2.4 Primos Ramificados e N˜ao Ramificados
O objetivo desta se¸c˜ao ´e introduzir o conceito de ideais ramificados e n˜ao ramificados e sua interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Defini¸c˜ao 2.4.1 Sejam L|K uma extens˜ao finita, A um dom´ınio de Dedekind com corpo de fra¸c˜oes K e B seu fecho integral em L. Suponha B um A−m´odulo finitamente gerado. Sejam M ∈ Max(B) e P := M ∩ A. O ideal M ´e ramificado sobre P (ou sobre A) se eM/P > 1 ou a extens˜ao B/M ´e n˜ao separ´avel sobre A/P . Se o ideal M n˜ao for
ramificado sobre P , ent˜ao diremos que ele ´e n˜ao ramificado sobre P ou sobre A. Um ideal maximal P de A ramifica em B se P B est´a contido em um ideal maximal M de B que ´e ramificado sobre A. Quando nenhum ideal maximal de B ´e ramificado sobre A, diremos que a extens˜ao B|A ´e n˜ao-ramificada.
Quando n˜ao causar confus˜ao chamaremos o ideal maximal de ramificado ou inv´es de ramificado sobre A. O conceito de uma ideal primo ramificado ´e definido da forma an´aloga. A motiva¸c˜ao para esta defini¸c˜ao ficar´a clara na proposi¸c˜ao 2.5.1 e no corol´ario 2.5.1 da pr´oxima se¸c˜ao. Pelos exemplos a seem discutidos, observamos que em geral ´e mais f´acil caracterizar os ideais ramificados.
A seguir discutiremos dois exemplos de extens˜oes B|A onde toda extens˜ao do corpo residual ´e separ´avel.
Sejam B um anel de inteiros numa extens˜ao finita de Q e M ∈ Max(B). O corpo B/P ´e finito. De fato, como B ´e integral sobre Z, o ideal primo M ∩ Z ´e n˜ao trivial (observa¸c˜ao 1.5.1), assim M∩ Z = p para algum primo p ∈ Z. Portanto B/M ´e uma extens˜ao finita do corpo Z/pZ de grau fP/p, como Z/pZ ´e finito segue que o corpo B/P ´e finito. Em
particular, se B′ ´e outro anel de inteiros contendo B, ent˜ao um ideal primo M′ de B′ ´e
ramificado sobre B se, e somente se, eM/P > 1, onde P := M′∩ B.
Considere agora f ∈ k[x, y] irredut´ıvel. Sejam Cf = k[x, y]/f e M ∈ Max(Cf).
Afirmamos que o Cf/M ∼= k. De fato, M ´e gerado pelas imagens em Cf de x − a
e y − b para algum (a, b) ∈ Zf(k). Portanto,
Cf/M ∼= k[x, y]/x − a, y − b ∼= k.
Assim, o corpo residual Cf/M ´e perfeito.
A seguir interpretamos geometricamente a defini¸c˜ao 2.4.1. Seja f um polinˆomio irredut´ıvel, mˆonico em y tal que degyf = n > 0. Seja Cf := k[x, y]/f. Suponha a
curva Zf(k) n˜ao singular e considere a inclus˜ao k[x]⊆ Cf. Uma vez que f ´e mˆonico em
2.4 Primos Ramificados e N˜ao Ramificados 60
de k[x] em k(Zf) (veja 1.7.2). A aplica¸c˜ao π : Zf(k) → A1(k) dada por (a, b) → a ´e
sobrejetora. Verificaremos que o conjunto de ideais primos de k[x] que ramificam em Cf est´a em bije¸c˜ao com o conjunto dos pontos a∈ A1(k) tal que π−1(a) cont´em menos
de n pontos. De fato, uma vez que todo corpo residual de k[x] ´e perfeito, um ideal M = x − a, y − b ´e ramificado sobre P := x − a se, e somente se, eM/P > 1. Como
M |P Cf eM/P = n, o ideal P ramifica em Cf se, e somente se, existem menos que n ideais
maximais distintos de Cf que cont´em x− a. Assim, P ramifica em Cf se, e somente se,
π−1(a) cont´em menos de n pontos.
Sejam (a, b)∈ Zf(k) e M :=x − a, y − b ∈ Max(Cf). Se eM/M ∩k[x] > 1, ent˜ao o ponto
(a, b) ´e chamado de ponto de ramifica¸c˜ao de π. O conjunto dos pontos de ramifica¸c˜ao ´e chamado de lugar de ramifica¸c˜ao de π. A imagem do lugar de ramifica¸c˜ao ´e chamado de lugar dos ramos de π. A aplica¸c˜ao π ´e chamada uma cobertura, uma vez que ela ´e sobrejetora. Se o lugar dos ramos de π ´e n˜ao vazio, ent˜ao π ´e chamada cobertura ramificada. Seja a ∈ A1(k), o conjunto π−1(a) ´e chamado de fibra de π sobre a. Nas
condi¸c˜oes acima sobre a aplica¸c˜ao Zf(k), o lugar dos ramos de π ´e o conjunto de pontos em
A1(k) tais que a fibra π−1(a) cont´em menos que n pontos. A figura a seguir ilustra quatro
possibilidades de ramifica¸c˜ao para uma cobertura ramificada π. O ´ındice de ramifica¸c˜ao ´e indicado pr´oximo do ponto de Zf(k) que ramifica sobre A1(k).
A terminologia de ramificado e n˜ao ramificado tem origem na geometria, como discutiremos agora.
Exemplo 2.4.1 Sejam f (x, y) = (y − 2)2 − (x − 1) e C
f = C[x, y]/f. Considere a
aplica¸c˜ao π : Zf(C) → A1(C) correspondente a inclus˜ao C[x] ֒→ Cf. Como a curva
Zf(C) ´e n˜ao singular, o anel Cf ´e o fecho integral do anel C[x] em C(Zf). A seguinte
2.4 Primos Ramificados e N˜ao Ramificados 61
Para cada valor a ∈ R>1, a reta x− a = 0 n˜ao ´e tangente a Zf(R) e a pr´e-imagem
do ponto (a, 0) ∈ A1(R) em Z
f(R) consiste em dois pontos distintos (a, 2 +
√
a− 1) e (a, 2−√a− 1). O ideal x − a se fatora em Cf como
x − a = x − a, y − 2 +√a− 1x − a, y − 2 −√a− 1.
Quando a = 1, o ideal maximal Ma±:=x − a, y − 2 ±√a− 1 tem ´ındice de ramifica¸c˜ao igual a 1. A extens˜ao dos corpos de res´ıduos definidos por Ma± ´e trivial e, portanto, ´e separ´avel. Assim, o ideal Ma± ´e n˜ao ramificado sobre C[x]. Quando a = 1, a reta x − a ´e tangente a Zf(R). O ideal x − 1, y − 2 ´e ramificado sobre C[x], uma vez que ele tem
´ındice de ramifica¸c˜ao igual a 2.
A terminologia ramificado/n˜ao-ramificado pode ser explicado geometricamente do seguinte modo: Quando a reta x− 1 = 0 ´e levemente movida para a direita, o ponto (1, 2) se ramifica em dois pontos distintos. Em outras palavras quando a > 1, podemos encontrar δ > 0 e um pequena vizinhan¸ca U de (a, 2−√a− 1) em Zf(R) tal que a correspondˆencia
[a− δ, a + δ] → Zf(R), t → {x − t = 0} ∩ U ´e bije¸c˜ao.
Exemplo 2.4.2 Seja f (x, y) = x2 − y(y − 1)(y − 3
2). A curva Zf(C) ´e suave e os
pontos de ramifica¸c˜ao da aplica¸c˜ao proje¸c˜ao π : Zf(C) → A1(C) s˜ao pontos (a, b) tais que
f (a, b) = 0 = ∂f∂y(a, b). Existem quatro destes tais pontos, mas apenas dois deles P e Q tˆem coordenadas reais.
2.4 Primos Ramificados e N˜ao Ramificados 62
Seja B/A uma extens˜ao como na defini¸c˜ao 2.4.1, segue da mesma que um ideal maximal M de B ´e n˜ao ramificado sobre P se, e s´o se, P BM = M BM e B/M ´e separ´avel sobre
A/P. Como mencionado acima, faz sentido falar de ramifica¸c˜ao mesmo quando a extens˜ao B|A ´e n˜ao inteira. A defini¸c˜ao mais geral de n˜ao ramificado dada abaixo ´e usado para definir pontos ramificados de um morfismo qualquer de curvas afins.
Defini¸c˜ao 2.4.2 Sejam ϕ : A → B um homomorfismo de an´eis, ϕa : Spec(B) →
Spec(A) a aplica¸c˜ao associada e M ∈ Spec(B). Tome P := ϕ−1(M ) = ϕa(M ). Diremos
que M ´e um ponto de ramifica¸c˜ao da aplica¸c˜ao ϕa ou que a aplica¸c˜ao ϕa´e ramificada em
M se, ϕ(P ) n˜ao gera M BM, ou se BM/M BM ´e um extens˜ao n˜ao separ´avel de AP/P AP.
Se ϕa n˜ao se ramifica em M , ent˜ao diremos que ela ´e n˜ao ramificada em M , e M
´e um ponto n˜ao ramificado. O conjunto dos pontos de Spec(B) onde ϕa ´e ramificado ´e
chamado de lugar de ramifica¸c˜ao de ϕa. A imagem de ϕaSpec(A) do lugar de ramifica¸c˜ao
´e chamado de lugar dos ramos de ϕa. Quando o lugar dos ramos ´e vazio, a aplica¸c˜ao ϕa
´e dita n˜ao ramificada.
Sejam f, g ∈ k[x, y] polinˆomios irredut´ıveis e φ : Zf(k) → Zg(k) um morfismo de curvas.
Observe que este morfismo ´e induzido pelo homomorfismo de k−algebras π∗ : C
g → Cf.
Observe tamb´em que π pode ser identificado com a aplica¸c˜ao (π∗)a
|Max(Cf ) : Max(Cf) →
Max(Cg) dada por M → (π∗)−1(M ). Diremos que π ´e n˜ao ramificada em (a, b) se a
aplica¸c˜ao (π∗)a for n˜ao ramificada em (x− a, y − b). Desde que C
f ´e um dom´ınio, ker(π∗)
´e um ideal primo de Cg e como Cg ´e um dom´ınio de dimens˜ao 1, h´a duas possibilidades:
ker(π∗) ´e maximal, caso em que o morfismo π ´e constante, ou ker(π∗) = 0. Suponha π∗
injetivo e olhemos para Cg como subanel de Cf. Pode acontecer da extens˜ao Cf/Cg ser
n˜ao inteira. Entretanto, podemos definir o ´ındice de ramifica¸c˜ao de um ponto n˜ao singular (a, b) ∈ Zf(k) sobre π(a, b) como segue: Seja M o ideal maximal de Cf correspondente
ao ponto (a, b), ent˜ao (Cf)M ´e um dom´ınio de ideais principais e a fun¸c˜ao ordM (Cf)M est´a
bem definida. Seja P o ideal maximal de Cg correspondente a π(a, b). Uma vez que π∗
´e injetiva, P (Cf)M = 0. O ´ındice de ramifica¸c˜ao e(a,b)/π(a,b) de (a, b) sobre π(a, b) ´e o
inteiro eM/P := ordM (Cf)M(P (Cf)M). Se e(a,b)/π(a,b) > 1, ent˜ao (a, b) ´e um ponto ramificado
da aplica¸c˜ao π e π ´e ramificada em (a, b).