As investigações realizadas por Pierce e Stacey (2001) indicam que, se os recursos tecnológicos assim o permitem, os alunos "movem-se" livremente entre representações algébricas e gráficas de funções e que, familiarizados com este ambiente, demonstram preferência pelas representações gráficas. Entre as justificativas considere-se aquela baseada no fato de que alguns softwares (por exemplo, o software algébrico Derive) permitem passar de representações algébricas para representações gráficas com muita facilidade e rapidez.
Por outro lado, verificou-se que as tabelas ou representações numéricas eram menos, aliás, muito pouco utilizadas. É possível que isso reflita o fato de que, nas aulas, professores e alunos utilizam tabelas quase exclusivamente no desenvolvimento do que, em geral, se entende como uma fase de introdução conceitual, tradicionalmente inicial no estudo dos conteúdos, e raramente na resolução de problemas durante todo o estudo
29
Capítulo 3 Educação Matemática e Computadores
___________________________________________________________________________
desses conteúdos. Também pode ser decorrente da crença de que a representação numérica não tem sido considerada um recurso muito eficiente no caminho para a compreensão dos conceitos relacionados ao estudo de funções, embora sejam reconhecidas as vantagens de usar planilhas eletrônicas no estudo de limites de funções.
Um estudo interessante a esse respeito foi feito por Friedlander e Stein (2001) que tinham o objetivo de analisar, especialmente, dois aspectos: (1) a habilidade dos estudantes para escolher, utilizar e integrar várias representações e ferramentas nos processos de resolução de equações algébricas e (2) as soluções dos estudantes para equações algébricas em um ambiente que contém uma variedade de recursos. Os alunos tinham, à sua disposição, lápis e papel, o software gráfico Mathemati-X, a planilha de cálculo Excel, e o software algébrico Derive. Os resultados quantitativos abaixo registram as preferências dos doze estudantes participantes do estudo, para cada uma das equações:
Ferramenta Equação
Lápis e papel Software gráfico Software algébrico Indecisos 1,2 (x - 0,5) = 8,4 10 2
x2 - 5x + 6 = 0 2 5 3 2 * x + y = -4; x + y = -4 2 2 7 1 * y = x + 1; y = x2 + x 2 5 4 1
* Sistemas de equações (Friedlander e Stein, p.445)
Ao serem entrevistados sobre as razões de suas escolhas pelos recursos computacionais, os alunos manifestaram, entre outras: o computador resolve o que os alunos não sabem resolver (sobre preferir o computador ao lápis e papel); o software gráfico é mais transparente (sobre a possibilidade de visualização) do que os programas de manipulação simbólica e, esses últimos não permitem a compreensão dos processos de solução, por isso sua legitimidade é questionável.
A possibilidade de coordenar representações múltiplas (gráficas, numéricas e algébricas), que é favorecida pelo computador, foi também assinalada por Borba (1995), que afirma que a Matemática visual ou discreta pode ser utilizada como recurso para atrair aqueles estudantes que rejeitam, explicita ou implicitamente, a hegemonia da Álgebra. No já citado experimento realizado, essa coordenação de representações foi utilizada, especialmente, para contrastar uma dada representação (no caso, a representação algébrica, a equação) com outra (o gráfico ou a tabela). O aluno desenvolveu um determinado raciocínio dentro dos domínios da representação algébrica que o levou a supor que a equação y = (x+5)2 + 3(x+5) + 5 representava uma translação, do gráfico de y = x2 + 3x + 5, de 5 unidades para a direita. Entretanto, a representação gráfica e a tabela, fornecidas pelo Function Probe© , chocou-se com sua suposição, que parecia tão certa na representação algébrica, olhada isoladamente. O desenrolar do episódio mostra como essa
Capítulo 3 Educação Matemática e Computadores
___________________________________________________________________________
85
tensão, oferecida pelos recursos do computador, gerou no aluno, atitudes de busca e investigação.
As representações múltiplas foram, também, destaque nos experimentos conduzidos por Villarreal (1999), onde se percebe claramente quanto as conexões entre representações ajudaram as estudantes a esclarecer as noções de função derivada e reta tangente. Em sua tese, há um relato de um conflito, gerado pela imagem fornecida pelo computador, que surgiu quando a reta tangente a uma parábola parecia tocá-la em mais de um ponto. A primeira estratégia das estudantes foi recorrer ao zoom30 a fim de obter uma melhor visualização. Entretanto a reta e a parábola pareciam sempre "confundir-se" nas vizinhanças do ponto de tangência. As alunas recorreram, então, à abordagem algébrica para resolver a questão: igualaram as equações da reta e da parábola para determinar seu(s) ponto(s) de interseção. Esse exemplo, entre outros apresentados, mostra a importância do trabalho com as representações múltiplas, proporcionadas pelo computador, e com as relações que as vinculam. Pode-se, através delas, conectar domínios que, de outra forma, permaneceriam separados, porém, se conectados, geram compreensões mais amplas e completas.
Nos experimentos de ensino conduzidos por Benedetti (2003) também emergiram questões e reflexões nesta linha. Ao investigar as potencialidades do software gráfico
Graphmatica, ele analisou as ações dos estudantes na coordenação de representações
múltiplas de funções não tradicionalmente estudadas pelos alunos em sala de aula, como as que são representadas analiticamente por y= x, y= 1/x e y = x3. Seu estudo mostra a forma como conhecimentos foram construídos e novos significados foram atribuídos a estas funções a partir de experiências, vivenciadas pelos alunos em interação com o professor e pesquisador, que foram condicionadas pelo design do software.
No trabalho de Hershkowitz e Kieran (2001) são apresentadas análises de um estudo, com alunos investigando e resolvendo um problema envolvendo função afim, exponencial e quadrática. Nesse estudo se observou que os alunos realizaram várias ações envolvendo vários tipos de representações (algébrica, numérica e gráfica) simultâneas sempre que surgia a necessidade de compreensões do significado dos conceitos envolvidos.
Aspinwall e Shaw (2002a) discutem a importância das representações múltiplas analisando dois processos de pensamento que consideram contrastantes: o geométrico e o analítico. A posição dos autores não é a de que um processo seja superior ao outro, mas de que os estudantes freqüentemente constroem representações bastante diferentes e
30
Aumento, ampliação da imagem na tela fazendo parecer que nos aproximamos dela. (DICIONÁRIO BABYLON-PRO, 2002)
Capítulo 3 Educação Matemática e Computadores
___________________________________________________________________________
idiossincráticas, as quais conduzem a diferentes compreensões de um conceito. Os autores ressaltam a importância de desenvolver nos alunos a habilidade de selecionar, aplicar e transladar entre diferentes representações para resolver um problema matemático. E afirmam que, ao invés de serem apresentados à e terem que interpretar a forma representacional que o professor prefere, os estudantes devem ser levados a criar e ver objetos matemáticos a partir de diferentes perspectivas. O desafio, então, para nós professores, é criar ambientes que exijam dos estudantes tornarem-se fluentes com uma variedade de representações31.(p.439)