5.1. Hva kjennetegner brukerkommentarene?
5.1.2 Innlegg med selvprofilering
Os parâmetros presentes na equação que represente um processo físico podem ser dimensionais ou adimensionais com valores numéricos dependentes das unidades de medida adotada, são eles: variáveis, constantes físicas específicas, constantes físicas universais e fatores. São exemplos a força, módulo de elasticidade e a aceleração da gravidade.
Tais parâmetros presentes nas leis físicas são quantidades (magnitudes) das grandezas físicas. Tais grandezas físicas são, por exemplo, a massa, o comprimento ou o tempo. O Sistema Internacional de Unidades (SI) é constituído por sete grandezas físicas fundamentais, consoante Tabela 5.1:
Tabela 5.1-Grandezas físicas fundamentais do SI
Grandeza física fundamental Símbolos usuais Símbolos nas fórmulas dimensionais Unidade comprimento l, L L Metro (m) massa m, M M Quilograma (kg) tempo t, T T Segundo (s)
corrente elétrica i, I I Ampére (A) temperatura absoluta ou termodinâmica T, Θ Θ Kelvin (K)
intensidade luminosa I, Iv Iv Candela (cd) quantidade de substância n Mol, N Mol (mol)
Quando existem na relação funcional (equação do processo físico) grandezas do mesmo tipo uma delas deverá ser selecionada e definida como representativa, as demais grandezas do mesmo tipo são substituídas por relações com a eleita como representativa. Tais relações são adimensionais e comumente chamados de fatores de forma. Exemplo bastante característico são as relações entre comprimentos. Uma dimensão é escolhida como representativa e as demais são relações que irão conter a informações da geometria do corpo. Outro exemplo, são as forças concentradas que poderão ser representadas mediante relações com uma força escolhida como principal.
Algumas vezes não é possível definir, por exemplo, a geometria de um corpo por um número finito de parâmetros geométricos, ou seja, os fatores de forma. É o caso dos
(
)
1
g
2,
3,...,
k55
contornos curvos cuja forma é dada por meio de uma função. Ao substituir as coordenadas de um ponto dessa curva por suas relações com a dimensão representativa essa função passa a ser adimensional sendo chamada de função de forma. Este conceito pode ser aplicado quando o comportamento físico de uma substância é não linear, nesse caso é impraticável caracteriza-lo apenas por uma constante física específica. É o caso dos corpos sólidos que não obedecem a lei de Hooke (CARNEIRO, 1993).
Segundo CARNEIRO (1993), na análise dimensional é definido que uma das variáveis é a dependente, ou seja, é a incógnita do problema, as demais variáveis, constantes físicas universais ou específicas, fatores de forma e funções de forma constituem os dados do problema. Sendo que a variável dependente está presente em apenas um número Π.
(variável dependente) = f(variáveis dependentes, constantes físicas específicas, constantes físicas universais, fatores de forma, funções de forma)
(5.5)
Para obtenção dos números Π’s é utilizada a segunda parte do teorema pi de Buckingham que afirma:
“Encontrada a redução j, selecionamos então j variáveis de escala que não formem um Π entre elas mesmas. Cada grupo Π será um produto de potências dessas j variáveis e uma variável adicional, à qual é atribuído qualquer expoente não nulo conveniente. Cada grupo Π assim encontrado é independente.”
Nesse contexto, há os conceitos de protótipo e modelo explanados nos parágrafos seguintes:
Protótipos (P) são fenômenos que se pretender simular com o objetivo de prever seu comportamento, como exemplo no campo da engenharia estrutural podemos citar uma viga metálica de um viaduto que se pretende entender o comportamento da sua capacidade de resistência aos esforços de momento fletor quando exposta ao aumento de sua temperatura provocado por um incêndio. A referida viga é o protótipo. Outro exemplo, no campo da engenharia aeronáutica, seria um novo modelo de avião onde a questão a ser estudada são as forças de arrasto causado por sua aerodinâmica.
Modelos (M), ou modelos em escala, ou modelos reduzidos, são a representação dos fenômenos (protótipos) a serem estudados em diferentes escalas. Tais representações devem obedecer a relações apropriadas entre as propriedades geométricas, as forças
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atuantes e propriedades do material, todos compatíveis com as variáveis a serem estudadas e limitações de ordem construtiva. Aproveitando o exemplo citado anteriormente, seriam construídos modelos de vigas metálicas em escalas menores que a unidade a fim representar as vigas de um viaduto submetidas a um incêndio. A partir de experimentos realizados nos modelos buscam-se prever o comportamento dos protótipos.
Segundo ensinado por MURPHY (1950), um modelo é um dispositivo que está tão relacionado a um sistema físico que as observações no modelo podem ser usadas para prever com precisão o desempenho do sistema físico no escopo desejado. O sistema físico para o qual as previsões devem ser feitas é chamado de protótipo. Em regra, mais de um modelo podem ser usados para prever o comportamento de um dado protótipo.
Outro conceito muito importante é o fator de escala definido como relações entre as magnitudes das grandezas de mesmo tipo (CARNEIRO, 1993). Magnitudes são os valores dos parâmetros. É definido por exemplo, segundo MURPHY (1950), como a razão de uma distância pertinente no protótipo para a distância correspondente no modelo.
Assim, via de regra, toda e qualquer distância no modelo deverá ser 1
n da
correspondente distância no protótipo.
(5.6)
Nesse mister, há o conceito de pontos homólogos definidos como pontos no modelo correspondentes aos pontos no protótipo. As posições dos referidos pontos devem obedecer ao fator de escala. Pode-se também, introduzir o conceito de tempos homólogos definidos como o tempo no modelo correspondentes ao tempo no protótipo. Os tempos homólogos obedecem a parâmetros adimensionais relacionados ao tempo.
Voltando a segunda parte do teorema pi de Buckingham e ilustrando sua aplicação, WHITE (2002) exemplifica um caso que se quer analisar experimentalmente a força F sobre um corpo imerso em uma corrente de fluido e que tal força dependa do comprimento do corpo L, da velocidade da corrente V, da massa específica ρ e da viscosidade do fluido
μ, conforme expressão seguinte.
(5.7) 1 fator de escala = distância no protótipo distância no modelo
(
)
(
)
1 2, ,...,
3 n, , ,
v
=
f v v
v
F
=
f L V
57
Aplicando o teorema de Buckingham, a formulação anterior ficou equivalente a expressão a seguir.
(5.8)
Segundo WHITE (2002) a análise dimensional nos fornece leis de transposição, ou leis de escala (scaling laws) conforme SAITO, ITO e KUWANA (2015), que permitam converter dados de um modelo (M) pequeno e barato em informação de projeto de um protótipo (P) grande e caro. Assim, quando a lei de transposição é válida existe semelhança entre o modelo e o protótipo. No caso da equação (5.8) a semelhança ocorre
se o número de Reynolds =2 VL é o mesmo para o modelo e para o protótipo
incorrendo o mesmo para a expressão 1 F 2 2
V L
= , conforme expressões seguintes onde
os parâmetros adimensionais, ou números Π’s, devem ser obrigatoriamente igual no
protótipo e no modelo
(
= p m)
.(5.9)
(5.10)
Um esquema gráfico do processo de aplicação da teoria da semelhança é apresentado em seguida conforme COUTINHO, BAPTISTA e RODRIGUES (2016). Onde as leis de escalas (scaling laws) referem-se aos números adimensionais ou números Π’s.
Figura 5.1-Esquema para previsão do comportamento estrutural de um protótipo baseado em resultados experimentais do modelo em escala, adaptado de COUTINHO, BAPTISTA e
RODRIGUES (2016).
(
)
1 2, 3,..., k 2 2 F VL g g V L = = 1 1 2 2 2 2 p m p m p p p m m m F F V L V L = = 2 2 p p p m m m p m p m V L V L = =Modelo em escala real Modelo em escala reduzida
Condições de semelhança Leis de escala Geometria Geometria Comportamento estrutural Comportamento estrutural
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Em uma visão mais geral e em termos matemáticos a definição de semelhança foi apesentada por LANGHAAR (1951):
Uma função f é semelhante a uma função f’, desde que a razão f/ f’ seja uma constante, quando as funções são avaliadas para pontos homólogos e tempos homólogos. A constante λ = f ‘/f é chamada de fator de escala para a função f.
De uma outra perspectiva e, também, de forma geral (SZÜCS, 1980) afirma:
A suficiente e necessária condição de semelhança entre dois sistemas é que o modelo matemático de um tenha relação de transformação biunívoca com o outro.
(5.11)
Onde:
Xp Vetor com os parâmetros do protótipo
Matriz transformação contendo as variáveis adimensionais ou números Π’s X
m Vetor com os parâmetros do modeloEm resumo, para que um protótipo possa ser representado por um modelo, ou seja, que os resultados aferidos dos experimentos com o modelo possam ser extrapolados ao protótipo, é necessário que, primeiramente, exista semelhança geométrica. Em seguida, em princípio, obedecer a semelhança física no qual todas as variáveis adimensionais obtidas do teorema pi de Buckingham – números Π’s ou grupos adimensionais -, fatores de forma e funções de forma devem ser iguais no protótipo e no modelo.