Ao longo do ano letivo foram realizados cinco testes sumativos de avaliação e cinco fichas sumativas de avaliação por partes, estas com metade do peso de um teste. Estas fichas de avaliação por partes comportavam questões apenas relativas a um pequeno tópico do programa. A ficha de avaliação por partes (Anexo IV) que aplicámos era dividida em duas partes. A primeira (Grupo I), constituída por quatro itens de construção, uns de caráter mais específico, outros de caráter mais geral. A segunda parte (Grupo II) era constituída por dois itens de escolha múltipla, um de caráter específico e outro de caráter geral. A ficha teve a duração prevista de 45 minutos.
Nesta secção fazemos uma análise das respostas, classificadas em corretas, parcialmente corretas e incorretas, e das estratégias de resolução que os alunos adotaram para resolver cada uma das questões, assim como dos erros mais recorrentes e significativos.
Grupo I
Na Tabela 10 apresentam-se as percentagens dos diferentes tipos de resposta nas três alíneas da questão 1.
Tabela 10 — Frequência dos diferentes tipos de resposta nas alíneas 1a), 1b) e 1c)
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
1. Considera a seguinte planificação de um sólido, onde o polígono central é um
quadrado
a) A que sólido corresponde a
planificação? 1 19 2 0
b) Calcula a área da superfície (total)
do sólido. 14 5 1 2
c) Determina o volume do sólido. 2 11 5 4
Apenas um aluno respondeu corretamente à alínea 1a) (Figura 66).
Figura 66. Resolução apresentada pelo aluno A19 à alínea 1a).
Dos dezanove alunos que apresentaram respostas parcialmente corretas, dezassete afirmaram que se trata de uma pirâmide quadrangular, omitindo o facto de ser regular.
Nas duas respostas incorretas os alunos cometeram os mesmos erros, considerando que se tratava de um prisma e que a sua base era triangular. Relativamente a este último erro, podemos conjeturar que ele se deveu ao facto de o aluno ter considerado a forma das faces laterais em vez da forma da base na sua classificação.
Na alínea 1b) catorze alunos apresentaram uma resposta correta (Figura 67).
Figura 67. Resolução apresentada pelo aluno A4 à alínea 1b).
Classificamos cinco respostas à alínea 1b) como parcialmente corretas. Em quatro destas respostas os alunos apenas consideraram uma das faces laterais da pirâmide para o cálculo da
área lateral (Figura 68), três mostraram dificuldades nas fórmulas de cálculo da área de uma face lateral ou da área da base (Figura 69).
Figura 68. Resolução apresentada pelo aluno A2 à alínea 1b).
O aluno A2 partiu do princípio que a área de superfície da pirâmide era a soma da área da base com a área lateral, não tendo considerado para o efeito que o sólido tinha quatro faces laterais. Desta forma, o aluno considerou que a área pedida corresponderia à soma da área da base com a área de uma das faces laterais.
Figura 69. Resolução apresentada pelo aluno A21 à alínea 1b).
Apenas uma resposta foi classificada como incorreta, tendo o aluno A22 escrito 10 m. Podemos conjeturar que este aluno considerou a área total como a soma do comprimento do lado do quadrado da base com a altura de uma face lateral (4 + 6 = 10), tendo considerado uma unidade de medida errada.
Na alínea 1c) apenas dois alunos responderam corretamente (Figura 70).
Figura 70. Resolução apresentada pelo aluno A13 à alínea 1c).
O aluno A13 reconheceu que a altura da pirâmide correspondia ao comprimento de um dos catetos do triângulo retângulo que tinha como hipotenusa 6 cm (altura das faces laterais da
pirâmide) e como um dos catetos 2 cm (metade do lado do quadrado da base). De seguida aplicou corretamente os valores na fórmula de cálculo do volume de uma pirâmide.
Classificamos onze respostas, à alínea 1c), como parcialmente corretas. Nestas, o erro mais frequente refere-se à altura da pirâmide (Figura 71).
Figura 71. Resolução apresentada pelo aluno A2 à alínea 1c).
Da mesma forma que A2, mais seis alunos apresentaram respostas nas quais tomavam como altura da pirâmide a altura do triângulo da face lateral.
Os restantes quatro alunos que responderam de forma parcialmente correta, apesar de terem adotado a estratégia correta para determinar a altura da pirâmide, incorreram em outros erros durante o processo (Figura 72).
Figura 72. Resolução apresentada pelo aluno A15 à alínea 1c).
O aluno A15, apesar de ter considerado de forma correta a altura da pirâmide como um cateto do triângulo retângulo, na aplicação do teorema de Pitágoras tomou a altura como a hipotenusa do referido triângulo.
Finalmente, foram cinco as respostas incorretas nesta alínea. Em quatro, os alunos consideraram uma fórmula errada para o cálculo do volume da pirâmide (Figura 73).
Figura 73. Resolução apresentada pelo aluno A21 à alínea 1c).
O aluno A21 considerou que o volume da pirâmide correspondia a um terço de pi pela altura.
Na Tabela 11apresentam-se as frequências dos tipos de respostas obtidas na questão 2. Neste caso, classificamos como parcialmente corretas as respostas que apresentassem corretamente alguma parte do processo de resolução da questão.
Tabela 11 — Frequência dos diferentes tipos de resposta na questão 2.
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
2. Um líquido que está num recipiente em
forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica. Se a área da base dos dois recipientes for 15 cm2 e a altura dos dois for 5 cm, que altura o líquido do cone atingirá no cilindro?
(Nos cálculos que efetuares considera valores arredondados às décimas.)
5 9 4 4
Das cinco respostas corretas obtidas nesta questão, quatro foram dadas com recurso à mesma estratégia (Figura 74).
Figura 74. Resolução apresentada pelo aluno A15 à questão 2.
O aluno A15, assim como mais três alunos, recorreram à linearização da relação entre o volume do líquido e a altura que este ocupa no cilindro.
O quinto aluno que respondeu corretamente à questão 2 recorreu a outra estratégia (Figura 75).
Figura 75. Resolução apresentada pelo aluno A18 à questão 2.
Através da razão entre volume do cone e o volume do cilindro, o aluno A18 concluiu que a altura que o líquido atingiria seria um terço da sua altura.
As respostas parcialmente corretas dadas à questão 2 foram nove. Os erros mais frequentes foram: considerar que a altura do líquido no cilindro corresponderia à diferença entre os volumes do cilindro e do cone (Figura 76) e erros de fórmulas (Figura 77), com três ocorrências cada um.
Figura 76. Resolução apresentada pelo aluno A4 à questão 2.
O aluno A4, apesar de ter calculado os volumes de uma forma correta, considerou que a altura pedida corresponderia à diferença entre os volumes do cilindro e do cone.
Figura 77. Resolução apresentada pelo aluno A5 à questão 2.
O aluno A5, além de não ter concluído sobre o que era pedido na questão, considerou a fórmula errada para o cálculo do volume do cilindro.
As respostas incorretas foram quatro. Duas dessas respostas apresentavam erros nas fórmulas aplicadas (Figura 78) e duas apresentavam resultados errados sem recurso a qualquer cálculo ou justificação.
Figura 78. Resolução apresentada pelo aluno A7 à questão 2.
O aluno A7 não concluiu nada sobre altura que a água atingiria no cilindro. Além disso, considerou fórmulas incorretas para o cálculo do volume do cilindro e do volume do cone.
Na questão 3, cujas respostas constam da Tabela 12, classificamos como corretas as respostas que não apresentassem qualquer erro, ainda que não devidamente justificadas, e como parcialmente corretas as respostas justificadas com base em casos particulares.
Tabela 12 — Frequência dos diferentes tipos de resposta na questão 3.
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
3. Considera os prismas quadrangulares,
retos e regulares A e B. As arestas do prisma B têm o dobro do comprimento das arestas correspondentes do prisma A. Sabendo que o prisma A tem 8cm3de
volume, determina o volume do prisma B. 3 5 8 6
Apenas três alunos responderam de forma correta à questão 3. Destes, apenas um justificou devidamente a sua resposta (Figura 79) e os outros dois não deram qualquer justificação (Figura 80).
Figura 79. Resolução apresentada pelo aluno A3 à questão 3.
O aluno A3, a partir do caso geral, determinou a razão entre os volumes do prisma B e do prisma A e, de seguida, multiplicou o volume do prisma A pela razão encontrada, obtendo desta forma a resposta correta e devidamente fundamentada.
Figura 80. Resolução apresentada pelo aluno A19 à questão 3.
O aluno A19, apesar de ter apresentado a resposta correta, não apresentou qualquer justificação.
Nas cinco respostas parcialmente corretas, os alunos deram respostas corretas com base numa estratégia de particularização. Nestas respostas destacamos ainda duas formas de particularização: o recurso a casos particulares de prismas cubos (Figura 81) ou a casos particulares de prismas não cubos (Figura 82). No primeiro caso foram apresentadas três respostas e no segundo duas.
Figura 81. Resolução apresentada pelo aluno A4 à questão 3.
O aluno A4 considerou o caso particular de um cubo de aresta 2 cm., determinou o seu volume e, finalmente, calculou a aresta do cubo. Seguidamente, duplicou esse valor para obter comprimento da aresta do cubo B e calculou o seu volume.
Figura 82. Resolução apresentada pelo aluno A10 à questão 3.
O aluno A10 considerou também um caso particular do problema, em que A e B são prismas não cubos e calculou os respetivos volumes. Concluiu sobre a relação de grandeza existente entre os dois prismas e com recurso a essa relação justificou a sua resposta.
As respostas incorretas na questão 3 foram oito, sendo o estabelecimento de uma relação linear entre os volumes dos prismas o erro presente em sete dessas respostas. Destas, em quatro os alunos recorreram a cálculos (Figura 83) como forma de justificar e três recorreram a estratégias intuitivas (Figura 84).
Figura 83. Resolução apresentada pelo aluno A15 à questão 3.
Tal como mais três alunos, o aluno A15 partiu do princípio que a relação entre os volumes dos prismas era uma relação linear e considerou que se as arestas do prisma A fossem dobradas, obtendo-se um novo prisma B, então o prisma A teria o dobro do volume do A.
Figura 84. Resolução apresentada pelo aluno A9 à questão 3.
O aluno A9 recorreu à regra intuitiva mais A – mais B para justificar a sua resposta, a qual foi aplicada por mais dois alunos.
Tabela 13 — Frequência dos diferentes tipos de resposta na questão 4.
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
4. Uma artesã faz dois tipos diferentes de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm, como está ilustrado na figura. Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras diferentes, a artesã forma cilindros e, em seguida, preenche-os completamente com parafina. Qual dos dois tipos de vela gasta mais parafina? A do tipo A ou a do tipo B? (Considera π ≈ 3,14. Nos cálculos que efetuares considera valores arredondados às décimas.)
2 4 14 2
A resolução desta questão revelou-se numa das mais problemáticas de toda a ficha de avaliação, com apenas dois alunos a responderem corretamente (Figura 85).
Figura 85. Resolução apresentada pelo aluno A18 à questão 4.
Das quatro respostas parcialmente corretas, três apresentavam o mesmo erro (Figura 86).
O aluno A4, assim como mais dois alunos, consideraram que o raio das bases dos cilindros corresponderia a metade do comprimento de cada uma das folhas.
O quarto aluno a apresentar uma resposta parcialmente correta cometeu, o que poderemos conjeturar como sendo um lapso, quando na conclusão da sua resposta considerou incorretamente a vela que gastaria mais parafina (Figura 87).
Figura 87. Resolução apresentada pelo aluno A10 à questão 4.
Finalmente, as respostas incorretas foram catorze, sendo os erros mais frequentes: identificação do raio das bases dos cilindros (Figura 88), presente em seis respostas; fórmula relativa ao cálculo do volume de um cilindro (também na Figura 88), presente em cinco respostas; confusão entre os conceitos de volume/capacidade e área lateral ou de superfície (Figura 89), presente em três respostas.
O aluno A15 começou por calcular a área lateral de cada um dos cilindros e, verificando que eram iguais, concluiu que nenhum dos dois tipos de vela gastaria mais parafina que o outro com recurso à regra intuitiva mesmo A – mesmo B.
Três das respostas foram justificadas com recurso a estratégias intuitivas (também na Figura 89).
Grupo II
Na Tabela 14 estão registadas as frequências das respostas dos alunos à questão 5. Tabela 14 — Frequência das diferentes respostas à questão 5.
5. Considera um prisma quadrangular, como o da figura. No seu interior
encontra-se uma pirâmide, cujo vértice A é o centro do prisma (ponto de interseção das diagonais do prisma).
Qual a relação entre o volume da pirâmide e o volume do prisma?
Opções de resposta
A B C D* (A) VPirâmide 2 VPrisma
1 (B) Pirâmide Prisma 3 1 V V (C) Pirâmide Prisma 4 1 V V (D) Pirâmide Prisma 6 1 V V Frequência 1 11 7 3
Nota: A resposta assinalada com o asterisco (*) é a correta.
Por observação da Tabela 14 podemos verificar que onze (metade) dos alunos responderam que o volume da pirâmide seria um terço do volume do prisma. Possivelmente, os alunos poderão ter recorrido à relação existente entre o volume de uma pirâmide e de um prisma com iguais áreas da base e alturas. Contudo, neste caso, isso não se verificava, e os alunos não tiveram em consideração o facto das alturas da pirâmide e do prisma serem diferentes.
A opção C foi a segunda mais escolhida pelos alunos, podendo a sua escolha dever-se à falta de perceção espacial dos alunos, já que estes poderiam ter visualizado a decomposição do prisma em apenas quatro pirâmides (inferior, superior, lateral esquerda e lateral direita ou frontal e posterior).
A opção A foi escolhida por apenas um aluno, o qual poderá ter sido induzido pela relação existente entre as alturas da pirâmide e do prisma.
A opção correta, D, foi apresentada por apenas 3 alunos. Este facto denota duas dificuldades dos alunos: a dificuldade que os alunos sentem quando lhes são propostas questões de caráter mais geral; e a dificuldade que alunos apresentam em perceção espacial,
dado que esta questão poderia ser resolvida tanto algebricamente como através da perceção da representação geométrica apresentada.
Tabela 15 — Frequência das diferentes respostas à questão 6 (resposta correta sombreada).
6. Num reservatório de água, com forma cúbica, gastaram-
se 600 dm de chapa de ferro na sua construção. Qual a 2 capacidade do reservatório?
Opções de
resposta Não responde
A B C* D (A) 100dm3 (B) 600dm3
(C) 1000dm3 (D) 10dm3
Frequência 5 4 10 2 1
Nota: A resposta assinalada com o asterisco (*) é a correta.
Tal como consta na Tabela 15, a opção correta, C, foi a mais escolhida pelos alunos. A opção incorreta que reuniu mais respostas dos alunos foi a A, a qual pode ter resultado da divisão da área da superfície total do cubo por seis (número de faces), sem se ter em consideração que os 600dm3 se referiam à área da superfície e que a pergunta era sobre
capacidade.
A opção B reuniu a resposta de quatro alunos, que podem ter estabelecido a relação de igualdade entre a área da superfície do reservatório cúbico e a capacidade do mesmo.
CAPÍTULO V
CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES E RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES
Neste capítulo sistematizamos o que se mostrou mais relevante no projeto, estando este dividido em quatro secções: Síntese do estudo, Conclusões, Implicações e recomendações e Limitações.