O Modelo de Alocação de Frotas de Ferguson e Dantzig visa à alocação de tipos de frota a cada rota pré-definida, minimizando a soma dos custos variáveis de cada alocação e a receita perdida devido ao não atendimento completo da demanda. Este modelo é baseado em uma formulação clássica de problema do transporte, aproveitando esta característica para permitir sua solução com um algoritmo mais eficiente que o Simplex (FERGUSON; DANTZIG, 1956; FRYSZMAN, 1990).
A formulação a seguir é apresentada para uma rede com i = 1, 2, ..., (m-1) diferentes frotas, sendo a frota m uma frota fictícia que será alocada às rotas não atendidas na solução, e j = 1, 2, ..., (n-1) diferentes rotas, sendo a rota n fictícia, à qual serão alocadas as aeronaves que permanecerão em solo (FERGUSON; DANTZIG, 1956;).
Considerando cij o custo de operação da frota i na rota j e a variável
de decisão xij, que indica o número de aeronaves da frota i atendendo à rota
j, a função objetivo, que visa à minimização da soma do custo variável de todas as rotas executadas, pode ser representada conforme a Eq. 3.1.
(3.1)
[min]
i=1 m j=1 nc
ijx
ijEsta função objetivo considera também a perda de receita por não atender às demandas de uma ou mais rotas (quando i = m), através do custo cmj, e permite também a consideração de custos de não utilização de
O primeiro grupo de restrições do modelo limita o número de aeronaves usado em cada frota, indicando que a soma de todas as aeronaves alocadas de uma frota deve ser igual ao número de aeronaves disponíveis nesta mesma frota. Considerando ai o número total de
aeronaves da frota i, esta restrição pode ser indicada conforme a Eq. 3.2.
(3.2)
j=1 n
x
ij= a
i≤i x i ! m
Esta restrição não soma, obviamente, as aeronaves da frota fictícia (quando i = m). Esta restrição é representada como uma igualdade porque todas as aeronaves devem ser alocadas, seja às rotas reais (j < n) ou à rota fictícia (j = n), neste último caso correspondendo às aeronaves que, na realidade, não irão voar.
O segundo grupo de restrições garante que toda a demanda seja alocada às frotas como passageiros. Considerando pij o número de
passageiros da rota j transportados pela frota i, e dj a demanda da rota j,
esta restrição pode ser representada conforme a Eq. 3.3.
(3.3)
i=1 m
p
ij.x
ij= d
j≤j
Também esta restrição é apresentada como uma igualdade, fazendo com que, se não for possível alocar toda a demanda a aeronaves das frotas reais (i < m), a demanda excedente será alocada a uma aeronave da frota fictícia (i = m).
Finalmente, nenhuma frota pode ter um número negativo de aeronaves alocado a uma rota, conforme é representado na Eq. 3.4. Os valores de xij devem ser inteiros.
(3.4)
x
ijm 0
≤i, j
Nesta modelagem é considerado que dj representa a demanda
mensal total de uma rota j, e que podem ser alocadas várias aeronaves para uma única uma rota, cobrindo todos os seus voos. Isso limita bastante a aplicação do modelo, já que a demanda é considerada independente da frequência e dos horários dos voos. Adicionalmente, a restrição da Eq. 3.2 provoca o efeito colateral de associar cada aeronave a uma única rota por todo o mês - já que a soma das rotas que usam aquela frota não pode ser maior que o número de aeronaves da frota, o que nem sempre é consonante com as necessidades reais (FRYSZMAN, 1990).
De qualquer forma, este modelo foi estendido para incorporar a consideração de incertezas na demanda. Os resultados são obtidos aplicando-se coeficientes probabilísticos pré-calculados como redutores da receita devido às incertezas associadas à demanda. Tal modelagem estendida é apresentada a seguir (FERGUSON; DANTZIG, 1956).
A função objetivo deste modelo, representada na Eq. 3.5., visa à minimização do custo similar à do modelo original, representada na Eq. 3.1, em que cij representa o custo de operação da frota i na rota j e a variável de
decisão xij indica o número de aeronaves da frota i atendendo à rota j.
Entretanto, neste modelo há um termo adicional somado ao custo, que representa a perda de receita devido à incerteza. A receita perdida é calculada subtraindo da receita total possível Ro, isto é, a receita total desde
que haja capacidade suficiente para atender a demanda de todas as rotas, o valor da soma da receita prevista para cada rota j, Rpj, considerando os
fatores de incerteza. (3.5)
[min] (
i=1 m j=1 nc
ijx
ij) + (R
o−
j=1 nRp
j)
O cálculo da demanda prevista leva em consideração uma discretização da demanda total, sendo que cada faixa de discretização tem uma probabilidade diferente de ser excedida, ou seja, a demanda de uma rota j é dividida em H intervalos, com bhj passageiros potenciais em cada
intervalo. Nesta situação, se hj for a probabilidade de o número de
passageiros reais exceder a soma dos passageiros dos intervalos 1, 2, 3, ..., H, e a variável de decisão yhj indicar o número de passageiros do intervalo h
alocados à rota j, então pode-se estimar o número de passageiros reais da faixa h por hj . yhj. Com isso, considerando uma receita média por
passageiro kj, a receita total prevista Rpj, para o trecho j, é dada pela Eq.
3.6. (3.6)
Rp
j= k
j h=1 H hjy
hjPor exemplo, tome-se uma rota com receita média prevista de R$200,00 por passageiro e uma demanda de 100 passageiros com a seguinte característica: um primeiro intervalo de 70 pessoas desta demanda garantidamente se tornarão passageiros; há, porém, uma probabilidade de 70% de que a demanda supere 90 pessoas - o segundo intervalo de 20 pessoas - e, finalmente, uma probabilidade de 25% de que a demanda atinja as 100 pessoas - somando-se o terceiro intervalo de 10 pessoas. Considerando que o modelo alocou todos os 100 passageiros a essa rota, ficam definidos: k = 200, y1 = 70, y2 = 20, y3 = 10, 1 = 1,0, 2 = 0,7 e 3 =
0,25, compondo uma receita prevista Rp de R$200,00.(1,0.70 + 0,7.20 + 0,25.10), o que resulta em uma receita prevista Rp = R$17.300,00, diante de uma receita total possível Ro = R$200,00 . 100 = R$20.000,00. Assim, a
perda de receita, de acordo com o modelo, é estimada em R$2.700,00.
O primeiro grupo de restrições do modelo, analogamente ao já apresentado na Eq. 3.2, limita o número de aeronaves usado em cada frota.
Considerando ai o número total de aeronaves da frota i, estas restrições
podem ser indicadas conforme a Eq. 3.7.
(3.7)
j=1 n
x
ij= a
i≤i
O segundo grupo de restrições, analogamente ao já apresentado na Eq. 3.3., garante que toda a demanda seja alocada às frotas como passageiros. A diferença surge no fato de que a demanda total agora é calculada pela soma de todos os yhj, ou seja, os passageiros alocados de
cada uma das H faixas de demanda, para todas as rotas. Considerando pij o
número de passageiros da rota j transportados pela frota i, tais restrições podem ser representadas conforme a Eq. 3.8.
(3.8) i=1 m
p
ij.x
ij=
h=1 Hy
hj≤j
As restrições de não negatividade para as variáveis de decisão xij
também aparecem, conforme a Eq. 3.9, assim como as restrições que garantem que o número de passageiros alocados de uma faixa k da demanda da rota j nunca supere seu limite superior bkj, como indicado na
Eq. 3.10.
(3.9)
x
ijm 0
≤i, j
(3.10)
0 [ y
hj[ b
hj≤h
3.2.1.1. Considerações Sobre o Modelo
Os pontos fortes destes modelos propostos por Ferguson e Dantzig são a idéia de considerar a perda de receita como um custo adicional e o uso de um recurso relativamente simples para a consideração de incertezas com relação à demanda. O ponto fraco mais relevante deste modelo é a
mistura dos conceitos de rota e trilho, com a fixação de uma aeronave a uma única rota. Isso significa que a rota provavelmente é composta por uma sequência de voos - um trilho - e, daí em diante, torna-se pouco genérica a consideração de uma demanda igual em cada um dos voos que compõem uma rota, dado que rotas diferentes podem ter voos compartilhados.
Considerando-se que a rota seja composta por um único voo, a modelagem se torna pouco razoável para uma empresa aérea que tenha voos de curta duração, além de, feita essa consideração, apresentar a falha de não garantir a continuidade das aeronaves de uma mesma frota entre os voos. Adicionalmente, ao permitir que várias aeronaves sejam alocadas a uma única rota, o modelo adquire características que o torna apto a resolver apenas a etapa de frequency planning, isto é, para a definição de quantos voos se faz em uma rota por dia. Neste caso, a definição de uma demanda que independe do horário do voo se torna uma limitação prática relevante, mesmo com as considerações feitas sobre a incerteza da mesma. Finalmente, o modelo faz referências explícitas a custos e receitas operacionais, valores nem sempre disponíveis no momento da definição da malha aérea.