2.3.1
Homotopias e Isotopias
Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Duas fun¸c˜oes f, g : X → Y dizem-se homot´opicas quando existir uma fun¸c˜ao cont´ınua F com
F : X× [0, 1] → Y tal que F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x) para todo x ∈ X.
Neste caso, F chama-se uma homotopia entre f e g. Para indicar que f ´e homot´opica a g escrevemos f ≃ g.
Quando a F for suave dizemos que f e g s˜ao suavemente homot´opicas e F ´e chamada de homotopia suave.
Seja YX o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas de X em Y .
Proposi¸c˜ao 2.3.1. A rela¸c˜ao de homotopia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em YX. Demonstra¸c˜ao: Devemos verificar que
(i) (Reflexividade) para toda f ∈ YX temos que f ≃ f. (ii) (Simetria) Sejam f, g ∈ YX. Se f ≃ g ent˜ao g ≃ f.
(i) Seja f ∈ YX cont´ınua. Definimos F : X × [0, 1] → Y como F (x, t) = f(x) para todo x∈ X e t ∈ [0, 1], segue que F ´e uma homotopia entre f e f.
(ii) Seja F : X× [0, 1] → Y a homotopia entre f e g, definimos G : X × [0, 1] → Y como G(x, t) = F (x, 1− t), assim G ´e tamb´em cont´ınua. Note que G(x, 0) = F (x, 1) = g(x) e G(x, 1) = F (x, 0) = f (x) logo G ´e uma homopotia entre g e f .
(iii) Suponha que f ≃ g e g ≃ h com F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g, e G : X×[0, 1] → Y a homotopia entre g e h. Considere uma fun¸c˜ao suave φ : [0, 1] → [0, 1] com
φ(t) = 0 se t∈ [0,1 3] φ(t) = 1 se t∈ [2
3, 1]
Consideremos ˜F (x, t) := F (x, φ(t)) que ´e cont´ınua. Observe que ˜F ´e uma homotopia entre f e g pois: ˜ F (x, t) := F (x, φ(t)) = f (x) se t ∈ [0,1 3] ˜ F (x, t) := F (x, φ(t)) = g(x) se t∈ [2 3, 1] Note que ˜F (x, 2t) = g(x) se t∈ [1 3, 1 2].
De modo an´alogo, tomamos ˜G(x, t) := G(x, φ(t)) que ´e cont´ınua. Observe que ˜G ´e uma homotopia entre g e h pois:
˜ G(x, t) := G(x, φ(t)) = g(x) se t∈ [0, 1 3] ˜ G(x, t) := G(x, φ(t)) = h(x) se t∈ [2 3, 1] Note que ˜G(x, 2t− 1) = g(x) se t ∈ [1 2, 2 3]. Definimos agora H : X× [0, 1] → Y como
H(x, t) = ˜F (x, 2t) se t∈ [0,1 2] H(x, t) = ˜G(x, 2t− 1) se t ∈ [1
2, 1] Note que H ´e cont´ınua, H(x, t) = g(x) para t∈ [1
3, 2
3], H(x, 0) = ˜F (x, 0) := F (x, 0) = f (x) e H(x, 1) = ˜G(x, 1) := G(x, 1) = h(x) portanto H ´e uma homotopia entre f e h, temos o
desejado.
Observa¸c˜ao 2.3.2. A demonstra¸c˜ao anterior tamb´em prova que a rela¸c˜ao das homotopias suaves tamb´em ´e de equivalˆencia.
Defini¸c˜ao 2.3.3. Duas fun¸c˜oes f, g : X → Y s˜ao ditas isot´opicas se existir uma homo- topia suave F : X× [0, 1] → Y tal que para cada t ∈ [0, 1] temos que Ft : X → Y dada por Ft(x) = F (x, t) ´e um difeomorfismo. Denotamos por f ∼= g.
Segue da defini¸c˜ao que se f e g s˜ao isot´opicas temos que f e g s˜ao difeomorfismos. Pode-se mostrar tamb´em que a rela¸c˜ao ∼= de isotopia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Proposi¸c˜ao 2.3.4. Sejam X, Y e Z espa¸cos topol´ogicos com f, f′ : X → Y fun¸c˜oes e g, g′ : Y → Z fun¸c˜oes.
Se f ´e suavemente homot´opica a f′ e g ´e suavemente homot´opica a g′ ent˜ao g ◦ f ´e suavemente homot´opica a g′◦ f′.
Resultado an´alogo vale no caso em que as fun¸c˜oes s˜ao isot´opicas.
Demonstra¸c˜ao: Sejam F : X×[0, 1] → Y homotopia suave entre f e f′, G : Y ×[0, 1] → Z homotopia suave entre g e g′. Defina H : X × [0, 1] → Z como H(x, t) = G(F (x, t), t). Note que H ´e suave, e temos que H(x, 0) = G(F (x, 0), 0) = G(f (x), 0) = g(f (x)) = (g◦ f)(x) e H(x, 1) = G(F (x, 1), 1) = G(f′(x), 1) = g′(f′(x)) = (g′ ◦ f′)(x). Assim H ´e uma homotopia suave entre g◦ f e g′◦ f′.
No caso suavemente isot´opico, consideremos o que fizemos acima e suponha agora que Ft : X → Y e Gt : Y → Z s˜ao difeomorfismos para todo t ∈ [0, 1] onde Ft(x) = F (x, t) e Gt(x) = G(x, t). Fixe t ∈ [0, 1] e considere Ht(x) = H(x, t), note que H(x, t) = G(F (x, t), t) = G(Ft(x), t) = Gt(Ft(x)) = (Gt◦ Ft)(x), assim Ht(·) ´e um difeomorfismo,
pois ´e a composi¸c˜ao de difeomorfismos, e temos o desejado.
Lembre que Bn+1={x ∈ Rn+1:|x| ≤ 1}.
Proposi¸c˜ao 2.3.5. Seja X espa¸co topol´ogico qualquer. Uma fun¸c˜ao cont´ınua f :Sn→ X admite uma extens˜ao cont´ınua f : Bn+1 → X se, e somente se, f ´e homot´opica a uma fun¸c˜ao constante Sn → c, com c ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Se f admite uma extens˜ao cont´ınua f : Bn+1 → X ent˜ao a aplica¸c˜ao F :Sn× [0, 1] → X definida como F (x, t) = f(tx) ´e cont´ınua e constitui uma homotopia entre f e a aplica¸c˜ao constanteSn → c onde c = f(0).
Suponha agora que f ´e homot´opica a uma fun¸c˜ao constante Sn → c, com c ∈ X. Seja F :Sn× [0, 1] → X essa homotopia, definimos f : Bn+1→ X como f(x) = F (x
|x|, 1− |x|) se 06= x ∈ Bn+1 e f (0) = c, assim f ´e cont´ınua e estende f . Vejamos alguns exemplos:
Fato 2.3.6. Seja X espa¸co topol´ogico qualquer com f, g : X → Rn cont´ınuas. Ent˜ao as aplica¸c˜oes f e g s˜ao homot´opicas.
Demonstra¸c˜ao: Basta definir F : X × [0, 1] → Rn como F (x, t) = (1− t)f(x) + tg(x). Segue que F ´e cont´ınua e que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x). Assim F ´e uma homotopia
entre f e g.
Proposi¸c˜ao 2.3.7. Seja X espa¸co topol´ogico qualquer com f : X → Sn cont´ınua n˜ao- sobrejetora onde Sn ´e a esfera n-dimensional. Ent˜ao f ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao constante de X → q ∈ Sn.
Demonstra¸c˜ao: Como f n˜ao ´e sobrejetora, existe p ∈ Sn tal que p /∈ f(X). Seja q a ant´ıpoda do ponto p. Ent˜ao qualquer que seja y∈ Sn\ {p} temos que o segmento de reta qy n˜ao cont´em a origem 0∈ Sn. Como f (x) ∈ Snsegue que o ponto qt+(1−t)f(x) ∈ qf(x) ´e distinto da origem para todo t∈ [0, 1].
Definimos F : X× [0, 1] → Sn como F (x, t) = qt+(1−t)f(x)
|qt+(1−t)f(x)| cont´ınua. Note que F (x, 0) = f (x)
|f(x)| = f (x) pois f (x) ∈ Sn e F (x, 1) = q
|q| = q pois q ∈ Sn, assim F ´e uma homotopia
entre f e a fun¸c˜ao constante X → q ∈ Sn.
Proposi¸c˜ao 2.3.8. Sejam f, g : X → Sn aplica¸c˜oes suaves tais que f (x) 6= −g(x) para todo x∈ X. Ent˜ao as aplica¸c˜oes f e g s˜ao suavemente homot´opicas
Demonstra¸c˜ao: Afirmamos que f (x)t + (1− t)g(x) 6= 0 para todo x ∈ X e t ∈ [0, 1] onde 0∈ Rn.
De fato, tome x ∈ X fixo e arbitr´ario. Suponha, por absurdo, que exista t∗ ∈ [0, 1] tal que f (x)t∗+ (1− t∗)g(x) = 0 segue que
f (x)t∗ =−(1 − t∗)g(x) |f(x)t∗| = | − (1 − t∗)g(x)| t∗ = (1− t∗) pois f (x), g(x)∈ Sn e 0≤ t∗ ≤ 1. t∗ = 1/2 Mas f (x)t∗+ (1− t∗)g(x) = 0 da´ı f (x)1 2 + 1
2g(x) = 0 no que segue que f (x) =−g(x), o que ´e um absurdo pela hip´otese, e vale a afirma¸c˜ao.
Definimos F : X× [0, 1] → Sn como F (x, t) = f (x)t+(1−t)g(x)
|f(x)t+(1−t)g(x)|. Segue que F ´e cont´ınua , F (x, 0) = |g(x)|g(x) = g(x) e F (x, 1) = |f(x)|f (x) = f (x) pois g(x), f (x) ∈ Sn. Assim F ´e uma
2.3.2
Grau m´odulo 2
Proposi¸c˜ao 2.3.9. Sejam X e Y variedades suaves de mesma dimens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta com f, g : X → Y fun¸c˜oes suaves. Ent˜ao existe y ∈ Y tal que y ´e valor regular para f e g.
Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema de Sard, existe z valor regular de f em Y . Pela demons- tra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 1.4.14, existe V aberto tal que z ∈ V ⊆ Tr
i=1f (Ui) onde f|Ui ´e
um difeomorfismo com Ui vizinhan¸ca aberta de pi em X e f (Ui) = Vi aberto de Y com Ui’s dois-a-dois disjuntos. Onde vale que para todo w ∈ V ⊆ Tri=1f (Ui) temos que #f−1(w) = #f−1(z). Assim, todo ponto de V ´e valor regular para f .
Como V ´e aberto em Y pelo teorema de Sard existe y∈ V tal que y ´e valor regular para
g, logo y ´e um valor regular para f e g.
Proposi¸c˜ao 2.3.10. Sejam f, g : X → Y fun¸c˜oes suavemente homot´opicas entre varie- dades de mesma dimens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira.
Seja F : X× [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Ent˜ao vale que (i) Se y ´e valor regular de F ent˜ao #f−1(y)≡ #g−1(y) mod 2. (ii) Se z ´e valor regular de f e g ent˜ao #f−1(z)≡ #g−1(z) mod 2.
Demonstra¸c˜ao: Seja F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Como [0, 1] ´e uma variedade com bordo, segue da proposi¸c˜ao 1.4.17 que X × [0, 1] ´e uma variedade com bordo onde seu bordo ´e dado por ∂(X× [0, 1]) = X × {0} ∪ X × {1}.
(i) Suponha que y ´e valor regular de F . Segue que y tamb´em ´e valor regular para F|∂(X×[0,1]). Como F−1(y)⊆ X × [0, 1] ´e fechado, e X e [0, 1] s˜ao compactos, temos que X× [0, 1] ´e compacto, e segue que F−1(y) ´e compacto. Como X× [0, 1] ´e uma variedade com bordo, e y ´e valor regular para F e F|∂X×[0,1], pelo lema 1.4.16 temos que F−1(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional, logo F−1(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional compacta. Al´em disso:
∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂(X × [0, 1]) = F−1(y)∩ (X × {0} ∪ X × {1}) = = f−1(y)× {0} ∪ g−1(y)× {1}
Segue que #∂F−1(y) = #f−1(y) + #g−1(y). Como F−1(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional compacta pelo teorema 1.4.18 temos que F−1(y) possui um n´umero finito de componentes conexas homeomorfas a c´ırculos ou a intervalos fechados. Mas os extre- mos das componenetes conexas homeomorfas a intervalos fechados constituem o bordo ∂F−1(y). Da´ı ∂F−1(y) possui um n´umero par de pontos ent˜ao #f−1(y) e #g−1(y) s˜ao
finitos. Como #f−1(y) + #g−1(y) ´e um n´umero par segue que se #f−1(y) ´e par (´ımpar), temos que #g−1(y) ´e par (´ımpar). Assim, #f−1(y)≡ #g−1(y) mod 2 como desejado. (ii) Vimos na proposi¸c˜ao 2.3.9 que existe tal valor regular z. Suponha que z ´e valor regular de f e g. Se z ´e um valor regular de F pelo item (i) temos o desejado. Suponha que z n˜ao ´e um valor regular de F . Pela proposi¸c˜ao 1.4.14 existem V1 e V2 abertos de Y tais que para todo a em V1 temos que #f−1(a) = #f−1(z) e para todo b em V2 temos que #g−1(b) = #g−1(z). Segue que V
1∩ V2 ´e um aberto de Y , assim pelo teorema de Sard, existe y valor regular de F tal que y ∈ V1∩ V2. Segue do item (i) que #f−1(y)≡ #g−1(y) mod 2. Mas y∈ V1∩V2obtemos que #f−1(y) = #f−1(z) e #g−1(y) = #g−1(z). Obtemos
portanto que #f−1(z)≡ #g−1(z) mod 2, como desejado.
O lema a seguir ´e exatamente o item (ii) da proposi¸c˜ao anterior, destacamos ele abaixo por tradi¸c˜ao.
Lema 2.3.11. (de Homotopia)
Sejam f, g : X → Y fun¸c˜oes suavemente homot´opicas entre variedades de mesma di- mens˜ao, onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira. Se y ´e valor regular de f e g ent˜ao #f−1(y)≡ #g−1(y) mod 2.
Proposi¸c˜ao 2.3.12. Se z ∈ B(0, 1) ⊆ Rn ent˜ao existe um difeomorfismo ξ : Rn → Rn com ξ(0) = z tal que ξ ´e isot´opica `a identidade do Rn, Id
Rn.
Demonstra¸c˜ao: Existe uma fun¸c˜ao suave ψ :Rn → R tal que ψ(x) > 0 se x∈ B(0, 1)
ψ(x) = 0 se x /∈ B(0, 1)
Iremos considerar nossa ψ definida como ψ(x) = λ(1− ||x||2) onde λ(t) = 0 para t ≤ 0 e λ(t) = e−1
t para t > 0. Seja c ∈ Sn−1 fixo e arbitr´ario, e considere a E.D.O. x′(t) =
ψ(x(t))c. Como o campo ψ(·)c : Rn→ Rn´e limitado, temos que pelo teorema de existˆencia e unicidade, existe solu¸c˜ao x(t) para o problema de Cauchy dada por x′(t) = ψ(x(t))c e x(0) = x0 qualquer que seja x0 ∈ Rn, e al´em disso a solu¸c˜ao ´e global, ou seja, a solu¸c˜ao est´a definida para todo t∈ R.
Pelo teorema do fluxo local, podemos considerar o fluxo φc :R×Rn→ Rnsuave do campo ψ(·)c que possui as seguintes propriedades: φc
t :Rn → Rn ´e um difeomorfismo para todo t ∈ R, e φc
t+s = φct ◦ φcs. Observe que a fun¸c˜ao φ0c :Rn → Rn ´e a identidade do Rn, pois φc(0, x) = x.
segue que G ´e suave. Note que G(x, 0) = φc(0, x) = x = Id
Rn(x) e G(x, 1) = φc(t, x),
assim G ´e uma homotopia suave entre φc
t e a identidade do Rn, mas como φcr : Rn→ Rn ´e um difeomorfismo para todo r∈ R, temos que φc
t ´e isot´opica a identidade do Rn. Pelo teorema de existˆencia e unicidade, para cada c∈ Sn−1existe uma trajet´oria do campo φc que passa por z ∈ B(0, 1). Devido a simetria da esfera, existe d ∈ Sn−1 e t∗ ∈ R tal que φd(t∗, 0) = z. Pelo par´agrafo anterior, temos que φd(t∗,·) ´e isot´opica a identidade do
Rn, e temos o desejado.
Lema 2.3.13. (de Homogeneidade)
Sejam y e z pontos arbitr´arios no interior de uma variedade suave e conexa Y . Ent˜ao existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z que ´e isot´opica a identidade.
Demonstra¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao (1) : Seja a um elemento fixo e arbitr´ario da variedade Y ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de a tal que para todo a′ ∈ V existe um difeomorfismo g com g(a) = a′ que ´e isot´opica a identidade.
De fato, seja a ∈ N, como Y ´e suave existe U vizinhan¸ca aberta de a em Y tal que h : U → Rn ´e um difeomorfismo. Sem perda de generalidade podemos supor h(a) = 0. Seja V = h−1(B(0, 1)) aberto em U , como U ´e aberto em Y , temos que V ´e aberto em Y .
Seja a′ ∈ V fixo e arbitr´ario segue que h(a′) ∈ B(0, 1). Pela proposi¸c˜ao anterior, temos que existe ξ : Rn → Rn tal que ξ(0) = h(a′) tal que ξ ´e isot´opica a identidade do Rn, ξ ∼= Id.
Agora, lembre que h(a) = 0, assim ξ(h(a)) = ξ(0) = h(a′)
(h−1◦ ξ ◦ h)(a) = a′
Mas ξ ∼= Id, h ∼= h e h−1 ∼= h−1 segue da proposi¸c˜ao 2.3.4 que h−1◦ ξ ◦ h ∼= h−1◦ h = Id. Definindo g := h−1◦ ξ ◦ h, pelo que fizemos acima temos que g(a) = a′ e g ∼= Id. Por fim, g ´e um difeomorfismo pois ´e a composi¸c˜ao de difeomorfismos, e vale a afirma¸c˜ao.
Dizemos que w1 e w2 pontos de Y s˜ao pontos isot´opicos se existe g difeomorfismo com g(w1) = w2 tal que g ´e isot´opica a identidade, g ∼= Id. Denotamos por w1 ∼ w2 quando w1 e w2 s˜ao pontos isot´opicos.
Afirma¸c˜ao (2): ∼ ´e rela¸c˜ao de equivalˆencia
(Simetria) Sejam w1 e w2 em Y com w1 ∼ w2, assim existe g difeomorfismo tal que g(w1) = w2 com g ∼= Id. Como g−1 ∼= g−1 segue da proposi¸c˜ao 2.3.4 que Id = g−1◦ g ∼= g−1◦ Id = g−1, e portanto Id ∼= g−1 mas g−1(w
2) = w1 e g−1 tamb´em ´e difeomorfismo, temos que w2 ∼ w1.
(Transitividade) Sejam w1,w2 e w3 em Y e suponha w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3. Assim existem g1 e g2 difeomorfismos tais que g1(w1) = w2 e g2(w2) = w3 com g1 ∼= Id e g2 ∼= Id. Pela proposi¸c˜ao 2.3.4 temos que g2 ◦ g1 ∼= Id◦ Id = Id, da´ı g2◦ g1 ∼= Id. Defina g := g2◦ g1 temos que g(w1) = w3 e g ´e um difeomorfismo portanto w1 ∼ w3 e temos o desejado. Vale a afirma¸c˜ao.
Assim ∼ quocienta Y em classes de equivalˆencias, digamos [w] := {x ∈ Y : x ∼ w}. Como Y ´e conexo basta mostrar a seguinte
Afirma¸c˜ao (3): [y] ´e um aberto fechado de Y .
([y] ´e aberto) Seja w∈ [y] fixo e arbitr´ario, temos que w ∼ y. Como w ∈ Y pela afirma¸c˜ao (1) temos que existe Vw aberto de Y tal que para todo w′ ∈ Vw temos que w′ ∼ w. Como w∼ y temos que w′ ∼ y para todo w′ ∈ V
w. Assim, w ∈ Vw ⊆ [y]. Como w foi tomado arbitrariamente temos que [y] ´e aberto.
([y] ´e fechado) Seja b ∈ [y] assim bn → b quando n → ∞ onde bn ∈ [y] logo bn ∼ y para todo n ∈ N. Pela afirma¸c˜ao (1) existe Vb aberto de Y tal que para todo b′ ∈ Vb temos que b′ ∼ b. Por defini¸c˜ao de convergˆencia, existe n
0 ∈ N tal que para n ≥ n0 temos que bn ∈ Vb, assim bn ∼ b. Como bn ∼ y temos que b ∼ y, e b ∈ [y]. Portanto [y] ´e fechado. Vale a afirma¸c˜ao.
Pela conexidade de Y , temos que Y = [y], e temos o desejado.
Teorema 2.3.14. Sejam f : X → Y fun¸c˜ao suave entre variedades de mesma dimens˜ao onde X ´e uma variedade compacta sem fronteira e Y conexo.
Se y e z s˜ao valores regulares de f ent˜ao #f−1(y)≡ #f−1(z) mod 2.
Essa classe de res´ıduo ´e denominada grau m´odulo 2 da fun¸c˜ao f denotamos como deg2f e depende apenas da classe de homotopia de f .
Demonstra¸c˜ao: Devemos mostrar que
(i) Se y e z s˜ao valores regulares de f ent˜ao #f−1(y)≡ #f−1(z) mod 2. (ii) Se f ´e homot´opica a g ent˜ao deg2f ≡ deg2g mod 2.
(i) Sejam y e z valores regulares de f . Pelo lema de Homogeneidade, existe um difeomor- fismo h : Y → Y com h(y) = z tal que h ´e isot´opica a identidade, id, em particular, h e id s˜ao homot´opicas, assim h≃ id. Como h ´e um difeomorfismo, z ´e um valor regular de h◦ f, segue que z ´e um valor regular de f e h ◦ f. Note que h ≃ id e f ≃ f ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.3.4 temos que h◦ f ≃ id ◦ f = f, i.e., h ◦ f e f s˜ao homot´opicas. Estamos nas condi¸c˜oes do lema de Homotopia, assim
#(h◦ f)−1(z)≡ #f−1(z) mod 2
Mas (h◦ f)−1(z) = f−1(h−1(z)) = f−1(y). Da´ı #f−1(y)≡ #f−1(z) mod 2, como dese- jado.
Definamos deg2f ≡ #f−1(y) mod 2 para um y valor regular qualquer de f , o qual est´a bem definido pelo que acabamos de fazer.
(ii) Suponha f homot´opica a g, pela proposi¸c˜ao 2.3.9 temos que existe z valor regular para f e g, pelo lema de Homotopia temos que #f−1(z) ≡ #g−1(z) mod 2. Agora, z ´e valor regular para f , assim deg2f ≡ #f−1(z) mod 2; por outro lado z ´e valor regular para g logo deg2g ≡ #g−1(z) mod 2 portanto deg
2f ≡ deg2g mod 2.
Vejamos algumas consequˆencias desse teorema.
Proposi¸c˜ao 2.3.15. Sejam X e Y variedades de mesma dimens˜ao tais que X ´e compacta e sem fronteira e Y ´e conexa. Valem os seguintes resultados:
(i) A fun¸c˜ao constante f : X → Y tal que f(x) = c ∈ Y para todo x em X possui grau m´odulo 2 par, i.e., deg2f ≡ 0.
(ii) Se X ´e conexo, ent˜ao a fun¸c˜ao identidade Id : X → X possui grau m´odulo 2 ´ımpar, i.e., deg2Id≡ 1.
(iii) Se X ´e conexo, ent˜ao a fun¸c˜ao constante f : X → X e a fun¸c˜ao identidade Id : X → X n˜ao s˜ao homot´opicas.
Demonstra¸c˜ao: (i) Basta observar que #f−1(y) = 0 para todo y valor regular de f . Pelo teorema anterior, deg2f ≡ 0 mod 2.
(ii) Como Id ´e uma bije¸c˜ao, temos que #Id−1(y) = 1 para todo y ∈ X. Pelo teorema anterior, deg2Id≡ 1 mod 2.
(iii) Suponha, por absurdo, que f e Id sejam homot´opicas, pelo teorema anterior, ter´ıamos que deg2f ≡ deg2Id mod 2, o que n˜ao ocorre por (i) e (ii). Logo f e Id n˜ao s˜ao
homot´opicas. Seja Bn+1 a bola fechada de raio unit´ario e centrada na origem do Rn+1. Mostramos utilizando o teorema de Sard que n˜ao existe retra¸c˜ao da bola fechada na esfera. Vejamos a demonstra¸c˜ao desse mesmo teorema pela teoria de homotopia.
Lembre que dado F ⊆ E dizemos que uma fun¸c˜ao r : E → F ´e uma retra¸c˜ao se r ´e cont´ınua e r(x) = x para todo x em F .
Teorema 2.3.16. (do Ponto Fixo de Brouwer re-visitado) N˜ao existe retra¸c˜ao r : Bn+1 → Sn.
Demonstra¸c˜ao: Suponha, por absurdo, que exista retra¸c˜ao r : Bn+1 → Sn cont´ınua. Assim, r(x) = x para todo x∈ Sn, logo r|
Sn = IdSn : Sn → Sn com IdSn(x) = x. Note
que r ´e uma extens˜ao de IdSn. Tomando X = Sn, pela proposi¸c˜ao 2.3.5 temos que IdSn ´e
homot´opica a uma aplica¸c˜ao constante Sn→ c ∈ Sn, o que ´e um absurdo pelo item (iii) da proposi¸c˜ao anterior. Portanto n˜ao existe tal retra¸c˜ao, e temos o desejado.
2.3.3
O grau de Brouwer
Sejam X e Y variedades orient´aveis de mesma dimens˜ao em que X ´e uma variedade com- pacta. Seja x um ponto regular de f , assim dfx´e um isomorfismo, e portanto det(dfx)6= 0. Definimos o sinal de um ponto regular x de uma aplica¸c˜ao como sendo sign(dfx):
sign(dfx) = 1 se det(dfx) > 0, e dizemos que dfx preserva a orienta¸c˜ao; sign(dfx) = −1 se det(dfx) < 0, e dizemos que dfx n˜ao preserva a orienta¸c˜ao. Dado um valor regular y∈ Y para f definimos o grau de f em y como sendo
deg(f ; y) := P
x∈f−1(y)sign(dfx)
Iremos mostrar que quando Y ´e uma variedade conexa o n´umero inteiro deg(f ; y) n˜ao depende da escolha do valor regular y, mas sim da classe de homotopia de f . A id´eia geral para demonstrar isso ´e a mesma do grau m´odulo 2, contudo existem cuidados a serem tomados devido as orienta¸c˜oes das variedades. Vejamos alguns resultados preliminares: Proposi¸c˜ao 2.3.17. Sejam X e Y variedades orient´aveis de mesma dimens˜ao onde X ´e uma variedade compacta e f : X → Y cont´ınua. O inteiro deg(f; y) ´e uma fun¸c˜ao localmente constante quando y percorre os valores regulares y de f .
Demonstra¸c˜ao: Seja y valor regular de f fixo e arbitr´ario. Temos que f−1(y) ´e finito, digamos{p1, ..., pr}.
Note que os seguintes conjuntos s˜ao abertos em X {x ∈ X : dfx preserva a orienta¸c˜ao}
{x ∈ X : dfx n˜ao-preserva a orienta¸c˜ao} pois o determinante ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Assim, para cada pi ∈ f−1(y) existe Wi vizinhan¸ca aberta de pi tal que para todo ponto z∈ Wi temos que sign(dfz) = sign(dfpi).
Pela demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 1.4.14, existe V aberto tal que y ∈ V ⊆ Tr
i=1f (Ui) onde f|Ui ´e um difeomorfismo com Ui vizinhan¸ca aberta de pi em X e f (Ui) = Vi aberto
de Y com Ui’s dois-a-dois disjuntos. Sem perda de generalidade, podemos supor Ui ⊆ Wi para todo i ∈ {1, ..., r}. Onde vale que para todo w ∈ V ⊆ Tr
i=1f (Ui) temos que #f−1(w) = #f−1(y).
Como Ui ⊆ Wi e para todo w ∈ V ⊆ Tri=1f (Ui) temos que #f−1(w) = #f−1(y) ent˜ao
deg(f ; y) = deg(f ; w), e temos o desejado.
Lema 2.3.18. Sejam Y variedade suave e compacta, e Z variedade suave, compacta e orientada cuja fronteira M ´e uma variedade suave, compacta munida da orienta¸c˜ao induzida tais que dim(Z) = dim(Y ) + 1 e dim(Y ) = dim(M ) = n. Nessas condi¸c˜oes, temos que se uma aplica¸c˜ao suave f : M → Y admite extens˜ao diferenci´avel F : Z → Y ent˜ao deg(f ; y) = 0 para todo valor regular y ∈ Y .
Demonstra¸c˜ao: Suponha que y ´e um valor regular de F . Assim, F−1(y) ´e uma variedade compacta de dimens˜ao 1 cuja fronteira ´e ∂F−1(y) = F−1(y)∩∂Z = F−1(y)∩M. Sabemos que F−1(y) possui um n´umero finito de componentes conexas homeomorfas a c´ırculos ou a intervalos fechados. Sejam Ai as componenetes conexas homeomorfas a intervalos fechados, com i∈ Λ com Λ conjunto de ´ındices finito.
Agora, deg(F|∂Z; y) =Px∈(F |∂Z)−1(y)sign((dF|∂Z)x).
Note que (F|∂Z)−1(y) = ∂F−1(y) decorre da igualdade ∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂Z. Assim, deg(F|∂Z; y) =Px∈∂F−1(y)sign((dF|∂Z)x) = Px∈∂F−1(y)sign((df )x) = deg(f ; y) Mas os extremos das componentes conexas Ai constituem a fronteira de F−1(y). Ou seja, sejam ai e bi os extremos de Ai da´ı ∂Ai = {ai} ∪ {bi} ⊆ ∂F−1(y), e portanto ∂F−1(y) ={a
1, ..., ar} ∪ {b1, ..., br} em que #Λ = r. Temos, portanto, deg(f ; y) =P
x∈∂F−1(y)sign((df )x) = P
Pr
i=1(sign(df )ai + sign(df )bi).
Afirma¸c˜ao: Para todo i∈ Λ vale que sign(df)ai + sign(df )bi = 0.
Fixe i∈ Λ. As orienta¸c˜oes de Z e Y determinam uma orienta¸c˜ao no arco Ai da seguinte forma:
Lembre que Ai ⊆ F−1(y) ⊆ Z, onde dim(Z) = n + 1. Seja p ∈ Ai componente conexa homeomorfa a um intervalo fechado, seja{v1, ..., vn+1} uma base positiva de TpZ com v1 tangente a Ai em p.
Definimos agora a orienta¸c˜ao induzida no arco Ai, dizemos que v1 ´e positivo em TpAi se, e somente se, (dF )p transforma {v2, ..., vn+1} em uma base positiva de TyY .
Seja p∈ Ai, definimos naturalmente sign dfp = 1 se, e somente se, v1 ´e positivo em TpAi; e sign dfp =−1 se, e somente se, v1 n˜ao ´e positivo em TpAi.
Seja v1(p) o ´unico vetor unit´ario tangente ao arco Ai no ponto p na orienta¸c˜ao induzida. Como o arco Ai ´e homeomorfo ao intervalo [0, 1] conexo, temos que esse homeomorfismo preserva a orienta¸c˜ao, ou reverte a orienta¸c˜ao para todo ponto de Ai. Em particular, os pontos da fronteira de Ai possuem a mesma orienta¸c˜ao (ou contr´aria) de seu ponto correspondente. Basta argumentar no intervalo [0, 1].
Temos que ao induzirmos a orienta¸c˜ao no intervalo [0, 1] um de seus pontos de fronteira ´e orientado positivamente e o outro ´e orientado negativamente. Da´ı sign dfai =− sign dfbi.
Vale a afirma¸c˜ao.
Segue da afirma¸c˜ao que deg(f ; y) = 0.
Suponha, agora, que y n˜ao ´e valor regular de F . Como y ´e valor regular para f , pela proposi¸c˜ao 2.3.17 temos que existe V aberto em Y tal que para todo z ∈ V temos que deg(f ; z) = deg(f ; y). Como V ´e aberto em Y pelo teorema de Sard, existe q ∈ V valor regular de F . Segue que deg(f ; q) = 0 = deg(f ; y), e temos o desejado. Lema 2.3.19. (de Homotopia)
Sejam f, g : X → Y cont´ınuas e homot´opicas. Se y ´e um valor regular de f e g ent˜ao deg(f ; y) = deg(g; y)
Demonstra¸c˜ao: Seja F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Como [0, 1] ´e uma variedade com bordo, segue da proposi¸c˜ao 1.4.17 que X × [0, 1] ´e uma variedade com bordo onde seu bordo ´e dado por ∂(X × [0, 1]) = X × {0} ∪ X × {1}. Considerando orienta¸c˜ao produto em X× [0, 1] temos que X × {0} possui orienta¸c˜ao oposta e X × {1}
possui orienta¸c˜ao positiva.
(Caso 1) Suponha que y ´e valor regular de F . Segue que y tamb´em ´e valor regular para F|∂(X×[0,1]). Como F−1(y)⊆ X × [0, 1] ´e fechado, e X e [0, 1] s˜ao compactos, temos que X× [0, 1] ´e compacto, e segue que F−1(y) ´e compacto. Como X× [0, 1] ´e uma variedade com bordo, e y ´e valor regular para F e F|∂X×[0,1], pelo lema 1.4.16 temos que F−1(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional, logo F−1(y) ´e uma variedade suave 1−dimensional compacta. Al´em disso:
∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂(X × [0, 1]) = F−1(y)∩ (X × {0} ∪ X × {1}) = = f−1(y)× {0} ∪ g−1(y)× {1}
Considere h = F|∂(X×[0,1]): ∂(X× [0, 1]) → Y fun¸c˜ao com y valor regular de h. Pelo lema anterior, temos que deg(h; y) = 0. Note que:
deg(h; y) = deg(F|∂(X×[0,1]); y) =P(x,t)∈(F |∂(X×[0,1]))−1(y)sign(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)
Mas (F|∂(X×[0,1]))−1(y) = F−1(y)∩ ∂(X × [0, 1]) = f−1(y)× {0} ∪ g−1(y)× {1}. Segue que
deg(h; y) =P
(x,t)∈f−1(y)×{0}sign(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)+P(x,t)∈g−1(y)×{1}sign(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)
Agora, ∂(X× [0, 1]) = X × {0} ∪ X × {1}, e portanto dF |∂(X×[0,1])= dF|(X×{0}∪X×{1}). Segue que deg(f ; y) =P (x,t)∈f−1(y)×{0}sign(dF|(X×{0}∪X×{1}))(x,t) deg(g; y) =P (x,t)∈g−1(y)×{1}sign(dF|(X×{0}∪X×{1}))(x,t)
Como vale que X × {0} possui orienta¸c˜ao oposta e X × {1} possui orienta¸c˜ao positiva temos que
deg(h; y) =− deg(f; y) + deg(g; y)
mas deg(h; y) = 0 logo deg(g; y) = deg(f ; y).
(Caso 2) Suponha que y n˜ao ´e valor regular de F . Como y ´e valor regular para f e g pela proposi¸c˜ao 2.3.17 temos que existem V1 e V2 abertos em Y tais que y ∈ V1 e y ∈ V2 onde vale que para todo z∈ V1 temos que deg(f ; z) = deg(f ; y), e para todo w ∈ V2 temos que deg(g; w) = deg(g; y). Tome V = V1∩ V2 aberto n˜ao-vazio em Y pois y ∈ V , assim para todo x ∈ V temos que deg(f; x) = deg(f; y) e deg(g; x) = deg(g; y). Como V ´e aberto em Y pelo teorema de Sard, existe q ∈ V valor regular de F . Pelo caso (1), temos que
deg(f ; q) = deg(g; q), e portanto deg(f ; y) = deg(g; y), como desejado. Lema 2.3.20. Sejam X e Y variedades suaves orientadas em que X ´e compacta e Y ´e conexa. Sejam y e z pontos de Y , sabemos pelo lema de Homogeneidade que existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z que ´e isot´opica a identidade, IdY. Ent˜ao h preserva a orienta¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao: Primeiro, note que como IdY ´e difeomorfismo que preserva a orienta¸c˜ao temos que deg(IdY, p) = 1, e portanto qualquer que seja p∈ Y . Assim, todo ponto de Y ´e valor regular para IdY.
Agora, h ´e um difeomorfismo, e portanto todo ponto q de Y ´e valor regular para h Seja w um ponto qualquer de Y segue que w ´e valor regular para h e IdY. Como h e Id s˜ao homot´opicas temos que deg(h; w) = deg(IdY, w), portanto obtemos que para todo w∈ Y vale que deg(h; w) = 1, logo h preserva a orienta¸c˜ao.
Teorema 2.3.21. Sejam X e Y variedades suaves orientadas em que X ´e compacta e Y ´e conexa. Seja f : X → Y cont´ınua com y valor regular de f. Ent˜ao o inteiro deg(f; y) n˜ao depende da escolha do valor regular y, mas sim da classe de homotopia de f .
Como independe do valor regular y de f , denotamos o grau de f com deg f .
Demonstra¸c˜ao: Seja F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Sejam y e z valores regulares para f . Pelo lema de Homogeneidade, existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z que ´e isot´opica a identidade, pelo lema anterior, h preserva orienta¸c˜ao.
Como h ´e um difeomorfismo, segue que z ´e um valor regular de h◦ f. Assim z ´e valor regular para f e para h◦f. Como h ´e homot´opica a identidade, h ≃ id, e f ≃ f ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.3.4 temos que h◦ f ≃ id ◦ f = f, i.e., h ◦ f e f s˜ao homot´opicas. Estamos nas condi¸c˜oes do lema de Homotopia, assim deg(f ; z) = deg(h◦ f; z). Agora note que: deg(h◦ f; z) = deg(h ◦ f; h(y)) =P
x∈(h◦f)−1(h(y))sign(d(h◦ f))x = deg(h◦ f; z) =P
x∈(h◦f)−1(h(y))sign(dhf (x)◦ dfx)
Mas (h◦ f)−1(h(y)) = (f−1 ◦ h−1)h(y) = f−1(y). Como dh
f (x) preserva a orienta¸c˜ao para todo f (x) temos que det(dhf (x)) > 0, e portanto sign(dhf (x)◦ dfx) = sign(df )x pois
sign(det((dhf (x)◦ dfx))) = sign(det(dhf (x)). det(dfx)) = sign(det(dfx)). Segue que deg(h◦ f; z) =P
x∈f−1(y)sign(df )x = deg(f ; y)
Portanto deg(f ; z) = deg(f ; y) qualquer que sejam z e y valores regulares de f .
Agora, suponha f e g homot´opicas. Existe w um valor regular para f e g pela proposi¸c˜ao 2.3.9. Pelo lema de homotopia, temos que deg(f ; w) = deg(g; w). Da´ı deg f = deg(f ; w) = deg(g; w) = deg g, e portanto deg f = deg g, temos o desejado.
Proposi¸c˜ao 2.3.22. Sejam f : X → Y e g : Y → Z fun¸c˜oes suaves definida entre variedades orient´aveis de mesma dimens˜ao com X compacta, Y compacta e conexa, e Z conexa. Ent˜ao deg(g◦ f) = deg g · deg f.
Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema de Sard existe p ponto regular de g e (g ◦ f). Assim, g−1(p) = {p
1, ..., pr} s˜ao pontos regulares de Y para g, e (g ◦ f)−1(p) = f−1 ◦ g−1(p) = f−1{p
1, ..., pr} s˜ao pontos regulares de X para (g ◦ f). Seja f−1(pi) :={pi1, ..., pisi} para
todo pi ∈ g−1(p), note que f (pij) = pi.
Afirma¸c˜ao: Para todo pi ∈ g−1(p) temos que pi ´e um valor regular para f .
Fixe pi ∈ g−1(p). Seja pij ∈ f−1(pi) fixo e arbitr´ario. Temos que dgpi ´e isomorfismo, e
d(g◦ f)pij tamb´em ´e isomorfismo. Agora,
d(g◦ f)pij = dgf (pij)· dfpij = dgpi· dfpij donde
dg−1
pi ◦ d(g ◦ f)pij = dfpij ´e um isomorfismo, e portanto pij ´e um ponto regular de f , no
que segue pi ´e um valor regular para f . Vale a afirma¸c˜ao. Como (g◦ f)−1(p) = f−1◦ g−1(p) = f−1{p
1, ..., pr} e f−1(pi) := {pi1, ..., pisi} temos que
(g◦ f)−1(p) ={p
ij : i = 1, .., r e j = 1, ..., si}. Logo deg(g◦ f) = deg(g ◦ f; z) =P
x∈(g◦f)−1(z)sign(d(g◦ f))x =Pi=1r Psj=1i sign(d(g◦ f))pij
deg(g◦ f; z) =Pr i=1 Psi j=1sign((dg)f (pij)◦ (df)pij) mas f (pij) = pi. deg(g◦ f; z) =Pr i=1 Psi j=1sign((dg)pi)◦ (df)pij) = Pr i=1 Psi j=1sign(dg)pi · sign(df)pij
pois det(A· B) = det(A) · det(B), logo sign(det(A · B)) = sign(det(A) · det(B)) = = sign(det(A))· sign(det(B)). Segue que
deg(g◦ f; z) =Pr i=1sign(dg)pi Psi j=1sign(df )pij
deg(g◦ f; z) =Pr
i=1sign(dg)pi· (deg f) = deg f ·
Pr
i=1sign(dg)pi = deg f · deg g
E portanto deg(g◦ f) = deg f · deg g, como desejado.
Dado 1≤ i ≤ n + 1 considere a reflex˜ao Ri :Sn → Sn em torno do hiperplano xi = 0, assim Ri(x1, ..., xn+1) = (x1, ..., xi−1,−xi, xi+1, ..., xn+1).
Afirma¸c˜ao: deg Ri =−1
Dado p∈ Sn, temos que (dR i)p = 1 0 ... ... 0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 −1 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 ... 0 1 (n+1×n+1) Primeiro, observe que para todo ponto p ∈ Sn, temos que det(dR
i)p = −1 e note que Ri ´e cont´ınua e injetora. Como para todo ponto p ∈ Sn, temos que det(DRi(p)) = −1, segue que todos os pontos deSn s˜ao pontos regulares. Seja p∈ Sn qualquer, como a R
i ´e injetora, obtemos R−1i (Ri(p)) ={p}, assim Ri(p) ´e valor regular.