Defini¸c˜ao 3.1.47. Seja um subespa¸co fechado F de um espa¸co de Banach (E,||.||), di- zemos que um subespa¸co vetorial G de E ´e suplementar topol´ogico de F se tivermos que: (i) G ´e fechado em (E,||.||) , (ii) F ⊕ G = E.
Proposi¸c˜ao 3.1.48. Todo subespa¸co F de dimens˜ao finita de (E,||.||) espa¸co de Banach admite suplementar topol´ogico (via Teorema de Hahn-Banach),i.e., existe G subespa¸co fechado de (E,||.||) tal que F ⊕ G = E.
Demonstra¸c˜ao: Como F ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita com a norma induzida, temos que F ´e um espa¸co de Banach com a norma induzida, logo F ´e um subespa¸co fechado de E. Assim, F ´e um espa¸co de Banach de dimens˜ao finita com a norma induzida de E.
Seja{e1, ..., en} base de F , considere e∗i : F → R dada por ei∗(x) = xi, onde x =Pni=1xiei segue que e∗
i(ej) = δij em que δij ´e o delta de Dirac. Note que e∗i ´e cont´ınua e linear logo e∗
i ∈ F′ =B(F, R).
Como F ´e subespa¸co de E e e∗
i ∈ F′ pelo Teorema de Hahn-Banach 3.1.24 existe extens˜ao linear e∗
i : E → R tal que e∗i|F = e∗i em que e∗i ∈ E′. Sem risco de confus˜ao, iremos escrever e∗
i em vez de e∗i. Defina G = Tn
i=1(e∗i)−1{0} que ´e um subespa¸co fechado, pois ´e a intersec¸c˜ao finita de fechados, pois cada e∗
i : E → R ´e cont´ınua.
Note que F ∩ G = {0}. De fato, seja x ∈ F ∩ G temos que x ∈ G, assim x =Pn i=1xiei
agora e∗
i(x) = xi = 0 para todo i∈ {1, ..., n} logo x = 0. Seja x∈ E, escrevendo
x = (x−Pn
i=1e∗i(x)ei) +Pni=1e∗i(x)ei temos que (x−Pn
i=1e∗i(x)ei)∈ G e Pni=1e∗i(x)ei ∈ F , e portanto E = F ⊕ G. (Espa¸co quociente) Sejam (E,||.||) espa¸co de Banach, e F ⊆ E subespa¸co de E. Dados x, y ∈ E, dizemos que x ∼ y se x − y ∈ F , definindo assim [x] = {y ∈ E : x ∼ y}.
Definimos E/F :={[x] : x ∈ E} como o espa¸co quociente. Mostra-se que ∼ ´e rela¸c˜ao de equivalˆencia, como tamb´em que [x] + [y] = [x + y] e λ[x] = [λx] para K ∋ λ 6= 0, e portanto E/F ´e espa¸co vetorial. Quando F ´e fechado, definindo||[x]||E/F :=dist(x, F ) = infy∈F{||x − y||}, temos que E/F ´e espa¸co de Banach.
Proposi¸c˜ao 3.1.49. Seja (E,||.||) espa¸co vetorial de Bancah com F ⊆ E subespa¸co vetorial . Ent˜ao
(i) existe subespa¸co vetorial G de E tal que E = F ⊕ G
(ii) E para todo G⊆ X subespa¸co tal que G satisfaz (i) temos que G ∼= E/F (via bije¸c˜ao linear).
Demonstra¸c˜ao: A partir da base de F completamos a base com vetores L.I. at´e a cardi- naliadade da base de E. Naturalmente, o conjunto G ´e o subespa¸co gerado pelos vetores L.I. que n˜ao est˜ao em F , assim E = F ⊕ G. O que prova (i).
(ii) Seja G ⊆ X subespa¸co tal que E = F ⊕ G. Para termos que G ∼= E/F considere φ : G→ E/F dada por x 7→ [x] que ´e bijetiva e linear. Vejamos:
(Injetora) Sejam x, y ∈ G com φ(x) = φ(y), segue que [x] = [y], e portanto x ∼ y, da´ı x− y ∈ F . Mas x, y ∈ G subespa¸co vetorial de E, logo x − y ∈ G, e portanto x− y ∈ G ∩ F = {0}, donde x = y. Da´ı φ ´e injetora, como desejado.
(Sobrejetora) Seja [z]∈ E/F com z ∈ E. Assim, z = zg+ zf com zg ∈ G e zf ∈ F logo z− zg ∈ F , segue que [zg] = [z], e temos o desejado, pois φ(zg) = [zg], e portanto φ ´e sobrejetora.
(Linear) Sejam x, y∈ G e λ ∈ K, assim φ(x + λy) = [x + λy] = [x] + λ[y] = φ(x) + λφ(y), e φ ´e linear.
Corol´ario 3.1.50. Seja (E,||.||) espa¸co vetorial de Bancah com F ⊆ E subespa¸co vetorial fechado. Ent˜ao
(i) existe subespa¸co vetorial G de E tal que E = F ⊕ G
(ii) E para todo G⊆ X subespa¸co tal que G satisfaz (i) temos que G ∼= E/F (via bije¸c˜ao linear cont´ınua).
Demonstra¸c˜ao: Como F ´e fechado, temos que a norma de E/F dada pela seguinte express˜ao||[x]||E/F :=dist(x, F ) est´a bem definida, donde E/F ´e espa¸co de Banach. Pela demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.1.49 temos que existe conjunto G de E tal que E = F⊕ G e φ : G→ E/F dada por x 7→ [x] ´e bijetiva e linear.
(Continuidade) Para todo x em G temos que
||φ(x)||E/F = ||[x]||E/F :=dist(x, F ) = infy∈F{||x − y||} ≤ ||x − 0|| = ||x||. O que prova que φ ´e cont´ınua.
Assim, φ ´e bijetiva, linear e cont´ınua, como quer´ıamos.
Corol´ario 3.1.51. Seja (E,||.||) espa¸co vetorial de Bancah com F ⊆ E subespa¸co vetorial tal que dim(E/F ) <∞ ( a dimens˜ao de E/F ´e finita). Ent˜ao existe subespa¸co vetorial fechado de dimens˜ao finita G em E tal que E = F ⊕ G e G ∼= E/F (via bije¸c˜ao linear) Demonstra¸c˜ao: Lembre que E/F ´e sempre espa¸co vetorial, independente de F ser fe- chado ou n˜ao. Pela proposi¸c˜ao 3.1.49 existe G subespa¸co de E tal que E = F ⊕ G e φ : G→ E/F dada por x 7→ [x] ´e bijetiva e linear.
Pela bije¸c˜ao linear uma vez que a dimens˜ao de (E/F ) ´e finita, temos que a dimens˜ao de G tamb´em ´e finita. Assim, G ´e um subespa¸co vetorial de dimen˜ao finita, logo G ´e um espa¸co de Banach e G ´e fechado em E.
O resultado anterior tamb´em prova que
Corol´ario 3.1.52. Seja (E,||.||) espa¸co vetorial de Bancah com F ⊆ E subespa¸co vetorial de dimens˜ao finita tal que dim(E/F ) <∞ ( a dimens˜ao de E/F ´e finita). Ent˜ao E ´e um espa¸co de Banach de dimens˜ao finita.
Observa¸c˜ao 3.1.53. Seja X um espa¸co de Banach, e M um subespa¸co de X, se dim X/M < ∞ n˜ao podemos garantir que M seja fechado. De fato, seja f : X → K um funcio- nal linear e n˜ao-cont´ınuo ent˜ao ker(f ) n˜ao ´e fechado, e seja H subespa¸co de X tal que X = ker(f )⊕ H. Note que dim H = 1, assim H ∼= X/ ker(f ) (via bije¸c˜ao linear), e portanto dim X/ ker(f ) = 1 <∞. Tomando M = ker(f) temos o desejado.
Veremos que para operadores lineares, a resposta ´e sempre positiva, i.e., iremos mostrar que se T ∈ B(X, Y ) e dim(Y/Im(T )) < ∞ ent˜ao Im(T ) ´e fechado.
Lema 3.1.54. Seja T ∈ B(X, Y ), definimos ||.||T uma norma para Im(T ) dada por ||y||T =||y|| + ||[x]|| em que y = T (x) e [x] ∈ X/ ker(T ). Ent˜ao ||.||T est´a bem definida e (Im(T ),||.||T) ´e espa¸co de Banach.
Demonstra¸c˜ao: (Bem definida) Tome y ∈ Im(T ) e sejam x, w ∈ X tais que T (x) = y = T (w). Segue que T (x− w) = 0, logo x − w ∈ ker(T ), donde [x] = [w], e portanto ||.||T est´a bem definida.
(Completude) Seja (yn)n≥1 sequˆencia de Cauchy em (Im(T ),||.||T), assim
||yn− ym||T =||yn− ym|| + ||[yn− ym]|| = ||yn− ym|| + ||[xn]− [xm]|| em que T (xn) = yn Donde (yn)n≥1 ´e sequˆencia de Cauchy em (Y,||.||) e ([xn])n≥1 ´e sequˆencia de Cauchy em (X/ ker(T ),||.||), assim existem y ∈ Y e x ∈ X tais que yn → y e [xn] → [x] quando n tende ao infinito. Logo
lim
n→∞[xn] = [x]⇔ limn→∞||[xn]− [x]|| = 0 lim
n→∞||[xn]− [x]|| = 0 ⇔ limn→∞||[xn− x]|| = 0 = limn→∞dist(xn− x, ker(T )) = 0 Temos que lim
n→∞dist(xn− x, ker(T )) = 0. Dado k ∈ N existe nk tal que para nk > nk temos que dist(xnk − x, ker(T )) <
1
k. Por defini¸c˜ao de ´ınfimo, existe zk ∈ ker(T ) tal que dist(xnk− x, zk) <
1
k, i.e., ||xnk− x − zk|| < 1
k. Defina wk := xnk − x − zk, logo wk →k0.
Por continuidade de T , temos que T (wk)→k0, assim lim
k→∞T (wk) = limk→∞T (xnk− x − zk) = limk→∞T (xnk)− T (x) = 0 Portanto lim
k→∞T (xnk) = T (x), mas yn → y e T (xn) = yn, da´ı T (xn) → y. Por unicidade do limite, temos que T (x) = y ∈ Im(T ), e portanto (Im(T ), ||.||T) ´e espa¸co de Banach.
Proposi¸c˜ao 3.1.55. Seja T ∈ B(X, Y ) com X e Y espa¸cos de Banach. Se dim(Y/Im(T )) ´e finita ent˜ao Im(T ) ´e fechado em Y .
Demonstra¸c˜ao: Temos que Y = Im(T )⊕ F em que F ∼= Y /Im(T ) (via bije¸c˜ao linear), segue que F ´e finito, e portanto F ´e fechado. Disso segue que (Y /F,||.||E/F) ´e espa¸co de Banach. Defina φ : (Im(T ),||.||T)→ (Y/F, ||.||E/F) dada por φ(y) := [y].
Afirma¸c˜ao: φ : (Im(T ),||.||T)→ (Y/F, ||.||E/F) ´e cont´ınua, linear e bijetiva.
e φ ´e linear.
(Continuidade) Dado y ∈ Im(T ), existe x ∈ X tal que T (x) = y, da´ı ||φ(y)|| = ||[y]|| = dist(y, F )≤ ||y|| pois 0 ∈ F . Agora, ||y|| ≤ ||y|| + ||[x]|| = ||y||T, logo||y|| ≤ ||y||T, segue que||φ(y)|| ≤ ||y||T, donde φ ´e cont´ınua, e temos o desejado.
(Injetiva) Sejam y, z ∈ Im(T ) com φ(y) = φ(z), portanto [y] = [z], e assim y−z ∈ F . Mas y, z ∈ Im(T ), logo y −z ∈ Im(T ), pois Im(T ) ´e subespa¸co, logo y −z ∈ Im(T )∩F = {0}, e portanto y = z, e φ ´e injetiva.
(Sobrejetividade) Seja [y] ∈ Y/F onde y ∈ Y . Como Y = Im(T ) ⊕ F , temos que y = yi+ yf em que yi ∈ Im(T ) e yf ∈ F , da´ı y − yi ∈ F , e portanto [y] = [yi] = φ(yi), e φ ´e sobrejetora.
Afirma¸c˜ao: ||.|| e ||.||T s˜ao equivalentes em Im(T )
Como φ : (Im(T ),||.||T) → (Y/F, ||.||E/F) ´e linear, cont´ınua e bijetiva entre dois espa¸cos de Banach, segue que φ−1 existe, ´e linear e cont´ınua (pelo teorema da aplica¸c˜ao aberta). Assim, existe c > 0 tal que para todo [y] ∈ Y/F , temos que ||φ−1([y])|| ≤ c||[y]||, agora [y] = φ(y), da´ı||y||T ≤ c||φ(y)|| = c||[y]|| ≤ c||y||. Assim, ||y||T ≤ c||y||, e como j´a temos que ||y|| ≤ ||y||T, segue que ||.|| e ||.||T s˜ao equivalentes em Im(T ), o que prova a afirma¸c˜ao.
Pelo lema sabemos que Im(T ) ´e completo com a norma||.||T, segue que Im(T ) ´e completo
com ||.||, e portanto fechado em Y , o que termina a prova.
Corol´ario 3.1.56. Seja T ∈ B(X, Y ) com X e Y espa¸cos de Banach. Se existe G subespa¸co finito de Y tal que G⊕ Im(T ) = Y ent˜ao Im(T ) ´e fechada.
Demonstra¸c˜ao: Como G⊕ Im(T ) = Y temos pela proposi¸c˜ao 3.1.49 que G ∼= Y /Im(T ) (via bije¸c˜ao linear) logo Y /Im(T ) possui dimens˜ao finita. Pelo teorema anterior temos
que Im(T ) ´e fechado em Y .
Fato 3.1.57. Seja T : X → Y um homeomorfismo linear, ent˜ao ˆT : X′ → Y′ ´e um homeomorfismo linear.
Demonstra¸c˜ao: Defina ˆT (f ) = f◦T−1 e ( ˆT )−1(g) = g◦T pela continuidade e linearidade de T e T−1 temos que ˆT ´e um homeomorfismo linear.
Observa¸c˜ao 3.1.58. Dado um operador T : X → Y operador linear e cont´ınuo entre X e Y espa¸cos de Banach, sempre existem G e H subespa¸cos de X e Y respectivamente
tais que G ∼= X/ ker(T ) (via bije¸c˜ao linear) e H ∼= Y /Im(T ) (via bije¸c˜ao linear) com X = ker(T )⊕ G e Y = Im(T ) ⊕ H. E sempre temos que T |G : G → Im(T ) ´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua, e portanto X/ ker(T ) ∼= Im(T ) (via bije¸c˜ao linear cont´ınua). Mais explicitamente, φ : X/ ker(T ) → Im(T ) dada por φ([x]) = T (x) ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua e linear. Se Im(T ) ´e fechada, temos que Im(T ) ´e um espa¸co de Banach, e segue do Teorema da aplica¸c˜ao aberta que φ ´e um homeomorfismo linear. Pelo fato, temos que
ˆ
φ : (X/ ker(T ))′ → Im(T )′ ´e um homeomorfismo linear, i.e., (X/ ker(T ))′ ∼= Im(T )′ (via homeomorfismo linear).
Em geral, contudo n˜ao podemos pedir que G e H sejam fechados. Vejamos quando isso acontece:
Proposi¸c˜ao 3.1.59. Seja T : X → Y operador linear e cont´ınuo entre X e Y espa¸cos de Banach. Suponha que dim ker(T ) <∞ e dim Y/Im(T ) < ∞ ent˜ao X = ker(T ) ⊕ G e Y = Im(T )⊕H com ker(T ), G, H, Im(T ) subespa¸cos fechados em que H possui dimens˜ao finita e T|G: G→ Im(T ) ´e um homeomorfismo linear.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que dim ker(T ) <∞, pela proposi¸c˜ao 3.1.48, temos que existe subespa¸co fechado G em X tal que ker(T )⊕ G = X. Segue que T |G : G → Y ´e linear e cont´ınua.
Afirma¸c˜ao: T|G : G→ Y ´e injetiva
Sejam x, y ∈ G e suponha que T (x) = T (y), temos que T (x − y) = 0, donde segue x− y ∈ ker(T ). Como G ´e subespa¸co, temos tamb´em que x − y ∈ G, obtemos assim que x− y ∈ ker(T ) ∩ G = {0}, e portanto x = y. Temos que T |G´e injetiva, e vale a afirma¸c˜ao.
Obtemos que T|G : G→ T (G) ´e um bije¸c˜ao linear cont´ınua. Suponha que dim Y/Im(T ) < ∞ ent˜ao Im(T ) ´e subespa¸co fechado de Y . Segue do corol´ario 3.1.51 que existe subespa¸co vetorial fechado de dimens˜ao finita H em Y tal que Y = Im(T )⊕ H e H ∼= Y /Im(T ) (via bije¸c˜ao linear). Como T (G) = Im(T ) ´e fechado em Y , e G ´e fechado em X, temos que T (G) e G s˜ao espa¸cos de Banach, como TG ´e sobrejetora, segue que T|G ´e aberta, pelo teorema da aplica¸c˜ao aberta. Assim, T|G : G→ T (G) ´e um homeomorfismo linear. Assim, ker(T )⊕ G = X e T |G : G → T (G) ´e um homeomorfismo linear, e temos o
desejado.
Defini¸c˜ao 3.1.60. Um operador T : X → Y linear e cont´ınuo possui posto finito (ou contradom´ınio finito) se dim Im(T ) = dim T (X) <∞.
Corol´ario 3.1.61. Seja T : X → Y operador linear e cont´ınuo entre X e Y espa¸cos de Banach tal que dim ker(T ) <∞ e dim Y/Im(T ) < ∞. Ent˜ao Im(T ) = T (X) ´e fechado em Y e as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) dim X <∞
(ii) T possui posto finito (iii) dim Y <∞
Demonstra¸c˜ao: (i) ⇔ (ii) Pela proposi¸c˜ao temos que X = ker(T ) ⊕ G e T |G : G → Im(T ) ´e um homeomorfismo linear. Segue que dim G = dim T (G) = dim Im(T ). Como dim ker(T ) < ∞ obtemos a seguinte equivalˆencia dim G < ∞ ⇔ dim X < ∞. Da´ı dim Im(T ) <∞ ⇔ dim X < ∞, como desejado.
(ii)⇔ (iii) Mas Y = Im(T ) ⊕ H em que H possui dimens˜ao finita ent˜ao vale a seguinte equivalˆencia: dim Im(T ) <∞ ⇔ dim Y < ∞, como quer´ıamos.