0
lim ( )
→
x
g x
e
lim ( )
x→0k x
?Para um(a) aluno(a) que está se iniciando no Cálculo, a manipulação simbólica de
0 lim ( )
x→ g x está longe de ser natural e confortável. Junte-se a isso as peculiaridades das duas funções em pauta e veremos o potencial de emergência de conflitos ser consideravelmente elevado, como, de resto, o episódio ilustra.
A fim de que o(a) leitor(a) possa munir-se de mais elementos a respeito das compreensões, não apenas da dupla ora referida (e que estarão em destaque), mas, também, das compreensões do(a)s demais participantes, eu apresentarei, logo abaixo, vários de seus escritos sobre os conceitos de limite e continuidade, produzidos a partir de questões propostas nos experimentos. Vale a pena lembrar que todos os textos são ipsis-litteris.
A primeira questão solicitava:
Explique o que você entende sobre os conceitos de Limite e de Continuidade.
(LE1GIS) Limite são os valores próximos de um ponto p que uma função assume (f(p)).
(CE1GIS) Continuidade: “É quando o gráfico de uma função não possui saltos”. Se você pegar um intervalo em torno de f(p) e pegar um intervalo em torno de p → qualquer ponto (pertencente ao intervalo) terá imagem no intervalo em volta de f(p) → se isso acontecer é fç contínua.
(CE1VER) Continuidade → algo sem interrupção. Esses dois conceitos
ainda não estão muito claros para mim [Vera nada escreve sobre limites, na resposta à esta questão]
(LE1DAN) Limite nos dá a idéia, que você quer saber, qual o ponto máximo
para atigir [sic] algo sem ultrapa-lo [sic] de vários lados aonde está definida a
função. Ou seja quanto posso alcançar em um determinado ponto no caso de
uma função com um variável tenho que verificar do lado esquerdo do pontoe
do lado direito do ponto, lembrado que este ponto não tem que necessariamente tem que esta definida na função e que em ambos os lados tem que aproximar da mesma forma.
(CE1DAN)Continuidade, nos remete, a dizer que nenhum elemento do domínio de uma função não pode ficar sem nenhum correspondente em y.
(LE1EDS)Conceito de Limite → É o valor que uma função tende a assumir a
medida que aproximamos de um único valor (um ponto) que pertence ao domínio dessa função.
(CE1EDS) Conceito de Continuidade → Uma função é dita contínua, se conseguirmos fixar um intervalo qualquer em torno de um ponto pertencente à imagem e que posteriormente seja possível encontrar um intervalo em torno do ponto do domínio (correspondente a essa imagem) tal que todas as imagens pertencentes aos pontos desse intervalo (do domínio) esteja contida no intervalo fixado na imagem.
(LE1JUL) Limite: dizemos limite quando queremos indicar o que acontece
próximo a um outro ponto do domínio da função x, e o que acontece com as proximidades do ponto.
(CE JUL) Continuidade: dizer se uma função é ou não contínua, é dizer se existem ou não “interrupções” ou “buracos” no traçado do gráfico de tal função.
(LE1PED) Algumas vezes precisamos de ferramentas que nos possibilitem o
trabalho com funções, e limite e continuidade são duas delas. Limite nos permite averiguar o que acontece nas proximidades de um ponto. Exemplo: o que acontece com a pressão de um gás quando seu volume se aproxima de um valor?
(CE1PED) Continuidade: nos permite verificar se não há “lacunas” entre os pontos da função. Exemplo: será que o gráfico da pressão x volume apresenta alguma “não-suavidade” pulando de um valor para outro.
(LE1TAL)Limite em um certo ponto de uma função é quando o x se aproxima
de certo ponto, qual ponto y se aproxima, não importando o ponto x em si, somente suas laterais.
(CE1TAL) Continuidade é o fato de em todos os pontos desta função os limites correspondem a função em si, de outra forma, não há saltos no gráfico da função.
(LE1TER)Este conceito serve para analisar gráficos. Limite: análise do gráfico,
(CE TER) Continuidade: análise de um ponto dado ou genérico e o comportamento deste ponto e o que estão ao seu redor. Continuidade diferencia de limite, pois em continuidade é interessante o ponto, já em limite este não faz diferença.
As compreensões acima sugerem algum desconforto no trato com os conceitos em pauta. Assim, dado o contexto de um primeiro curso de Cálculo, dificilmente se poderia qualificar de “erro” (em inglês, misconception) algumas dessas afirmações. Pelo contrário, tais compreensões são bastante compatíveis com o referido contexto e com a “nebulosidade” que tais conceitos sugerem, quando explorados pela primeira vez.
Apesar disso, as respostas escritas dadas pelo(a)s participantes à outras questões no mesmo experimento sugerem, também, que ele(a)s conseguem “navegar” no meio dessa “nebulosidade” com um senso de orientação razoável, desde que se apóiem em “instrumentos de navegação” significativos para ele(a)s. Alguns destes instrumentos são os gráficos e as imagens por eles evocados. Como todo instrumento, eles podem também induzir interpretações mais ou menos problemáticas para quem os maneja. Apoiados nestes instrumentos, a compreensão do conceito de limite como um processo no qual a idéia de aproximação se destaca e como um ponto ou número, tomado como referência para se avaliar esta aproximação apareceram nos escritos, como se pode ver nas respostas ao experimento. Neste sentido, tomemos, por exemplo, a seguinte questão:
Suponhamos que o enunciado de um problema seja dado na forma “Calcule
o limite de uma função f num ponto a”. Explique o que está sendo
solicitado
(LE2GIS) Está pedindo que ache os valores que a função assume próximo
[grifo de Gisele] do ponto a → ou seja, valores próximos de f(a).
(LE2VER) Vamos supor f(x) = 4x – 1 e a = 2. Temos o seguinte gráfico p/
esta função [Vera esboça o gráfico da reta y = 4x – 1]. Sabemos que quando x =
2 → f(x) = 7. Quando calculamos o
2 lim ( )
x→ f x queremos saber p/ qual valor f(x) vai
quando x se aproxima de 2, no exemplo,
2 lim ( )
x→ f x Podemos calcular o limite
de uma função quando ela se aproxima de um número onde a função ñ está definida, pois o que interessa são os valores próximos ao número.
(LE2DAN) O que está sendo solicitado é o valor y quando x se aproxima de a.
(LE2EDS) Está sendo pedido que valor essa função f irá assumir à medida que
aproximarmos do ponto a do domínio, tanto pela esquerda quando pela direita.
(LE2JUL) Está sendo solicitado para que observe o que acontece com a função,
ou seja, qual o comportamento dela, que ela assume, quando x se aproxima de a, ou quando x aproxima do ponto a o que acontece.
(LE2PED) A questão está perguntando, em outras palavras, “quais os valores que
f(x) assume quando x fica cada vez mais próximo do ponto a”. Por isso, descartaremos f(a) e usaremos apenas a informação ao redor.
(LE2TER) Está sendo pedido: Quando se pega pontos ao redor de a: pontos à
direita e à esquerda, e vem analisando, se aproximando de a por ambos os lados, estes valores estão tendendo à a e pede-se á medida que isso ocorre, á que valor a f se aproxima.
(LE2TAL) Está sendo solicitado que quer o f(x) para pontos próximos de a e ver
para que ponto f(x) está tendendo, tanto pela direita como pela esquerda de a.
Estas compreensões sugerem que, apesar das dificuldades naturais, inerentes ao tratamento dos conceitos de limite e continuidade, o(a)s participantes possuem uma visão razoável dos principais elementos constituintes dos referidos conceitos.
No caso do episódio em pauta, é provável que os conflitos tenham emergido principalmente em razão das peculiaridades das funções envolvidas. Com características que as diferem consideravelmente das referências tradicionais de funções a que o(a)s aluno(a)s, nesta fase introdutória, estão acostumado(a)s onde regularidade e “bom comportamento” estão presentes ao longo de todo o domínio e, em geral, podem ser visualizados diretamente nos gráficos respectivos , as funções g e k certamente contribuíram para produzir embaraços na análise da dupla Vera e Gisele. Mais uma vez, portanto, reforça-se a sugestão de que a cristalização e o condicionamento construídos em estágios anteriores em geral, com base numa visão estática da Matemática precisam ser desconstruídos, a fim de que novos espaços sejam abertos e sobre os quais novas construções possam ser fundadas na dinâmica e na liberdade inerentes aos conceitos em pauta.
É razoável, no entanto, sugerir que os conflitos emergentes no presente episódio não podem ser creditados exclusivamente às peculiaridades das funções
envolvidas. Afinal, um dos dilemas freqüentes pode ser caracterizado na seguinte questão: existe ou não cada um dos limites investigados? Os recursos gráficos do CAS, por um lado, contribuíram para a emergência dos conflitos, já que os gráficos gerados, embora tenham interferido nas manipulações conceituais, não foram suficientes para induzirem conjecturas razoáveis sobre a convergência ou não das funções nos pontos investigados. Por outro lado, os recursos algébricos não só garantiam a convergência de k e a divergência de g, como apresentavam o valor do limite da primeira e o intervalo de oscilação desta última à medida que x tendia a zero. Com base nestes elementos, o que se pode sugerir sob o ponto de vista da Educação Matemática no Ensino Superior para este caso?
A visão de limite como processo e conceito, encontrada na literatura (Tall et all, 2001) será analisada no capítulo seguinte. Ali, o(a) leitor(a) encontrará uma discussão e uma proposta de algebrização cujo objetivo é agregar alguma estabilidade ao conceito, sem, no entanto, sacrificar a riqueza de sua dinâmica. As respostas do(a)s participantes às questões acima sobre limite e continuidade, sugerem compreensões compatíveis com à referida proposta. Além disso, dado o contexto de um curso de Matemática, o exercício de uma visão teórica mais algébrica não se configuraria como uma excentricidade. Pelo contrário, explorar uma tal visão poderia se constituir em um elemento de integração entre Cálculo e Álgebra, disciplinas que tradicionalmente têm se mantido juntas no tempo, mas percorrendo linhas praticamente paralelas em termos conceituais.
Quanto ao conceito de função, que naturalmente subjaz ao de limite, algumas das sugestões já têm sido apresentadas e discutidas ao longo deste capítulo. Este episódio, no entanto, ilustra e sugere, mais uma vez, que a exploração de recursos gráficos e algébricos dos CAS pode contribuir para o amadurecimento matemático do(a) estudante, no sentido de que o potencial de exploração de funções peculiares uma das sugestões desta pesquisa é consideravelmente elevado dada a rapidez com que gráficos de funções complexas são gerados, resultados operacionais são prontamente obtidos e conjecturas exploradas.