Os grupos de decomposi¸c˜ao, in´ercia e ramifica¸c˜ao s˜ao de fundamental importˆancia na teoria da ramifica¸c˜ao. Estes grupos tem caracter´ısticas especiais que veremos neste se¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao do Teorema de Kronecker-Weber ´e feita observando tais caracter´ısticas. A principal referˆencia desta se¸c˜ao ´e [12].
Consideramos, nesta se¸c˜ao, A um dom´ınio de Dedekind, K seu corpo de fra¸c˜oes, L uma extens˜ao de Galois de K, com grupo de Galois G e OL o anel de inteiros de L sobre
A.
Proposi¸c˜ao 2.18 Sejam p1, . . . , pr ideais primos e b um ideal arbitr´ario de A. Se b ⊆
Demonstra¸c˜ao. Como OL ´e um dom´ınio de Dedekind, segue que pi pj, para todo
i = j, com i, j = 1, . . . , r, pois pi ´e maximal. Seja cj,i ∈ pi− pj. Suponhamos que b pj,
para todo j = 1, . . . , r. Assim, existe bj ∈ b − pj, para j = 1, . . . , r. Consideramos
aj = cj,1 · . . . · cj,j−1 · bj · cj,j+1 · cj,r ∈ (p1 ∩ . . . ∩ pj−1 ∩ b ∩ pj+1 ∩ pr) − pj. Logo, r
j=1
aj ∈ b − (p1 ∪ . . . ∪ pr), ou seja, b p1 ∪ . . . ∪ pr. Portanto, b ⊆ pj, para algum
j = 1, . . . , r.
Teorema 2.8 Sejam p um ideal primo n˜ao nulo de A e P1, . . . , Pg os ideais primos de
OL que est˜ao acima de p.
a) σ(OL) = OL, para qualquer σ ∈ G;
b) Todo σ ∈ G induz um Ap-isomorfismo de OL Pj
sobre OL σ(Pj)
, para j = 1, . . . , g; c) P1, . . . , Pg s˜ao dois a dois conjugados;
d) e = e(P1|p) = . . . = e(Pg|p) e f = f(P1|p) = . . . = f(Pg|p).
Demonstra¸c˜ao. a) Se α ∈ OL, ent˜ao existe um polinˆomio mˆonico f (x) ∈ A[x] tal que f (α) = 0. Assim, para qualquer σ ∈ G, segue que f(σ(α)) = 0. Portanto, σ(OL) ⊆ OL.
Analogamente, tem-se que σ−1(O
L) ⊆ OL. Como OL = σσ−1(OL), segue que OL ⊆ σ(OL).
Portanto, σ(OL) = OL.
b) Consideramos σ|OL, a restri¸c˜ao de σ ∈ G a OL, e ϕj : OL −→
OL
σ(Pj)
dada por ϕj(α) = α + σ(Pj), para j = 1, . . . , g. O homomorfismo composi¸c˜ao
ϕj ◦ σ|OL :OL−→
OL
σ(Pj)
α −→ σ(α + Pj),
´e sobrejetor e tem n´ucleo Pj. Portanto, OL
Pj ≃
OL
σ(Pj)
como A
p-espa¸cos vetoriais.
c) Mostramos que {P1, . . . , Pg} = {σ(P1); σ ∈ G}. De fato, para todo σ ∈ G, tem-se
que σ(P1) ∩ A = σ(P1 ∩ A) = p. Portanto, σ(P1) ∈ {P1, . . . , Pg}. Agora, suponhamos
que Pj ∈ {σ(P/ 1); σ ∈ G}, para algum j = 1, . . . , g. Como Pj ´e um ideal maximal de OL,
segue que Pj σ(P1), para todo σ ∈ G. Pela Proposi¸c˜ao 2.18, segue que Pj
σ∈G
Seja α ∈ Pj −
σ∈G
σ(P1). De (a), tem-se que σ(α) ∈ OL, para todo σ ∈ G. Assim,
σ∈G σ(α) = NL|K(α) ∈ Pj, e consequentemente, σ∈G σ(α) ∈ Pj ∩ A = p ⊆ P1. Pelo fato
de P1 ser primo, segue que σ(α) ∈ P1, para algum σ ∈ G. Assim, α ∈ σ−1(P1) o que
contradiz o fato de α ∈ Pj −
σ∈G
σ(P1).
d) Tem-se que (σ(P1))k divide pOL se, e somente se, Pk1 divide pOL, para σ ∈ G e
k ∈ N. Assim, e(σP1|p) = e(P1|p). De (b) tem-se que f(σ(P1)|p) = f(P1|p). Portanto,
por (c), segue que e(P1|p) = . . . = e(Pg|p) = e e f(P1|p) = . . . = f(Pg|p) = f.
Corol´ario 2.1 Com hip´oteses do Teorema 2.8, tem-se que ef g = n, onde n ´e o grau da
extens˜ao L de K.
Observa¸c˜ao 2.2 Como em uma extens˜ao de Galois todos os ´ındices de ramifica¸c˜ao e graus de in´ercia s˜ao iguais para todos os ideais Pj’s acima de p, segue que basta
estudarmos o ´ındice de ramifica¸c˜ao e grau de in´ercia de um ´unico ideal P acima de p.
Teorema 2.9 Se ζpr ´e uma ra´ız pr-´esima primitiva da unidade, com p primo e r ∈ N, e
P ´e um ideal primo de OQ(ζpr) acima de pZ = p, ent˜ao
a) (1 − ζpr)ϕ(p r)
OQ(ζpr)= pOQ(ζpr);
b) e(P|p) = ϕ(pr), ou seja, p se ramifica totalmente em O Q(ζpr).
Demonstra¸c˜ao. a) Para r = 1, tem-se, pelo Lema 1.7 item f , que (1 − ζp) ´e um
ideal de OQ(ζp) acima de pZ. Assim, pelo Teorema 1.8 item c, os conjugados de (1 − ζp)
tamb´em est˜ao acima de pZ. Como os conjugados de (1 −ζp) s˜ao todos da forma (1 −ζpi) =
(1 −ζp)(1 + ζp+ . . . + ζpi−1), segue que pOQ(ζp) = (1 −ζp)
ϕ(p)O
Q(ζp). Assim, pela Observa¸c˜ao
1.5, tem-se que (1 − ζpr)ϕ(p r)
OQ(ζpr) = pOQ(ζpr).
b) Segue do item (a).
Proposi¸c˜ao 2.19 Se p ´e ideal primo n˜ao nulo de A e P um ideal primo de OL acima de p, ent˜ao OL
P| A
Demonstra¸c˜ao. Consideramos ψ : A −→ A
p dada por ψ(a) = a + p e ϕ : OL −→ OL
P dada por ϕ(α) = α + P. Sejam α ∈ OL e p(x) = minKα =
σ∈G
(x − σ(α)) ∈ A[x]. Tem-se que ϕ(α) ´e uma raiz de ψ(p(x)) ∈ Ap[x], o qual se fatora em OL
P , pois ψ(p(x)) ´e um m´ultiplo de polinˆomio mininal de ϕ(α) sobre A
p. Portanto, OL
P | A
p ´e uma extens˜ao
normal. A extens˜ao OL P | A p ser´a separ´avel se A
p for um corpo perfeito, ou seja, se A
p tiver caracter´ıstica zero ou p primo e todo elemento de A
p for uma potˆencia p-´esima em A
p. Defini¸c˜ao 2.13 Sejam p um ideal primo n˜ao nulo de A e P um ideal primo de OL acima
de p.
a) Z(P|p) = Z = {σ ∈ G; σ(P) = P} ´e chamado de grupo de decomposi¸c˜ao de P; b) T (P|p) = T = {σ ∈ Z; σ(α) ≡ α(mod P), para todo α ∈ OL} ´e chamado de grupo
de in´ercia de P;
c) Vj(P|p) = Vj = {σ ∈ Z; σ(α) ≡ α(mod Pj+1), para todo α ∈ OL, j ∈ N} ´e
chamado de j-´esimo grupo de ramifica¸c˜ao de P.
Observa¸c˜ao 2.3 O grupo Z ´e um subgrupo G e os Vj’s s˜ao subgrupos de Z e
consequentemente de G.
Proposi¸c˜ao 2.20 Com as nota¸c˜oes da Defini¸c˜ao 2.13, tem-se que
a) Os grupos de decomposi¸c˜oes de ideais primos de OL acima de p s˜ao dois a dois
conjugados e os grupos de in´ercia de ideais primos de OL acima de p s˜ao tamb´em
dois a dois conjugados; b) |Z| = ef;
c) Vj’s s˜ao subgrupos normais de Z.
Demonstra¸c˜ao. a) Primeiramente provamos que Z(σ(P)|p) = σ ◦ Z ◦ σ−1, para todo σ ∈ G. Assim, se σ ∈ G e θ ∈ Z, ent˜ao σ ◦ θ ◦ σ−1(σ(P)) = σ ◦ θ(P) = σ(P). Logo,
σ ◦ Z ◦ σ−1 ∈ Z(σ(P)|p). Por outro lado, se ρ ∈ Z(σ(P)|p), ent˜ao σ−1 ◦ ρ ◦ σ(P) =
σ−1(σ(P)) = P. Logo, σ−1◦ Z(σ(P)|p) ◦ σ ∈ Z. Portanto, Z(σ(P)|p) = σ ◦ Z ◦ σ−1, para
qualquer σ ∈ G. Agora, provamos que T (σ(P)|p) = σ ◦ T ◦ σ−1, para qualquer σ ∈ G. De
fato, se σ ∈ G, θ ∈ T e α ∈ OL, ent˜ao (σ ◦ θ ◦ σ−1)(σ(α)) − σ(α) = σ(θ(α) − α) ∈ σ(P).
Portanto, σ ◦ θ ◦ σ−1(σ(α)) ≡ σ(α) (mod σ(P)), ou seja, σ ◦ T ◦ σ−1 ∈ T (σ(P)|p). Por
outro lado, se ρ ∈ T (σ(P)|p), ent˜ao σ−1◦ ρ ◦ σ(α) − α = σ−1◦ ρ ◦ σ(α) − σ−1◦ σ(α) =
σ−1(ρ(σ(α)) − σ(α)) ∈ σ−1σ(P) = P. Portanto, σ−1◦ ρ ◦ σ(α) ≡ α (mod P), ou seja,
σ−1◦ T (σ(P)|p) ◦ σ ∈ T .
b) Consideramos a aplica¸c˜ao sobrejetiva φ : G −→ {σ(P); σ ∈ G} dada por φ(σ) = σ(P). Notemos que Ker(φ) = Z, e assim, (G : Z) = g e pelo Corol´ario 2.1, segue que |Z| = ef.
c) Observamos que para qualquer σ ∈ Z, tem-se que σ(Pi+1) = Pi+1. Agora,
consideramos o homomorfismo σi : OL Pi+1 −→ OL −→ OL −→ OL Pi+1 α + Pi+1−→ α −→ σ(α) −→ σ(α) + Pi+1
o qual tem n´ucleo Vj, para j ∈ N. Portanto, os Vj’s s˜ao subgrupos normais de Z.
Proposi¸c˜ao 2.21 Sejam K ⊆ K′ ⊆ L, O
K′ = OL∩ K′ e P′ = P ∩ OK′.
a) Z(P|P′) = Z ∩ Gal(L|K′). Al´em disso, se K′|K ´e uma extens˜ao de Galois, ent˜ao
Z(P′|p) ≃ Z
Z(P|P′);
b) T (P|P′) = T ∩ Gal(L|K′). Al´em disso, se K′|K ´e uma extens˜ao de Galois, ent˜ao
T (P′|p) ≃ T
T (P|P′);
c) Vj(P|P′) = Vj ∩ Gal(L|K′).
Demonstra¸c˜ao. a) Se σ ∈ Z(P|P′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(P) = P. Logo, se σ fixa K′, ent˜ao σ fixa K, ou seja, σ ∈ Gal(L|K), e assim, Z(P|P′) ⊆ Z ∩ Gal(L|K′).
Por outro lado, se σ ∈ Z ∩ Gal(L|K′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(P) = P, e assim,
um extens˜ao de Galois, ent˜ao, considerando o homomorfismo canˆonico ϕ : Gal(L|K) −→ Gal(K′|K), dado por ϕ(σ) = σ|
K′, o qual tem n´ucleo Gal(L|K′), tem-se que σ|Z : Z −→
Z(P′|p) ´e um homomorfismo sobrejetivo, com n´ucleo Z(P|P′). Pois, se σ ∈ Z, ent˜ao
σ|K′(P′) = σ|K′(P ∩ OK′) = σ(P′) ∩ OK′ = P′, ou seja, ϕ|Z(σ) ∈ Z(P′|p). Por outro lado,
se σ ∈ Z(p′|p), ent˜ao estendendo σ a L, tem-se que σ(P) = σ(P′∩ O
K′) = σ(P′) = σ(P),
ou seja, σ ∈ Z. Por fim, σ ∈ Ker(ϕ|Z) = {σ ∈ Gal(L|K); σ|K′ = id e σ(P) = P} se, e
somente se, σ ∈ Z(P|P′). Portanto, Z(P′|p) ≃ Z
Z(P|P′).
b) Se σ ∈ T (P|P′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(α) ≡ α(mod P), para todo α ∈ O L.
Como σ fixaK′, segue que σ fixaK, e assim, T (P|P′) ⊆ T ∩Gal(L|K′). Por outro lado, se
σ ∈ T ∩ Gal(L|K′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(α) ≡ α(mod P), para todo α ∈ O
L, e assim,
T ∩Gal(L|K′) ⊆ T (P|P′). Portanto, T (P|P′) = T ∩Gal(L|K′). Al´em disso, seK′|K ´e uma
extens˜ao de Galois, ent˜ao, de modo an´alogo ao item (a), tem-se que σ|T : T −→ T (P′|p)
´e um homomorfismo sobrejetivo, com n´ucleo T (P|P′).
c) Se σ ∈ Vj(P|P′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(α) ≡ α(mod Pj+1), para todo α ∈
OL. Como σ fixa K′, segue que σ fixa K, e assim, Vj(P|P′) ⊆ Vj ∩ Gal(L|K′). Se
σ ∈ Vj ∩ Gal(L|K′), ent˜ao σ ∈ Gal(L|K′) e σ(α) ≡ α(mod Pj+1), para todo α ∈ OL, e
assim, Vj ∩ Gal(L|K′) ⊆ Vj(P|P′).
Notemos que para j = 0, tem-se que Vj = T e os Vj’s s˜ao subgrupos de T , os quais
formam uma cadeia decrescente de subgrupos de G. Pelo Teorema de Correspondˆencia de Galois, Teorema 1.6, segue que existem corpos fixos KZ e KT dos subgrupos Z e T de
G, respectivamente. Assim, K ⊂ KZ ⊂ KT ⊂ L.
Defini¸c˜ao 2.14 O grupo KZ ´e chamado de corpo de decomposi¸c˜ao de P e KT o corpo de
in´ercia de P.
{0} L OL P T KT OO OT OO PT = P ∩ OT OO Z KZ OO OZ OO PZ = P ∩ OZ OO G K OO A OO p OO Proposi¸c˜ao 2.22 Seja K ⊆ K′ ⊆ L.
a) KZ(P|P′) = KZK′. Al´em disso, se K′|K ´e uma extens˜ao de Galois, ent˜ao
KZ(P′|p) = KZ ∩ K′;
b) KT(P|P′) = KTK′. Al´em disso, se K′|K ´e uma extens˜ao de Galois, ent˜ao
KT(P′|p) = KT ∩ K′.
Demonstra¸c˜ao. As demonstra¸c˜oes dos itens (a) e (b) seguem da Proposi¸c˜ao 2.21. Proposi¸c˜ao 2.23 Com as nota¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 2.21 tem-se que KZ ⊆ K′ se, e
somente se, g(P|P′) = 1.
Demonstra¸c˜ao. Sejam G′ = Gal(L|K′) e Z(P|P′) o grupo de in´ercia de P sobre
P′. Pela igualdade fundamental tem-se que e(P|P′)f (P|P′)g(P|P′) = [L : K′]. Como
|Z(P|P′)| = e(P|P′)f (P|P′), segue que g(P|P′) = (G′ : Z(P|P′)). Logo, g(P|P′) =
1 se, e somente se, Z(P|P′) = Gal(L|K′). Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.21 item (a),
Z(P|P′) = Gal(L|K′) se, e somente se, Gal(L|K′) ⊆ Z se, e somente se, K
Z ⊆ K′.
Teorema 2.10 Com as mesmas nota¸c˜oes da Observa¸c˜ao 2.4 tem-se que: a) [L : KZ] = ef ; b) e(PZ|p) = 1, f(PZ|p) = 1 e OZ PZ = A p; c) g(P|PZ) = 1, e(P|PZ) = e, f (P|PZ) = f ;
Demonstra¸c˜ao. a) Segue da Proposi¸c˜ao 2.20 item (b).
b) e c) Da Proposi¸c˜ao 2.23 resulta que g(P|PZ) = 1. Logo, [L : KZ] =
e(P|PZ)f (P|PZ). Como [L : KZ] = ef e pela multiplicidade de ´ındices de ramifica¸c˜ao
e graus de in´ercia e = e(P|PZ)e(PZ|p) e f = f(P|PZ)f (PZ|p), segue que e(PZ|p) =
f (PZ|p) = 1, e(P|PZ) = e e f (P|PZ) = f .
Teorema 2.11 Existe um homomorfismo sobrejetor de Z no grupo de Galois de OL P sobre A
p, com n´ucleo T . Este homomorfismo induz um isomorfismo de Gal(KT|KZ) sobre Gal OL P | A p = +G.
Demonstra¸c˜ao. Pelo item (b) do Teorema 2.8, segue que cada σ ∈ G induz um A p- isomorfismo de OL
P em
OL
σ(P). Assim, se σ ∈ Z, ent˜ao σ induz um A
p-automorfismo de OL
P. Consideramos a aplica¸c˜ao Φ : Z −→ Gal
OL P | A p dada por Φ(σ) = σ = ϕ ◦ σ|OL ◦ ϕ −1,
onde ϕ ´e o homomorfismo canˆonico de OL em OL
P. Tem-se que Φ ´e um homomorfismo, pois para σ, ρ ∈ Z, Φ(σρ) = ϕ ◦ σ|OL◦ ρ|OL◦ ϕ −1 = ϕ ◦ σ| OL ◦ ϕ −1◦ ϕ ◦ ρ| OL ◦ ϕ −1 = σρ.
Agora, σ ∈ Z est´a no n´ucleo de Φ se, e somente se, σ(α) + P = α + P se, e somente se, σ(α) ≡ α (mod P), para todo α ∈ OL se, e somente se, σ ∈ T . Por fim mostramos
que Φ ´e sobrejetiva. Seja +σ ∈ +G. Se α ∈ OPL, podemos considerar α = ϕ(α). Assim, +
σ(ϕ(α)) ´e uma raiz do minA
pϕ(α). Como a extens˜ao L|KZ ´e normal, segue que para
α ∈ OL, todas as ra´ızes do minKZϕ(α) pertencem ao conjunto {ϕ(σ(α)); σ ∈ G}. Pelo
item (b) do Teorema 2.10, segue que KZ =
A
p, e assim, minKZϕ(α) = minA
pϕ(α). Logo,
+
σ(ϕ(α)) = ϕ(σ(α)), para algum σ ∈ Z. Portanto, +σ = Φ(σ), ou seja, Φ ´e sobrejetiva. Assim, Φ : Gal(KT|KZ) −→ +G ´e um isomorfismo, pois Gal(KT|KZ) =
Z
T.
Corol´ario 2.2 O homomorfismo Φ dado no Teorema 2.11 restrito a Z(P|P′), induz um isomorfismo de Z(P|P ′) T (P|P′) no grupo de Galois de OL P sobre OK′ P′ .
Proposi¸c˜ao 2.24 Com as nota¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 2.22 e se KZ ⊆ K′ ⊆ L, ent˜ao KT ⊆
Demonstra¸c˜ao. Como KZ ⊆ K′, segue, pela Proposi¸c˜ao 2.23, que g(P|P′) = 1.
Assim, Z(P|P′) = Gal(
L|K′). Agora, f (P|P′) = 1 se, e somente se, OL
P =
OK′
P se, e somente se, Gal
OL P | OK′ P′
= {id} se, e somente se, T (P|P′) = Z(P|P′) se, e somente
se, Gal(L|K′) ⊆ Gal(L|K
T) se, e somente se, KT ⊆ K′.
Teorema 2.12 Com as mesmas nota¸c˜oes da Observa¸c˜ao 2.4 tem-se que: a) [L : KT] = e, [KT :KZ] = f ; b) g(P|PT) = 1, e(P|PT) = e, f (P|PT) = 1 e OT PT = OL P; c) g(PT|PZ) = 1, e(PT|PZ) = 1, f (PT|PZ) = f ;
Demonstra¸c˜ao. a) Pela Proposi¸c˜ao 2.20, tem-se que [L : KZ] = ef e pelo Teorema
2.11, tem-se que [KT :KZ] = f = Gal OL P | A p . Portanto, [L : KT] = e, [KT :KZ] = f .
b) Como g(P|PZ) = 1, segue que g(P|PT) = g(PT|PZ) = 1. Tomando KT =K′ na
Proposi¸c˜ao 2.24, segue que f (P|PT) = 1. Assim, e(P|PT) = [L : KT] = e.
c) Segue do item (b) e da multiplicidade de ´ındice de ramifica¸c˜ao e grau de in´ercia. Proposi¸c˜ao 2.25 Existe t ∈ N tal que Vt ´e trivial.
Demonstra¸c˜ao. Como G ´e finito, segue que a cadeia G ⊇ Z ⊇ T ⊇ V1 ⊇ . . . ´e
estacion´aria, ou seja, existe t ∈ N tal que Vt = Vt+1 = . . .. Assim, Vt=
(
i∈N
Vi. Se σ ∈ Vi,
para todo i ∈ N, ent˜ao σ(α) ≡ α(mod (
i∈N
Pi+1), para todo α ∈ OL. Como(
i∈N
Pi+1= {0},
segue que σ(α) = α, para todo α ∈ OL, ou seja, σ = id.
Proposi¸c˜ao 2.26 Os grupos de decomposi¸c˜ao, in´ercia e ramifica¸c˜ao n˜ao se alteram no processo de localiza¸c˜ao, ou seja, se S = A − p, ent˜ao Z = {σ ∈ G; σ(S−1P) = S−1P} e
Vj = {σ ∈ Z; σ(α) ≡ α(mod (S−1P)j+1), para todo α ∈ S−1OL}, para j ∈ N.
Demonstra¸c˜ao. Se σ ∈ Z e b s ∈ S −1P, ent˜ao σ(b s) = σ(b) s ⊆ S −1P. Tomando
σ = id, tem-se que S−1P ⊆ σ(S−1P). Por outro lado, observamos que S−1P∩ O L = P
(Proposi¸c˜ao 2.5). Assim, σ(P) = σ(S−1P∩ O
Portanto, Z = {σ ∈ G; σ(S−1P) = S−1P}. Agora, se σ ∈ V j e α s ∈ S −1 OL, ent˜ao σ(α) s − α s = σ(α) − α s ∈ (S
−1P)j+1. Por outro lado, como Pj+1 = (S−1P)j+1 ∩ O L,
σ(α) − α ∈ (S−1P)j+1, para α
1 ∈ S
−1
OL, segue que σ(α) − α ∈ (S−1P)j+1 ∩ OL, pois
σ(α) ∈ OL. Pelo fato de que Pj+1 = (S−1P)j+1 ∩ OL, tem-se que σ(α) − α ∈ Pj+1.
Portanto, Vj = {σ ∈ Z; σ(α) ≡ α(mod (S−1P)j+1), para todo α ∈ S−1OL.
Observa¸c˜ao 2.5 Se P ´e um ideal primo de OL, ent˜ao P ∩ A ´e um ideal primo de A. No processo de localiza¸c˜ao, tem-se que S−1p ´e o ´unico ideal primo de S−1A, e assim,
S−1P∩ S−1A = S−1p, para todo P ideal primo de O
L, ou seja, S−1P est´a acima de
S−1p. Como existe um n´umero finito de ideais de S−1O
L acima de S−1p, segue que
S−1O
L´e um anel principal, ou seja, S−1P´e um ideal principal. Portanto, pela Proposi¸c˜ao
2.26, podemos considerar OL um anel principal, pois os grupos de decomposi¸c˜ao, in´ercia
e ramifica¸c˜ao n˜ao se alteram.
Lema 2.7 Se K ´e um corpo e G um subgrupo finito de ordem m do grupo K∗, o grupo
multiplicativo de K, ent˜ao G ´e cicl´ıco.
Demonstra¸c˜ao. Como K∗ ´e um grupo abeliano, segue que G ´e um grupo abeliano
finito de ordem m. Assim, pelo Corol´ario 1.7, existe um elemento β ∈ G tal que o(β) = mmc{o(α); α ∈ G} = r. Logo, r ´e um m´ultiplo da o(α), para todo α ∈ G e m ´e um m´ultiplo de r, e assim, tem-se que G ⊆ Ur ⊆ Um, onde Ui ´e o conjunto das ra´ızes i-´esimas
da unidade, para i = r, m. Pelo fato de |Um| = m, segue que G = Um. Portanto, G ´e
cicl´ıco.
Pelo Lema 2.7, segue que se q = card(K), ent˜ao K∗ ´e cicl´ıco de ordem q − 1.
Lema 2.8 Se K ´e um corpo de caracter´ıstica p e G um subgrupo de ordem n do grupo K∗, ent˜ao p ∤ n.
Demonstra¸c˜ao. Seja ζn ra´ız n-´esima primitiva da unidade. Se p|n, ent˜ao p = 0 e
(ζ n p n)p = ζnn= 1. Assim, ζ n p
n = 1, o que ´e um absurdo.
Defini¸c˜ao 2.15 Sejam G um grupo finito e p um n´umero primo. Se pn divide a ordem
de G e pn+1 n˜ao divide a ordem G, dizemos que os subgrupos de G de ordem pn s˜ao
Observa¸c˜ao 2.6 Os p-subgrupos de Sylow de um grupo G s˜ao dois a dois conjugados. O grupo aditivo de um corpo K possui apenas o subgrupo trivial se K tiver caracter´ıstica zero ou os p-subgrupos elementares (grupos isomorfos a produtos de grupos de ordem p) se K tiver caracter´ıstica p primo.
Teorema 2.13 O grupo quociente T V1
´e canonicamente isomorfo a um subgrupo do grupo multiplicativo de OL
P e para todo i ≥ 1, o grupo quociente Vj
Vj+1
´e isomorfo a um subgrupo do grupo aditivo de OL
P.
Demonstra¸c˜ao. Localizando, tem-se que P = b , com b ∈ OL. Se σ ∈ T , ent˜ao σ(b) ≡ b(mod P), e assim, σ(b) ∈ P. Mas, σ(b) /∈ P2, pois se σ(b) ∈ P2, ent˜ao P ⊂ P2, o
que contraria a Proposi¸c˜ao 2.3. Como σ(b) ∈ P, segue que podemos escrever σ(b) = xσb,
com xσ ∈ OL e b ∤ xσ. Seja τ ∈ T . Tem-se que στ(b) = σ(xτb) = σ(xτ)σ(b) = σ(xτ)xσb.
Logo, xστ = σ(xτ)xσ. Como σ ∈ T e xτ ∈ OL, segue que σ(xτ) ≡ xτ(mod P). Portanto,
xστ ≡ xτxσ(mod P), ou seja, xστ = xσxτ. Assim, a aplica¸c˜ao Φ : T −→ J, dada
por Φ(σ) = xσ, onde J = ! xσ ∈ OL P ∗ ; xσb = σ(b) "
´e um homomorfismo sobrejetor. O Ker(Φ) = {σ ∈ T ; xσ = 1} = {σ ∈ T ; xσb ≡ b(mod P2)} = {σ ∈ T ; σ(b) ≡
b(mod P2)} ⊇ V
1. Agora, consideramos σ ∈ Vj (j ≥ 1). Assim, σ(b) ≡ b(mod Pj+1), ou
seja, σ(b) − b ∈ Pj+1. Logo, podemos escrever σ(b) − b = y
σbj+1, com yσ ∈ OL e bj+1∤ yσ.
Seja τ ∈ Vj. Tem-se que yστbj+1 = στ (b) − b = σ(yτbj+1 + b) − b = σ(yτ)σ(b)j+1 +
σ(b) − b = σ(yτ)(yσbj+1+ b)j+1+ yσbj+1. Assim, yστ = σ(yτ)
b + yσbj+1 b j+1 +yσb j+1 bj+1 =
σ(yτ)(1 + yσbj)j+1+ yσ. Como σ ∈ Vj e yτ ∈ OL, segue que σ(yτ) ≡ yτ(mod Pj+1) o que
implica que σ(yτ) ≡ yτ(mod P), pois Vj ⊆ T . Expandindo a equa¸c˜ao (1+yσbj)j+1, tem-se
que todos os termos exceto o primeiro est˜ao em Pj ⊂ P. Assim, y
στ ≡ yτ + yσ(mod P),
ou seja, yστ = yτ + yσ. Portanto, a aplica¸c˜ao Ω : Vj −→ H, dada por Ω(σ) = yσ,
onde H = ! yσ ∈ OL P ; σ(b) − b = yσb j+1 "
, ´e um homomorfismo sobrejetor. O Ker(Ω) = {σ ∈ Vj; yσ ≡ 0(mod P)} = {σ ∈ Vj; yσbj+1 ≡ 0(mod Pj+2)} = {σ ∈ Vj; σ(b) ≡
b(mod Pj+2)} ⊇ V
j+1. Agora, mostramos que Ker(Φ) = V1 e Ker(Ω) = Vj+1. Seja σ ∈ T
tal que σ ∈ Ker(Φ). Se z ∈ P, ent˜ao podemos escrever z = ab, com a ∈ OL e b ∤ a.
Notemos que σ(a) − a ∈ P, b ∈ P, σ(b) − b ∈ P2 e σ(a) ∈ O
L. Assim, σ(z) − z ∈ P2.
Portanto, para qualquer z ∈ P, tem-se que σ(z) − z ∈ P2. Consideramos x ∈ O L e
escrevemos σp(x) − x = σp−1(σ(x) − x) + σp−2(σ(x) − x) + . . . + σ(σ(x) − x) + σ(x) − x.
Tem-se que σ(x) − x ∈ P, pois x ∈ OL e σ ∈ T . Assim, σ(x) − x = z ∈ P. Pela
primeira parte tem-se que σ(z) − z ∈ P2, e assim, σ(z) ≡ z(mod P2) o que implica que
σk(z) ≡ z(mod P2), para 1 ≤ k ≤ p. Logo, σp(x) − x ≡ pz(mod P2). Se p = car
OL
P
, ent˜ao p1 ∈ P. Como z ∈ P, segue que pz ∈ P2, ou seja, σp(x) ≡ x(mod P2). Portanto,
σp ∈ V
1. De modo an´alogo, mostramos que Ker(Ω) = Vj+1. De fato, se σ ∈ Vj e
σ(b) ≡ b(mod Pj+2), ent˜ao σ(z) − z ∈ Pj+2, para todo z ∈ P. Logo, σ(z) − z ∈ Pj+2.
Agora, se x ∈ OL, ent˜ao σ(x) − x ∈ Pj+1 ⊂ P. Assim, σ(x) − x = z ∈ P, o que implica
que σ(z) − z ∈ Pj+2. Assim, σp(x) − x ≡ pz(mod Pj+2). Portanto, σp(x) − x(mod Pj+2),
ou seja, σp ∈ V
j+1.
Corol´ario 2.3 Se car
OL
P
= 0, ent˜ao T ´e cicl´ıco e V1 ´e trivial. Se car
OL
P
= p, com p primo, ent˜ao T
V1
´e cicl´ıco, cuja a ordem n˜ao ´e divis´ıvel por p e Vj Vj+1
´e um produto direto de grupos cicl´ıcos de ordem p, para j ≥ 1. Al´em disso, V1 ´e o ´unico subgrupo de
Sylow de T .
Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 2.13, tem-se que T V1
´e isomorfo a um subgrupo do grupo multiplicativo de OL
P , e assim, pelo Lema 2.7, T V1
´e cicl´ıco. Se car(OL
P ) = 0 e Vj
Vj+1
´e isomorfo a um subgrupo do grupo aditivo de OL
P (Teorema 2.13), segue, pela Observa¸c˜ao 2.6, que Vj
Vj+1
´e trivial. Logo, Vj = Vj+1, para todo j ≥ 1. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.25,
tem-se que Vj ´e trivial, para todo j ≥ 1, e consequentemente, T =
T V1
´e cicl´ıco. Agora, se car(OL
P ) = p = 0, ent˜ao, pelo Teorema 2.13 e pelo Lema 2.8, tem-se que Vj
Vj+1
´e p-grupo elementar, para todo j ≥ 1. Logo,
T V1 = |T |pk = m, ou seja, |T | = mp k, com p ∤ m.
Assim, V1 ´e um p-subgrupo de Sylow de T e ´e o ´unico, pois V1 ´e um subgrupo normal de
T .
A seguir definimos o automorfismo de Frobenius que ser´a ´util quando um ideal primo p de A n˜ao ramifica em OL.
Sejam A um dom´ınio de Dedekind,K seu corpo de fra¸c˜oes, L uma extens˜ao finita de K de grau n, OL o anel de inteiros de L sobre A, p um ideal primo A e P um ideal primo
de OL acima de p.
Suponhamos que p n˜ao se ramifica em OL. Tem-se que
A
p ´e um corpo finito com q elementos e de caracter´ıstica p primo. Assim, T ´e trivial e Z ´e isomorfo ao grupo de Galois de OL
P sobre A
p. Portanto, Z ´e cicl´ıco de ordem q, gerado pelo automorfismo σ tal que
σ(α) ≡ αq (mod P).
Defini¸c˜ao 2.16 O automorfismo σ que gera Z ´e chamado de automorfismo de Frobenius associado a P e denotado por (P, OL|A).
Proposi¸c˜ao 2.27 Se Z V1
´e abeliano, ent˜ao T
V1 ´e cicl´ıco de ordem dividindo q − 1.
Demonstra¸c˜ao. Se OL ´e um anel principal, ent˜ao P = b , com b ∈ OL. Para cada σ ∈ Z, tem-se que σ(b) = kb, com k ∈ OL e b∤ k, pois σ(b) ≡ b (modP), isto ´e, pertence a
P. Como T V1
´e isomorfo a um subgrupo do grupo multiplicativo de OL
P , segue, pelo Lema 2.7, que T
V1 ´e cicl´ıco gerado por um τ ∈ T tal que τ = τ ◦ V
1. Para cada σ ∈ Z, pelo
Teorema 2.11, σ induz um σ ∈ Gal OL P | A p
= +G. Tem-se que ˆG ´e cicl´ıco gerado por um automorfismo de Frobenius. Sejam σ(b) = kb, τ (b) = mb e στ σ−1(b) = lb. Notemos que
σ(b) = kb implica que σ−1(b) = b(σ−1(k))−1. Como Z
V1
´e abeliano, segue que στ σ−1 = τ
o que implica que l = m. Calculemos o valor de l.
στ σ−1(b) = στ (b(σ−1(k))−1) = σ(mbτ σ−1(k−1)) = σ(m)kbστ σ−1(k−1).
Logo, l = σ(m)kστ σ−1(k−1). Reduzindo mod P, tem-se τ (σ−1(k−1)) ≡ σ−1(k−1)(modP),
pois σ−1(k−1) ∈ O
L. Assim, στ σ−1(k−1) = k−1. Logo, l = σ(m) = σ(m), onde σ =
ϕ ◦ σ|OL ◦ ϕ
−1, com ϕ o homomorfismo canˆonico de O
L em OL
P. Como σ ∈ ˆG, segue que podemos considerar σ como gerador de ˆG. Logo, σ(m) = mq, e da´ı, l = mq. Portanto,
mq= m o que implica que mq−1 = ¯1. Portanto, T