4 Resultat
4.5 Avfallsestimat
Apresentaremos a análise de cada situação descrevendo cada encontro e fazendo a análise a priori e a posteriori de cada uma das atividades. Identificamos, para isso, os alunos do grupo 1 (G1) pela letra A e os alunos do grupo 2 (G2) pela letra B, acrescentados os índices numéricos 1 ou 2 para cada um dos membros do grupo. O professor é identificado pela letra P.
Foram trabalhadas doze atividades envolvendo as quatro operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números fracionários, sendo que as atividades de 01 a 07 tratam da adição e da subtração de números fracionários com denominadores iguais e diferentes, e as atividades de 08 a 12 tratam das operações de multiplicação e divisão de números fracionários.
1º Encontro
Ocorreu no dia 17/09/2014 quando foi apresentada ao grupo de alunos a máquina de calcular que iriam trabalhar durante as atividades. Este primeiro contato com a máquina foi um momento de exploração livre para que os alunos realizassem operações já conhecidas por eles, a princípio, com números naturais. Depois foram instruídos, pelo professor, como inserir números fracionários.
2º Encontro
No dia 24/09/2014 realizamos o segundo encontro e o iniciamos com a primeira atividade da situação 1 que tratava de adição e subtração de números fracionários com. Participaram dessa atividade quatro alunos distribuídos em dois grupos.
ANÁLISE A PRIORI
Os alunos receberam uma ficha contendo as atividades desta situação que estão disponíveis na íntegra no anexo A. Essa atividade tem como objetivo verificar se a utilização da calculadora pode contribuir para a elaboração da regra para a adição de números fracionários com mesmo denominador pelos alunos.
SITUAÇÃO 1: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Atividade 01
1.1 Utilizando a calculadora resolva cada uma das operações abaixo: a) 3 5+ 1 5 = b) 1 6+ 4 6= c) 1 4+ 2 4 = d) 2 7+ 1 7= e) 58+48 =
1.2 Escreva uma regra para ensinar seu colega de classe a fazer essas operações. 1.3 A regra que você escreveu, serve para a soma de que tipos de frações?
1.4 Faça uma representação através de um desenho de cada operação que foi feita anteriormente.
O item 1.1 solicita que os alunos resolvam com a calculadora cinco adições de números fracionários com mesmo denominador. Se não houver qualquer erro de digitação na calculadora esperamos que completem a ficha com os seguintes números fracionários: 4 5, 5 6, 3 4, 3 7 e 9
8. A adição do item (e) por um erro de digitação tem como resultado um número fracionário maior que a unidade, que não intencionávamos trabalhar, tendo em vista o que será solicitado no item 1.4. No entanto, deixamos que permanecesse no trabalho e analisaremos o que os dois grupos fará nesse item.
Para o item 1.2 esperamos que os alunos percebam que os números fracionários de cada adição solicitada têm mesmo denominador e que escrevam que para esses a regra será manter o denominador e somar os numeradores.
No item 1.3 queremos reforçar que perceberam que os números fracionários, para a regra que elaboraram, devem ter mesmo denominador.
Já para o item 1.4 tem como objetivo que os estudantes representem as adições realizadas no item 1.1 por meio de representações figurais. Acreditamos que os alunos representem figuras geométricas divididas em partes iguais, mobilizando a concepção parte-todo, visto que aprenderam números fracionários dessa forma. Não acreditamos que outras concepções sejam mobilizadas ou que outros esquemas sejam desenhados.
Durante a realização desta tarefa esperamos que os alunos vivenciem as fases de ação, formulação e validação, conseguindo respostas para as atividades que sejam consenso no grupo de trabalho.
ANÁLISE A POSTERIORI
No item 1.1 os alunos não apresentaram dificuldades e responderam corretamente a partir da utilização da máquina de calcular, como se verifica na resposta do grupo 2 apresentado na figura 32.
Figura 32 – resposta do grupo 2 para o item 1.1 da atividade 1
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Como esperávamos, nos itens 1.2 e 1.3 os alunos verbalizaram e escreveram corretamente (salvo erros de Português) a regra, como mostra a figura 33. Os dois grupos responderam da mesma forma.
Figura 33 – resposta do grupo 2 para os itens 1.2 e 1.3 da atividade 1
Para o item 1.4, como esperávamos, os dois grupos produziram representações figurais para as adições solicitadas. Esse tipo de representação eles já haviam utilizado com sua professora. No entanto, ficaram com dúvida a respeito de qual figura representar, se seria uma pizza, ou uma barra de chocolate etc., como podemos ver no diálogo que segue.
A1: pode ser pizza?
A2: pode ser barra de chocolate? A3: pode ser roda?
B1: pode ser triângulo?
P: se você souber dividir em partes iguais, tudo bem! B3: qualquer um pode?
P: depende do seu desenho, desde que seja dividido em partes iguais! B2: então pode qualquer desenho
P: sim
A2: podemos pintar?
P: sim, fica melhor para ver as partes que irão ser somadas A1: eu fiz sem pintar, está certo?
B2:fiz sem pintar, está certo? P: sim está!
Percebe-se que o formador, em dois momentos, frisa a questão da necessidade das “partes terem que ser iguais”, o que talvez não tivesse sido lembrado pelos alunos. Os alunos, por sua vez, querem saber se podem pintar, provavelmente, porque sempre que números fracionários são citados, fala-se de “partes” e “partes pintadas”.
A figura 34, mostra as figuras realizadas pelo grupo 1. Podemos perceber, que mesmo tendo perguntado e discutido a questão das partes iguais, os alunos desenharam retângulos a mão livre e fizeram as divisões aleatoriamente. Não utilizaram e nem solicitaram régua para tentar dividir em partes de mesma área. Outro ponto que pode ser destacado é que eles identificaram por um número fracionário cada parte da figura que estavam considerando e, ao lado, repetiram a adição realizada no item 1.1. Primeiro os representaram em caneta amarela, mas como ficou difícil de ler, refizeram com caneta esferográfica preta.
É importante notar que para o item (e), cuja soma é um número fracionário maior que a unidade, que os alunos desse grupo, identificaram na figura as partes
correspondentes a 5 8 e a
4
8, sem se preocuparem que uma das partes estava sobreposta e responderam 9
8, mesmo tendo dividido o inteiro em oito partes. Talvez para eles não seja natural desenhar mais um inteiro para considerar uma parte. Para Silva (2005) em situações que solicitam a mobilização da relação parte-todo não podem ser considerados números fracionários maiores que a unidade.
Figura 34 – resposta do grupo 1 para o item 1.4 da atividade 1
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Na figura 35 estão apresentadas as figuras realizadas pelos alunos do grupo 2. Diferente do grupo 1, representaram círculos além de retângulos e fizeram o mesmo procedimento do grupo anterior ao identificar por números fracionários cada parte da figura considerada e ao não utilizarem régua para tentar garantir a igualdade das partes. Todas as figuras, inclusive os círculos, foram desenhadas a mão livre e as divisões foram aleatórias. No entanto, diferente do grupo 1, os alunos para o item (e) consideraram dois círculos como inteiros e identificaram, no primeiro, utilizando as cores verde e azul, as frações 4
azul 1
8, ou seja, identificaram de verde a parte que correspondia a 4
8 e de azul as partes que correspondiam a 5
8.
Figura 35 – resposta do grupo 2 para o item 1.4 da atividade 1
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
A diferença na representação das figuras para o item (e) podem ser percebidas no diálogo que segue, entre os alunos e o professor.
P: como irão fazer os desenhos?
A1: a letra “e” só dá pra somar quatro partes de cada, como vou fazer? P: o que vocês acham que podem fazer?
A2: pode aumentar a divisão das partes? P: tentem fazer e me digam sim ou não A1: não!
P: e aí
B2: só se fizer outro desenho
P: muito bem, é isso mesmo. e pinta mais quanto A1: só um
P: certo
P: porque deve pintar somente uma? A1: pra fazer as cinco partes
Notamos que enquanto os alunos do grupo 1, se preocupam em aumentar a divisão das partes, o aluno B2 arrisca que poderia fazer outro desenho e o professor prontamente confirma e pergunta quantas partes pintará no novo desenho. Mas o aluno A1 do grupo 1, acha que deveriam fazer cinco partes, mas o professor não responde e solicita que construam as figuras.
No final da realização dessa atividade houve uma discussão geral das soluções, da qual apresentamos o diálogo que segue.
P: conseguiram realizar todos os cálculos das operações? G1 e G2: sim!
P: o que acharam? G1e G2: muito fácil?
P: houve alguma dificuldade
G1 E G2: com a calculadora é muito fácil
P: o que vocês observaram na parte de baixo (denominadores) de cada operação?
G1 e G2: todos foram unânimes respondendo que eram iguais. P: escreveram a regra para essas somas?
A1: soma e repete
A2: o mesmo em baixo e soma em cima A3: o mesmo da colega
B1: soma de cima repete de baixo B2: é como falaram
B3: é soma e repete
P: e a regra vocês acham que serve para que tipo de fração? G1 e G2: quando as partes de baixo são iguais
Percebe-se no diálogo que os alunos atribuem ao uso da calculadora o sucesso na realização das atividades.
Durante a atividade 1, os dois grupos percorreram as fases de ação, formulação e validação e fizemos, na discussão mostrada acima, uma institucionalização local para essa regra. Podemos inferir que a calculadora científica com representação fracionária facilitou a percepção da regra pelos alunos. Por outro lado, não tiveram dificuldades na conversão de uma
representação numérica para uma representação figural de adições de números fracionários com mesmo denominador.
3º Encontro
Foi realizado no dia 01/10/2014 com a atividade de adição de números fracionários com mesmo denominador sem o auxílio da calculadora. As duas duplas de alunos trabalharam separadamente. E foram orientados a resolver a atividade utilizando a regra que haviam encontrado na atividade anterior.
ATIVIDADE 02
2.1 Resolva cada uma das operações abaixo sem o auxílio da calculadora. a) 3 5+ 2 5 = b) 2 6+ 1 6= c) 14+34 = d) 27+37=
2.2 O que você observou no resultado dessas operações?
2.3 A regra que você encontrou na situação 1 também serve para estes cálculos?
ANÁLISE A PRIORI
Essa atividade tem como objetivo verificar se os alunos aplicam a regra para adição de números fracionários com mesmo denominador desenvolvida na atividade anterior para realizar operações sem a utilização da calculadora.
Esperamos que no item 2.1 os alunos apliquem adequadamente a regra e concluam que os resultados são: 5
5, 3 6, 4 4 e 5
7 e ainda que percebam que podem utilizar a regra sem o auxílio da calculadora.
ANÁLISE A POSTERIORI
Os alunos fizeram a atividade sem problemas e solicitaram, no final, para utilizar a calculadora para verificar se os resultados estavam corretos. O grupo 01 constatou que os seus cálculos estavam corretos como mostra a figura 36 e o grupo (02) constatou que os seus estavam todos incorretos. Imediatamente, perceberam que não haviam somado os numeradores, mas repetido o denominador das frações nos numeradores. Sem interferência do professor apagaram o que haviam feito e
escreveram as respostas corretas afirmando que haviam entendido o erro cometido.
Figura 36 – resposta do grupo 1 para o item 2.1 da atividade 2
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
No item 2.2 os alunos perceberam que os números fracionários dados tinham mesmo denominador, mas escreveram que “o número de baixo se repetiu”, como mostra a figura 37.
Figura 37 – resposta do grupo 1 para o item 2.2 da atividade 2
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
No item 2.3 um grupo respondeu que sim, e que ficava mais fácil, enquanto o outro respondeu que sim, e que estava igual ao da máquina. Após a resolução dos alunos deu-se a seguinte discussão.
P: todos já acabaram? G1 e G2: já!
P: vamos ver o que cada grupo fez!
P: o grupo (01) fez tudo certo, mas o (02) não, o que foi que vocês fizeram? B3:repetiu o primeiro e repetiu o de baixo
P: mas é assim a regra? B1:não!
P: como é então, vamos lembrar a atividade e a regra passada! B1:soma de cima e repete de baixo
P: então é isto que deverão fazer B2: é só somar em cima
P: vou dar mais um tempo para poderem refazer os exercícios B1, B2 e B3: já acabamos!
P: ótimo, agora está tudo certo, acho que foi falta de atenção de vocês. Após a discussão os alunos do grupo 2 perceberam, efetivamente, o que tinham errado e afirmaram que realmente tinham compreendido como fazer os cálculos de maneira correta. Podemos perceber que os alunos percorreram as fases de ação, formulação e validação propostas por Brousseau (1986). No final da atividade, o professor institucionalizou a regra operatória para adição de números fracionários com mesmo denominador em discussão coletiva com os alunos.
4º Encontro
Foi realizado no dia 03/11/2014, com a atividade de adição de números fracionários com denominadores diferentes. As duas duplas trabalharam separadamente.
ATIVIDADE 3
3.1 Utilizando a calculadora resolva cada uma das operações abaixo: a) 1 2+ 1 3 = b) 3 4+ 2 6= c) 3 5+ 1 2 = d) 2 3+ 4 9= e) 1 3+ 1 5 = f) 3 4+ 2 5= g) 5 6+ 2 4 =
3.2 O que você observou sobre os denominadores de cada exemplo anterior? 3.3 Escreva uma regra para ensinar o seu colega de classe a fazer essas operações.
ANÁLISE A PRIORI
Essa atividade tem como objetivo conduzir os alunos para a elaboração da regra para a adição de números fracionários com denominadores diferentes mediada pela máquina de calcular científica com representação fracionária. Para realizar essas operações, esperamos que os alunos mobilizem conhecimentos já estudados anteriormente. Os alunos deverão realizar uma discussão entre eles, e ou entre os grupos visando esclarecer ou tirar alguma dúvida sobre as questões,
para facilitar a compreensão das operações e para a percepção da regra geral para essas operações que deverá ser apresentada ao final.
Para a realização do item 3.1 esperamos que os alunos utilizem a calculadora e anotem os resultados das operações realizadas, escrevendo, 5
6, 13 12, 11 10, 10 9, 8 15, 23 20 e 4
3. Acreditamos que no item 3.2 os alunos respondam que os números têm denominadores diferentes, e busquem justificar os resultados encontrados por uma regra no item 3.3.
ANÁLISE A POSTERIORI
No item 3.1 os alunos utilizaram adequadamente a calculadora e responderam corretamente as operações solicitadas, como mostram as figuras 38 e 39.
Figura 38 – resposta do grupo 1 para o item 3.1 da atividade 3
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Figura 39 – resposta do grupo 2 para o item 3.1 da atividade 3
Para o item 3.2, como previmos, os alunos não tiveram dificuldade em responder que em todos os casos, os denominadores dos números que estavam nas operações eram diferentes, como mostram as respostas dos grupos apresentadas pelas figuras 40 e 41.
Figura 40 – resposta do grupo 1 para o item 3.2 da atividade 3
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Figura 41 – resposta do grupo 2 para o item 3.2 da atividade 3
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
No item 3.3 os alunos tiveram bastante dificuldade e nem, com a mediação do professor conseguiram verbalizar uma regra para as operações.
Entendemos que um dos motivos do insucesso nessa atividade foi o professor não poder, em sua discussão, solicitar que os alunos mobilizassem a equivalência de números fracionários, pois os alunos ainda não tinham estudado tal conteúdo. Além disso, percebemos que não tivemos o cuidado necessário na elaboração da atividade, pois em várias operações escolhemos números cujos resultados poderiam ser simplificados e, nesses casos, a calculadora simplifica o que dificultou os alunos a relacionarem os denominadores dos números apresentados para operação com o denominador apresentado na resposta. Por outro lado, poderíamos ter utilizado outros recursos, como figuras por exemplo, que poderiam, juntamente com a calculadora, ter auxiliado o aluno na percepção da regra. Não podemos assim, analisar o papel da calculadora nessa atividade.
O professor depois de algumas tentativas informou aos alunos que aprenderiam tal operação com a professora da sala e passou para a atividade que envolvia a subtração de números fracionários com mesmo denominador, pois pelo resultado da atividade 3 eles não teriam condições de resolver a atividade 4.
5º Encontro
Essa atividade foi realizada no dia 06/11/2014, com a participação de quatro alunos distribuídos em dois grupos. O objetivo da atividade foi o de levar os alunos á elaborarem a regra da subtração de frações com mesmo denominador.
Atividade 05
5.1 Resolva cada uma das operações abaixo com o auxílio da calculadora.
a) 2 3− 1 3= b) 7 8− 4 8 = c) 9 10− 5 10= d) 4 7− 2 7 = e) 7 9− 3 9= f) 5 6− 3 6 =
5.2 Escreva uma regra para ensinar os seus colegas de classe a fazer essas operações.
ANALISE A PRIORI
Essa atividade tem como objetivo verificar se os elaboram uma regra para a subtração de números fracionários com denominadores iguais a partir da calculadora. Esperamos que utilizem adequadamente a calculadora e que escrevam na ficha os resultados corretos para as subtrações solicitadas, ou seja, 3 8, 2 5, 2 7, 4 9 e 1
3. No item 5.2 esperamos que os alunos percebam que os números dados nas operações têm mesmo denominador e associem a regra já obtida na atividade 1 e respondam que basta manter o denominador e subtrair os numeradores.
ANALISE A POSTERIORI
No item 5.1 os alunos resolveram todos os itens, como mostram as respostas dos grupos apresentadas nas figuras 42 e 43. No entanto, embora tenham achado fáceis as operações, os dois grupos erraram o item (b) respondendo 2
5 em vez de 4
5. Durante a discussão da atividade perceberam o erro e o corrigiram. Depois da resolução desse item deu-se o seguinte diálogo.
P: vocês têm alguma dificuldade para resolver os cálculos das operações? G1 e G2: todos responderam que não
P: será que alguém ainda vai errar? G1 e G2: não
A1 e A2: é muito fácil
P: então vamos escrever a regra B1: pode ser em palavras P: pode ser
Figura 42 – resposta do grupo 1 para o item 5.1 da atividade 5
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Figura 43 – resposta do grupo 2 para o item 5.1 da atividade 5
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
No item 5.2 os alunos dos dois grupos não tiveram dificuldade para verbalizar a regra geral da operação, como mostram as respostas dos alunos nas figuras 44 e 45.
Figura 44 – resposta do grupo 1 para o item 5.2 da atividade 5
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Figura 45 – resposta do grupo 2 para o item 5.2 da atividade 5
Podemos perceber que os alunos percorreram as fases de ação, formulação e validação propostas por Brousseau (1986) durante a realização da atividade e, no final, o professor institucionalizou a regra operatória para a subtração de números fracionários com mesmo denominador em discussão coletiva com os alunos.
6º Encontro
No sexto encontro havíamos programado realizar a atividade 6 que tratava de subtração de números fracionários com denominadores diferentes, mas depois do ocorrido com a atividade de adição resolvemos não aplicar a atividade 6 e partir para a seguinte. Esse encontro ocorreu no dia 07/11/2014, e contou com a participação de quatro alunos distribuídos em dois grupos.
ATIVIDADE 07
a) Pinte três partes da figura de uma cor e duas outras partes de outra cor. b) Que partes da figura foram pintadas?
c) Que sentença matemática representa a soma dessas partes?
d) Que sentença matemática representa a diferença entre a maior parte e a menor parte
ANÁLISE A PRIORI
Está atividade teve como objetivo a conversão de uma representação figural para a representação numérica, pois de acordo com Duval (1993) a conversão de representações para registros diferentes pode contribuir significativamente para o aprendizado do aluno.
Esperamos que os alunos, para a realização dessa atividade, mobilizem a concepção parte todo e associem para a primeira parte pintada o número fracionário 3
8 e para a segunda o número 2
8. Para o item (c) esperamos que os alunos escrevam que a soma será representada por 38+28= 58 e para o item (d) que escrevam 38−28 =18.
ANÁLISE A POSTERIORI
Para a realização desta atividade, os alunos não apresentaram dificuldades, pois já haviam realizado várias atividades envolvendo representações figurais de números fracionários. Após pintarem as partes solicitadas no item (a) um grupo respondeu para o item (b) “duas partes e três partes”, mas identificou na figura o número fracionário para cada cor pintada. O outro grupo não respondeu a questão, mas também identificou na figura o número fracionário correspondente a cada parte pintada, como mostram as figuras 46 e 47.
Figura 46 – resposta do grupo 1 para o item (a) da atividade 7
Fonte: Atividade realizada pelos alunos
Figura 47 – resposta do grupo 2 para o item (a) da atividade 7
Para os itens (c) e (d) os alunos apresentaram corretamente as duas sentenças matemáticas solicitadas.
Durante a realização da atividade surgiram algumas dúvidas como mostra o diálogo que segue.
A1: pode pintar de qualquer cor? P: pode sim
B2: o que é a sentença? P: quem pode dizer
B1: é a continha que vamos fazer P: todos concordam?
G1 e G2: sim
A2: é uma de mais e outra de menos, não é professor? P: todos concordam?
G1 e G2: sim
A2: pode fazer um desenho separado para cada conta? P: se quiser, pode
B1; fica melhor
P: então façam como acharem melhor pra vocês A1: a diferença é menos, não é professor? P: sim
Os dois grupos fizeram o que foi solicitado, muito bem e praticamente sem necessidade de mediação do professor e gostaram da atividade porque envolvia desenho e pintura.
Podemos perceber que os alunos percorreram as fases de ação, formulação e validação propostas por Brousseau (1986) e, no final o professor reforçou as regras operatórias para a adição e subtração de números fracionários em discussão coletiva com os alunos.
SITUAÇÃO 02: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS 7º Encontro
Esse encontro foi realizado no dia 13/11/2014 e deu início às atividades que tratavam das operações de multiplicação e divisão de números fracionários.