Seja A um dom´ınio de Dedekind com corpo de fra¸c˜oes K. Nesta se¸c˜ao estudaremos a fatora¸c˜ao dos ideais primos de A no fecho integral B de A numa extens˜ao de Galois L|K. A hip´otese adicional que L|K ´e Galois nos permite, como veremos na proposi¸c˜ao seguinte, obter mais informa¸c˜oes a fatora¸c˜ao do ideal P B em B, onde P ∈ Max(A).
Seja L|K um extens˜ao de Galois finita com grupo de Galois G = Gal(L|K). Vimos na proposi¸c˜ao 1.1.3 que σ(B) = B, para todo σ ∈ G. Considere a aplica¸c˜ao natural:
π : Spec(B)−→ Spec(A),
associada a extens˜ao B|A. Seja P ∈ Spec(A), sabemos que π−1(P ) ´e finito (veja 2.1.1),
digamos {M1, . . . , Ms}, uma vez que σ(P ) = P , conclu´ımos que σ(Mi)∈ π−1(P ).
Proposi¸c˜ao 2.6.1 Seja P ∈ Max(A). Sejam Mi e Mj dois ideais maximais distintos em
π−1(P ). Ent˜ao existe σ ∈ G tal que σ(M
i) = Mj. Al´em disso, eM1/P =· · · = eMs/P = e e
fM1/P =· · · = fMs/P = f . Em particular, P B = (M1· · · Ms)
e e [L : K] = ef s.
Demonstra¸c˜ao: Suponha por absurdo que existam dois ideais maximais Mi e Mj em
π−1(P ) tal que σ(M
i) = Mj,∀σ ∈ G. Sem perda de generalidade, podemos assumir que
σ(M1) = Ms,∀σ ∈ G. Os ideais maximais no conjunto {σ(M1)|σ ∈ G} ⊔ {Ms} s˜ao
dois a dois coprimos. Portanto, o teorema do resto Chinˆes implica que ∃x ∈ B tal que x ≡ 1modσ(M1),∀σ ∈ G, e x ≡ 0modMs. Seja y := σ∈Gσ(x). Claramente, y ∈
B ∩ K = A. Afirmamos que y ∈ M1. De fato, se y =
σ∈Gσ(x) ∈ M1, ent˜ao existe
σ ∈ G tal que σ(x) ∈ M1, ou equivalentemente que x ∈ σ−1(M1) o que ´e contradi¸c˜ao
uma vez que x ≡ 1modσ(M1). Portanto y ∈ M1 e assim, y ∈ M1 ∩ A = P. Por outro
lado, y ∈ Ms∩ A = P pois x ∈ Ms. Esta contradi¸c˜ao sobre y completa a demonstra¸c˜ao a
primeira parte da proposi¸c˜ao.
Um automorfismo σ : B → B induz um isomorfismo σ : B/M1 −→ B/σ(M1) tal que
σ|A/P = idA/P. Ent˜ao fM1/P = fσ(M1)/P, para todo σ ∈ G. Sabemos {σ(M1)|σ ∈ G} =
π−1(P ), ent˜ao f
Mi/P = fσ(M1)/P,∀i = 1, . . . , s. Pela defini¸c˜ao de ´ındice de ramifica¸c˜ao
P B = MeM1/P
1 · · · M eMs/P
s . Portanto, para todo σ ∈ G,
2.6 Extens˜oes de Galois 67
Da unicidade da fatora¸c˜ao, conclu´ımos eM1/P = eσ(M1)/P,∀σ ∈ G. Uma vez que
{σ(M1)|σ ∈ G} = π−1(P ), eM1/P = eMi/P,∀i = 1, . . . , s.
Observa¸c˜ao 2.6.1 Seja L|K uma extens˜ao de Galois. Sejam A e B an´eis tais que K ´e o corpo de fra¸c˜oes de A e B ´e o fecho integral de A em L. Tome G = Gal(L|K). Existe uma a¸c˜ao natural de G sobre Max(B) dada por σ· M = σ(M). Sejam M ∈ Max e P = M ∩ A. O estabilizador de M ´e DM/P :={σ ∈ G|σ(M) = M}. ´E f´acil verificar que
DM/P ´e um grupo, chamado de grupo de decomposi¸c˜ao de M. A proposi¸c˜ao 2.6.1 afirma
que a a¸c˜ao de G em π−1(P ) ´e transitiva. Assim, se π−1(P ) ={M
1, . . . , Ms}, ent˜ao
|G/DM/P| = |´orbita de M| = s.
Em particular, |DM/P| = eM/PfM/P. Pela transitividade da a¸c˜ao de G em {M1, . . . , Ms}
σ∈G
σ(M ) = (M1· · · Ms)|DM/P| = P BfM/P.
Cada automorfismo σ : B → B, σ ∈ DM/P induz uma aplica¸c˜ao natural
σ : B/M −→ B/σ(M) = B/M,
cuja σ|A/P = idA/P. Seja G o grupo de Galois de B/M sobre A/P . A aplica¸c˜ao DM/P →
G, σ → σ, ´e um homomorfismo de grupos cujo n´ucleo ´e IM/P := {σ ∈ DM/P|∀b ∈
B, σ(b)≡ b(modM)}. Este grupo ´e chamado de grupo de in´ercia de M. Observamos que, |DM/P/IM/P| |G| [B/M : A/P ] = fM/P.
O seguinte lema mostra que quando B/M ´e separ´avel sobre A/P , ent˜ao |DM/P/IM/P| = fM/P,
ou, equivalentemente, que a aplica¸c˜ao DM/P → G ´e sobrejetiva. Disso segue que |IM/P| =
eM/P, uma vez que
|IM/P| · |DM/P/IM/P| · |G/DM/P| = |G| = eM/P · fM/P · s.
Lema 2.6.1 Se a extens˜ao B/M de A/P for separ´avel, ent˜ao ´e de Galois de grau fM/P
e a aplica¸c˜ao DM/P → G ´e sobrejetiva. Al´em disso, M ´e ramificado sobre A se, e s´o se,
IM/P = {id}.
Demonstra¸c˜ao: Uma vez que B/M ´e separ´avel sobre A/P , toma α ∈ B/M tal que B/M = (A/P )(α). Sejam α ∈ B tal que α ≡ αmod(M), f(y) := minAα ∈ A[y] e
2.6 Extens˜oes de Galois 68
g(y) = minA/Pα ∈ (A/P )[y]. Desde que f se fatora completamente em B[y], g se fatora
completamente em (B/M )[y]. Ent˜ao B/M ´e Galois sobre A/P. O teorema 2.1.2 mostra que podemos escolher escolher α tal que α ∈ σ(M), ∀σ ∈ DM/P. Por, f (y) =σ∈H(y−
σ(α)) para algum H ⊆ G, somente as ra´ızes n˜ao nulas modM s˜ao os elementos de σ(α) modP, com σ ∈ DM/P. Assim, os elementos σ(α), σ∈ DM/P, s˜ao exatamente as ra´ızes do
polinˆomio g. Como um isomorfismo de (A/P )(α) sobre A/P ´e unicamente determinado pela imagem de α, a aplica¸c˜ao DM/P → G ´e sobrejetiva e |IM/P| = eM/P. Ent˜ao, M ´e
ramificado sobre P se, e somente se, IM/P = {id}, como desejado.
Vamos assumir para o restante desta se¸c˜ao que a extens˜ao de corpos residuais B/M sobre A/P ´e separ´avel. Quando IM/P = DM/P ={id}, P B = M1· · · M[L:K] e o ideal primo P
´e dito completamente decomposto em B. Quando IM/P = DM/P = G, P B = M[L:K] e o
ideal primo P ´e dito totalmente ramificado em B. Quando IM/P ={id} e DM/P = G, P B
´e um ideal primo de B e o ideal primo P ´e dito inerte em B.
Agora seja K′ um extens˜ao intermedi´aria entre K e L. Ent˜ao K′ = LH para algum H
subgrupo de G. Seja P′ = M∩ BH, onde BH ´e o fecho integral de A em K′. Sejam e′ =
eM/P′, f′ = fM/P′, s′ = [L : K′]/e′f′ e analogamente e = eM/P, f = fM/P, s = [L : K]/ef.
Sejam D, D′ os grupos D
M/P, DM/P′ e I, I′ os grupos IM/P, IM/P′ respectivamente.
Segue imediatamente da defini¸c˜ao que D′ = D∩ H e que I′ = I ∩ H. Em particular, se
H = D, ent˜ao D′ = Gal(L|K′), com |D′| = e′f′. Neste caso s′ = 1, de modo que M ´e
o ´unico primo de B al´em de M ∩ BD. Se H = I, ent˜ao I′ = Gal(L|K′), com |I′| = e′.
Portanto, neste caso o ideal primo M ∩ BI se ramifica totalmente em B, com ´ındice de
ramifica¸c˜ao e, al´em disso o ideal primo M ∩ BD ´e inerte em BI.
Proposi¸c˜ao 2.6.2 Com as nota¸c˜oes e hip´oteses introduzidas acima, 1. LI ´e o maior corpo intermedi´ario K′ tal que e
P′/P = 1.
2. LD ´e o maior corpo intermedi´ario K′ tal que e
P′/P = fP′/P = 1.
3. LI ´e o menor corpo intermedi´ario K′ tal que M ´e totalmente ramificado sobre P′.
4. LD ´e o menor corpo intermedi´ario K′ tal que M ´e o ´unico primo de B tal que
M ∩ A = P′.
Demonstra¸c˜ao: Lembre que se H e H′ s˜ao dois subgrupos de G, ent˜ao LHLH′
= LH∩H′
. Assim, LD′
= LDK′ e LI′
= LIK′. Agora, considere o seguinte diagrama de corpos
K′ −→ Ks′ ′LD −→ Kf′ ′LI −→ Le′
↑ ↑ ↑ ↑
2.6 Extens˜oes de Galois 69
1-Suponha que eP′/P = 1. Ent˜ao pela multiplicidade de ´ındice de ramifica¸c˜ao, e = e′.
Como LI ⊆ LIK′, conclu´ımos LI = LIK′ e assim K′ ⊆ LI.
2- Se na extens˜ao K′|K, e
P′/P = fP′/P = 1 pela multiplicidade do ´ındice de ramifica¸c˜ao
e do grau residual, e = e′ e f = f′. Do diagrama anterior LD = LDK′ e assim K′ ⊆ LD.
3- Se M ´e totalmente ramificado sobre P′, ent˜ao [L : K′] = e′. Segue do diagrama que
K′ = LIK′, tal que LI ⊆ K′.
4- Se M ´e o ´unico primo sobre P′, ent˜ao H = Gal(L|K′) = D′. Como D′ = D∩ H, segue
H ⊆ D, tal que LD ⊆ K′.
Corol´ario 2.6.1 Sejam L|K e L′|K extens˜oes separ´aveis contidas no fecho alg´ebrico K
de K. Seja OK um dom´ınio de Dedekind cujo corpo de fra¸c˜oes K. Sejam OL,OL′ e OLL′
os fechos integrais de OK em L, L′ e LL′ respectivamente. Seja P ∈ Max(OK) e suponha
que o corpo OK/P ´e perfeito. Ent˜ao P ramifica em OLL′ se, e somente se, P ramifica
em OL ou OL′.
Demonstra¸c˜ao: Vamos assumir que P n˜ao se ramifica em OL e OL′. Sejam N uma
extens˜ao de Galois em K que contenha L e L′ e O
N o fecho integral de OK em N. Seja
P∈ Max(ON) tal que P∩ OK = P. Pela proposi¸c˜ao 2.6.2, L, L′ ⊆ NI(P
′/P )
, uma vez que os primos P∩ OL e P∩ OL′ n˜ao s˜ao ramificado sobre P. Assim, LL′ ⊆ NI(P
′/P )
e pela multiplicidade do ´ındice de ramifica¸c˜ao, P n˜ao se ramifica em OLL′.
Reciprocamente, se P n˜ao se ramifica em OLL′, ent˜ao pela multiplicidade do ´ındice de
ramifica¸c˜ao, P n˜ao se ramifica em OL e OL′.
Defini¸c˜ao 2.6.1 Suponha que A/P ´e um corpo finito de ordem q = pn. Ent˜ao B/M ´e
Galois sobre A/P , com gerador canˆonico para seu grupo de Galois dado por:
ϕ : B/M −→ B/M
x −→ xq.
Quando M ´e n˜ao ramificado sobre A, denotamos por Frob(M ) o ´unico elemento de DM/P
que a aplica¸c˜ao ϕ restringe a aplica¸c˜ao DM/P → G. O elemento Frob(M) ´e chamando de
substitui¸c˜ao Frobenius de M. Ele ´e o ´unico elemento de G tal que ∀b ∈ B, Frob(M)(B) ≡ bqmod(M ).