Para a integração temporal das equações discretizadas no espaço foi utilizado um método implícito-explícito (IMplicit EXplicit - IMEX), apresentado por Ascher, Ruuth & Wetton (1995), chamado de Semi-implicit Backward Differentiation Formula (SBDF).
Esta estratégia nos permite trabalhar o termo advectivo de forma explícita, enquanto que o termo difusivo é implicitado, o que viabiliza a utilização de passos de tempo menos restritivos (VILLAR, 2007).
O passo de tempo utilizado nos cálculos realizados é dado pela expressão abaixo:
At — c(-L + -L) , (4.9)
tadv tdif
onde C é a condição CFL (COURANT; FRIEDRICHS; LEWY, 1967), tadv e tdif são,
respectivamente, as restrições temporais dos termos advectivo e difusivo, dadas por:
Ax Ay Az (4.10)
tadv li |u|max+ ||v| 1 I I ,
max |w|max
A
x2
Ay2
Az2
(4.11)tdif
—
V + V VO método IMEX utilizado é de segunda ordem, necessitando, portanto, de um
atual, tn
+1
. Por sua vez, os passos de tempo são definidos como At” = tn — tn1
eAtn
+1
= tn+1 — tn. Assim, temos a seguinte expressão para forma geral do esquema desegunda ordem com passo de tempo variável (DAMASCENO, 2018):
a2in+1 + a1'in + a0ln
1
Atn
+1
= w (i)n+1 + d,f w+dof (i-r1+
^1g(
l')
”+
Pog(
i')n \(4.12) na qual os termos advectivos e difusivos sao representados pelas funçoes g e f, respectiva mente. Os parâmetros ai, /3i e Oi são definidos como se segue:
ao
(2
Y —1)
u”+i1 +
^n+1 «1 = (1 —2
y) Un+i — 1,1 + 2
Y^n+11 +
^n+1 o~ = — Y^n+1, ^1 =1 +
Y^n+U Oi = 1 — y — 1 + ~ n-l J O2 = Y + c2
^n+1 O c2, c2,onde <^n+1 = Atn+1/Atn é a relaxação entre dois passos de tempo consecutivos.
Com a presente estrutura paramétrica do esquema IMEX, obtem-se, a partir da manipulação dos parâmetros ai, Pi e Oi, além do método SBDF utilizado, diferentes
métodos, a saber Crank-Nicolson Adams-Bashforth (CNAB), Modified Crank-Nicolson Adams-Bashforth (MCNAB), Crank-Nicolson Leap-Frog (CNLF), além do clássico método de Euler. A Tabela 3 apresenta os parâmetros para cada método de integração temporal desejado.
Tabela 3 - Parâmetros para obtenção de diferentes métodos de integração temporal a partir do esquema IMEX de segunda ordem.
Parâmetros
sbdf cnab
mcnab cnlf
Eulera0 0,5 0 0 -0,5 -1 a1 -2 -1 -1 0 0 a2 1,5 1 1 0,5 1 P0 -1 -0,5 -0,5 0 1 P1 2 1,5 1,5 1 0 O0 0 0 0,0625 0,5 0 O1 0 0,5 0,375 0 0 O2 1 0,5 0,5625 0,5 1
4.3
Malha bloco estruturada e refinamento adaptativo
Escoamentos turbulentos são, por essência, transientes. Isso significa que diferentes processos ocorrem simultâneamente, através da movimentação de diversas estruturas
turbilhonares de diferentes escalas de tempo e comprimento. Para capturar esses fenômenos, malhas extremamente finas devem ser aplicadas abrangendo grandes regiões do domínio computacional.
Ora, mesmo que se tenha conhecimento da direção preferêncial do escoamento, não é possível prever com precisão as regiões que necessitam de maior refinamento. Sendo assim, em grande parte dos trabalhos, são utilizados elevados números de células computacionais, concentradas em regiões de maior interesse, visando garantir a resolução necessária nesses locais.
Em escoamentos complexos, muitas vezes se fazem necessárias simulações prelimi nares com intuito de ajustar estas regiões de maior refinamento da malha, o que demanda tempo e recursos computacionais. Nesse sentido, a estratégia de refinamento adaptativo de malhas (Adaptive Mesh Refinement - AMR) aparece como uma opção eficiente. Através
dela, a malha computacional se adapta, ao longo do cálculo, às regiões de maior interesse, aumentando a resolução nestes locais, otimizando assim a utilização de recursos.
No código MFSim é utilizada malha bloco estruturada com refinamento local adaptativo dinâmico. A Fig. 5 ilustra a aplicação desse tipo de malha para o escoamento no interior de uma cavidade com tampa deslizante. O critério de refinamento utilizado foi implementado por Barbi (2016). Ele se baseia na magnitude do vetor vorticidade e na velocidade. Dessa forma, regiões de maior vorticidade, no caso da cavidade mais evidentes próximas às paredes, são refinadas, enquanto que no centro da mesma são utilizados menos elementos. A formulação deste critério de remalhagem é apresentada abaixo:
umax (4.13)
onde w é a magnitude do vetor vorticidade, A o comprimento da malha, umax é a magnitude
do vetor velocidade e Z uma constante fornecida ad-hoc. Quanto menor o valor desta
constante, mais sensível se torna o algorítmo da remalhagem. Para todas as simulações
4.4
Metodologia da fronteira imersa
No presente trabalho, foi utilizada a metodologia da fronteira imersa para represen tar um corpo em meio fluido. Este método trabalha simultaneamente com dois domínios de cálculo, conforme ilustrada pela Fig. 6. O domínio cartesiano, onde são resolvidas as equações para o fluido, é denominado de euleriano (Q), ao passo que o domínio que representa a interface imersa no escoamento é chamado de lagrangiano (r). No caso de escoamentos tridimensionais, este último domínio é representado por uma superfície.
(b)
Figura 5 - Exemplo de refinamento adaptativo baseado no critério de vorticidade. (a) Malha bloco estruturada com refinamento adaptativo e divisões de patches; (b) Contorno de magnitude de vorticidade.
Figura 6 - Representação dos domínios de cálculo utilizados na metodologia da fronteira imersa (ANDRADE, 2015).
complexas, utilizando malha cartesiana para o domínio euleriano. O corpo imerso é representado por um campo de forças que se comunica com o meio fluido por meio de um termo de forçagem, inserido, por sua vez, nas equações de Navier-Stokes e demais equações de transporte, quando necessário.
O código MFSim utiliza a multi forçagem direta, proposta por Wang, Fan & Luo (2008) e modificada por Vedovoto, Serfaty & Silveira Neto (2015). O termo de força fi
imersa. Para calcular esta força, utiliza-se uma função de distribuição (MELO, 2017):
fi(x) = F(Xk)Dij (x - XK) AV(xk), (4.14)
K
onde X é a coordenada referente ao volume euleriano, XK a coordenada referente ao volume
lagrangiano, AV (XK) representa o volume do elemento lagrangiano, Dj uma função
de interpolação e F (XK) representa a força no ponto lagrangiano que é, por sua vez,
distribuida no domínio euleriano, delimitando a fronteira. Adotou-se para os cálculos uma função gaussiana da seguinte forma:
Dij
(x
K)
xK - xi yK - yi zK - zi n-ã~)
n — n — 5 A A3
(4.15) com g1(r), -gi(2
-l|
rh)
,0
, ||r|| < 1 1 < Ml < 2 r > 2 (4.16) g ( r ) = / 1 2 g1 (r) 3 2 ||r|| + ^1 + 4 ||r| — 4 ||r |2
(4.17) 8O termo de força fi também é utilizado para impor condições de contorno para
as variáveis transportadas pelos modelos de fechamento para a turbulência. No caso dos modelos utilizados, tanto a viscosidade turbulenta modificada do modelo de Spalart- Allmaras, vt, quanto a energia cinética turbulenta do modelo k — u SST, k, atingem
valores nulos sobre a fronteira imersa como consequencia da imposição da condição de não deslizamento. Logo, não se faz necessária a forçagem destas variáveis.
Entretanto, para a frequência de Kolmogorov (u) do modelo k — u SST, a multi
forçagem direta é utilizada para impor o seguinte valor na fronteira (BARDINA; HUANG; COAKLEY, 1997):
u= jpy60^ i, (4.18)