A identificação da altura de um sólido revelou-se problemática para muitos alunos aquando da realização da ficha de avaliação diagnóstica. Tendo em vista facilitar o esclarecimento dessa questão, optámos por, nesta aula, apresentar vários sólidos para que os alunos medissem a sua altura.
Na tarefa que a antecedeu era pedido que os alunos medissem a altura de um cilindro e de um prisma quadrangular, sendo que ambos eram representados por uma planificação. (imagens dessas planificações na Tabela 9, aula 2).
Esta tarefa teve como finalidade acrescentar mais algumas situações diferenciadas para que os alunos medissem a altura de sólidos oblíquos. Neste caso a altura dos sólidos não coincide com o seu eixo. Esta tarefa implica a manipulação de sólidos e de material de medida, assim como explicação de procedimentos.
2. Considera a pirâmide quadrangular, o prisma quadrangular e o cilindro que te foram
Discute e resolve, com os teus colegas de grupo, as seguintes questões:
a) Faz corresponder a cada sólido o respetivo nome. b) Em que diferem estes sólidos daqueles que já conheces? c) Qual é a altura da pirâmide? Como fizeste essa medição? d) Qual é a altura do prisma? Como fizeste essa medição? e) Qual é a altura do cilindro? Como fizeste essa medição?
Nas alíneas 2a) e 2b) nenhum grupo revelou dificuldades. Todos associaram corretamente os nomes aos respetivos sólidos e identificaram a característica notável que distinguia estes sólidos dos sólidos que os alunos estavam mais habituados a trabalhar (sólidos retos). Segue-se um exemplo de resposta (Figura 52).
Figura 52. Resposta do grupo G1 às alíneas 2a) e 2b).
Como é percetível na Figura 53 foram vários os alunos que identificaram incorretamente a altura dos sólidos. O aluno A11 considerou que a altura da pirâmide oblíqua correspondia à altura de uma das suas faces laterais; o aluno A17 utilizou o mesmo procedimento que o aluno A11 para o prisma; e o aluno A16 considerou que a altura do cilindro coincidia com a altura da superfície lateral deste.
Figura 53. Alunos A11, A17 e A16 (da esquerda para a direita) a procederem à medição da altura dos sólidos.
No entanto, alguns alunos consideram de forma correta a altura dos sólidos, como é o caso do aluno A15, cuja imagem do momento em que efetuou a medição da altura do cilindro consta na Figura 54.
Figura 54. Aluno A15 a proceder à medição da altura do cilindro oblíquo.
Apesar de, durante a resolução das tarefas, alguns elementos de cada grupo terem proposto formas incorretas de efetuar a medição da altura dos sólidos, nas produções escritas as respostas apresentadas estavam todas corretas. Segue-se um exemplo (Figura 55).
Figura 55. Resposta do grupo G3 às alíneas 2c), 2d) e 2e).
O grupo G3 respondeu corretamente às alíneas 2c), 2d) e 2e), apesar de a explicação não estar apresentada de uma forma rigorosa. Mais dois grupos explicaram de forma semelhante. Três grupos não apresentaram qualquer explicação.
A seguir transcrevemos a discussão e partilha de resultados desta tarefa em grupo-turma. No diálogo seguinte constata-se que os alunos não sentiram dificuldades em identificar os nomes dos sólidos representados.
Professor: Em relação à primeira alínea da atividade 2… Eu já vos dou o nome dos sólidos – o nome destes três sólidos [enquanto aponta para a projeção dos sólidos no quadro] - só não vos digo qual é qual. Qual é a pirâmide quadrangular? É o laranja, o verde ou amarelo?
Turma: [Em coro] É o amarelo!
Professor: E qual é o prisma quadrangular? Turma: [Em coro] É o laranja!
Turma: [Silêncio]
Professor: E qual é o cilindro? Turma: [Em coro] Verde!
Relativamente à caracterização dos sólidos, enquanto sólidos oblíquos, os alunos começaram a sentir algumas dificuldades no termo apropriado.
Professor: E agora… em que é que estes sólidos são diferentes dos que vocês conhecem? [Direciona a pergunta ao aluno A19, do grupo G6.]
A19: São inclinados!
[O professor olha para o aluno A13, do grupo G4, e espera que o aluno responda.]
A13: Estes estão inclinados.
[O professor olha para o aluno A5, do grupo G5, e espera que o aluno responda.] A5: São inclinados.
Professor: [Dirige a pergunta ao grupo G3] O que é que vocês responderam nesse grupo? Em que é que eles são diferentes? Podem ter encontrado outra diferença, não têm que responder todos a mesma coisa.
A21: [Antecipa-se a responder antes dos colegas do grupo G3] São tortos!
[O professor volta a sua atenção, novamente, para o grupo G3 mas, desta vez, pergunta diretamente a um dos seus elementos, o aluno A8]
A8: [Timidamente] São inclinados.
A15: [Espontaneamente] As faces não são iguais!
Professor: Ok, nestes [aponta para o prisma e pirâmide] as faces não são iguais, mas vocês já trabalharam com sólidos em que as faces não eram necessariamente iguais.
A21: [Espontaneamente] Professor, não faz um ângulo reto à base.
Professor: [Dirigindo a atenção para o aluno A21] Isso é uma outra forma de se dizer que são…[e aguarda resposta do aluno] Que são …[volta a atenção para toda a turma.]
Turma: [Silêncio.]
Professor: Vamos aplicar o termo correto agora? São oblíquos. Esses sólidos que vocês têm à vossa frente são chamados sólidos oblíquos. Ok?
Por fim, na determinação da altura dos diferentes sólidos, os alunos revelaram dificuldades consideráveis, com se verifica no diálogo seguinte.
Professor: E agora… Qual é a altura da pirâmide?
A21: [Aluno antecipa-se aos restantes colegas da turma] Seis. Turma: Seis [praticamente todos os alunos em simultâneo].
Professor: [Dirigindo-se ao aluno A1] Então qual é a altura da pirâmide? A1: Seis!
Professor: Como fizeste a medição? [Coloca-se ao lado do aluno para que ele lhe mostre como procedeu. O aluno faz a medição de forma equivalente à que consta na Figura 53]
A18: [Colega de grupo do aluno A1 intervém espontaneamente] Não é assim! Tem que ser na perpendicular!
Professor: [Vai para o quadro e fala para toda a turma] Olhem só… O que o vosso colega A18 está a fazer é isto [enquanto exemplifica no quadro, com uma régua
sobre a projeção da pirâmide oblíqua]. É assim que fazemos? [Dirige a sua atenção ao aluno A18] Anda cá [ao quadro] explicar como fizeste.
A18: Faço uma reta perpendicular ao vértice [enquanto coloca uma régua sobre o quadro, encostada ao vértice da pirâmide e na perpendicular em relação ao plano que contém a base da pirâmide e traça um segmento de reta cujo comprimento corresponde à altura da pirâmide (Figura 56)].
Figura 56. Aluno A18 no quadro a explicar à turma como identificou a altura da pirâmide (imagem recolhida da gravação audiovisual).
Professor: [Dirige a pergunta para turma] Alguém considerou uma estratégia diferente?
A13: E se eu medir assim a altura não é igual? [Enquanto segura na pirâmide na mão e coloca a régua encostada a uma das faces do sólido.]
Professor: Anda cá [ao quadro] explicar.
A13: Isto assim não é igual? [Enquanto desenha o segmento de reta indicado na Figura 57.]
Professor: [Desenha o cateto menor do triângulo retângulo na Figura 57.] Olha só, concordas comigo se te digo que isto é um ângulo reto? [O cateto maior, correspondente à altura, já estava desenhado pelo aluno A18.]
Figura 57. Detalhe do esquema em discussão com o aluno A13 e a turma (imagem recolhida da gravação audiovisual).
A13: E eu fiz assim [aponta para a hipotenusa] …
Professor: Espera lá… Também concordas que aqui [aponta o cateto maior] também corresponde à altura do nosso sólido, correto?
A13: Sim.
Professor: Isto aqui [aponta para o triângulo] é um triângulo… A13: …retângulo!
Professor: [Dirigindo-se a toda a turma] Olhem só… O vosso colega [A13] está a dizer que este lado [indica o cateto correspondente à altura do sólido] é igual a este, certo? [Indica a hipotenusa do triângulo retângulo]. Alguém mais tem esta ideia? A18: [Espontaneamente] Professor, nós estivemos a medir e é igual.
Professor: [Dirigindo-se a toda a turma] Olhem só porque não podem ser iguais… A19: [Espontaneamente] Porque está inclinado.
Professor: Todos concordam que a altura se mede na perpendicular [indica o cateto relativo à altura do sólido]. Então há aqui [indica o ângulo reto do triângulo retângulo] um ângulo reto formado por este lado [indica o cateto relativo à altura] e o plano que contém a base do sólido. Certo? Se eu assentar o sólido aqui [pega numa folha de papel e na pirâmide oblíqua e coloca-a em cima da folha de papel] no plano, isto é, na representação do plano que contém a base do sólido nós vemos a altura na perpendicular [coloca a caneta encostada ao vértice superior da pirâmide perpendicularmente à folha de papel]. Está certo? Então não há dúvidas de que este ângulo aqui é reto. Então eu consigo considerar aqui um triângulo. Que triângulo é este?
Turma: [Alguns alunos] Retângulo.
Professor: Que lado é este [indica a hipotenusa] do nosso triângulo retângulo? Turma: [Alguns alunos] A hipotenusa!
Professor: A hipotenusa tem uma característica, que é …?
A13: Ao quadrado é o quadrado de um cateto ao quadrado mais outro cateto ao quadrado.
Professor: E é o lado maior ou menor do triângulo? Turma: [Alguns alunos] É o lado maior!
Professor: Então como é que pode medir o mesmo que este [aponta para o lado do triângulo correspondente à altura da pirâmide]? Pode medir o mesmo que este? Não pode!
A18: Mas e às vezes?
Professor: Às vezes também não! Neste caso é de o sólido não ter uma inclinação muito acentuada e a diferença pode ser um milímetro, e vocês nem se aperceberem, mas há sempre diferença. Tá certo?
A10: [Aluno verificou a diferença entre as medidas e intervém] A mim dá dois milímetros.
Com os esclarecimentos prestados pelo professor e por outros alunos, finalmente os alunos conseguiram ultrapassar as suas dificuldades. Essa aprendizagem parece ter sido significativa uma vez que, como se verifica pelo diálogo abaixo, os alunos conseguiram facilmente identificar e determinar a altura do prisma e do cilindro oblíquos.
Professor: Agora… Em relação à altura do prisma. A altura do prisma… A18: Ainda não chegamos lá.
A3 e A19: 6,5.
Professor: Então acabem lá!
[Professor dá mais alguns momentos para que todos os grupos terminem enquanto os grupos que já terminaram continuam a resolver as tarefas da ficha de trabalho.] Professor: Vá, turma, preciso que vocês façam um bocadinho de silêncio agora. Vamos parar um bocadinho agora para terminarmos esta atividade. Então… Altura do prisma [dirige a pergunta especificamente para o aluno A1]?
A1: 6,5.
Professor: Como é que fizeste a medição?
A1: Foi assim [e exemplifica com a régua e o sólido].
Professor: Já não fizeste assim [e indica na projeção do sólido, no quadro, a direção errada do segmento correspondente à altura do prisma], pois não?
A1: Não. Tem que fazer 90.
Professor: Isso! Tem que fazer 90º com o plano que contém a base do sólido. Professor: Altura do cilindro? Quanto vos deu a altura do cilindro? [Dirige a pergunta ao aluno A20.]
A20: Seis.
Professor: Mostra como fizeste.
[O aluno exemplifica como fez a medição com a régua e o cilindro.] Professor: Ok!
Professor: Alguém chegou a um resultado diferente? Turma: [Silêncio.]
Professor: Ok.
Professor: Agora atenção! Quero que agora estejam todos aqui concentrados. [Professor chama a atenção dos alunos para que olhem para o quadro. De seguida, o professor passa à formalização/síntese da forma como se determina a altura de um sólido.]