Hva slags inngrep er det snakk om?

A análise do escoamento dentro do tanque de armazenamento, dos coletores solares, ou até mesmo por dentro dos adsorvedores precisa satisfazer as equações da mecânica dos fluidos. As equações físicas que regem os problemas de mecânica dos fluidos em questão do movimento e transporte das partículas podem ser representadas pela Equação da Conservação da Massa e pela Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Linear, considerando-se as hipóteses de fluido newtoniano e do meio contínuo. Segundo WHITE (1991), para um caso em coordenadas cartesianas tridimensional, na forma tensorial, essas duas equações podem ser escritas como mostram as Equações 2.21 e 2.22, respectivamente. ‘’ ‘$ l * ‘ ‘“” ••– ) Y (2.21) ‘’—‡ ‘$ l * ‘ ‘“” ••;•– ) * L ‘6 ‘“‡l * ‘ ‘“” ˜ ‘—‡ ‘“‡l * ‘—” ‘“‡ l * ™; (2.22)

Onde ρ é a massa específica do fluido [kg.m-3], t é o tempo [s], x e u são as componentes das coordenadas [m] e das velocidades [m.s-1] no espaço tridimensional, respectivamente, com os índices i e j assumindo os valores de 1, 2 ou 3 para denotarem as

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direções dessas componentes, µ é a viscosidade cinemática do fluido [Pa.s], P é a pressão do fluido [Pa] e Si é o termo fonte devido à geração ou dissipação de quantidade de movimento linear no fluido, caso exista [N.m-3]. Os índices i, j e k assumem os valores de 1, 2 ou 3 para denotarem as equações para as diferentes coordenadas do espaço x, y ou z.

De posse das Equações 2.21 e 2.22 é possível se determinar características fluidodinâmicas do escoamento, com precisão maior para os casos com números de Reynolds muito baixos e laminares. Para escoamentos turbulentos, se faz necessário modelar a viscosidade turbulenta, proposta por HINZE (1975) na Equação 2.23 a partir do conceito de Boussinesq de proporcionalidade entre tensões turbulentas e os gradientes de velocidade média do fluido. š_;– ) * L••_›′_• œ′ ) * ˜$* ‘—• ‘“_”l ‘—ž ‘“_‡ L * Z ]*˜$* ‘—Ÿ ‘“_Ÿ *Q;–L * Z ]*• Q;– (2.23)

Onde µt representa a viscosidade turbulenta [Pa.s], τijo tensor de tensão cisalhante sobre o fluido [N.m-2], ū a velocidade média do fluido [m.s-1], k a energia cinética turbulenta [m².s-2] e δijo tensor identidade adimensional. Segundo ABRUNHOSA (2003), o segundo termo do lado direito da Equação 2.23 é nulo para fluidos incompressíveis. Desta equação se introduz o conceito de energia cinética turbulenta, a partir do qual se pode escrever a Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Médio, Equação 2.24.

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Com ' sendo a pressão média do fluido, dada em [Pa], e g a aceleração da gravidade [m.s-2]. Ainda segundo Abrunhosa, uma das grandes virtudes da formulação da viscosidade turbulenta é que ela se mantém na forma original das equações de Navier-Stokes. Como a tensão turbulenta é tratada de forma análoga à tensão viscosa, diversos modelos de viscosidade turbulenta consideram esta sendo proporcional à massa específica ρ do fluido, à flutuação da velocidade devido à turbulência VLe ao comprimento de escala característico da turbulência L.

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Segundo MOREIRA (2012), diferentes aproximações podem ser utilizadas para avaliar as grandezas do escoamento turbulento. Estas são classificadas de acordo com o número de equações diferenciais propostas para descrever o transporte das grandezas turbulentas. Modelos de nenhuma equação, ou algébricos, não envolvem equações diferenciais de transporte e possuem algumas limitações. O modelo proposto por KAYS e CRAWFORD (1993), baseado no modelo de comprimento de mistura de PRANDTL (1925), se mostra bastante aplicado a alguns casos específicos e tem pouca generalização. Pelo princípio de equilíbrio trabalhado por este modelo, a energia turbulenta é dissipada na mesma proporção que é criada, o que pode levar a resultados bastante fictícios.

Os modelos de uma equação, por sua vez, melhoram significativamente a qualidade das características turbulentas no estudo de um escoamento. HINZE (1975) propôs a utilização de uma equação para representação da energia cinética turbulenta, que introduziu a taxa de dissipação da energia cinética ε como uma de suas variáveis dependentes. No entanto, a necessidade de se especificar empiricamente o comprimento de escala no estudo a ser feito acabou por dificultar o seu uso e permitiu que os modelos de duas equações obtivessem maior preferência.

Os modelos de duas equações tem sido desde então os mais utilizados para a modelagem da viscosidade turbulenta, com ênfase para o modelo chamado k-ε. Segundo LAUNDER e SPALDING (1972), neste modelo o comprimento de escala pode ser interpretado junto ao conceito de dissipação de energia cinética turbulenta e duas equações diferenciais de transporte podem ser propostas: uma para a energia cinética turbulenta e outra para a taxa de dissipação desta.

Alguns outros modelos são desenvolvidos na tentativa de representar com maior certidão as características do fluido em escoamentos turbulentos. A evolução da computação e a crescente capacidade de processamento e armazenamento de dados das máquinas atuais são fortes aliadas para que modelos cada vez mais complexos possam ser implementados. Atualmente, entretanto, a opção de simplificar e reduzir o problema buscado para a sua forma mais simples é geralmente a preferida, a fim de evitar grandes esforços computacionais, contanto que os resultados tenham coesão com aqueles encontrados por modelagens mais complexas.

A utilização das Equações de Conservação de Massa e Quantidade de Movimento Linear, juntamente com um modelo para a viscosidade turbulenta pode ser suficiente para analisar fluidodinamicamente um escoamento, quando se desconsidera as trocas de calor

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dentro do mesmo. Para problemas em que a transferência de calor é também objeto de estudo se faz necessário o uso da Equação da Conservação da Energia, Equação 2.25.

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Onde T é a temperatura do fluido [K], c é a condutividade térmica do mesmo [W.m-1.K-1], cpé o calor específico à pressão constante [J.kg-1.K-1] e φ é o termo fonte devido à geração ou dissipação de energia interna [kg.K.m-3]. Em problemas em que a variação da densidade do fluido devido à faixa de temperaturas de trabalho seja relevante, utiliza-se também a Equação 2.26, baseada na aproximação de Boussinesq, para se determinar a massa específica do fluido em função de uma massa específica e uma temperatura de referências.

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Onde α é a expansividade térmica definida pela Equação 2.27. Este parâmetro descreve como um fluido sofre expansão com a temperatura.

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‘D q (2.27)

O equacionamento mostrado é utilizado para os mais diversos problemas de escoamento fluidodinâmico envolvendo turbulência e transferência de calor. As soluções podem ser analíticas para problemas de maior simplicidade ou que possam ser modelados de forma a permitir essa abordagem, ou podem ser numéricas, para os casos em que a complexidade do problema ou a necessidade de observação de maior detalhamento do domínio em estudo demandem tal abordagem. Para o caso do escoamento dentro do tanque de armazenamento térmico, por exemplo, estudos numéricos podem ser a única opção de solução devido ao grande número de fatores envolvidos no escoamento.

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