fração de um número – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 90
Para trabalhar com a operação divisão (figura 31), o autor apresenta duas representações figurais em que uma representa 1/3 do retângulo e a outra 2/6 do retângulo para ilustrar a divisão de 1/3 por 2. O autor apresenta a representação em números fracionários para ilustrar o inverso do número 2 e apresentar a regra operatória para divisão de dois números fracionários. No que segue apresenta algumas atividades em que a partir de um modelo o aluno deve efetuar várias divisões. Apresenta ainda um problema resolvido como modelo e outros problemas para que o aluno resolva.
Pudemos perceber que, neste livro, o autor enfatiza as regras operatórias e faz apresentações com o único intuito que o aluno leia. Ler é a única ação do aluno para construir conhecimento. As representações figurais que apresenta tem apenas um caráter ilustrativo, em que as conversões para representações numéricas são explicitadas pelo autor.
Após essa visão do ensino de operações antes dos PCN buscamos, o ensino ou não das operações com números fracionários, nas avaliações de livros didáticos feitas pelo PNLD nos últimos guias2, disponíveis no site do FNDE – Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Fizemos então uma análise dos guias de livros didáticos de matemática, para as séries iniciais, de 2007, 2010 e 2013.
Figura 31 – divisão de frações – L2
Fonte: Marote, 1992, p. 92
Em 2007 foram aprovados pelo PNLD (BRASIL, 2006) 35 livros ainda distribuídos como de Matemática da primeira à quarta série do Ensino Fundamental. A partir da descrição e análise de cada livro apresentada no guia, procuramos os conteúdos tratados apenas na quarta série. Dos aprovados apenas 4 não tratavam das operações com números fracionários, 17 apresentavam a adição e subtração embora alguns deles as tratassem apenas com números fracionários de mesmo denominador e 14 apresentavam as quatro operações fundamentais com números fracionários de denominadores iguais ou diferentes. Afirmam que as coleções avaliadas partem de noções intuitivas e tornam-se mais complexas a partir de vários significados – relação parte-todo, operador, quociente de naturais, relação parte-parte. Embora todas tratem de números fracionários muitas optam por não tratar a adição com denominadores diferentes e da multiplicação e divisão. A respeito da calculadora afirmam que ela “é apresentada em quase todas as coleções” (Ibid, p. 27).
O PNLD (BRASIL, 2009) avaliou os livros do Ensino Fundamental categorizando-os de primeiro e segundo anos como Alfabetização Infantil e os de terceiro, quarto e quinto ano como de Matemática. Buscamos na descrição e análise de cada livro os conteúdos tratados no quinto ano. Dos 19 livros que foram
aprovados, 3 não tratavam das operações com números fracionários, 5 tratavam das quatro operações com números fracionários de denominadores iguais ou diferentes, 7 apenas da adição e subtração e deles dois apenas com números de mesmo denominador, 4 tratavam das quatro operações, mas a divisão apenas de número fracionário por número natural. Dos livros aprovados 11 apresentavam atividades com calculadora para diversas atividades. Podemos notar que há uma diminuição de 40% para 26% dos livros que tratam das quatro operações com fracionários da avaliação de 2007 para a de 2010.
No último guia do PNLD (BRASIL, 2012), os livros apresentam outra classificação sendo considerados os de 1º ao 3º anos como de alfabetização matemática e os de 4º e 5º anos de Matemática. Buscamos as informações na descrição e análise apresentada no guia apenas para os livros do quinto ano. Nessa avaliação foram aprovados 23 livros dos quais 5 apresentam as quatro operações com fracionários de denominadores iguais ou diferentes, 13 apresentam apenas a adição e subtração e 5 as quatro operações com apenas a divisão de número fracionário por número natural.
Podemos notar então que, mesmo após dezessete anos dos PCN a maioria dos autores de livros didáticos continuam a tratar as operações fundamentais com números fracionários, provavelmente, por não terem clareza do que seguir. Os PCN ou o PNLD? No último guia do PNLD notamos uma falta de consenso a esse respeito, pois na avaliação de um determinado livro é dito: “já as operações que envolvem frações limitam-se, acertadamente, à adição e subtração, no final do quinto ano” (IBID, p. 204, negrito nosso) e em análise de outro livro: “o trabalho com frações aprofunda-se até as operações de multiplicação e divisão, o que é
indispensável nesse nível de escolaridade." Ao mesmo tempo que é acertado
ensinar apenas a adição e subtração no final do quinto ano é indispensável aprofundar esse ensino para as operações de multiplicação e divisão.
A esse respeito, já em 2004 Bertoni (2004, p. 1) afirma que as orientações dos PCN:
Vão no sentido de eliminar das séries iniciais as operações com números racionais na representação fracionária [...]. Por outro lado, não se nota, de modo geral, nos livros e nas propostas curriculares de 5ª a 8ª série, mudanças no sentido de uma introdução mais cuidadosa às frações e às
operações entre elas, visando suprir essa lacuna deixada nas séries iniciais.
Entendemos que as crianças têm sim capacidade de aprender as quatro operações com números fracionários, ainda no primeiro ciclo, do ensino fundamental desde que se busquem formas que as conduzam a construir significado para tais operações e não a memorização e repetição apenas de regras.
3 A PESQUISA
Neste capítulo apresentaremos os procedimentos metodológicos que foram adotados para o desenvolvimento desta investigação que tem como meta principal, investigar a utilização da calculadora na realização das operações com frações pelos alunos do 4° ano do ensino fundamental.