4 ENERGY AND CLIMATE POLICY
4.4 G ERMANY
Rv a reflex˜ao correspondente a v, ent˜ao
hR(y − bp), bp− xi =hRvR(y − bp), bp− xi =hR(y − bp), Rv(bp− x)i
=hR(y − bp), bp− x − 2hv, bp− xivi
=hR(y − bp), bp− xi + 2hv, x − bpihv, R(y − bp)i,
logo hv, R(y − bp)i ≥ 0, para todo v ∈ ∆+p(x). Seja ρ ∈ Wp dado por ρ(z) = R(z − bp) + bp, z∈ p + νpM; segue que ρ(y) ∈ Cx. Para a demonstra¸c˜ao da unicidade precisamos introduzir alguns objetos relativos `a a¸c˜ao de ˆWp sobre ν
pM e considerar suas propriedades. Mas n˜ao queremos nos alongar muito nesta discuss˜ao. O leitor interessado pode consultar [Bro88] p´agina 24 ou [BG70] cap´ıtulo 4.
2.4
Decomposi¸c˜ao de subvariedades isoparam´etricas do espa¸co Eu-
clidiano
Proposi¸c˜ao 2.4.1. Seja M uma subvariedade isoparam´etrica completa de posto l do espa¸co Eucli- diano tal que suas normais de curvatura n˜ao se anulam. Ent˜ao existem um ponto p0 e um n´umero real positivo r0 tais que M est´a contida na esfera de raio r0 e centro em p0
Demonstra¸c˜ao. Pelo corol´ario (2.3.7) existe um campo normal paralelo ζ de M tal que hζ, nii = 1, para todo i ∈ {1, . . . , g}. Seja r0 = |ζ|. Consideremos a aplica¸c˜ao π(p) = p + ζ(p), p ∈ M . Ent˜ao para todo campo X ∈ Γ(T M ) e todo p ∈ M temos que d πpXp = Xp − AζpXp = 0. Assim π ´e
constante igual a p0. Portanto para todo p ∈ M
|p − p0| = |ζ(p)| = r0.
Observa¸c˜ao 2.4.2. Note que
Tamb´em
p0= p + ζp = bp ∈ ∩gi=1li(p), para todo p ∈ M .
✷ Corol´ario 2.4.3. Seja M uma subvariedade isoparam´etrica completa do espa¸co Euclidiano. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes
a. M ´e compacta
b. As normais de curvatura s˜ao n˜ao nulas c. M est´a contida em uma esfera
Demonstra¸c˜ao. Com efeito, se M ´e compacta a observa¸c˜ao (2.2.7) mostra que suas normais de curvatura s˜ao n˜ao nulas. Se as normais de curvatura de M s˜ao n˜ao nulas a proposi¸c˜ao anterior mostra que M est´a contida em uma esfera. Se M est´a contida em uma esfera, como M ´e completa o teorema (2.6.2) implica que M ´e fechada; assim M ´e fechada em um compacto, portanto ´e compacta. Teorema 2.4.4. Seja M ⊂ En uma subvariedade isoparam´etrica completa e n˜ao compacta de posto l. Se E0 ´e a distribui¸c˜ao de nulidade de M , ent˜ao existe uma subvariedade isoparam´etrica N, de posto l, de uma esfera de dimens˜ao n − m0− 1 tal que
M = N × E0.
Demonstra¸c˜ao. Seja n0 a normal de curvatura nula (ni(p) 6= 0, para todo i ∈ {1, . . . , g} e todo p ∈ M ). Dado p0 ∈ M fixo, consideremos o subespa¸co afim P ⊂ νp0M dado por P = n1(p0) +
Pg
i=2R(n1(p0) − ni(p0)). Temos que n0(p0) = 0 6∈ P, j´a que existe v ∈ νp0M com hni(p0), vi = 1,
para todo i ∈ {1, . . . , g}. Consideremos a distribui¸c˜ao DP = ⊕gi=1Ei. Pela proposi¸c˜ao (2.2.4) DP ´e auto-paralela e os operadores de forma de M a preservam, ent˜ao
d U(X) = ∇XU ∈ Γ(E0),
2.4. Decomposi¸c˜ao de subvariedades isoparam´etricas 46 Seja N = M ∩ E0⊥, vejamos que N ´e uma subvariedade isoparam´etrica do espa¸co Euclidiano E0⊥. Com efeito, TpN = DP(p) e νpN = νpM, para cada p ∈ N . Sejam ˆ∇⊥ e ˆA a conex˜ao normal e o operador de forma de N , respectivamente. Da f´ormula Weingarten temos que
ˆ
AξX= Aξ|DPX e ˆ∇⊥Xξ= ∇⊥Xξ,
onde X, Y ∈ Γ(DP) e ξ ∈ Γ(νN ). Portanto N ⊂ E0⊥´e isoparam´etrica com normais de curvatura n˜ao nulas n1|N, . . . , ng|N, logo N tem posto l e pela proposi¸c˜ao (2.4.1) est´a contida em uma hiperesfera de E0⊥. Por ´ultimo, se p ∈ M , p = x0+ x com x0∈ E0 e x ∈ E0⊥, logo x = p − x0 ∈ p + E0 = S0(p) ⊂ M , assim M ⊂ N × E0. Agora, se x ∈ N e x0 ∈ E0 ent˜ao x + x0 ∈ x + E0(x) = S0(x) ⊂ M , logo N × E0 ⊂ M e portanto M = N × E0.
Corol´ario 2.4.5. Seja M ⊂ En uma subvariedade isoparam´etrica completa. Ent˜ao M ´e fechada. Demonstra¸c˜ao. Com efeito, se M n˜ao tem normais de curvatura nulas ent˜ao o corol´ario (2.4.3) implica que M ´e compacta e portanto fechada. Agora, se M tem uma normal de curvatura nula ent˜ao o teorema (2.4.4) implica que M ´e o produto de um fechado e um compacto, portanto ´e fechada. Observa¸c˜ao 2.4.6. Na proposi¸c˜ao (2.2.4), supondo M completa, a folha SP(p) da distribui¸c˜ao DP passando por p tamb´em ´e completa, j´a que ´e totalmente geod´esica em M . Assim pelo corol´ario acima ´e fechada em LP(p), para todo p ∈ M .
✷ Como conseq¨uˆencia do corol´ario (2.2.6) e do teorema (2.4.4) temos a classifica¸c˜ao das hipersu- perf´ıcies isoparam´etricas do espa¸co Euclidiano.
Proposi¸c˜ao 2.4.7. Seja M uma hipersuperf´ıcie isoparam´etrica conexa e completa do espa¸co Eucli- diano. Ent˜ao
a. Se M tem uma ´unica curvatura principal e ´e nula, ent˜ao M ´e um hiperplano. b. Se M tem uma ´unica curvatura principal e ´e n˜ao nula, ent˜ao M ´e uma esfera. c. Se M tem duas curvaturas principais, ent˜ao M ´e um cilindro esf´erico.
a. T M = E0, assim a afirma¸c˜ao segue do corol´ario (2.2.6). b. T M = E1, assim a afirma¸c˜ao segue do corol´ario (2.2.6).
c. T M = E0⊕ E1, assim o resultado segue do item b. e do teorema (2.4.4).
Teorema 2.4.8. Seja M ⊂ En uma subvariedade isoparam´etrica conexa e completa com grupo de Coxeter W . Ent˜ao M ´e redut´ıvel se e somente se W ´e redut´ıvel.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que existem dois espa¸cos Vi ⊂ Ene duas subvariedades isoparam´etricas e substanciais Mi⊂ p0+ Vi, para i = 1, 2, com M = M1× M2 e V1 ⊥ V2. Portanto νp1M1 ⊥ νp2M2,
para todo pi,∈ Mi, i = 1, 2. Assim o grupo de Coxeter W de M ´e o produto direto W = W1× W2, onde Wi ´e o grupo de Coxeter de Mi, para i = 1, 2.
Reciprocamente suponhamos que W = W1× W2. Pelo teorema anterior podemos supor ni 6= 0, para todo i ∈ {1, . . . , g}. Seja p0 ∈ M fixo. Ent˜ao existem dois subespa¸cos P1 e P2 de νp0M com
P1 ⊥ P2, νp0M = P1⊕ P2 e as normais de curvatura que geram Wi pertencem a Pi, para i = 1, 2.
Consideremos a nota¸c˜ao da proposi¸c˜ao (2.2.4) correspondente a P1 e P2. Dadas se¸c˜oes Xi+ ξi de FPi e Yj de DPj, com i 6= j temos que
d(Xi+ ξj)(Yj) = ∇YjXi+ ∇ ⊥
Yjξi∈ Γ(FPi).
Logo, dado p ∈ M temos que
FPi(q) = FPi(p), (2.19)
para todo q ∈ SPj(p), com i, j = 1, 2 (o caso i = j segue da equa¸c˜ao (2.10)). Dado p ∈ M , sejam x ∈ SP1(p) e y ∈ SP2(p). Ent˜ao
SP1(y) ∩ SP2(x) = {x + y − p}. (2.20)
Com efeito. Pela observa¸c˜ao (2.4.6) as folhas das distribui¸c˜oes DPi, i = 1, 2, s˜ao completas. Seja
β : [0, 1] −→ SP2(p) uma geod´esica, com β(0) = p, β(1) = y e β′(0) = u. Sejam γ : [0, 1] −→ SP1(p)
uma curva suave por partes, com γ(0) = p e γ(1) = x, e U (t) o transporte paralelo de u ao longo de γ. Consideremos a fam´ılia a um parˆametro de geod´esicas βs(t) = expγ(s)(tU (s)), onde exp ´e a aplica¸c˜ao
2.4. Decomposi¸c˜ao de subvariedades isoparam´etricas 48 exponencial de M . Sejam J(t) = d s∇
s=0βs(t) e Ji(t) sua proje¸c˜ao ortogonal sobre DPi(β(t)), para
i= 1, 2 e cada t ∈ [0, 1]. Temos que
J(0) = ∇ d s s=0 βs(0) = ∇ d s s=0 γ(s) = γ′(0) ∈ DP1(p) e J′(0) =∇ d t t=0 ∇ d s s=0 βs(t) =∇ d s s=0 ∇ d t t=0 βs(t) =∇ d s s=0 βs′(0) =∇ d s s=0 U(s) =0.
Assim J2(0) = J2′(0) = 0. Como J ´e um campo de Jacobi e DP2 ´e auto-paralela ent˜ao J2´e um campo
de Jacobi, logo J2 = 0. Portanto
∇
d sβs(t) ∈ DP1(β(t)), (2.21)
para todo t ∈ [0, 1]. Como u ∈ DP2(p), ent˜ao U (s) ∈ DP2(γ(s)) e como SP2(γ(s)) ⊂ M ´e totalmente
geod´esica tem-se βs(t) ∈ SP2(γ(s)). Em particular β1(1) ∈ SP2(x). Por (2.21) ∇
d sβs(1) ∈ DP1(β(1)),
ent˜ao a curva s 7→ βs(1) est´a contida em SP1(y). Logo
β1(1) ∈ SP1(y) ∩ SP2(x).
De outro lado temos que y − p ∈ FP2(p), x − p ∈ FP1(p) e FP1(p) ∩ FP2(p) = {0}. Ent˜ao a equa¸c˜ao
(2.19) implica que
LP1(y) ∩ LP2(x) =(y + FP1(y)) ∩ (x + FP2(x))
=(x + y − p + FP1(p)) ∩ (x + y − p + FP2(p))
={x + y − p}.
Dado p ∈ M , para x ∈ SP1(p), consideremos a aplica¸c˜ao fx(y) = y + (x − p), y ∈ E
n. Por (2.20) fx(SP2(p)) ⊂ SP2(x) e fx−1(SP2(x)) ⊂ SP2(p). Como fx ´e uma isometria de E
n, leva S P2(p)
isometricamente sobre SP2(x).
Por ´ultimo seja φ : LP1(p)×LP2(p) −→ E
n, dada por φ(x, y) = x+y −p. Ent˜ao como F P2 = F
⊥ P1,
φ´e uma isometria. Na outra m˜ao, da observa¸c˜ao (2.4.6) SPi(p) ´e uma subvariedade fechada de LPi(p),
para i = 1, 2, logo SP1(p) × SP2(p) ⊂ LP1(p) × LP2(p) ´e fechada. Se (x, y) ∈ SP1(p) × SP2(p), ent˜ao
φ(x, y) = fx(y) ∈ SP2(x). Assim φ(SP1(p) × SP2(p)) ⊂ M ´e uma subvariedade aberta e fechada de M
logo coincide com M. Da proposi¸c˜ao (2.2.4) SPi(p) ´e uma subvariedade isoparam´etrica e substancial
de LPi(p), para i = 1, 2. Isto completa a prova.