Example: caplet formula from LIBOR market model . 33

Tall (1989) comenta que, em geral, os matemáticos acreditam que a natureza dos objetos com que trabalham é determinada por conceitos imutáveis, cuja realidade independe de fatores culturais. Em Matemática, historicamente, elementos conceituais têm conquistado supremacia sobre os observáveis. Entretanto, o caráter observável dos objetos produzidos ou processados pelas TI está, cada vez mais, ganhando destaque.

Segundo esse autor, o que ocorre é que forças culturais se configuram quando novas idéias são introduzidas, e as tecnologias informáticas as têm colocado em ação. Essas forças movem elementos de uma cultura a outra por um processo de difusão. Por vezes ocorre uma lacuna cultural em que os novos elementos levam algum tempo para se tornar parte da cultura; e algumas vezes há uma resistência cultural quando novos elementos definitivamente não são aceitos em substituição aos velhos.

Alguns novos elementos que nos foram trazidos pela chegada das TI, como os desk-

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nova cultura. Outros, tais como o uso do computador para auxiliar ou mesmo promover a aprendizagem, estão sujeitos à lacuna cultural e à resistência por parte das comunidades de ensino. Verifica-se ainda, destaca Tall (1989), por vezes, uma complexa mistura que resulta da fusão do "velho" com o "novo".

Relacionam-se a isso, as percepções de Villarreal (1999) no que se refere aos estilos de abordar os conteúdos matemáticos. Mesmo na presença do computador, há alunos que se mostram claramente mais propensos a pensar algebricamente, demonstrando que conservam traços de um ensino que, tradicionalmente, enfatiza aspectos algébricos. Essa ênfase no algébrico pode ser associada às compreensões de Tall (1989): elas representam "velhas" forças que coexistem com as "novas", nesse particular, representadas pelas possibilidades visuais que as TI oferecem.

Não exatamente associado à informática, mas ao Cálculo, o trabalho de Aspinwall e Shaw (2002) apresenta exemplos baseados em experimentos feitos com dois estudantes que realizaram atividades envolvendo o conceito de derivada. Neste trabalho eles perceberam dois processos de pensamento: o geométrico e o analítico. Apesar disso, eles consideram que os estudantes freqüentemente apresentam raciocínio tipicamente analítico, e não visual. Uma das razões apontadas é a de que estudantes e professores em geral acreditam que fazer cálculo consiste em manipular com habilidade números e símbolos.

Este aspecto está relacionado com a possibilidade de "fazer Matemática à mão ou com tecnologia". Assim, merecem ser mencionadas as opiniões de estudantes e professores a este respeito. Silva (1999) realizou interessante pesquisa em que, entre outros resultados, mostra as concepções de professores a respeito do momento em que o computador deve e pode ser usado. A visão predominante foi a de que esse uso deve se dar após a exposição dos conteúdos pelo professor.

Também os alunos, na pesquisa de Pierce e Stacey (2001), manifestaram ter reservas quanto ao uso de CAS em Matemática. Alguns alunos preferem aprender os conceitos básicos primeiro sem o computador para depois recorrer a ele com objetivos de esclarecimento ou aprofundamento das compreensões. Isso daria, inclusive, mais confiança no manuseio da tecnologia. Consideram difícil aprender um conceito usando o computador porque ele, muitas vezes, não permite ao usuário saber o que foi feito ou como uma resposta foi obtida.

De qualquer modo, em geral, as pesquisas indicam que as relações entre os aspectos algébricos, gráficos e, até mesmo, numéricos podem ser aproveitadas para ampliar a compreensão de conceitos matemáticos. Essas possibilidades, ou seja, as de visualização e as de múltiplas representações serão analisadas com mais vagar, a seguir.

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3.2.2. VISUALIZAÇÃO

Os estilos, de saber e pensar, característicos da cultura informática, podem ser condenados, ignorados ou não ser percebidos por não satisfazerem aos critérios e definições característicos de um tempo em que prevalecia aescrita. É o caso da imagem, recurso fundamental das tecnologias informáticas, das quais o computador ocupa, neste trabalho, posição de destaque. A abordagem visual de um conceito ou objeto, em Matemática ou em qualquer outra área do conhecimento, pode ser considerada, hoje, como um dos elementos que caracterizam novos estilos de construção do conhecimento.

Encontramos na pesquisa desenvolvida por Villarreal (1999) um extenso estudo sobre visualização que, embora seja um processo bastante privilegiado pelo ambiente computacional, é, muitas vezes, menosprezado dentro da Educação Matemática. Os relatos e análises dos episódios apresentados evidenciam, entre outros elementos, o pensamento matemático das estudantes em relação a esse processo. Observou-se que há conflito entre o conceito de derivada da função e a reta tangente ao gráfico da função, e que a forma usada por elas, para resolver um conflito gerado pelo computador, em geral, é algébrica. A autora comenta que isso pode ser decorrente da vivência que as estudantes têm com um ensino de Matemática realizado, historicamente, somente com os tradicionais lápis e papel e de forma essencialmente algébrica. Os relatos e análises dos episódios sugerem que a abordagem visual proporcionada pelo computador não é natural para as alunas, que recorriam, com freqüência, ao lápis e papel para resolver alguns conflitos. Entretanto, as imagens fornecidas pelo computador permitiram questionar suas concepções e, a partir daí, foi possível pensar nos conceitos de maneira mais ampla.

A autora apresenta critérios para caracterizar as abordagens algébrica e geométrica:

Abordagem algébrica Abordagem visual • Preferência por resoluções analíticas quando

resoluções gráficas também são possíveis.

• Emprego de informações gráficas para resolver uma questão matemática que também poderia ser abordada algebricamente.

• Dificuldade para estabelecer interpretações gráficas das resoluções analíticas.

• Dificuldade para estabelecer interpretações algébricas das resoluções gráficas.

• Quando uma resolução gráfica é pedida, há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico.

• Quando resoluções gráficas são solicitadas, não há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico

• Facilidade para formular conjecturas e refutações ou gerar explicações a partir de fórmulas e equações.

• Facilidade para formular conjecturas e refutações ou dar explicações a partir de informações gráficas.

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Na realidade, o computador privilegia o pensamento visual sem implicar na eliminação do algébrico. No Cálculo pode-se empregar informações gráficas para resolver questões que também podem ser abordadas algebricamente e relacioná-las: é o caso da representação geométrica da função derivada que possibilita interessantes análises sobre o comportamento e os extremos das funções. Além disso, a abordagem visual tem demonstrado facilitar a formulação de conjecturas, refutações, explicações de conceitos e resultados, dando espaço, portanto, à reflexão. Pesquisadores salientam que visualização e manipulação simbólica devem complementar-se para que se obtenha uma compreensão matemática mais abrangente e completa, ou para que se resolvam conflitos que se apresentam aos alunos quando da utilização do computador. (BENEDETTI, 2003; BORBA; PENTEADO, 2001; PIERCE; STACEY, 2001; SOUZA JR, 2000; TALL, 1989; VILLARREAL, 1999)

Também Borba (1995), ao discutir as mudanças trazidas pelo uso do computador na Educação Matemática, percebe o incremento do uso da visualização e considera que ela deve ser encarada como um modo particular de conhecer, dentre outros, que fazem parte da atividade matemática. Em seu trabalho, o autor apresenta os procedimentos de um aluno ao realizar atividades envolvendo transformações de funções, utilizando o software

FunctionProbe©28. No episódio apresentado, é ressaltado como o resultado visual (gráfico), apresentado pelo computador, gerou um conflito com as suposições do aluno a respeito da expressão algébrica que determinaria a translação horizontal de um gráfico. O desenrolar do episódio sugere que as possibilidades gráficas do software foram decisivas no raciocínio e no encaminhamento das alternativas para resolver tal conflito.

A possibilidade de manipular expressões algébricas e, deste modo, gerar uma grande variedade de gráficos dinâmicos, através do software Mathematica, foi explorada nos estudos de Kidron, Zehavi e Openhaim (2001). Enquanto estavam estudando aproximações de funções por polinômios de Taylor, os estudantes analisavam o resto e realizavam animações que ilustravam a convergência da série. Os autores observaram que os gráficos produzidos pelas animações estavam, num certo sentido, presentes nas mentes dos estudantes, mesmo quando os computadores eram desligados. Em seu estudo, apresentam uma situação em que a interação com os gráficos do computador ajudou os estudantes a superar algumas confusões causadas por idéias e imagens equivocadas a respeito do conceito de limite.

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Benedetti (2003) expressa sua concordância com essas idéias de que a visualização da representação gráfica possibilitada pelo computador é um aspecto relevante a ser considerado e manifesta seu entendimento sobre tal aspecto afirmando:

[...] o que se deseja aqui, concordando com esse autor, não é destacar esta ou aquela representação, mas proporcionar, aos estudantes, a possibilidade de uma interligação entre elas, que pode ocorrer de diversas maneiras, dependendo da forma como são encaminhadas as atividades com essas mídias. (p. 6)

Ele destaca a exploração das diversas representações (representações múltiplas) de funções como uma importante possibilidade a ser considerada nos processos de ensino deste tema em Educação Matemática.

Em um trabalho sugestivamente intitulado "Quando a Visualização é uma Barreira para a Compreensão Matemática"29, Aspinwall e Shaw (2002b) nos advertem, entretanto, da necessidade de aprofundar compreensões e investigar de que modo se deve trabalhar nestes ambientes. Eles apresentam uma situação em que uma representação visual transformou-se num impedimento para a compreensão matemática do aluno a respeito da derivada. Este caso mostra que podem ocorrer dificuldades que atrapalham essa compreensão quando as representações múltiplas e imagens visuais são usadas concomitantemente, em especial quando o aluno manifesta preferência ou apresenta formas de pensamento predominantemente algébrico; os professores devem estar conscientes e atentos a isso.