3. ACCOUNTING FOR POVERTY REDUCTION IN NORWEGIAN AID TO MOZAMBIQUE
3.6 S ECTOR S UPPORT F ISHERIES
Os alunos, antes de responderam ao instrumento de pesquisa sobre os conceitos de inversos e opostos fazendo uso da ferramenta GeoGebra, passaram por uma fase de adaptação ao programa, ou seja, realizaram um pequeno treinamento relativo às funcionalidades da interface, o que corresponde à fase de fluência em relação ao software (Oliveira, 2009).
As atividades foram realizadas no laboratório de informática da unidade escolar, no qual havia somente 12 computadores em condições de uso, sendo que um deles não podia ser usado, pois se tratava do servidor.
As atividades aconteceram em duplas devido ao número de computadores disponíveis, e também para que os alunos pudessem socializar suas descobertas. Foram estabelecidas algumas regras para a realização das atividades no laboratório, dentre elas:
Não era permitida a comunicação entre as duplas; Não era permitida a consulta a outros materiais; Não era permitido o acesso a internet.
Para a ambientação dos alunos no laboratório e para que os mesmos conhecessem melhor o software GeoGebra, elaborou-se uma apostila19 sobre conhecimentos básicos do programa.
A fase da ação proposta na TSD20 iniciava quando o aluno passava a
realizar a aproximação cognitiva em relação ao software, ou seja, passava a
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Anexo 4: Apostila sobre o GeoGebra para iniciantes.
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As análises que tenham por base a Teoria das Situações Didáticas têm por referência, neste ponto, a obra de Brousseau (1996).
explorá-lo para conhecer melhor suas funcionalidades (os sujeitos encetam uma lógica experimental e de operação sobre a interface). Isto ocorreu após um momento de instrução inicial, feito pelo professor, ao passar pelas barras de ferramentas disponíveis na tela da aplicação. Os quatro exercícios descritos a seguir foram realizados com a finalidade de permitir a aproximação dos sujeitos em relação à fluência necessária para trabalhar com este recurso digital.
A primeira sessão na sala de informática representou um desafio, pois os alunos apresentaram muita ansiedade em manusear o computador – queriam “brincar” (usar jogos), acessar o bate papo virtual e explorar funções e programas no ambiente operacional que não se relacionavam com o trabalho em curso. Entretanto, a situação foi controlada e os alunos entenderam que as aulas no laboratório eram a continuidade da pesquisa que estava sendo realizada em sala de aula e da qual já participavam. A partir daquele momento, eles passaram a seguir as instruções quando solicitados. Esta sessão de reconhecimento do GeoGebra durou cerca de 1h e 20 minutos.
Na segunda sessão realizada no laboratório, os alunos iniciaram de fato a fase de ação, pois as apostilas foram entregues e os alunos passaram resolver o primeiro exercício proposto. Em média, a resolução levou 45 minutos. No inicio, os alunos encontraram dificuldades em executar alguns comandos existentes na barra de ferramentas superior, outros encontraram dificuldades em utilizar o mouse e outro grupo demonstrou pouca paciência na realização do roteiro. O exercício considerado pelos estudantes é o exposto abaixo.
EXERCICIO 1
1. Escolha dois pontos livres na malha quadriculada e movimente-os em qualquer direção. 2. Construa uma reta passando por estes dois pontos.
3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com extremidades nestes pontos.
4. Apague a reta e o segmento construído, inclusive as extremidades.
5. Usando apenas a ferramenta, construam outro segmento e determine a medida do segmento. Movimente uma das extremidades do segmento. Observe a janela geométrica e a janela algébrica.
Entre as soluções apresentadas pelos alunos, selecionou-se uma, destacada na figura seguinte:
Gráfico 3: Resolução do exercício 1 de adaptação
Estavam presentes nesta aula 18 alunos, sendo que apenas 10 conseguiram iniciar e terminar o primeiro exercício, que consistia apenas em seguir as orientações do roteiro sem qualquer intervenção. Nesse momento, então, pôde ser observado pelo pesquisador que alguns alunos apresentavam dificuldades em entender e usar as instruções para materializar as diretrizes a partir da interface informática.
A partir da terceira sessão no laboratório os alunos estavam adaptados ao meio, o que lhes permitia utilizar a ferramenta GeoGebra com maior desenvoltura. No grupo de estudantes, seis se destacaram, pois estavam realizando as atividades propostas com muita facilidade. Quando esses terminavam suas tarefas, faziam uma espécie de monitoria para os demais, com a autorização do pesquisador, que viu, no aspecto colaborativo da tarefa, uma forma de permitir que o caráter de orientação dos ganhasse um espectro mais amplo, envolvendo os sujeitos que já haviam se apropriado dos conhecimentos propostas na tarefa (Oliveira, 2007).
EXERCICIO 2
1. Crie um segmento a partir de um seletor com intervalo de 0 a 8. Clique sobre o segmento com o botão direito do mouse, a seguir clique em propriedades para mudar sua cor e sua "espessura".
2. Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre a extremidade do segmento com o botão direito do mouse, no menu que abrirá clique em Renomear, digite na janela que aparecerá o novo nome do ponto e clique em Aplicar).
3. Faça uma círculo com centro em uma das extremidades do segmento passando por um ponto qualquer.
4. Faça outra círculo de raio 3 e centro na outra extremidade do segmento. Clique com o botão direito do mouse sobre a círculo e entre em propriedades, modifique a cor, a espessura da linha e preencha o desenho, agora observe que temos o disco.
5. Faça um ponto sobre cada um dos círculos e uma reta passando por esses pontos. Movimente o seletor e verifique o que acontece com o segmento e os círculos.
6. Verifique as posições relativas entre os círculos.
Figura 5: Atividade de adaptação ao GeoGebra 2
Os alunos levaram cerca de 30 minutos para resolver o segundo exercício. Uma das resoluções, como referência, pode ser vista na próxima figura.
Na quarta sessão realizada no laboratório, os alunos terminaram os dois últimos exercícios propostos na apostila. Vale salientar que o grau de dificuldade dos exercícios propostos aumentava gradativamente do primeiro para quarto. Nessa sessão, estavam presentes 17 alunos e a realização dos dois exercícios levou, aproximadamente, 1h e 15 minutos. O exercício 3 e uma resolução considerada correta podem ser vistos na sequência.
EXERCICIO 3
1. Construa um segmento com uma extremidade em A (3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vírgula devemos colocar o ponto).
2. Utilizando a ferramenta ponto médio, determine o ponto médio deste segmento. Renomeie o ponto de M.
3. Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que temos? 4. Construir um segmento qualquer, e sua mediatriz utilizando círculo.
5. Construa outro segmento qualquer, determine a sua mediatriz (o programa tem esta ferramenta localize-a). Meça este segmento, depois movimente uma das extremidades dele e verifique o que acontece com a mediatriz.
6. Construa uma reta passando por dois pontos quaisquer, determine sua mediatriz. Por que isso acontece?
7. Construa uma semi-reta e determine seu ponto médio.
Figura 6: Atividade de adaptação ao GeoGebra 3
Na resolução do quarto exercício proposto na apostila, a dupla que mais se aproximou da construção correta apresentou a seguinte resposta:
Gráfico 6: Resolução do exercício 4 de adaptação
Este exercício trazia o seguinte enunciado:
EXERCICIO 4
1. Construa uma reta e nomeie de r. Construa uma círculo de raio 2.
2. Construa um ponto P sobre o círculo; trace uma reta paralela a r passando por P.
3. Construa uma reta passando por A (2,3) e B (– 1, – 2). Determine a reta paralela a esta
passando pelo ponto C (– 1, 3)
4. Construa um seletor. Construa um segmento dependente do seletor. Crie o ponto D (– 3,
2) e a reta paralela ao segmento passando por D. Calcule a distância do segmento até sua paralela.
5. Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t. Construa uma perpendicular a t passando por F. Construa um círculo de centro F dependente do seletor. Com a opção intersecção de dois objetos, encontre a interseção do círculo e da perpendicular. Trace uma paralela a pelas intersecções e t. Movimente o seletor e descreva o que acontece.
Os alunos não conseguiram construir um seletor como pedido no enunciado do exercício. Porém, as atividades proporcionaram aos sujeitos uma boa familiarização com o ambiente computacional, em especial com a ferramenta GeoGebra. Além disso, permitiram ao pesquisador entender quais seriam as eventuais dificuldades ligadas ao software nas tarefas relativas ao tema central da pesquisa.
Os exercícios propostos na apostila apresentavam uma situação adidática de aprendizagem, pois por meio destes os alunos puderam agir durante as atividades, em um primeiro momento. Em seguida, eventualmente, nos momentos em que as dúvidas apareceram, os sujeitos conseguiram prosseguir, por meio de comparações com exercícios anteriores, e realizar formulações sobre possíveis alternativas de soluções. Poucas foram as intervenções do pesquisador.
Quando os alunos formulavam de forma equivocada, tinham a possibilidade de questionar sobre a validade com o pesquisador. Esta atitude provocava a devolução da situação de aprendizagem, uma vez que o aluno precisava, segundo os pressupostos teóricos orientadores desta pesquisa, assumir a responsabilidade atinente ao próprio aprendizado. Uma vez que permitiram diversas experimentações e comparações com resultados anteriores, os exercícios propostos na apostila proporcionaram a validação das formulações estabelecidas pelos alunos.
A situação de institucionalização (Brousseau, 1996) aconteceu somente a partir do quarto exercício. Com base nas realizações anteriores dos participantes, e das dificuldades encontradas nesta última questão, a formalização do conhecimento matemático pôde ser feita pelo pesquisador. Além disso, foi feito um levantamento dos possíveis problemas encontrados pelos alunos e que dificultaram (ou poderiam dificultar) a construção.
Ainda quanto ao último exercício, os dados colhidos permitiram ao professor uma resolução pautada nas dificuldades apresentadas pelos alunos, fato que despertou o interesse dos mesmos pela proposta. Alguns alunos, após verificarem e discutirem a resolução do exercício, disseram: “– Como não pensei nisto?”, “– Ah, é fácil, esse tal de seletor!”, “– Professor, passa outro exercício destes!”.
a. Análise dos protocolos da fase dois
Passa-se, a seguir, à análise das atividades relativas à estratégia pedagógica prevista com uso do GeoGebra na consolidação dos conceitos de opostos e inversos, bem como das operações básicas envolvendo números inteiros.
Para isso, utilizou-se o GeoGebra para construir uma representação geométrica desses conceitos, para, por meio dessa representação, auxiliar o aluno a visualizar e compreender os conceitos de opostos e inversos nas operações básicas.
Quando se encerraram as atividades de adaptação dos alunos ao ambiente computacional e ao software GeoGebra; passou-se, então, a refletir a respeito da construção de um novo instrumento a ser aplicado, de forma que se pudesse verificar se os alunos compreenderam ou não os conceitos de opostos e inversos. Uma ferramenta tecnológica mediadora para auxiliar no processo de construção do conhecimento dos alunos sobre os conceitos relativos às quatro operações.
Com a utilização do software GeoGebra, os alunos poderiam construir uma representação geométrica para cada operação, algo que vem sendo pouco realizado nas escolas brasileiras como relatam Nunes, Campos, Magina e Bryant (2002), argumentando que instituições escolares brasileiras precisam fazer uso de outros recursos representacionais para desenvolver atividades com os alunos. Para minimizar tal efeito, que vem se tornando um problema, os autores sugerem que os alunos trabalhem com diferentes tipos de representações na resolução de problemas. Especificamente sobre estruturas aditivas, os autores destacam a importância da utilização da reta numérica, de forma a permitir o registro do raciocínio do aluno na reta, o que pode gerar diversas discussões e se tornar um instrumento de cálculo.
Com base nos objetivos desta pesquisa e levando em consideração os instrumentos utilizados nas análises anteriores, um novo instrumento21 foi criado,
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composto por sete exercícios, sendo quatro relacionados às operações básicas da Matemática e três sobre o desenvolvimento da pesquisa.
O primeiro exercício foi criado com o intuito de avaliar o conceito de oposto na operação de adição. O principal objetivo deste item era fazer com que os alunos conseguissem distinguir os números dos sinais operatórios. Nesse exercício, existiam doze itens, dentre os quais quatro são as chamadas “contas armadas”, ou seja, na forma usual utilizada para efetuar a operação. Ao finalizar a resolução, o aluno encontrava duas perguntas sobre os conceitos abordados na operação de adição.
O segundo exercício aborda a operação de subtração e foi construído com a finalidade de explorar o conceito de simetria entre os números, utilizando como base a reta numérica. Esse exercício é composto por doze itens para a resolução e aborda duas representações para as operações. Para sua resolução, optou-se por não se realizarem perguntas conceituais específicas, porque o terceiro exercício do instrumento contempla tais conceitos e as perguntas foram realizadas naquele momento.
O terceiro exercício faz menção à operação de multiplicação. Nele, o aluno encontrará doze itens seguindo o mesmo padrão dos exercícios anteriores. Ao final desse exercício, os alunos encontraram três perguntas sobre os conceitos abordados e, de acordo com as respostas apresentadas, analisou-se o grau de compreensão dos conceitos explorados.
O quarto exercício foi criado para verificar se os alunos compreenderam o conceito de inversos multiplicativos para a operação de divisão. Ele era composto por oito itens e, ao finalizar a resolução, o aluno encontrava três perguntas sobre os conceitos explorados.
A quinta questão tinha o intuito de averiguar a preferência do aluno em relação à ferramenta tecnológica que pretendia utilizar para realizar as atividades nas aulas. Já na sexta questão, os alunos tinham que justificar a escolha realizada na questão anterior. As duas questões se completavam e facilitaram as análises sobre a visão que os alunos possuíam em relação às tecnologias.
A última questão do instrumento foi desenvolvida para verificar se a pesquisa aqui tratada assumiu papel significativo para o aprendizado dos alunos.
Antes da aplicação do instrumento, foi criada, para cada operação, uma representação geométrica utilizando o Geogebra. Quando se iniciou a aplicação deste instrumento, estavam presentes 16 alunos, que foram divididos em duplas. Os alunos levaram aproximadamente 1h 30min terminar a atividade.
Para facilitar o processo de análise dos resultados, as oito duplas receberam a designação das letras maiúsculas do alfabeto, de A até H. Ao analisar as respostas referentes ao primeiro exercício sobre a operação de adição, pôde-se verificar que as oito duplas acertaram os doze itens propostos. Entretanto, nas perguntas conceituais, as duplas apresentaram os seguintes resultados:
A dupla A errou as perguntas a e b;
As duplas D, F e H erraram a pergunta b; As demais duplas acertaram todas.
A análise dos resultados permitiu verificar que o erro cometido com maior incidência entre as duplas aconteceu na seguinte pergunta: “– Quando somamos dois números positivos, o resultado será positivo ou negativo?”. O erro aqui cometido não foi identificado antes, quando as atividades anteriores foram analisadas. Durante a aplicação dessa atividade, percebeu-se que alguns alunos estavam utilizando as regras de sinais de forma equivocada e não conseguiam perceber o que estava sendo representado na reta numérica.
Nesse exercício os alunos puderam fazer uso do GeoGebra como ferramenta de auxílio na resolução da atividade, conforme exposto na figura seguinte.
Gráfico 7: Representação da operação de adição na reta numérica22
Os alunos, ao iniciarem a atividade, tiveram que realizar a leitura do instrumento de pesquisa para entendê-lo e assim começar a resolver os exercícios, o que caracteriza uma situação de ação. O aluno possui, ainda, a ferramenta tecnológica que poderá utilizar a qualquer momento, e também o fato de estarem empenhados em resolver os exercícios propostos na situação de aprendizagem.
Para manipulação dos elementos gráficos existentes na interface, os alunos, fazendo uso do mouse, movimentam os pontos na reta azul e na reta vermelha até encontrar o valor desejado. Logo após, o resultado aparece de forma instantânea na reta principal, com um ponto na abscissa com a cor roxa.
A situação da formulação se inicia quando os alunos visualizam a resolução e passam a generalizar os conceitos explorados. Nessa fase, não há necessidade de justificar as formulações realizadas sobre os conceitos existentes na situação. A situação de validação acontece quando os alunos conseguem desenvolver os mecanismos de prova para validar suas formulações. Nesse caso, o GeoGebra foi utilizado como elemento que permite uma validação do tipo
empirismo ingênuo, pois o acerto de uma conjectura é afirmado (ou aceito) pelo
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A concepção de uma “calculadora de reta real” ou “calculadora geométrica” pode ser encontrada no trabalho de Hohenwarter e Hohenwarter (2008), bem como no de Yanes (2006).
estudante após a verificação de alguns casos (Balacheff, 1988). Trata-se, de acordo com De Villiers (2002), de uma verificação.
O protocolo abaixo representado diz respeito à resposta da dupla A.
Figura 8: Questões conceituais sobre a operação de Adição – Dupla A
Após a correção dos exercícios conceituais, o pesquisador, de posse de todos os dados referentes aos erros e acertos, passou a discutir com os alunos sobre as respostas encontradas. A situação de institucionalização aconteceu quando o professor, juntamente com os alunos, demonstrou geometricamente os cálculos solicitados no primeiro exercício. Com isto, os alunos puderam visualizar que os sinais operatórios são diferentes dos sinais numéricos.
Ao analisar os desempenhos obtidos pelos alunos no exercício sobre a operação de subtração, pôde-se verificar que as oito duplas acertaram todas as questões de subtração. Inferiu-se, portanto, que a representação desta operação com o auxílio da reta numérica contribuiu de fato para a compreensão do conceito de oposto, principalmente em comparação com os resultados obtidos nos instrumentos anteriores.
Aqui, a situação de ação aconteceu quando os alunos iniciaram a resolução do exercício dois, porque tinham que interpretar a operação solicitada na reta numérica para resolvê-lo, bem como atuar sobre a interface. A situação de formulação ocorreu quando os alunos passaram a realizar tentativas de resolução para os exercícios propostos – em especial, na operação de subtração, eles elaboraram diversas conjecturas sobre as regras de sinais, principalmente nos casos em que era necessário eliminar os parênteses.
A situação de validação aconteceu quando os alunos, de posse das suas formulações, passaram a resolver os problemas com auxilio do GeoGebra e, ao
observar a movimentação dos números na reta numérica, compreenderam o conceito ali explorado.
Gráfico 8: Representação da resolução do item k do 2º exercício
Observa-se que o trabalho didático com o GeoGebra apoia compreensão dos alunos em relação ao conceito de oposto, através de uma representação geométrica. Ao realizar a operação solicitada, o estudante movimenta o ponto na reta azul e na vermelha, com o resultado da operação aparecendo na reta referencial, da mesma forma como na operação de adição, mostrada anteriormente, com um ponto na reta das abscissas, na cor roxa.
Na construção final, surge uma seta com espessura inferior às demais, partindo de uma origem. Na figura anterior, a seta azul representa o número 7 e a seta vermelha, de maior espessura, número – 5. Existe, também, uma seta vermelha com espessura inferior, que indica o oposto de – 5. Assim, os alunos tinham que resolver a seguinte situação, por exemplo, no item k: 7 – (– 5) = ?. Para responder esta situação, era preciso que os estudantes mobilizassem os seus conhecimentos sobre números inteiros e opostos. Com o auxilio da estratégia prevista com uso do GeoGebra, os alunos partiram para uma situação de ação. Ao procurar a solução do item, os sujeitos puderam visualizar e validar suas formulações.
Neste momento, vale ressaltar que os sujeitos desta pesquisa são alunos que pertencem ao projeto de correção de ciclo II, os quais, no início das sessões, faziam uso das regras de sinais de forma equivocada. Os mesmos só conseguiam realizar algumas das atividades propostas quando o professor registrava a tabela de sinais na lousa. No entanto, no momento de resolução dos exercícios um e dois, não houve nenhuma menção por parte dos alunos em relação a qualquer tabela de regras. Assim, supõe-se, aqui, que a estratégia pedagógica com o GeoGebra viabilizou a visualização dos conceitos por parte dos alunos.
No segundo exercício, a situação de institucionalização aconteceu de forma muita tranquila, pelo fato das operações matemáticas serem representadas pela forma geométrica. Esta representação facilitou a compreensão do significado o termo “oposto”, o que permitiu que os estudantes percebessem que, nesse