A discretização das equações de transporte resulta, normalmente, em um sistema linear do tipo:
AX = B, (4.19)
onde A é a matriz de coeficientes, x o vetor de incógnitas e B a matriz que acomoda os
termos de acúmulo.
A solução do sistema dado pela Eq.(4.19) pode ser obtida pela aplicação de algum método interativo. Métodos clássicos como Jacobi, Gauss-Seidel ou TDMA, apresentam elevada velocidade de convergência da solução numérica no início do cálculo, decaindo sensívelmente à medida que o processo iterativo avança (VILLAR, 2007). Esse comporta mento viabiliza a utilização de tais métodos na relaxação da solução, ou seja, na remoção de componentes do erro de altas frequências.
Sendo assim, atribui-se às componentes do erro de baixas frequências a lenta convergência observada nos métodos supracitados (VILLAR, 2007). Uma vez que o espaçamento da malha não muda, não é possível eliminar da solução outras frequências se não aquelas relacionadas ao comprimento característico da malha.
Com isso em mente, o método Multigrid foi contruído sobre a premissa de que cada banda de frequência de erro deve ser suavizada em uma malha com comprimento característico adequado. Componentes de alta frequência (menores comprimentos de onda) são suavizadas em malhas com menores espaçamentos, enquanto que componentes de baixa frequência (maiores comprimentos de onda) são tratadas em malhas mais grossas. Isso é feito utilizando apenas uma malha física, mas com diferentes níveis virtuais.
Considerando x uma aproximação da solução exata x
,
definimos o erro da aproximação como e = x — X. Dessa forma, podemos reescrever a Eq.(4.19) como:
A (e — X) = B. (4.20)
Desconhecemos, entretanto, o valor exato da solução e do erro. Busca-se, então, uma estimativa do erro, dada pelo resíduo R:
R = B — Ax. (4.21)
Podemos, em um processo iterativo, minimizar o valor de R, indicando que uma solução satisfatória foi encontrada. Subtraindo a Eq.(4.19) da Eq.(4.21), temos:
que, por meio da relação e = x — X, resulta
Ae = R. (4.23)
A Eq.(4.23) é chamada de equação residual, pois indica que o erro, dado por e, satisfaz o mesmo conjunto de equações que a solução x quando B é substituido por R. Portanto, resolver o sistema dado pela Eq.(4.23) é análogo a resolver o sistema da Eq.(4.19). Sendo assim, busca-se obter a solução na malha mais fina, empregando os demais níveis apenas como esquemas de correção desta solução.
(a) (b)
Figura 7 - Ilustração das operações de (a) prolongamento e (b) restrição (VILLAR, 2007). Durante a aplicação do método, os valores obtidos para o erro e são transferidos de uma malha para outra. O processo de transferência de informação de uma malha grossa para uma mais fina é chamado de prolongamento, enquanto que o processo inverso é chamado de restrição. Ambas as operações são ilustradas na Fig. 7.
Como citado anteriormente, o código MFSim utiliza refinamento local. Nessas con dições, o método Multigrid é chamado de método Multigrid-Multinível, pois a metodologia Multigrid não atua apenas nas malhas sequencialmente mais grossas (níveis virtuais), mas também passa a trabalhar nos demais níveis físicos do refinamento. A Fig. 8 ilustra essa divisão de níveis existentes na malha.
Todas as simulações apresentadas na presente dissertação foram realizadas utili zando o solver Multigrid-Multinível para a solução das velocidades, pressão e das equações de transporte, em conjunto com esquema advectivo CUBISTA e discretização temporal SBDF. Utilizou-se também, em todos os casos apresentados, CFL de 0,2.
5
Resultados e discussão
Será apresentada neste capítulo a validação dos modelos híbridos URANS-LES para o fechamento da turbulência no ambiente do código MFSim. Serão validados os modelos híbridos SA-DES (SPALART et al., 1997), SST-DES (STRELETS, 2001), SA-SAS (CODER, 2015) e SST-SAS (MENTER; EGOROV, 2010). Para fins de comparação, serão também utilizados os modelos puramente URANS e LES que compõem a base dos modelos híbridos supracitados. São eles os modelos URANS de Spalart-Allmaras (SPALART; ALLMARAS, 1994) e k — u SST (MENTER; KUNTZ; LANGTRY, 2003), e o modelo LES dinâmico de Germano (GERMANO et al., 1991; LILLY, 1992) com filtragem explícita (MELO, 2017).
A validação dos modelos será realizada resolvendo problemas que melhor se adequam à proposta de cada classe de modelos de fechamento. Os modelos SAS serão validados no caso da cavidade cúbica com tampa deslizante, tendo como referência o experimento material de Prasad & Koseff (1989). Por sua vez, os modelos DES serão validados no degrau descendente, baseando-se no experimento material de Jovic & Driver (1994). Por fim, todos os modelos supracitados terão suas performances avaliadas no escoamento ao redor de um prisma triangular, experimentado por Sjunnesson, Henriksson & Lofstrom (1992).
A análise dos dados obtidos é feita através de dados qualitativos, como visualização dos campos de velocidade, viscosidade, vorticidade e iso-superfícies do critério Q - definido matemáticamente pelas Eqs.(5.1) e (5.2), conforme apresentado por Jeong & Hussain (1995); além de dados quantitativos, obtidos nos experimentos materiais de refrência, como perfis de velocidade média, RMS da velocidade e de componentes do tensor de Reynolds.
Q =1 — s
2
) (5.1) S =/2Sij Sj;S
= i (du± + duA ■ 2 \dxj fix* J ,2
w ijw ij■
1 Wij - 2 du* dxj duj Bxi (5.2) n=7Para obtenção dos dados quantitativos que serão apresentados, monitorou-se o compartamento da solução em regiões típicas de grande instabilidade física, como por exemplo as proximidades das paredes onde se formam recirculações na cavidade com tampa deslizante e no degrau. Nesses pontos críticos, variáveis de interesse, como as componentes de velocidade e pressão, foram avaliadas por meio de sondas disponíveis no
código MFSim. Uma vez estabelecido o regime estatísticamente permanente, as estatísticas foram calculadas.
Para facilitar as análises que se seguem, os diferentes modelos utilizados são nomeados da seguinte forma:
• SA: modelagem URANS proposta por Spalart & Allmaras (1992);
• SST: modelagem URANS proposta por (MENTER; KUNTZ; LANGTRY, 2003); • SA-DES: modelagem DES, baseada no modelo URANS de Spalart-Allmaras, proposta
por Spalart et al. (1997);
• SST-DES: modelagem DES, baseada no modelo URANS k - u SST, proposta por
Strelets (2001);
• SA-SAS: modelagem SAS, baseada no modelo de Spalart-Allmaras, proposta por Coder (2015);
• SST-SAS: modelagem SAS, baseada no modelo k - u SST, proposta por Menter & Egorov (2010);
• LES-D: modelagem LES, proposta por Smagorinsky (1963) e reformulada por Ger mano et al. (1991) e Lilly (1992).