Effect of characteristics on abnormal return

As compreensões do conceito de função que os dados acima sugerem não são, a meu ver, surpreendentes. Ao contrário, podem ser consideradas naturais se supusermos que a visão do(a) aluno(a) está impregnada da práxis do Ensino Médio no tratamento do conceito. Neste cenário, praticamente não há demandas suficientes para o exercício do trânsito global/local, uma vez que, na maioria dos casos, as funções abordadas são compreensivelmente aquelas definidas em sentenças únicas por funções elementares. Além disso, as abordagens nos

capítulos introdutórios dos livros de Cálculo mantêm uma certa tonalidade de tratamento do conceito a qual o(a) aluno(a) já estava, digamos, condicionado(a).

Assim, por exemplo, a regra f(x) = x2 é automaticamente associada à uma função que não é injetora, não é sobrejetora e seu gráfico é uma parábola. Ora, mas g : +

→ +, com a mesma regra g(x) = x2, é injetora, sobrejetora e seu gráfico não é uma parábola no aspecto usual, enquanto que h : { 0, 1} → , também com h(x) = x2, é injetora, não é sobrejetora e seu gráfico é constituído apenas pelos pontos (0, 0) e (1, 1). A regra de todas as funções é a mesma e, portanto, não é surpresa quando os estudantes afirmam que as três funções, olhadas pela suas regras, são iguais.

Uma outra classe de exemplos seria a dos exercícios onde é solicitado que o(a) aluno(a) “determine” o domínio da função, muito comum nos livros. Assim, o exercício a seguir é típico: dada f(x) =

1 1 2 ₋ x

determine “o” domínio da função. Ora, mas o domínio não é um componente de uma função tanto quanto sua regra e, neste caso, quando já se tem uma regra, não se poderia “inventar” um domínio e um contradomínio, observando apenas que os três elementos fossem compatíveis? É óbvio que não há problema (matemático) algum com a questão: o domínio suposto é o maior (sob a relação de ordem usual de inclusão) subconjunto de para o qual a regra da função faz sentido, e o contradomínio é o próprio , como, de resto, já estava subentendido. O problema está em como o(a) estudante vai “administrando” conceitualmente essas questões: se for para “determinar ‘o’ domínio” então não há porque ficar “inventando” novos domínios. Assim, o que quero argumentar é que exercícios desse tipo podem dificultar o rompimento do condicionamento crucial nesta transição para a matemática do Ensino Superior que o(a) estudante traz consigo.

Saiamos um pouco do elemento domínio e analisemos, agora, a posição do componente contradomínio no conceito de função. Dos três componentes que constituem o conceito, o contradomínio é seguramente o que tem o menor status. Seu papel é relegado ao segundo plano e tomado até as raras menções em contrário tacitamente como o conjunto dos números reais. Uma das

conseqüências do enfraquecimento deste elemento pode ser ilustrada pelo seguinte exemplo, retirado de uma das questões do experimento sobre o conceito de função e que segue abaixo:

Suponhamos que f : A →→→→ B seja uma função.

a) É possível se definir a função inversa de f ? Expliquem suas concepções. b) Se a resposta acima for afirmativa, expliquem, passo a passo, o processo

para se obter a inversa de f.

c) Utilizem o CAS para explorar o conceito de função inversa

Do(a)s participantes, apenas Pedro e Talita concluíram que a possibilidade de definição da função inversa de f dependeria de que a função fosse injetora e sobrejetora, isto é, bijetora. O fato do(a)s demais participantes não terem explicitado esta condição sugere que tais conceitos não estão naturalmente “na pauta” do(a)s estudantes. É possível também que o silêncio sobre injeções e sobrejeções seja uma conseqüência natural do fato desses elementos não ocuparem no Cálculo a mesma posição desfrutada na Álgebra e na Análise. Mais uma vez, o pragmatismo no trato das “coisas de interesse do Cálculo” desloca tais elementos para posições marginais e, em conseqüência, levam, “no vácuo”, elementos importantes do processo de transição para a matemática universitária e para o próprio amadurecimento matemático do(a) estudante. Senão, vejamos:

O conceito de função inversa aparece em momentos importantes ao longo do curso de Cálculo, em particular durante a exploração das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, ou mesmo antes, durante o próprio tratamento do conceito de derivada. Isto é suficiente para tornar desnecessária qualquer argumentação em favor de um olhar mais cuidadoso para o conceito. Ocorre que a existência da inversa de uma função f depende de que f seja bijetora, logo sobrejetora que, por sua vez, é uma propriedade que está diretamente vinculada ao contradomínio Cf de f. Assim, basta uma restrição de Cf ao conjunto- imagem de f, Im(f), para que f seja transformada numa nova função fS : Df → Im(f), com fs(x) = f(x) para todo x, que preserva todas as características de f incluindo, obviamente, seu gráfico só que agora detendo o “opcional” da sobrejetividade. A meu ver, este tipo de manipulação é mais um dos exercícios que ajudariam a configurar um “espaço de descondicionamento” que deveria fazer parte do ambiente

de aprendizagem contextualizado no primeiro ano de um curso de Matemática. Neste sentido, o leitor ou leitora há de convir que a omissão ou até mesmo o mero enfraquecimento da posição desses conceitos no referido contexto pode induzir a proposição de questões como a seguinte:

Tomemos a onipresente função f(x) = x2, apresentada, como de costume, na forma tradicional. Como um(a) aluno(a) deveria responder à seguinte pergunta: f(x) tem inversa? Como argumentar significativamente sobre os condicionantes implícitos a possíveis respostas à questão sem que os conceitos supra-referidos sejam trazidos à cena?

Mantendo ainda a mesma linha argumentativa, ampliemos ligeiramente o foco para abarcar não apenas o contradomínio, mas também a estrutura que o suporta (na verdade, para este propósito, nem precisaremos especificamente da estrutura de corpo de , apenas de sua estrutura topológica) e consideremos o seguinte exemplo, comum no estudo de limites:

Mostre que

x

1

lim

→ = 0 (a demonstração também não é necessária aqui; basta que se esteja convecido(a) de sua “validade”, fato que é tido, em geral, como ponto pacífico.)

Com qual função estamos trabalhando? Vamos supor, como de costume,

que a estrutura subjacente seja . Caso a função seja, por exemplo, f : – {0} → , com f(x) =

x

1

para todo x, teríamos, de fato, 0 como limite. Sacrifiquemos, agora, por um momento, a estrutura de corpo de (e sua completude),retirando o elemento 0 e passemos a trabalhar sobre o universo

– {0}. Tomemos, em seguida, a função g : – {0} → – {0},com g(x) =

x

1

para todo x. Neste caso, o limite deixará de existir, ou seja, bastou uma leve “mexida” na estrutura subjacente ao contradomínio para que se desestabilizasse um resultado que possivelmente já estaria impregnado no(a) estudante. Além disso, os domínios são iguais e f(x) = g(x) para todo x. Não seria tentador dizer que f = g? Claro, para o(a) estudante seria óbvio...

O problema aqui não é a desestabilização, aliás, componente quase sempre imprescindível no processo de aprendizagem. O problema está justamente no enfraquecimento das condições e das possibilidades de emergência desta desestabilização.

Muitos outros exemplos poderiam ser aqui citados para sustentar a posição de que o(a) estudante que está iniciando seu curso universitário de Cálculo poderia se beneficiar de um exercício sistemático de manipulação dos componentes e de exploração da liberdade subjacente ao conceito de função. O objetivo de tal exercício não seria volto a salientar o de explorar a definição em seu aspecto formal, mas, sim, o de ampliar sua percepção sobre o conceito e romper eventuais condicionamentos. Ao favorecer a percepção da liberdade sobre a qual, em última análise, o conceito se sustenta, este exercício poderia contribuir para “desengarrafar” o trânsito entre aspectos locais e globais, não apenas no conceito de função, mas, possivelmente, em todos os subseqüentes, como é o caso da derivabilidade.

Para finalizar, caso o leitor ou leitora seja detentor(a) de um “olhar estritamente matemático” sobre as compreensões dos estudantes, é possível que ele ou ela argumente que os conflitos materializados na construção deste episódio somente emergiram porque os alunos “simplesmente” não utilizaram a definição de derivabilidade. Pois é justamente uma outra definição que estará em pauta no episódio seguinte.