Defini¸c˜ao 3.1.16. Um espa¸co normado E ´e um espa¸co de Banach quando for um espa¸co m´etrico completo com a m´etrica induzida pela norma.
Como exemplo temos que tanto (R, |.|) como (C, |.|) s˜ao espa¸cos m´etricos completos, e portanto de Banach.
Proposi¸c˜ao 3.1.17. Sejam E espa¸co de Banach, e F ⊆ E subespa¸co de E. Ent˜ao F ´e fechado em E ⇔ F ´e espa¸co de Banach com a norma induzida de E.
Demonstra¸c˜ao:
Seja (E,||.||) espa¸co de Banach, e suponha que F ´e um subespa¸co vetorial fechado. Seja (xn)n≥1 sequˆencia de Cauchy em F com a norma induzida por E, temos que (xn)n≥1 ´e uma sequˆencia de Cauchy em E, e portanto convergente, e digamos com limite x, i.e.,
lim
n→∞xn= x. Agora, F ´e fechado, e portanto x∈ F , logo F munido com a norma induzida de E ´e um espa¸co vetorial completo, ou seja, de Banach.
Reciprocamente, suponha F ´e espa¸co de Banach com a norma induzida de E, e seja xn convergindo para x com xn em F para todo n em N. Como F ´e espa¸co completo, temos que x∈ F , e portanto F ´e fechado. O que prova a proposi¸c˜ao. O seguinte lema ´e natural:
Lema 3.1.18. Sejam ||.||a e ||.||b normas equivalentes de um espa¸co vetorial X. Ent˜ao (X,||.||a) ´e completo se, e s´o se, (X,||.||b) ´e completo.
Teorema 3.1.19. Todo espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e um espa¸co de Banach. Demonstra¸c˜ao:
Seja (X,||.||) espa¸co normado de dimens˜ao finita m sobre o corpo dos reais e {ei}mi=1 a base de X. Para um x∈ X, temos que x =Pm
i=1xiei, definimos a norma da soma de X por||x||s :=Pmi=1|xi|.
Iremos mostrar que (X,||.||s) ´e completo, e isso basta. De fato, uma vez que X possui dimens˜ao finita todas as normas de X s˜ao equivalentes, logo se X ´e completo na norma da soma, X ´e completo em qualquer outra norma ||.||.
Seja (a1, ..., am)∈ Rm definimos ||(a1, ..., am)||∗s := Pm
i=1|ai| a norma da soma em Rm. Definimos T : (X,||.||s) → (Rm,||.||∗s) por T (x) := (x1, ..., xm) para x =
Pm
Veja que T ´e linear e bijetiva. Assim, T−1 existe e ´e linear. Note que T ´e uma isometria, pois||T (x)||∗
s =||(x1, ..., xm)||∗s = Pm
i=1|xi| = ||x||s. Donde T e T−1 s˜ao cont´ınuas.
Afirma¸c˜ao (X,||.||s) ´e completo
De fato, seja (xn)n≥1sequˆencia de Cauchy em (X,||.||s). Segue que (T (xn))n≥1´e sequˆencia de Cauchy em (Rm,||.||∗
s) , pois pela linearidade e isometria temos que
||T (xn)− T (xm)||∗s =||T (xn− xm)||∗s =||xn− xm||s. Como (Rm,||.||∗s) ´e completo, temos que existe T (x)∈ Rm tal que lim
n→∞T (xn) = T (x). Mas T−1 ´e cont´ınua, donde lim
n→∞xn = x, e (xn)n≥1´e convergente. Logo (X,||.||s) ´e um
completo.
Proposi¸c˜ao 3.1.20. Seja (E,||.||) espa¸co de Banach com F ⊆ E subespa¸co vetorial. Nessas condi¸c˜oes, se F possui dimens˜ao finita ent˜ao F ´e fechado em E.
Demonstra¸c˜ao: Considere (F,||.||) subespa¸co vetorial de dimens˜ao finita com a norma induzida. Pelo teorema anterior, temos que (F,||.||) ´e um espa¸co de Banach. Nessas condi¸c˜oes, aplicando a proposi¸c˜ao 3.1.17, obtemos que F ´e um subespa¸co fechado de E,
como desejado.
Fato 3.1.21. Seja T : X → Y operador linear e cont´ınuo entre X e Y espa¸cos de Banach. Ent˜ao Im(T ) ´e subespa¸co de Y .
Iremos relembrar o lema que ´e essencial para a demonstra¸c˜ao do teorema da aplica¸c˜ao aberta, visto que temos interesse em utiliz´a-lo adiante.
Lema 3.1.22. Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e T ∈ B(E, F ). Se existirem R, s > 0 tais que BF(0, r)⊆ T (BE(0, R)) e teremos que BF(0, r2)⊆ T (BE(0, R)).
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Lema 2.4.1 p. 41 e 42.
Teorema 3.1.23. (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta) Sejam E e F espa¸cos de Banach com T ∈ B(E, F ) sobrejetivo. Ent˜ao T ´e uma aplica¸c˜ao aberta.
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Teorema 2.4.2 p. 42 e 43.
Teorema 3.1.24. (de Hahn-Banach) Sejam E um espa¸co vetorial sobre o corpo K = R ou C e p : E → R uma fun¸c˜ao que satisfaz
(i) p(ax) =|a|p(x) para todo a ∈ K e todo x ∈ E (ii) p(x + y)≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ E
Se G⊆ E ´e um subespa¸co vetorial e φ : G → K ´e um funcional linear tal que |φ(x)| ≤ p(x) para todo x∈ G, ent˜ao existe um funcional linear ˜φ : E → K que estende φ e que satisfaz | ˜φ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ E.
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Teorema 3.1.2 p. 58 e 59.
Corol´ario 3.1.25. Seja (X,||.||) espa¸co de Banach com Y subespa¸co de X. Dado g ∈ Y′ existe f ∈ X′ tal que f|
Y = g e ||f|| = ||g||.
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Corol´ario 3.1.3 p. 60.
Corol´ario 3.1.26. Seja (X,||.||) espa¸co de Banach. Ent˜ao para todo x0 ∈ X existe f ∈ X′ tal que ||f|| = 1 e f(x
0) =||x0||
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Corol´ario 3.1.4 p. 60.
Teorema 3.1.27. (Segunda forma Geom´etrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam A e B subconjuntos convexos, n˜ao-vazios, e disjuntos do espa¸co normado E. Se A ´e fechado e B ´e compacto ent˜ao existem um funcional φ∈ E′ e a, b∈ R tais que
φ(x)≤ a < b ≤ φ(y) para todo x ∈ A e para todo y ∈ B
Demonstra¸c˜ao: Ver [9] Teorema 3.4.9 p. 73 e 74.
O pr´oximo resultado nos auxiliar´a na demonstra¸c˜ao dos Teorema da Pertuba¸c˜ao da Iden- tidade, e do Isomorfismo.
Teorema 3.1.28. (do Ponto Fixo para Contra¸c˜oes) Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico completo, e F um conjunto fechado de X e f : F → F contra¸c˜ao. Ent˜ao existe um ´unico ponto p∈ F tal que f(p) = p. Al´em disso, p ´e um atrator para f, i.e., qualquer que seja x ∈ F temos que fn(x) → p quando n → ∞, onde fn(x) ´e definido indutivamente por fn(x) = f (fn−1(x)).
Demonstra¸c˜ao: Ver [19] p. 360 e 361.
O resultado anterior tamb´em ´e conhecido como Lema de Contra¸c˜ao. Vejamos suas aplica¸c˜oes:
Corol´ario 3.1.29. Seja X ⊆ E com E espa¸co de Banach e f : X → E uma λ-contra¸c˜ao. Se X possui a bola fechada B[a; r] tal que ||f(a) − a|| ≤ (1 − λ)r ent˜ao f admite ponto fixo em B[a; r].
Demonstra¸c˜ao: Como B[a; r] ´e fechado, basta provarmos que f (B[a; r]) ⊆ B[a; r]. Seja x ∈ B[a; r], da´ı ||x − a|| ≤ r. Agora, ||f(x) − a|| ≤ ||f(x) − f(a)|| + ||f(a) − a||. Segue que
||f(x) − a|| ≤ λ||x − a|| + (1 − λ)r ≤ λr + (1 − λ)r = r. Donde f(x) ∈ B[a; r].
Pelo teorema do ponto fixo, temos o desejado.
Teorema 3.1.30. (Pertuba¸c˜ao da Identidade) Seja E espa¸co de Banach, I : E → E identidade em E, com φ : U → E λ-contra¸c˜ao em E onde U ´e um aberto de E. Ent˜ao I + φ ´e um homeomorfismo de U sobre um conjunto aberto (I + φ)(U ). Al´em disso, se U = E ent˜ao (I + φ)(U ) = E.
Demonstra¸c˜ao: Defina h(x) := I(x) + φ(x) para todo x ∈ U. Lembre que ||φ(x) − φ(y)|| < λ||x − y||, temos que:
||h(x) − h(y)|| = ||x − y + φ(x) − φ(y)|| ≥ ||x − y|| − ||φ(x) − φ(y)|| ≥ ||x − y|| − λ||x − y|| ≥
≥ (1 − λ)||x − y||
Isso prova que h ´e injetora, e tamb´em a continuidade de h−1. Obtemos que h ´e um homeomorfismo de U sobre h(U ). Vamos provar que h(U ) ´e aberto em E.
Seja b∈ h(U) logo b = h(a) = a + φ(a) para um ´unico a ∈ U. Temos que existe r > 0 tal que B[a; r]⊆ U, e seja y ∈ U. Defina ψy : B[a; r]→ E dada por ψy(x) = y− φ(x). Como y ´e constante, temos que ψ ´e contra¸c˜ao. Agora,
||ψy(a)− a|| = ||(y − φ(a)) − a|| = ||y − (φ(a) + a)|| = ||y − b||. Tomando y∈ B(b, (1 − λ)r), temos que ||ψ(a) − a|| ≤ (1 − λ)r.
Aplicando o corol´ario 3.1.29, temos que ψy possui ponto fixo xy ∈ B[a; r], i.e., y− φ(xy) = ψy(xy) = xy, e portanto y = xy + φ(xy) = h(xy)∈ h(B[a; r]). Assim, para y∈ B(b, (1 − λ)r), temos que y ∈ h(B[a; r]). O que mostra que B(b, (1− λ)r) ⊆ h(B[a; r]) ⊆ h(U), e portanto h(U) ´e aberto em E.
a + φ(a), e existe r > 0 tal que B[a; r]⊆ U. B(b, (1− λ)r) ⊆ h(B[a; r]) ⊆ h(U).
Note que quando U = E qualquer que seja s > 0 temos que B[a; s]⊆ U, e portanto B(b, (1− λ)s) ⊆ h(B[a; s]) ⊆ h(U).
Tomando tomando s = k/(1− λ) temos que B(b, k) ⊆ h(U) para todo k ∈ N. Donde ∪∞
k=1B(b, k)⊆ h(U). Mas E = ∪∞k=1B(b, k), logo E = h(U ), e temos o desejado. Observa¸c˜ao 3.1.31. Seja E espa¸co de Banach, I : E → E identidade em E, com φ : U → E λ-contra¸c˜ao em E onde U ´e um aberto de E. Ent˜ao −φ tamb´em ´e contra¸c˜ao, e segue do Teorema da Pertuba¸c˜ao da Identidade que I − φ ´e um homeomorfismo de U sobre um conjunto aberto (I− φ)(U). Al´em disso, se U = E ent˜ao (I − φ)(U) = E.
Corol´ario 3.1.32. Seja E um espa¸co de Banach. Temos que
(i) Se L ∈ B(E) satisfazendo ||L|| ≤ a < 1 ent˜ao (I + L) ´e um isomorfismo e temos que ||(I + L)−1|| ≤ 1
(1−a).
(ii) Se G ∈ B(E) isomorfismo com ||G−1|| ≤ a < 1 ent˜ao (I + G) ´e um isomorfismo e ||(I + G)−1|| ≤ a
(1−a).
(iii) Se T ∈ B(E) isomorfismo e S ∈ B(E) tal que ||T − S|| < ||T−1||−1 ent˜ao S ´e invert´ıvel. (Em particular, o conjunto das aplica¸c˜oes invert´ıveis ´e aberto no conjunto das aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas, B(E)).
Demonstra¸c˜ao: (i) Suponha que L ∈ B(E) satisfazendo ||L|| ≤ a < 1, assim L ´e uma contra¸c˜ao. Segue do Teorema da Pertuba¸c˜ao da Identidade que I +L ´e um homeomorfismo de E com E, logo I + L ´e um isomorfismo. Agora, seja y ∈ E com ||y|| = 1, assim existe x∈ E tal que (I + L)−1(y) = x. Segue que y = x + L(x), e ||L(x)|| ≤ a||x|| ≤ ||x||, logo 1 =||y|| = ||x + L(x)|| ≥ ||x|| − ||L(x)|| ≥ ||x|| − a||x|| = ||x||(1 − a)
1
(1−a) ≥ ||x|| = ||(I + L)−1(y)||, o que implica que ||(I + L)−1|| ≤ 1 (1−a).
(ii) Suponha que G∈ B(E) ´e um isomorfismo com ||G−1|| ≤ a < 1. Note que (I + G) = G◦ (I + G−1) (*).
Pelo ´ıtem (i), temos que (I + G−1) ´e invert´ıvel, e ||(I + G−1)−1|| ≤ 1
(I + G−1) s˜ao invert´ıveis, por (*), temos que (I + G) ´e invert´ıvel, logo um isomorfismo. Por (*), temos que (I + G)−1 = (I + G−1)−1◦ G−1, e segue que
||(I + G)−1|| ≤ ||(I + G−1)−1||.||G−1|| ≤ 1 (1−a).a =
a (1−a)
(iii) Suponha que T ∈ B(E) ´e um isomorfismo e S ∈ B(E) tal que ||T − S|| < ||T−1||−1. Note que I− T−1S = (T−1◦ (T − S)) ´e contra¸c˜ao. De fato, temos que ||T−1◦ (T − S)|| ≤ ||T−1||.||(T − S)||, mas ||T − S|| < ||T−1||−1, logo ||T−1◦ (T − S)|| < 1.
Pela Pertuba¸c˜ao da Identidade e a observa¸c˜ao 3.1.31, temos que I− (I − T−1S) = T−1S ´e um isomorfismo, logo invert´ıvel. Mas S = T ◦ (T−1S) ´e a composi¸c˜ao de isomorfismos, logo S ´e um ismorfismo. Assim para todo S ∈ B(T, ||T−1||−1) temos que S ´e invert´ıvel, e
temos o desejado.
Teorema 3.1.33. (Pertuba¸c˜ao do Isomorfismo) Sejam E, F espa¸cos de Banach com U aberto em E. Seja T : E → F isomorfismo linear, e φ : U → F uma fun¸c˜ao de Lipschitz tal que Lip(φ) <||T−1||−1 onde Lip(φ) ´e a constante de Lipschitz de φ. Ent˜ao
(i) T + φ ´e um homeomorfismo de U sobre um conjunto aberto (T + φ)(U ). No caso em que U = E, temos que (T + φ)(U ) = F .
(ii) Em particular, se T e φ = S s˜ao operadores lineares cont´ınuos, e||S|| < (2||T−1||)−1 temos que T + S ´e invert´ıvel. Mais ainda, ||T + S|| ≥ (2||T−1||)−1 e 2||T−1|| ≥ ||(T + S)−1||.
Demonstra¸c˜ao: (i) Defina ψ := T−1◦ φ : U → F , note que ψ ´e contra¸c˜ao. De fato, ||ψ(x)−ψ(y)|| = ||T−1(φ(x))−T−1(φ(y))|| = ||T−1(φ(x)−φ(y))|| ≤ ||T−1||.||φ(x)−φ(y)||
||ψ(x)−ψ(y)|| ≤ ||T−1||.Lip(φ)||x−y||, como Lip(φ).||T−1|| < 1 temos que ψ ´e contra¸c˜ao.
Segue do Teorema da Pertuba¸c˜ao da Identidade que I + ψ ´e um homeomorfismo de U com a imagem (I + ψ)(U ) aberto em E.
Note que T ◦ (I + ψ) = T + T ◦ ψ = T + T (T−1 ◦ φ) = T + φ. Assim, T + φ ´e um homeomorfismo, pois ´e a composi¸c˜ao de dois homeomorfismos T e (I + ψ). Como T ´e homeomorfismo, temos que T ((I + ψ)(U )) ´e um aberto de F , e portanto T + φ ´e um homeomorfismo de U em aberto em T ((I +ψ)(U )) um aberto de F . Caso U = E, ter´ıamos
que (I + ψ)(U ) = E, e portanto T ((I + ψ)(E)) = T (E) = F , e temos o desejado.
(ii) Suponha que T e φ = S s˜ao operadores lineares cont´ınuos, e ||S|| < ||T−1||−1 temos que T + S ´e invert´ıvel. Seja c := (2||T−1||)−1 donde ||T−1|| = (2c)−1.
Note que para todo x∈ E temos que ||x|| = ||T−1T x|| ≤ ||T−1||.||T (x)|| = (2c)−1||T (x)|| Da´ı||T (x)|| ≥ 2c||x||, e portanto ||T || ≥ 2c. Agora, seja S tal que ||S|| ≤ c segue que para todo x em E temos que ||S(x)|| ≤ c||x||.
Assim, ||(T + S)(x)|| = ||T (x) + S(x)|| ≥ ||T (x)|| − ||S(x)|| ≥ 2c||x|| − c||x|| = c||x||. Segue que para todo x∈ E temos que ||x|| = ||(T + S)(T + S)−1(x)|| ≥ c||(T + S)−1(x)||. Donde c−1 ≥ ||(T + S)−1||. Obtemos assim que ||T + S|| ≥ c e c−1 ≥ ||(T + S)−1||, e
temos o desejado.
Teorema 3.1.34. Sejam X e Y espa¸cos de Banach eS(X, Y ) o conjunto dos operadores lineares, cont´ınuos e sobrejetivos. Ent˜ao S(X, Y ) ´e um aberto de B(X, Y ).
Demonstra¸c˜ao: Ver [1] p. 73.
Vamos relembrar as seguintes defini¸c˜oes: Defini¸c˜ao 3.1.35. Seja X espa¸co topol´ogico.
(i) Um conjunto S ⊆ X ´e dito raro se int(S) = ∅.
(ii) Um conjunto A ⊆ X ´e dito magro se A est´a contido na uni˜ao enumer´avel de conjuntos raros..
Proposi¸c˜ao 3.1.36. Seja X espa¸co topol´ogico, ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equiva- lentes:
(i) Qualquer intersec¸c˜ao enumer´avel de abertos densos de X ´e densa em X. (ii) Todo magro possui interior vazio.
(iii) O complementar de todo conjunto magro ´e denso em X.
Defini¸c˜ao 3.1.37. Um espa¸co topol´ogico ´e dito Espa¸co de Baire se satisfaz qualquer condi¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior.
Teorema 3.1.38. Todo espa¸co m´etrico completo ´e um espa¸co de Baire.
Demonstra¸c˜ao: Ver [29] Teorema 6.5 p. 43.