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De acordo com a introdução desta dissertação, a nossa pesquisa tem por objetivo utilizar modelos no contexto de abalos sísmicos, servindo como instrumento para que os estudantes atribuam significados ao logaritmo e ao abalo sísmico. A partir de nosso objetivo, exploramos o uso de logaritmos nos modelos, incluindo a construção de Richter – físico e sismólogo graduado e pós-graduado em Física. Richter trabalhou sob a direção do também sismólogo alemão Beno Gutenberg, desenvolvendo a escala conhecida pelo nome de escala de Richter que mede a magnitude dos terremotos. Ele foi um estudioso que recorreu aos logaritmos para desenvolver modelos voltados ao contexto em questão.

Um entendimento dos modelos ou escalas, utilizados para medição de abalos sísmicos, está desenvolvido a partir de uma compreensão do planeta Terra, enquanto crosta terrestre ou litosfera, que é uma junção de grandes placas, denominadas como placas tectônicas. De modo geral, as placas estão sempre em ligeira movimentação, provocando atrito nas bordas o que gera o acúmulo de energia. Essa energia em algum momento pode ser liberada provocando o sismo, que é a propagação das ondas no solo. Portanto “quando ocorre uma ruptura na litosfera, são geradas vibrações sísmicas, que se propagam em todas as direções na forma de ondas.” (ASSUMPÇÃO; NETO, 2009, p. 45).

O objetivo é quantificar (magnitude) e qualificar (intensidade) os terremotos do sul da Califórnia, EUA, onde a escala de Richter foi efetivamente usada em 1935. “É uma escala logarítmica que quantifica a magnitude dos terremotos com base na amplitude das ondas sísmicas que se propagam a partir do epicentro (ponto de origem do sismo)” (PAIVA; SÁ, 2012, p. 47).

A primeira publicação de Richter, sobre os tremores de terra, deu-se em 1935. Porém, segundo Beno Gutenberg e Charles Richter, a concretização de um possível passo para a relação satisfatória dos conceitos de energia e magnitude só ocorreu em 1954

Boletins de estação de rotina emitidos a partir de Pasadena continua a listar magnitudes M que são M, P ou MS, mas começando em 1954, a listar a frequencia anual de grandes choques também tabulam, que é uma etapa intermediária em direção a uma relação magnitude e energia definitiva (GUTENBERG; RICHTER, 2010, p. 8, tradução nossa)9_.

As afirmações e definições a respeito da magnitude trouxeram consideráveis

9_{Routine station bulletins issued from Pasadena continue to list magnitudes M which are either or ; but} beginning with 1954 the annual list of large shocks also tabulates m, which is an intermediate step toward a definitive magnitude-energy relation.

conclusões para a ocasião, pois, a partir de uma definição, o foco estava em explorar as características desta magnitude. Beno Gutenberg e Charles Richter esclarecem que “a definição prática da magnitude munificado consiste em um sistema de tabelas e gráficos para o cálculo da magnitude do quociente

para as ondas máximas dos principais grupos da onda P10, PP, e S11” (GUTENBERG; RICHTER, 2010, p. 8, tradução nossa)12. É extenso o desenvolvimento histórico da relação onda (amplitude), magnitude, energia e observações (intensidade). Mesmo sob algumas mudanças ou ajustes no modelo, a escala de Richter continua estruturada sob algumas características que são únicas, e de grande ligação com as propriedades referentes às equações exponenciais.

A escala/modelo de intensidade (I) e o modelo proporcionam o que objetivamos ao que se refere à compreensão de logaritmo. As características matemáticas presentes na escala e no modelo são nossos objetos de análises em termos de operações matemáticas e significados envolvidos em ambos. Para exemplificarmos, a mudança de magnitude na escala de Richter, na ordem de 2 para 3, implica em uma ação sísmica 10 vezes maior. Portanto a cada unidade maior na escala, multiplica-se por 10 a amplitude que representa a movimentação do solo, medido em mícrons (unidade de medida). Tratamos a magnitude de um terremoto como expoentes de potencias em base dez. Em princípio, exploramos as informações concebidas pelas propriedades exponenciais que estão contidas na escala e modelo de Richter. A partir disso, desenvolvemos o conceito e propriedades logarítmicas, no intuito de que os estudantes atribuíssem significados ao conteúdo para construir uma compreensão sobre abalos sísmicos. A Figura 3, a seguir, exemplifica as propriedades que foram mencionadas neste parágrafo.

10 _{Ondas primárias ou longitudinais são as primeiras a serem propagadas.} 11 _{Ondas primárias ou longitudinais são as primeiras a serem propagadas.}

12_{The practical definition of the unified magnitude m consists in a system of tables and charts for calculating} magnitude from the quotient amplitude/period for the maximum waves of the principal wave groups P12_{, PP,} and S.

Figura 3 – Escala de Richter representada graficamente. Fonte: Micro Respuesta, 2010.

Em termos do modelo de Richter e equações que os envolve, existem variações. “A equação proposta por Richter pode ser escrita de várias formas distintas, dependendo das variáveis escolhidas para a sua composição” (PAIVA; SÁ, 2012, p. 47). Por exemplo, essas variáveis podem ser a composição física das rochas que, por sua vez, interfere na velocidade de propagação das ondas. A efetivação de um sismo representa um conjunto destes elementos como rocha, onda, velocidade e tempo, todos desencadeados em série. A onda que se propaga em uma dada velocidade depende do tipo de rocha, que por vez altera o tempo de propagação.

Entre vários conceitos, a liberação de energia e a amplitude das ondas são relações conectadas à magnitude, Richter utiliza da amplitude das ondas para calcular a energia liberada e, por consequência, quanto maior for a energia liberada, maior será a amplitude da onda, e assim, a magnitude do terremoto. Além disso, é potencialmente dez vezes maior de uma unidade de magnitude para a próxima unidade e 32 vezes maior em relação à energia liberada. A ideia de ser 32 vezes maior será exemplificada mais adiante. A Figura 4, a seguir, mostra a relação de potência entre energia e magnitude de um sismo:

Figura 4 – Relação entre magnitude e energia liberada. Fonte: LOPES, ASSUMPÇÃO (2010).

Entendemos que a Figura 5 pode ser utilizada para comunicar ideias e conceitos sobre o cálculo de energia liberada em um sismo.

Figura 5 – Modelos para determinar a energia e magnitude de um sismo. Fonte: RICHTER, 1935.

Na Figura 5, o símbolo representa a variação de profundidade na ocorrência de um sismo, _{refere-se à energia liberada, temos ainda o valor de m como magnitude,} como magnitude superficial e _{como a quantidade de microns para o deslocamento do} solo. Para exemplificarmos, tomamos os valores de = 5 e _{. Disso, utilizamos} nos modelos m e log E respectivamente, apresentados na Figura 5:

Para , temos: Para _{, temos:}

Respectivamente para teremos: Para _teremos:

Na relação de energia que citamos para magnitude 5 a 6:

O desenvolvimento apresentado acima ilustra a ideia que, a diferença entre energia sísmica liberada de uma magnitude inteira para a próxima, é aproximadamente igual a 30. Isso reforça também, a importância das propriedades e conceito logaritmo para o entendimento de quantificação de abalos sísmicos. Para os demais níveis de magnitude o cálculo é análogo.

O modelo que exploraremos neste momento não é uma construção de Richter, porém possui características similares. O modelo _tornou-se importante para nosso estudo e foi utilizado durante a realização da pesquisa de campo: é a magnitude de momento em um sismo. Expressa o resultante de operações envolvendo tempo, espaço, velocidade, resistência entre outros elementos do modelo.

, onde = módulo de rigidez da rocha que se rompe; D = deslocamento médio na falha; e S = área total da superfície de ruptura” (ASSUMPÇÃO; NETO, 2009, p. 54).

Segundo Silva et. al. (2012, p. 51, destaque dos autores), “os sismólogos desenvolveram, nos últimos 30 anos, uma escala de magnitudes standard completamente independente do tipo de instrumento. Esta escala, introduzida por Thomas Haks Hiroo Kanamori, é chamada de magnitude momento [...]”. A partir das variáveis, entendemos que, explicitamente a ideia do modelador consistia em expressar a magnitude de momento . Suas informações eram imediatas, a partir de variáveis que não dependiam de fatores como, por exemplo, a interferência ou ineficácia de instrumentos (sismógrafos), causada por decorrência da sua localização em relação ao fenômeno (SILVA, et. al., 2012). Logo observamos que existe uma relação sincronizada entre a variável e a informação de momento que ela representa, expressando o sentido da sua funcionalidade, por exemplo, a rigidez da rocha que se rompe, deslocamento médio da falha ou superfície de ruptura. Todas estas são informações a respeito de um tremor.

A elaboração do recorte histórico sobre a medição de abalos sísmicos nos proporcionou informações a respeito das mais variadas formas e tipos de magnitude. Isto exemplifica a temporalidade de modelos referentes aos interesses, objetivos e conhecimentos dos estudiosos/modeladores que constroem relações com conceitos como

ML (magnitude local), MS (magnitude superficial), Mb (magnitude das ondas volumétricas)

e Mw (magnitude de momento).

A magnitude de um terremoto tem fins estatísticos e outros independentes da relação entre magnitude e energia. De fato, é possível que não haja uma correspondência uma-a-uma completa para uma relação entre a magnitude e energia para grandes e complexos eventos tectônicos. Mesmo assim, uma relação média ou representativa já é um legítimo objeto de investigação. Na tentativa de melhorar a relação magnitude e energia verificou-se [Gutenberg e Richter, 1956] que três escalas de magnitudes imperfeitamente consistentes estavam em uso: ML determinada a partir de registros de terremotos locais de acordo com a definição original [Richter, 1935]; MS das amplitudes de ondas superfíciais telessísmicas, [Gutenberg e Richter 1936; Gutenberg, 1945a]; MB a partir da razão aplitude/período ondas corporais para telessímos, rasas e de foco profundo [Gutenberg 1945b, 1945c] (GUTENBERG; RICHTER, 2010, p. 7, tradução nossa)13.

13_{The earthquake magnitude has statistical and other uses independent of the relation between magnitude and} energy. Indeed, it is possible that there is no complete one-to-one correlation between magnitude and energy for large and complex tectonic events. Even so, a mean or representative relation is a legitimate object of inquiry. In attempting to refine the magnitude-energy relation it was found [Gutenberg and Richter 1956] that three imperfectly consistent magnitude scales had been in use: determined from records of local

Observamos que, todos os modelos relacionados à magnitude, ou grande parte deles, são acompanhados por constantes como -10,7 ou 2/3. São constantes que asseguram algumas variações da matematização.

Expomos que, para os modelos matemáticos apresentados, entendemos a presença do logaritmo como indispensável, viabilizando e incorporando as informações que estes modelos expressam, como por exemplo, a magnitude. Ainda temos ciência de que as propriedades logarítmicas, em relação aos logaritmos utilizados em várias escalas, permitem a transformação de informações do fenômeno para uma expressão conveniente e de fácil comunicação. Para começar a traçar caminhos que possam apresentar possibilidades de relacionar logaritmos, modelos e experiências, elaboramos um planejamento de atividades a serem desenvolvidas com os alunos, tendo em mente o nosso objetivo de pesquisa. Os detalhamentos deste planejamento estão no capítulo quatro, a seguir.

earthquakes according to the original definition [Richter 1935]; from the amplitudes of surface waves for shallow teleseisms, [Gutenberg and Richter 1936; Gutenberg 1945a]; from the amplitude/period ratio of body waves for teleseisms, shallow and deep-focus [Gutenberg 1945b, 1945c]

4 PROCEDIMENTOS PARA O PLANEJAMENTO DAS ATIVIDADES E PARA A