3. MATERIALS AND METHODS
3.1. Prostate cancer patient cohort and prognostic biomarkers
3.1.3. Prognostic biomarkers
Como vimos na se¸c˜ao 1.3, quando queremos utilizar o car´ater n˜ao local dos estados ema- ranhados em protocolos de informa¸c˜ao quˆantica ou test´a-lo em experimentos de Bell, ´e necess´ario realizar opera¸c˜oes locais sobre os subsistemas. Estas opera¸c˜oes incluem transforma¸c˜oes unit´arias e medidas de observ´aveis. Isto quer dizer que, para um sis- tema quˆantico ser caracterizado como qubit ou qudit, com possibilidade de portar in- forma¸c˜ao, n˜ao basta apenas ger´a-lo, devemos ser capazes tamb´em de realizar qualquer tipo de opera¸c˜ao sobre ele. Vamos descrever duas maneiras de se fazer tais rota¸c˜oes nos estados |li dados pela Eq. (3.18) e mostrar que em princ´ıpio, esses estados podem ser utiliz´aveis.
Divisores de feixes multiportas
Em um trabalho muito interessante, Reck et al. demonstram que um dispositivo cons- tru´ıdo com um conjunto de espelhos, divisores de feixe e deslocadores de fase, pode repro- duzir todas as transforma¸c˜oes unit´arias de dimens˜ao finita, D, para estados de um f´oton e permite tamb´em a medida de quaisquer observ´aveis [118]. O nome desse dispositivo ´e divisor de feixes multiportas (DFM) e a forma geral dele ´e ilustrada na Fig. 3.3(a). O DFM transforma D estados de entrada em D estados de sa´ıda; ele ´e uma generaliza¸c˜ao
Espelho Divisor de feixes Fase D - 1 D’ D - ( 1)’ 1’ D 2’ 1 D - 2 R = 1/2 R = 1 R = 1/2 R = 1/3 (c) (a) R = 1/2 (b) f
Figura 3.3: Divisores de feixe multiportas. (a) Esquema geral para um sistema D-dimensional. (b) e (c) s˜ao divisores de feixes sim´etricos para D = 2 e D = 3, respectivamente.
do divisor de feixes comum, que tem duas portas de entrada e duas de sa´ıda [Fig. 3.3(b)] e cuja opera¸c˜ao unit´aria em um estado de entrada ´e dada por
[U2(R)] = Ã √ R eiφ√1 − R √ 1 − R −eiφ√R ! , (3.30)
onde R ´e a refletividade e 1 − R = T a transmissividade do divisor de feixes; φ ´e uma fase externa. No caso do DFM, cada divisor de feixe que o comp˜oe realiza uma transforma¸c˜ao unit´aria num subespa¸co bidimensional do espa¸co de Hilbert D-dimensional. O que os autores mostram ent˜ao, ´e que uma transforma¸c˜ao unit´aria qualquer, UD, nesse espa¸co,
pode ser fatorada em um produto de matrizes do divisor de feixe11 [Eq. (3.30)] com as fases externas apropriadas. O n´umero m´aximo de divisores de feixe para construir UD
´e uma combina¸c˜ao todos os subespa¸cos bidimensionais poss´ıveis, ou seja, D(D − 1)/2. Isso pode ser visto nas Figs. 3.3(b) e (c) para D = 2 e D = 3, respectivamente. Nestas figuras vemos um caso especial que s˜ao os DFM’s sim´etricos, onde se um f´oton entra por uma porta i, a probabilidade de sair por qualquer porta (de sa´ıda) ´e igual a 1/D. O divisor de feixe 50/50 ´e o exemplo mais simples e para maiores dimens˜oes, basta utilizar divisores de feixes com refletividades diferentes. Na ponta da “pirˆamide” temos R = 1/D, na segunda linha R = 1/(D − 1) e sucessivamente at´e a ´ultima linha de divisores de feixe com R = 1/2, como mostra a Fig. 3.3(c).
Da mesma forma, qualquer observ´avel pode, em princ´ıpio, ser medido atrav´es de um DFM, bastando uma manipula¸c˜ao apropriada das fases externas e das refletividades dos divisores de feixe. Suponha, um observ´avel OD cujos autovetores s˜ao {|o1i, |o2i, . . . , |oDi}
e os respectivos autovalores s˜ao {o1, o2, . . . , oD}. Em cada porta de sa´ıda se coloca um
detector, correspondente a um desses D autovetores. Se o estado de entrada no DFM
11Neste caso, matrizes identidade D-dimensionais com um bloco formado pela matriz do divisor de
CPD
f f f f’ DF E signal idler DF E Li Ls A’ B’ A BFigura 3.4: Esquema de um experimento de Bell para dois qubits emaranhados espacialmente. Ls
e Lss˜ao lentes convergentes de foco f , φ e φ′ s˜ao fases externas vari´aveis; E e DF denotam espelho
e divisor de feixes, respectivamente. A, A′, B, B′ s˜ao os r´otulos dos detectores.
´e |oii, haver´a um “clique” no detector i. Para um estado de entrada arbitr´ario |Ψi, as
amplitudes de probabilidade de detec¸c˜ao s˜ao dadas por hoi|Ψi. O clique no detector i
corresponde `a medida do autovalor oi.
Portanto, qualquer opera¸c˜ao local pode ser realizada atrav´es desses DFM e acreditamos que este pode ser um caminho de se utilizar de forma pr´atica, os estados emaranhados de qubits e qudits que estamos propondo aqui. Um exemplo concreto ´e um teste de Bell para qubits que ser´a discutido com detalhes na tese de doutorado de G. Lima [119], do Grupo de ´Optica Quˆantica da UFMG. O esquema do experimento ´e mostrado na Fig.3.4. Uma lente convergente de comprimento focal f ´e colocada a uma distˆancia f das fendas duplas, de forma que os feixes de sa´ıda da fenda dupla s˜ao colimados e direcionados para um divisor de feixe sim´etrico. Considerando detectores ideais, as probabilidades de detec¸c˜ao em coincidˆencia s˜ao dadas por
P (A, B|φ, φ′) = P (A′, B′|φ, φ′) = 1 4[1 + cos(φ − φ ′)], P (A, B′|φ, φ′) = P (A′, B|φ, φ′) = 1 4[1 − cos(φ − φ ′)].
Aqui, as fases φ e φ′ definem as bases de medida. A varia¸c˜ao da fase resulta numa rota¸c˜ao
do estado de um qubit, o que est´a de acordo com a teoria de DFM descrita acima. Propaga¸c˜ao no espa¸co livre
Outra maneira de se fazer rota¸c˜oes dos vetores |li dados pela Eq. (3.18), ´e atrav´es da propaga¸c˜ao no espa¸co livre. Vamos deixar esta discuss˜ao para o cap´ıtulo5, onde determi- namos o grau de emaranhamento para dois qubits, medindo no plano de transformada de Fourier de uma lente. Mostraremos que as medidas nesse plano, correspondem a medi- das sobre combina¸c˜oes lineares dos vetores |li, e s˜ao portanto, medidas sobre outra base. Outro trabalho realizado em nosso grupo, utiliza a mudan¸ca de base devido `a propaga¸c˜ao para fazer a reconstru¸c˜ao tomogr´afica de estados mistos de dois qubits [119, 120].
Gera¸c˜ao de Qudits utilizando F´otons
Gˆemeos: Experimentos
Neste cap´ıtulo apresentaremos um experimento que demonstra o uso das correla¸c˜oes transversais entre os pares de f´otons gerados na CPD para a cria¸c˜ao de estados maximamente emaranhados de qudits. Atrav´es de medi- das de interferˆencia condicional, fazemos uma demonstra¸c˜ao qualitativa de emaranhamento. Num segundo experimento, demonstramos a propaga¸c˜ao do estado de dois qudits no espa¸co livre.
4.1
Gera¸c˜ao de estados maximamente emaranhados
No cap´ıtulo anterior, apresentamos a nossa proposta para gera¸c˜ao de qudits emaranhados, codificados no momento transversal dos f´otons gˆemeos da CPD. O trabalho foi motivado pela importˆancia que tais sistemas tˆem para aplica¸c˜oes em informa¸c˜ao quˆantica. Como se sabe, a eficiˆencia de tais aplica¸c˜oes est´a diretamente ligada ao grau de emaranhamento que se pode gerar. Por isso, ao pensarmos em realizar o experimento para verificar o m´etodo que propusemos, nos restringimos aos estados maximamente emaranhados (ME) [84,115], dada a sua importˆancia. Apresentaremos o experimento nesta se¸c˜ao.