Kapittel 6 – Særlige bestemmelser om skattegrunnlag, beløpsgrenser og satser mv
B. Årsavgift knyttet til mineraler (kap. 5551 post 71)
Nesta subsecção estudam-se as interações dos alunos do grupo 1 ao longo das tarefas elaboradas nas aulas assinaladas com os números 4 e 7 (ver tabelas 3.4 e 3.5 e ANEXO 1). Assim, apresentam-se as interações dos alunos ao longo da realização de tarefas de tipologias: problema, exploratória, problema e exercício, por esta ordem. As ultimas três tarefas, selecionadas da aula 7, permitiram verificar os padrões de interação entre os alunos ao longo da realização do trabalho de grupo.
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Problema do triângulo (Aula 4)
A discussão que se segue é sobre o problema do triângulo, proposto aos alunos na aula 4, cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 2) e a sua caracterização na tabela 3.5. Na figura 4.1 apresenta-se a resolução de Lúcio ao problema do triângulo.
Figura 4. 1 Resolução de Lúcio ao problema do triângulo.
Na tabela 4.1. apresentam-se os padrões das interações dos alunos ao longo da realização da tarefa. Ao nível do processo, Celso e André colaboraram indiretamente pois verbalizaram os seus pensamentos enquanto aparentemente trabalhavam sozinhos. Ao nível do resultado, este é univocal pois André foi o primeiro a obter a solução.
No diagrama visual, as setas a tracejado evidenciam a existência de colaboração semi- direta entre André e Zeca bem como entre André e Lúcio e entre Zeca e Celso. A seta a cheio entre Celso e André evidencia a existência de colaboração indireta entre este par, tendo sido André quem deu mais contributo para a elaboração da resposta, uma vez que apresenta um número maior de interações do nível de dar ajuda, tal como se pode confirmar na tabela 4.2. Por esse motivo, a seta foi estabelecida em direção a André.
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Tabela 4. 1. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização do problema do
triângulo
Padrões descritivos Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração indireta e semi-direta.
Nível do Resultado: Univocal.
A ideia geral das interações de cada aluno ao longo da realização da tarefa, é apresentada na tabela 4.2, onde é possível verificar que André e Celso têm interações do nível de dar ajuda enquanto Lúcio e Zeca têm interações do nível de receber ajuda ou pedir ajuda.
Tabela 4. 2. Interações dos alunos do grupo 1 ao longo da realização do problema do triângulo
Nível do Processo/Nível da
Solução
Nível de ajuda Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Pedir ajuda Pedir
instruções(1)
Questão sem
resposta(1) Verificar resposta(1) a
Questão de
específica(1)
Dar ajuda Expor (3) Confirmar
resposta( 2) Confirmar
resposta(1) Expor (2)
Resposta (2)
Total de interações 6 1 3 4
Na tabela 4.2, é possível verificar que as respostas a uma parte da tarefa ou à tarefa em si foram dadas por André. Os alunos que colaboraram indiretamente são os alunos que apresentam um maior número de interações, enquanto os outros (Lúcio e Zeca), apresentam um menor número de interações.
No episódio E2_AG1, que teve lugar logo após a leitura conjunta da tarefa, evidencia-se que ao nível do processo de resolução André e Celso colaboraram indiretamente, partilhando as suas ideias à medida que aparentemente resolviam a tarefa sozinhos.
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Episódio E2_AG1:
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: Fazer um triângulo e depois
tentar achar o centro. Expor 2 Celso: Acho que está certo (de seguida
desenhou o triângulo). Confirmar resposta 3 André: Fazer um triângulo e depois
achar um ponto equidistante dos três. Ainda não pensei mais.
Expor Sem conteúdo 4 Celso: Depois fazes a mediatriz do
lado [do triângulo]. Expor 5 André: É capaz (pausa). O Celso por
acaso deu aí uma [boa ideia]. Confirmar resposta
André foi o primeiro a evidenciar que teria de se fazer um triângulo, introduzindo no seu grupo a ideia de relacionar as três distâncias através de um triângulo e achar o seu centro. De seguida, André expôs novamente um procedimento mas desta vez, em vez de referir que se deve “achar o centro” referiu antes que se deve “achar um ponto equidistante dos três” (interação 3), o que pode revelar que o aluno tenha percebido que a resolução do problema passasse por encontrar um ponto equidistante dos três vértices do triângulo. Contudo, não deixou claro que se referia aos três vértices do triângulo. Apesar de saber que teria de encontrar o referido ponto, evidenciou que não sabia como o fazer, uma vez que foi Celso quem deu a ideia de construir a mediatriz de uns dos lados do triângulo (interação 4). A evidência de que foi Celso a introduzir no grupo essa ideia surgiu pelo comentário que André fez (interação 5), uma vez que evidenciou não ter pensado nisso. A partir deste momento, André e Celso é que responderam aos pedidos explícitos de ajuda de Zeca e de Lúcio acerca da resolução da tarefa. No episódio E3_AG1, mostram-se evidências do referido, e de que André foi o primeiro a obter a solução.
Episódio E3_AG1:
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Lúcio: O que é para fazer?
(Pausa) Questão sem resposta 2 André: O ponto médio é em Arcozelo. Resposta 3 Zeca: (Questionando André).É para fazer um
triângulo? Pedir instruções 4 André: (Levantou a tarefa para expor o
procedimento enquanto Zeca e o Lúcio observavam e ouviam atentamente) Fazes uma reta assim, outra assim e outra assim. As três retas [intersetam- se] em Arcozelo
Expor
5 Lúcio: (apagou algo na sua tarefa e pegou na sua régua).
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A interação de André (interação 4) fez com que Lúcio terminasse a sua construção, mas não fez com que Zeca completasse a sua construção com sucesso uma vez que nos momentos seguintes, ele verificou a sua resposta observando a tarefa de Celso. Essa ajuda encontra-se evidenciada no episódio E4_AG1.
Episódio E4_AG1:
Nº da Interação Aluno Interação Categoria
1 Zeca: (Pegou na tarefa do Celso) Verificar a resposta
2 Celso: Tens de fazer a mediatriz. Expor 3 Zeca: Deste lado? E deste lado? E
deste [lado]? Questão específica 4 Celso: Sim. (Zeca
recorrendo à régua e ao compasso, traçou as mediatrizes dos lados do triângulo)
Confirmar resposta
Nos episódios E4_AG1 e E3_AG1, torna-se claro que quem disse como deveria efetuar a construção a Zeca foi André, e de seguida, Celso.
O episódio E3_AG1 demonstra que foi André o primeiro a obter a solução (Arcozelo), verbalizando-a. Nesta situação, em que nenhum dos seus colegas verbalizou uma outra solução, os seus colegas mostraram ter-lhe atribuído sentido, uma vez que efetuando as suas construções também obtiveram a resposta ao problema.
Tarefa exploratória dos polígonos (Aula 7)
A discussão que se segue é sobre uma parte da tarefa 1 proposta aos alunos na aula 7 (tarefa exploratória), cujo enunciado se encontra em anexo (ANEXO 3). Na figura 4.2, encontra- se a resolução de Zeca à tarefa exploratória. Note-se que a solução apresentada por Zeca estava errada. Nas linhas que se seguem, apresenta-se a razão pela qual Zeca e os alunos deste grupo apresentaram uma solução errada.
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Figura 4. 2 Resolução de Zeca à tarefa exploratória.
Devido ao elevado número de interações dos alunos ao longo da realização desta tarefa, para analisar as suas diferentes interações ao longo da realização da mesma, optou-se por apresentá-las separadamente em duas tabelas. Assim, primeiramente são apresentadas as interações estabelecidas entre os alunos ao longo do processo de resolução da tarefa, apresentando-se depois as interações estabelecidas entre os alunos no momento de obtenção da solução. Nesse sentido, as interações que foram consideradas para estabelecer o padrão de interação ao nível da solução, foram as interações estabelecidas entre os alunos no momento em que interagiram de modo a obter a referida expressão algébrica, e quando já haviam preenchido os outros espaços da tabela. As interações entre os alunos consideradas para estabelecer o padrão de interação ao nível do processo, foram as interações estabelecidas desde que iniciaram o preenchimento da tabela até ao momento em que preencheram todos os espaços, à exceção do espaço correspondente à solução. Nas linhas que se seguem evidencia-se que os padrões de interação dos alunos ao longo da realização desta tarefa são os apresentados na tabela 4.3.
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Tabela 4. 3. Padrões de interação evidenciados pelos alunos do grupo 1 ao longo da realização da tarefa
exploratória
Padrão descritivo Diagrama visual
Nível do processo: Colaboração indireta, colaboração semi-direta e interação oculta. Nível do resultado: Univocal.
No diagrama visual, a inexistência de setas entre Zeca e os seus companheiros de grupo demonstra que Zeca trabalhou de forma aparentemente individual, ou seja, em interação oculta. A existência de setas simples a cheio entre André e Lúcio, e entre André e Celso evidencia a existência de colaboração indireta entre os pares referidos. Contudo, entre os referidos pares também se evidenciou o padrão de colaboração semi-direta. No entanto, no diagrama visual optou-se por representar o padrão que mais se evidenciou, que foi o de colaboração indireta. A presença de uma circunferência com linha a cheio evidencia que ao nível do resultado, as interações entre estes alunos refletiram o padrão univocal.
Interações dos alunos ao nível do processo
Na tabela 4.4 encontram-se categorizadas as interações estabelecidas entre os alunos ao nível do processo, onde se pode verificar que André foi o aluno do grupo que mais interagiu, e Zeca o que menos interagiu.
Tal como se pode verificar no diagrama visual da tabela 4.3, Zeca trabalhou em interação oculta. Contudo, tal como se pode verificar na tabela 4.4, durante o processo de preenchimento da tabela, Zeca colocou uma questão. Com essa questão “Quem é que tem o quadrilátero?” que tem a ver com a tarefa, Zeca evidenciou uma certa autonomia em relação ao seu grupo na resolução da tarefa ao querer observar em quantos triângulos ficou decomposto o quadrilátero. O facto de ter colocado uma questão e não terem sido registadas quaisquer outras interações entre ele e os seus colegas ao longo do processo de resolução, evidencia que trabalhou aparentemente de forma individual, pois não se sabe até que ponto as atitudes dos seus colegas foram ou não significativas em determinados momentos do seu processo de resolução. Nesse sentido, por não ter verbalizado os seus pensamentos enquanto resolvia a tarefa tendo-a resolvido aparentemente sozinho, afirma-se que Zeca trabalhou em interação oculta.
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Tabela 4. 4. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do processo
Nível do Processo/Nível da
Solução Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Nível do processo
Receber ajuda Observa com registo (1) Observa com registo (1)
Pedir ajuda
Questão (1) Questão (1) Questão (1) Questão (1)
Questão sem resposta (2)
Dar ajuda
Resposta (2) Resposta (2) Expor (1)
Confirmar resposta (3)
Total de interações 8 4 1 3
Os outros elementos do grupo interagiram mais uns com os outros do que Zeca. André foi quem mais interagiu. Lúcio e Celso tiveram momentos em que observaram e registaram o que viam na tarefa de André (colaboração semi-direta). No entanto, apesar de Lúcio observar e registar aquilo que via na tarefa de André, ele mostrou que dava sentido ao que o colega escrevia. No episódio E5_AG1, enquanto André expunha uma sequência de números que correspondia às somas das medidas das amplitudes dos ângulos internos de polígonos com 4, 5 e 6 lados respetivamente, e Lúcio observava a tarefa de André e registava na sua tarefa aquilo que via na tarefa de André, quando este parou de verbalizar a sequência por não ter a certeza do resultado da última soma, Lúcio ajudou-o (interação 2) evidenciando que estava a dar sentido ao raciocínio seguido por André para calcular as referidas somas.
Episódio E5_AG1:
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 André: 360, 540, agora 720, e agora mil
duzentos e tal…não por acaso tenho a certeza.
Expor
2 Lúcio: 900. Resposta
3 André: Sim 900. Confirmar
resposta
Não obstante, Lúcio e Celso tiveram momentos em que evidenciaram ter trabalhado individualmente. No episódio E6_AG1, no momento em que Lúcio tinha de preencher o espaço da tabela correspondente ao número de lados de um polígono com n lados, colocou uma questão. Nesse momento, André partilhou a sua resposta (interação 2), tendo de seguida Celso partilhado a sua (interação 3), e em sequência, André repetiu-a novamente parecendo estar a questionar-se a si próprio se a mesma fazia sentido (interação 4).
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Episódio E6_AG1:
Nº da Interação Aluno Interação Categoria
1 Lúcio: E isto? Questão
2 André: É n. Resposta
3 Celso: Eu pus n vezes lado. Expor 4 André: n vezes lado? Questão sem
resposta
No episódio anterior, Celso apresentou uma resposta diferente da de André, demonstrando que foi elaborada por si. No entanto, apesar de estar errada e depois de André a ter verbalizado, parecendo colocar a questão a si mesmo e de ninguém ter respondido, todos prosseguiram com a resolução das suas tarefas, não havendo negociação de significados.
Os episódios E5_AG1 e E6_AG1 e as interações individuais de Celso e Lúcio apresentadas na tabela 4.4 demonstram que apesar de estes terem evidenciado que tiveram momentos em que aparentemente trabalharam sozinhos (E6_AG1), a forma como Lúcio reagiu ao que André verbalizava, (E5_AG1) e as interações de Celso mostraram que estes estavam atentos ao que André estava a fazer e a dizer. Por Lúcio e Celso terem evidenciado estar atentos ao que André dizia, enquanto resolviam aparentemente sozinhos a tarefa, ao nível do processo o padrão verificado no grupo entre Celso e André e entre Lúcio e André é de colaboração indireta.
Interações dos alunos ao nível da solução.
Na tabela 4.5 encontram-se registadas as interações de cada aluno do grupo no momento de obtenção da solução da tarefa exploratória.
Tabela 4. 5. Interações estabelecidas entre os alunos ao nível do resultado
Nível do
Processo/Nível
da solução Nível de ajuda
Alunos
André Lúcio Zeca Celso
Nível da solução
Receber ajuda Receber
Resposta (1) Receber resposta (1)
Pedir ajuda Verificar
resposta (1)
Dar ajuda Expor (2) Explicar (2) Confirmar
Resposta (2) Explicar (1)
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Os dados que constam na tabela 4.5 evidenciam que Lúcio e Celso tiveram um papel mais passivo do que André e Zeca no momento de obtenção da solução, pois estes evidenciaram que receberam ajuda, mais especificamente, que escreveram a solução que foi ditada por André. No entanto, Zeca apresentou uma solução diferente da apresentada por André. Zeca explicou primeiro o seu raciocínio a Celso, e depois de este mostrar que estava de acordo com aquilo que disse, pois Celso confirmou a resposta apresentada por Zeca, pediu para verificar a resposta de André. Após ter verificado que André havia escrito n triângulos vezes 180, e sendo esta solução diferente da sua, Zeca explicou-lhe a sua solução. O modo como ele explicou a cada um deles, primeiro a Celso e depois a André, encontra-se no episódio E7_AG1.
Episódio E7_AG1
Nº da Interação Aluno Interação Categoria 1 Zeca: O n refere-se ao(s) [número de]
lados do polígono. Se 3 lados é um triângulo, 4 lados tens dois triângulos, 5 lados tens 3 triângulos, 5 lados tens 3 triângulos. Tens sempre mais dois lados [do] que [o número de] triângulos.
Explicar
2 Celso: Acho que sim Confirmar resposta 3 Zeca: André deixa ver a tua
(Pausa) Verificar resposta André eu acho que é (n-2) vezes
180. (Pausa) Repara que dentro de um polígono há sempre mais dois lados que um triângulo. Precisas de três lados para ter um triângulo e precisas de 4 lados para ter dois triângulos (…)
Explicar
Zeca verbalizou o seu pensamento dirigindo-se especificamente a Celso explicando-o. Após ter-lhe explicado por palavras suas que a variável n representava o número de lados de um polígono, Zeca explicou-lhe ter verificado que o número de triângulos em que cada polígono da tarefa foi decomposto era sempre menos dois do que o número de lados do polígono. Depois de Celso ter concordado, explicou a sua solução a André expondo a solução encontrada por si e explicando-a. No entanto, desta vez não explicou o que representava a variável n. A resposta de André encontra-se no episódio E8_AG1.
54 Episódio E8_AG1
Aluno Interação Categoria
André: Mas é o que nós fizemos. n triângulos porque são os triângulos de dentro, vezes 180.
Explicar
Note-se que quando André apresentou a sua solução pela primeira vez não a explicou. Na tabela 4.5 consta-se que André explicou uma vez e que Celso e Lúcio a aceitaram sem questionar uma vez que não pediram ajuda, contudo quando confrontado com outra solução, André já evidenciou sentir necessidade de a explicar.
No episódio E8_AG1, André evidencia ter dado sentido às palavras de Zeca quando afirmou “Mas [foi] o que nós fizemos…” Com este "nós" presente na sua explicação, ele refere- se a ele próprio e aos seus dois colegas, Celso e Lúcio, que aceitaram a sua solução sem a questionar, assumindo-a como válida. Quando Zeca expos a sua solução passaram a existir duas soluções diferentes, e com diferentes interpretações do que a incógnita n representa, não tendo este facto sido esclarecido pelos alunos. Na solução apresentada por Zeca, a incógnita n representa o número de lados de um polígono, e na solução apresentada por André, n representa o número mínimo de triângulos em que um polígono convexo pode ser decomposto. Estas duas interpretações diferentes da incógnita n não foram discutidas pelos alunos. Após Zeca ter explicado a sua solução, André explicou por palavras suas que a solução pode ser obtida multiplicando o número n de triângulos em que o polígono é decomposto por 180, e os seus colegas de grupo não o confrontaram.
Nos episódios E7_AG1 e E8_AG1 poderiam ter emergido oportunidades de aprendizagem caso tivessem sido colocadas questões específicas ou indicações daquilo que não estava claro nas soluções apresentadas (Cobb, 1995) por Zeca e por André. No entanto, no episódio E8_AG1 André, como não foi questionado, apenas explicou a solução apresentada por si, sem explicar ou o modo como a obteve ou o raciocínio utilizado.
Perceções dos alunos acerca dos episódios em sala de aula E7_AG1 e E8_AG1
A solução apresentada por Zeca era a que correspondia ao que era esperado que os alunos obtivessem. Contudo, os alunos deste grupo aceitaram a resposta de André sem a questionar. Celso, que tinha concordado com a explicação de Zeca, também não se manifestou após a explicação de André. Com o intuito de compreender melhor os comportamentos destes
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alunos, em entrevista, começou-se por lhes mostrar as suas resoluções das tarefas, e o extrato da gravação audiovisual correspondente aos episódios E7_AG1 e E8_AG1. De seguida, questionaram-se os alunos acerca de como pensaram para terem obtido a primeira solução apresentada (n triângulos vezes 180), e por último, questionou-se acerca do motivo que os levou a escrever a solução de André. O diálogo entre a professora estagiária e os alunos deste grupo acerca do modo como estes pensaram encontra-se no episódio E9_EG1.
Episódio E9_EG1
Professora: Aqui como é que pensaram. Escreveram n triângulos vezes 180.
André: Lembro-me que [eu] estava certo mas que tinha errado na fórmula. Eu agora já sei como é que é (…).
Professora: O Zeca depois disse a resposta correta ele disse “Estás a ver aqui é sempre n menos dois vezes 180”.
André: Pois é eu lembro-me que o Zeca estava certo e eu estava errado.
Professora: Mas tu não lhe deste a razão.
André: Sou capaz de não ter dado porque eu em parte também estava certo e ele também estava. Mas a [resposta] dele estava mais correta porque dava para qualquer um mas na minha tinha sempre de ir ver o [número de triângulos em que ficou decomposto o polígono] que estava atrás.
André respondeu prontamente, admitindo lembrar-se que Zeca estava certo mas ele também estava, contudo tinha apresentado uma fórmula errada. Ao afirmar “Eu agora sei que…” André evidencia que depois do momento de realização da tarefa pensou na solução, e percebeu que a solução apresentada por Zeca era a que correspondia ao pedido. No entanto, no momento em que foi confrontado, defendeu a sua solução pois referiu que “(…) em parte eu também estava certo (…)”.
Na tentativa de perceber o motivo pelo qual nenhum elemento do grupo questionou André, a professora estagiária questionou-os. Nesse momento, Zeca mostrou-se muito ansioso por revelar o motivo. A revelação desse motivo encontra-se no episódio E10_EG1:
Episódio E10_EG1
Professora: Todos escreveram a resposta do André porquê? Porque é que todos escreveram a resposta do André apesar da resposta do Zeca ser a correta?
Zeca: Porque o André tem um historial a matemática muito superior ao resto dos alunos do grupo e como é o André está sempre certo.
André: Não, não é sempre às vezes também te digo
Zeca: (Interrompendo o André) Um bocado sim….é mais ou menos a nossa mentalidade.
André: Prontos. Mas estão as duas certas. A dele estava mais correta porque aplicava-se a todos os casos e a minha tinha de vir sempre atrás.