EL APOYO VISUAL PARA ALGUNOS BLOQUES DE LAS MATEMÁTICAS

Una vez realizado un recorrido teniendo presente las orientaciones para la enseñanza de las matemáticas, el trabajo del docente y la realidad del estudiante, destacamos que son varios los estudios que señalan las representaciones visuales como medio para el avance ante distintas dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

Bruner (citado por Godino et al. 2003) considera que hay tres tipos de representaciones:

• Representación enactiva: Está basada en el que el sujeto escenifica los acontecimientos, los hechos y las experiencias a través de la acción (respuesta motriz). Este tipo de representación está pues muy relacionado con las sensaciones generales del estado del propio cuerpo y de la percepción inconsciente de los movimientos y de la posición del organismo. Son representaciones bastantes manipulativas.

• Representación icónica: Está basada en imágenes y esquemas espaciales de diferente complejidad que tienen como objetivo ser representaciones del entorno. Estas representaciones guardan cierto parecido con la realidad representada.

• Representación simbólica: Está basada en los símbolos (que no tienen que ser representaciones exactas de la realidad, pues suelen basarse en abstracciones) para escenificar el mundo.

Dichas representaciones pueden ser llevadas al aula de matemáticas, en los distintos niveles de enseñanza, para lo que se necesitará disponer de un buen material visual que ayude al entendimiento de algunas de las partes de esta ciencia.

En Alsina, Burgués y Fortuny (1988) se distinguen cuatro dimensiones generales de la educación Matemática:

• Geometría Visual.

Sustentada en el estudio de la visualización por medio de las siguientes orientaciones:

 Geometría de las formas: se descubre a través de la observación directa de nuestro entorno (de las formas de donde vivimos, de la naturaleza que nos rodea, etc.... )

 Geometría de los reflejos: es desarrollada gracias a la observación de los escaparates, espejos…

 Geometría de las sombras: las sombras no son siempre representaciones exactas de la realidad, de la geometría del objeto.

 Geometría efímera: basada en figuras que solo existen durante unos instantes (ejemplos pueden ser las pompas de jabón, la papiroflexia, la globoflexia, etc…)

• Geometría Construida.

Tras la observación visual se podrá iniciar el proceso de la construcción (por ejemplo de figuras planas para llegar al entendimiento

y dominio de conceptos como los de área, perímetro, ángulo…).

Destacamos como material al que se puede recurrir en esta fase los geoplanos, tangram (para la geometría plana), los cuerpos rellenables, sólidos platónicos…

• Geometría Dibujada.

El dibujo permite desarrollar croquis que después podrán dar lugar a representaciones reales (o viceversa). Es necesario para el desarrollo de esta etapa que el discente sepa desenvolverse con la regla, escuadra, cartabón, compás, papel milimetrado, etc.

• Geometría Medida

A través de la medida de los objetos podremos obtener procedimientos “exactos” que aplicaremos al estudio de la longitud, dimensión, tamaño, talla, volumen…

Boaler (s.f) opina que la visualización en clase de matemáticas es fundamental pues, cuando los alumnos aprenden por medio de aproximaciones visuales esta materia, exploran, llegando a lo profundo de esta ciencia y al entendimiento. Afirma que es imprescindible un cambio en el proceso de enseñanza-aprendizaje introduciendo la imagen en el mismo.

Prendes (1998, 4) enuncia que “entendemos imagen como representación de algo que existe previamente a ella”. En su trabajo expone que las imágenes están formadas por expresiones pequeñas, como son el punto y la línea. “Descartes introdujo en el plano las coordenadas x,y que ahora se llaman cartesianas. De este modo para cualquier par de valores x e y corresponde un punto, y recíprocamente, a cada punto corresponde un par de coordenadas, x,y.”

(Aleksandrow et al. 1973, 69).

Figura 13. Ejes cartesianos. Fuente: Elaboración propia

Podemos afirmar, como ya lo hacía Prendes (1998), que cuando los puntos están tan próximos que no se pueden reconocer de manera individual, entonces percibimos una línea.

Presmeg (s.f) expone investigaciones en educación matemática centradas en la visualización, la capacidad visual y en los procesos de mediación visual, para la enseñanza de las matemáticas, en la etapa secundaria. Gracias a dichos trabajos también sabemos qué fue en la era del constructivismo donde el

(x,y)

X Y

papel del pensamiento visual en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas adquiere mayor protagonismo. Destacan los procesos de pensamiento inaccesibles, asociados con el uso de imagen mentales asociadas. Presmeg señala que Dreyfuss en 1991 aportó muchos ejemplos eficaces que demostraban el poder de las presentaciones visuales en el razonamiento matemático, pero que la introducción de las imágenes para el entendimiento de las matemáticas se deberá complementar con pensamientos analíticos, sin perder la rigurosidad de esta ciencia. La realidad que, en ocasiones se encuentra en el aula, de que los discentes no le den importancia a los aspectos visuales se debía, según dicho autor, a la escasa importancia que se le ha dado a este apoyo durante décadas. Otros estudios más recientes, como los de Radford, Bardini, Sabena, Diallo y Simbogoye (2005), Kanduz y Strässer (2004), Nardi y Ionnone´s (2003) destacan la importancia de las imágenes en el estudio de las matemáticas.

Debemos estudiar si las representaciones visuales son un buen medio para el avance, ante las distintas dificultades, en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Si es algo real o, si por el contrario no existe la necesidad de tener un buen material visual para el entendimiento de algunas de las partes de esta materia. Llegados a este punto del estudio debemos basarnos también en explicaciones científicas.

Boaler (s.f) aporta información sobre los postulados de la ciencia acerca del cerebro, señalando la importancia de las representaciones visuales en la recreación de patrones en nuestros cerebros (incluso desde que contamos con los dedos). Este autor hace una exposición del proceso que nuestra mente realiza para formarse un esquema formal y visual. Nuestro cerebro se compone de redes distribuidas. Cuando manejamos conocimientos, diferentes áreas del celebro se iluminan y se comunican unas con otras. En particular, cuando trabajamos con matemáticas, la actividad cerebral se distribuye entre varias redes diferentes, que incluyen dos vías visuales, la óptica ventral y dorsal (ver figura 14). En el área de las matemáticas, la neuroimagen ha demostrado que incluso cuando trabajamos el cálculo numérico, con representaciones simbólicas, nuestro pensamiento matemático se basa en el tratamiento visual. En dicho trabajo se explica que el área del cerebro que es parte de la vía óptica dorsal (mostrada en verde en la figura que se encuentra a continuación), está involucrada cuando se trabaja el área de las matemáticas, tanto en niños como en adultos. Ésta sección del cerebro tiene especial importancia en las representaciones visuales o espaciales de cantidad, como en el caso de la recta de números reales. La representación de cantidades numéricas, según ha quedado demostrada en estudios cognitivos, son importantes para el desarrollo del conocimiento numérico y precursores del éxito académico de los niños.

Continúa con la exposición sobre un estudio de Stanford con niños de 8 a 14 años, que muestra que, a medida que los niños crecen, desarrollan parte de la vía óptica ventral, mostrada en color naranja en la figura 14. El cerebro se vuelve más sensible y especializado en la representación visual de números. El estudio también expone una importante y creciente interacción entre las dos vías visuales, ventral y dorsal. Esto indica que, conforme los niños aprenden y se desarrollan, el cerebro se vuelve más interactivo, conectando el procesamiento visual de las formas simbólicas de los números, con el conocimiento visión de

cierta cantidad, como una matriz de puntos o cualquier otra representación visual. Destaca también que diferentes áreas del cerebro están involucradas cuando pensamos matemáticamente, incluso las redes frontales (en rojo y púrpura), el lóbulo temporal medio y sobre todo el hipocampo, la zona en forma de herradura (en rojo).

Las bases neurobiológicas del proceso cognitivo matemático implican una comunicación complicada y dinámica entre el sistema cerebral de la memoria, el control y la detección y el proceso visual de las regiones del cerebro.

Figura 14. Cerebro. Fuente: Boaler, s.f.

El estudio, expuesto por Boaler (s.f) pone de manifiesto que se debe fomentar el aprendizaje visual de los estudiantes y sustituir la idea de que los buenos estudiantes de matemáticas son los que memorizan y calculan.

Joubert (2008) señala que las experiencias con el software de geometría dinámica ayudan a la comprensión en los razonamientos de las matemáticas y colaboran a que el aprendizaje de los mismos sea más significativo. Mediante las imágenes que nos muestra un ordenador se favorece que los alumnos puedan compartir esquemas mentales, patrones y formas de trabajo que hasta el momento estaban tan solo en la mente de cada individuo. Se podrá trabajar no solo con imágenes estáticas, como las mostradas por los libros de texto que nos proporcionan “una información elaborada por un emisor con un material […] que se ordena según una estructura y un punto de vista, y haciendo uso de un código y unos recursos expresivos” (Hernández, 1990, 17), sino también con otras nuevas, dinámicas, que se podrán parar, volver a poner en movimiento…

mejorando la capacidad de pensar de cada discente (Hernández, 1990).

El propio Arquímedes (citado por García y Bertrán, 1988, p.6), en una carta dirigida a Eratóstenes comenta:

Muchas cosas que me han resultado claras mediante la mecánica han sido más tarde demostradas por la geometría, pues el tratamiento con el método mecánico no estaba basado todavía en una demostración. Es más fácil, en efecto, determinar la demostración, cuando previamente se ha llegado con el método mecánico a una representación de los problemas en examen, que encontrarla sin tal representación preliminar.

Rosich, Nuñez y Fernández (1996) señalan que la falta de visión no hace imposible el estudio de las matemáticas, pero es claro que presenta dificultades en el ritmo de trabajo, de adquisición de los conocimientos pues ha quedado demostrado, por estudios llevados a cabo por el equipo de la profesora Hatwell (escuela piagetiana de Paris) o Rosas y Ochaítia (España), que el desarrollo psicológico del niño ciego, por ejemplo, produce un retraso en la adquisición de experiencias lógico matemáticas. Continuando con el trabajo de Rosich et al.

(1996), exponemos que aunque no todos los entendidos abogan por la necesidad de introducir en la enseñanza de las matemáticas representaciones gráficas, la justificación, para aquellos que no consideran las imágenes necesarias, se basa en la existencia de los distintos campos de esta ciencia antes de las mismas (por ejemplo del análisis antes de las representaciones cartesiana, de la teoría de conjuntos sin los diagramas de Venn…). Se ha de resaltar, según dichos autores, que son cada vez más los profesores que constatan que muchas de las dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas se encuentran por carecer de representaciones graficas ejemplarizantes, claras y precisas.

En la línea de dichas investigaciones, sorprende que la representación gráfica no sea un concepto nuevo pues, ya los griegos, aún sin poder demostrar que fueran los primeros, la usaban con fines pedagógicos. Fueron los maestros helenísticos los que les dieron mayor protagonismo a la representación, fundamentalmente en la rama de la geometría, para poder enseñar las matemáticas apoyándose en la visual. Siendo ésta el soporte de razonamiento y el vehículo usado para la transmisión de conocimientos, generalizando y unificando métodos y reglas por medio de estudios como los de Thales, Pitágoras y Ptolomeo. Esta línea de representaciones no cayó muerta, sino todo lo contrario. Las ciencias han evolucionado junto a las representaciones gráficas de las mismas, destacando de manera especial el campo de la geometría.

Arquímedes desarrolló la representación vectorial de fuerzas y por tanto, de los fenómenos mecánicos. En el siglo XVIII fue Fermat, a partir de las ideas de Apolonio sobre cónicas, quien logró conectar la geometría y el álgebra creando una forma de representación de relaciones abstractas por medio de una estructura visual bidimensional que luego fue mejorada por Descartes. También en ese mismo siglo Euler aportó por medio de cuerdas la representación de manera visual de conceptos del lenguaje cotidiano sobre relaciones lógicas, puntos, curvas, conjuntos… Esto hizo que Venn Pierce tuviera la base para desarrollar los razonamientos por diagramas estrechando la fina línea que hay entre matemáticas y lógica. Se podría también hablar, por señalar más ideas, del uso de las flechas para el concepto lógico de implicación. Todo lo expuesto (Rosich et al. 1996) deja patente la creación, no solo de un lenguaje gráfico matemático, sino del potencial que siempre han tenido las representaciones visuales para el entendimiento de las matemáticas.

Como indicaba Eisenberg (1994), la enseñanza de las matemáticas y las distintas tendencias educativas, pueden ser las responsables de que los alumnos vean tan alejada esta materia de las representaciones y no logren hacerse esquemas visuales de los conceptos que estudian. Siempre se deberá tener presente que “comprender algo no significa asimilarlo dentro de un esquema adecuado” (Skemp, 1980, p.50).

España ha pasado y está pasando por distintas reformas educativas pero no es hasta 1991 cuando se recoge de manera explícita, en el Diseño

Curricular Base, el papel primordial que tiene el lenguaje gráfico-geométrico. No siendo solo un medio didáctico, sino un objetivo y contenido:

Puede afirmarse sin miedo que la formulaciones lenguaje, expresión o representación gráfica, representación funcional, etc… son sin duda más abundantes y comunes a todos los bloques temáticos. […] Las referencias al lenguaje gráfico las encontramos tanto al referirse a la Geometría como al Azar, a la Estadística como al Álgebra y al Análisis, también en los dominios numéricos. […] Hay pues que estar dispuestos a enarbolar el lenguaje gráfico-geométrico como útil matemático y/o didáctico de primera magnitud. Deberíamos convencernos de que el dibujo , la presentación gráfica del tipo que sea, es, no ya uno de entre los lenguajes posibles, sino quizás el genuino de la clase Matemáticas;

más claro y adecuado que la lengua natural –hablada o escrita- y la expresión simbólica-matemática, más cómodo, asequible y rápido que el de los comportamientos físicos. Sentirnos proclives al dibujo, y transmitir este hábito a nuestros alumnos. Sentirnos extraños tras una sesión de clase en la que no se hayan producido representaciones o esquemas.

(Rosich et al. 1996, p.148)