3. METODISK TILNÆRMING
3.2 G JENNOMFØRING AV INTERVJUER
Alguns exemplos numéricos encontrados na literatura, tais como vigas submetidas à flexão em três pontos (three point bending test) e também aquelas submetidas à flexão em quatro pontos (four point bending test), são aqui reavaliadas utilizando o MED. As análises são realizadas com o objetivo de avaliar o desempenho da ferramenta utilizada e das formulações empregadas e entender o processo de propagação da fratura nessas estruturas de concreto.
6.3.1 – Análise comparativa das metodologias de Rios (2002) e de Rocha (1989) para a representação da heterogeneidade do concreto
Inicialmente, é mostrada uma comparação entre os resultados obtidos por duas metodologias empregadas para representar a heterogeneidade da peça. A primeira metodologia utilizando uma representação espectral, (Rios, 2002), e a segunda, fazendo-se uso de uma função de distribuição de probabilidade de Weibull, (Rocha, 1989).
Para isto, foi escolhida uma viga de concreto sem armaduras e com uma fissura pré- estabelecida. Em 1981, Petersson realizou análises experimentais e numéricas nesta peça com a finalidade de investigar a propagação de fissuras no Modo I através de ensaios de flexão em três pontos. Na análise experimental foram ensaiadas seis vigas com as mesmas geometrias e propriedades, a fim de determinar a energia específica de fratura, Gf. As dimensões da peça, extraídas do trabalho de Petersson (1981), são apresentadas na Figura 6.2, onde todas as medidas são dadas em metros.
0,10 x 2,0 0,05 0,20 y P(t)
Figura 6.2: Esquema da viga 1 ensaiada por Petersson (1981).
A viga foi submetida a uma carga crescente com o tempo. A velocidade de aplicação da carga foi escolhida por Petersson, (1981) de forma que a carga última fosse alcançada em aproximadamente 30 s após o início do ensaio.
Na Figura 6.3 estão representadas as curvas força–deslocamento obtidas experimentalmente em dois ensaios. Os valores da energia crítica de fratura, Gf, obtidos experimentalmente, encontram-se na faixa de 115 N/m a 137 N/m. São apresentados também, os resultados numéricos obtidos por Petersson (1981), através do método dos elementos finitos, para um modelo strain-softening linear e bi-linear.
0 200 400 600 800 1000 1200 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Deslocamento (mm) F o rça ( N ) Exper. Gf = 115 N/m Exper. Gf = 137 N/m MEF - Linear MEF - Bi-linear
Figura 6.3: Curva força–deslocamento no centro do vão da viga 1, (Petersson, 1981)
Vale ressaltar que Petersson (1981) utilizou o modelo da fissura fictícia para simular numericamente a fratura do material.
6.3.1.1 – Simulação numérica utilizando o MED
A Figura 6.4 ilustra a malha de elementos discretos, com 46 x 10 x 2 módulos de arestas de comprimentos iguais a 0,022 m nas direções x, y e z, respectivamente. Por ser uma peça simétrica apenas metade da viga é discretizada, Figura 6.4. Claro, convém ressaltar que se está forçando um comportamento simétrico da peça, uma vez que as propriedades do material são aleatórias e na prática a simetria não é real.
1,012 u(t) 0,11 0,044 0,22 y x y z
Figura 6.4: Malha de discretização de elementos discretos, viga 1.
São aplicados incrementos de deslocamento na parte superior central da viga segundo a função de velocidade, u&(t), dada por:
(
2)
0) / ( 1 ) (t uf e t t u& = & − − (6.10)onde adota-se u&f =0,01 m/s como a velocidade final de aplicação do deslocamento. O
tempo t0 indica o instante em que a velocidade atinge aproximadamente 63% do seu valor máximo. A utilização da Equação (6.10) tem por finalidade evitar os efeitos de uma imposição súbita da velocidade final de aplicação do deslocamento.
É considerado um valor médio das energias específicas de fratura obtidas por Petersson (1981), ou seja, 124 N/m. O módulo de elasticidade utilizado por Petersson foi de 3,0 1010 N/m2.
Na Tabela 6.1 são encontrados os valores das propriedades físicas adotadas para simular numericamente o ensaio.
Tabela 6.1: Propriedades físicas do material e parâmetros adotados para gerar o modelo teórico.
Propriedades Valores Módulo de Elasticidade, E 3,0 1010 N/m2
Resistência à tração, ft 3,3 106 N/m2 Energia específica de fratura, Gf 124 N/m
Massa Específica, ρ 2400 kg/m3
Coeficiente de Poisson, ν 0,2
Razão de Amortecimento, ξ 5% (Df = 25 s-1) Coeficiente de Variação, CVA * 0,10
* Para o caso de se representar a heterogeneidade do material pelo uso de uma função de probabilidade de Weibull, assim como fez Rocha em 1989, o coeficiente de variação, CVA, indica a variação imposta no parâmetro da energia de fratura, Gf , que neste caso, está associado a um comprimento de correlação. Quando a heterogeneidade é simulada por uma representação espectral, os parâmetros que variam são a energia de fratura, Gf, o módulo de elasticidade, E, e a massa específica, ρ, Rios (2002).
6.3.1.2 – Resultados e discussões
O gráfico a seguir mostra os resultados referentes às curvas força-deslocamento obtidos com o emprego da representação espectral e da função de probabilidade de Weibull, no que diz respeito à heterogeneidade do material. Foram executadas computacionalmente cinco simulações, mas apenas a primeira está sendo mostrada, “Sim.1”. Foi utilizada a curva strain-softening linear para representar o abrandamento do material.
0 200 400 600 800 1000 1200 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Deslocamento (mm) Fo r ç a ( N ) Exper. Gf = 115 N/m Exper. Gf = 137 N/m MEF - Linear MEF - Bi-linear
Sim.1, MED - Linear (Análise Espectral) Sim.1, MED - Linear (Prob. de Weibull)
Figura 6.5: Curvas força–deslocamento da viga 1. Resultados de Petersson (1981) e da análise do MED para um modelo strain-softening linear considerando para a representação
da heterogeneidade os métodos da análise espectral e da probabilidade de Weibull.
Observa-se que os resultados são semelhantes e que os dois métodos utilizados para a representação da heterogeneidade são adequados para o estudo da propagação de fissura.
O resultado obtido usando a probabilidade de Weibull apresentou uma aproximação melhor, no entanto, as análises a seguir foram todas feitas utilizando o método de representação espectral para a simulação da heterogeneidade do material. Ele foi introduzido por Rios (2002) com o intuito de tornar a energia específica de fratura, Gf, independentes do tamanho da malha e do comprimento de correlação (comprimento este que representa alguma medida, a “textura” do material, ou ainda, uma dimensão dentro da qual as propriedades podem ser consideradas uniformes), Rios (2002). Assim, os parâmetros que variam devido à heterogeneidade da peça são apenas propriedades do material, tornando mais real a concepção do problema. Esta é uma das vantagens do MED e da forma de simular a heterogeneidade.