Da vil vi se at Bose-Einstein kondens ikke vil oppstå i én dimensjon selv ved T = 0, og heller ikke i to dimensjoner når T > 0. Oppgaven er bygget opp som følger: I kapittel 1 gir vi en introduksjon til Bose-Einstein kondensering Einstein Kondensering ved Hvis vi studerer en ideell Bose-gass, vil vi se at gassen endrer oppførsel når temperaturen faller under en viss kritisk temperatur.
Den kritiske temperaturen
Hvis vi lar T være konstant, kan vi merke at N˜ er en jevn funksjon av µ og at den har en maksimal Nmax hvor µ=0. Når Tk bestemmes på denne måten, kan vi fra diskusjonen ovenfor konkludere at 0−µ≈0 og at det er et makroskopisk antall partikler i grunntilstanden når T < Tk.
Partikler i boks
Det storkanoniske potensialet
Vi kan se dette fra det faktum at g(0) = 0, og vi må derfor trekke ut dette leddet før vi tar kontinuumsgrensen.
Kritisk temperatur og volum
I dette regnestykket utnyttet vi at g3/2(1) er det samme som Riemanns zetafunksjon ζ(3/2), og videre er ρ≡N/V partikkeltettheten. Vi sa i begynnelsen at hvis vi har BEK vil bølgefunksjonen til partiklene overlappe, og det vil vi nå se ved å bruke ligning (1.25).
Bose-Einstein kondensasjon
Dermed finner vi den spesifikke varmekapasiteten til gassen ved temperaturer der T < Tk ved å utlede ligning (1.35) med hensyn til T. I figur 1.2 har vi plottet CV som funksjon av temperatur, og vi ser at gassen endrer oppførsel ved den kritiske temperaturen.
Andrekvantisering
- Tilstandsvektorer
- Heve- og senkeoperatorer
- Andrekvantisering av kinetisk energi
- Hamiltonoperatoren til en svakt vekselvirkende Bosegass
Inkrement- og dekrementeringsoperatorer som lager og fjerner partikler ved punkt r skrives som ψˆ†(r) og ψ(ˆr), og kalles feltoperatorer. Vi kan også skrive adjointoperatorenψ(ˆr) som en lineær kombinasjon av de avtagende operatoreneˆap på følgende måte: og ved å Fourier-transformere ligningene ovenfor får vi følgende uttrykk for ˆa†p og ˆap: ˆ. 2,43).
Schrödingerbildet og Heisenbergbildet
Kvantefeltteori
- Generaliserte koordinater og konjugert impuls
- Virkning og Euler-Lagrangeligninger
- Symmetri og Noethers teorem
- Propagatoren
2.77) Vi kan også kvantifisere feltene φ(r, t) og π(r, t)5 ved å kreve at de oppfyller visse kommutatorrelasjoner på samme tid. Vi kan utføre integralet i ligning (2.109) som et konturintegral i det komplekse planet, og mer presist langs en halvsirkel i det øvre halvplanet (Se figur 2.2.).
Funksjonalintegralformalismen
Egentilstander av feltoperatorer
Dette er en generalisering fra kvantemekanikk, hvor vi har et begrenset antall frihetsgrader, til kvantefeltteori, hvor det er et uendelig og kontinuerlig antall frihetsgrader.
Funksjonalintegraler
Vi ser at vi har delt sannsynlighetsamplituden i trinn |φ2i osv. Det vil si at den integreres over alle φ(r, t), der feltkongurasjonen er φa(r) ved t=ti og utvikler seg til φb(r). ) ved t=tf. Fordi man integrerer over alle mulige 'veier' som feltutvikling kan følge, kalles de det.
Vi legger nå merke til at vi kan gjenkjenne uttrykket i eksponenten i ligning (2.132) som handlingen S gitt av:.
Partisjonsfunksjonen og imaginær tid
Dette kommer av at en feltteori ofte beskrives i Minowski-rommet, hvor metrikken er gitt ved ds2 = dt2 −dr2. På grunn av det faktum at vi kan neglisjere trepartikkelspredningsprosesser når vi studerer en svakt interagerende Bose-gass, kan vi beskrive en slik gass ved å ta utgangspunkt i en Lagrange-funksjon som kun omhandler to-partikkelinteraksjoner. I en svakt samvirkende Bose-gass er det typisk at atomene samhandler med svake Van der Waals-krefter.
EFFEKTIVE FELTTEORIER 43 I en svakt samvirkende Bose-gass vil partiklene samhandle med et potensial som tilsvarer Lennard-Jones-potensialet.
Eektive feltteorier
Bornapproksimasjonen
Fra ligning (4.22) kan vi se at et system med svakt samvirkende bosoner kan beskrives som et system av kvasipartikler med energi(p), og disse kvasipartikler skapes og fjernes av operatoreneˆb†p ogˆbp. For vi vil se at vi kan få både uttrykket for spredningslengden ai i likning (3.22) og for E0 i likning (4.25) til å konvergere ved å renormalisere koblingskonstanten. La oss gjøre integralene i ligningene (3.22) og (4.25) endelige ved å innføre en øvre grense p0 slik at vi kun integrerer over impulser der |p| ≤p0.
Her brukes ligning (4.29) for å uttrykke energien ved å bruke spredningslengden a i stedet for den fysiske koblingskonstanten g.
Partikler og eksitasjoner
Mot slutten av kapittelet skal vi vise at N˜ også er en funksjon av gassparameteren. For neste rekkefølge kan det vises at vi får uttrykk proporsjonale med ρa3 og ρa3ln(ρa3), men siden gassparameteren er liten i tynne gasser, er det ofte tilstrekkelig å kun bruke det første uttrykket funnet for E0 i likning (4.2) ) og overse alle termer som avhenger av gassparameteren. Dette betyr opp → ∞ og v−p → −∞ når p → 0 og i denne grenseligningen (4.10) bekrefter de store fysiske forskjellene mellom fononer og atomer i en gass.
Partikkelimpuls
Det vil si at vi lar J > 0 slik at energien er et minimum når alle spinn peker i samme retning. Det vil si at transformasjonen der vi reverserer alle rotasjoner gir oss den samme Hamiltonianske funksjonen. Hvis vi nå utfører si → −si-transformasjonen til en tilstand der alle spinn peker 'opp' (dvs. M =µN), vil vi ikke lenger være i samme tilstand.
Systemet transformeres deretter til den andre tilstanden der alle spinn peker 'ned' og hvor magnetiseringen er M = −µN.
Bølgefunksjon og ordensparameter
I dette tilfellet vil Hamilton-funksjonen ikke lenger være invariant under transformasjonen si → −si, og systemet har mindre energi hvis alle spinn har samme retning som magnetfeltet. Spinnene foretrekker ikke den ene retningen mer enn den andre, og systemet reflekterer derfor symmetrien til Hamilton-funksjonen i ligning (5.1). Hvis B > 0 under kjøling, velger systemet grunntilstanden der alle spinn peker 'opp', og omvendt når B < 0.
Når systemet velger en av de degenererte grunntilstandene, brytes symmetrien og systemet gjennomgår en faseovergang til den ferromagnetiske fasen.
Symmetribrudd og kjemisk potensial
Vi kan nå trekke følgende konklusjon: Spontant symmetribrudd kan bare skje hvis det kjemiske potensialet er positivt, for det er først da vi blir degenerert. Fordi verdien av det kjemiske potensialet er avgjørende for om symmetribrudd kan oppstå eller ikke, må µ være temperaturavhengig. Da må det kjemiske potensialet gå fra å være negativt til positivt, og µ er derfor lik null ved T = Tk.
Det er verdt å merke seg her at vi kan uttrykke det kjemiske potensialet som ovenfor bare hvis vi kan ignorere partiklene i de eksiterte tilstandene og sette 0 ≈N.
Superposisjon og domener
Goldstones teorem
Ved så lave temperaturer er det naturlig å bruke en eektiv feltteori som kun konsentrerer seg om den lineære delen av spekteret. I det følgende skal vi utvikle en eektiv feltteori med kun én frihetsgrad, som gir en lineær spredningsrelasjon. Før vi kan utvikle en effektiv feltteori, må vi identifisere hvilke frihetsgrader som er relatert til de masseløse eksitasjonene, men først ønsker vi å presisere at vi ikke skal studere operatører i dette kapittelet.
I denne parametriseringen av feltene er den relevante frihetsgraden, som vi vil bruke i den effektive feltteorien, faseφ(r, τ).
Eektiv Lagrangetetthet
Ligning (6.10) beskriver en generell ikke-relativistisk superuid med global brutt symmetri U(1) i lavenergigrensen, og alle beregningene vi gjør, kan vi deretter relatere til et bestemt system ved å sette inn tilsvarende verdier for parameterne nec1, c2,. Det dimensjonsløse feltet Klein-Gordon har altså en lineær dispersjonsrelasjon, og den effektive feltteorien gitt av den lagrangiske tettheten i ligning (6.11) gir en god beskrivelse av. Her ser vi at vi får samme spredningsrelasjon som i ligning (4.37), og eektivfeltteorien gir en god beskrivelse av kondensatet når alle eksitasjoner kan sees på som masseløse fononer med lydhastighet c=p.
Basert på dette uttrykket kan vi finne det konjugerte feltet til φ(r, t) ved å bruke ligning (2.76).
Propagatoren i Minkowskirommet
I det følgende vil vi vise at dette er tilfelle, men generelt vil propagatoren være en funksjon av forskjellen nx−y hvis systemet er homogent og isotropt og når |0i er en stasjonær løsning av Hamilton-operatoren [31]. Hver operator i feltet φˆ er en sum av heve- og senkendeoperatorer, og bare ledd som inneholder kombinasjonen h0|ˆapˆa†q|0i = δp,q overlever i uttrykket for D(x −y). Fra likning (7.19) ser vi at D(x−y) kun avhenger av x−y, noe som også betyr at Feynman-propagatoren også er en funksjon av denne variansen:.
Vi utfører konturintegralet langs en halvsirkel med radius R og som vi plasserer i det nedre halvplanet hvis x0> y0. Hvis x0< y0, plasserer vi halvsirkelen i det øvre halvplanet.
Termisk midling av tilstander
Alle tilstander som systemet kan være i, er imidlertid statistisk fordelt og kan beskrives ved hjelp av den statistiske operatoren ρˆ[31]:. Her er F den frie Helmholtz-energien og |mi er en egentilstand til Hamilton-operatoren med egenverdi Em. Når temperaturen er større enn null, vil alle observerbare ta statistiske middelverdier, og vi kan finne disse middelverdiene ved å bruke ρˆ.
Mer presist kan vi finne gjennomsnittlig hOiˆ for enhver kvantemekanisk operatør Oˆ ved å ta sporet ρˆOˆ:.
Den termiske Greensfunksjonen
Matsubarafrekvenser
En riktig beregning for fermioner viser at denne frekvensen må gis ved z ωn= (2n+ 1)π/β, slik at erf(τ) er antiperiodisk, slik at.
Den termiske Greensfunksjonen i impulsrommet
I det følgende skal vi også studere G(p, τ), som er Fourier-transformasjonen av ligningen (7.47), og vi kan skrive denne funksjonen som: Ved å bruke ligning (7.44) kjenner vi den termiske Greens funksjon uttrykt i Matsubara-frekvenser i stedet for den imaginære tiden τ.
Korrelasjonsfunksjonen og store avstander
Her lettavære er avstanden mellom to nabosvinger slik at |i−j|a er avstanden mellom svingene i og j. Når vi har BEK, følger det derfor at korrelasjonsfunksjonen ρ(r−r0) skiller seg fra null. Vi vil nå se at korrelasjonsfunksjonen begrenser ρ0, som er tettheten av partikler i kondensatet, når |r−r0|.
Men hva som menes med kvasi-kondensat skal vi ikke gå i detalj her, bortsett fra å nevne at det er et mellompunkt mellom BEK og normalfasen.
Én dimensjon
Vi skal nå studere den effektive teorien for fasen i romlige dimensjoner en, to og tre, og se at teorien kan forutsi om vi har BEK eller ikke. Vi ser at korrelasjonsfunksjonen avtar algebraisk, og derfor har vi ikke Bose-Einstein kondensering i én dimensjon selv om temperaturen er lik null. I denne referansen studeres korrelasjonsfunksjonen til en feltteori som ligner på vår fasefeltteori, og derfor får vi svært like beregninger som i denne referansen.
Med andre ord, vi har ikke engang et kvasi-kondensat i endimensjonalt rom ved endelig temperatur.
To dimensjoner
Her ser vi imidlertid at korrelasjonsfunksjonen går mot en verdi som er mindre enn ρ0, og årsaken til dette er knyttet til at ikke alle partiklene legger seg i kondensatet selv om T = 0 [2] . Da fant vi også at det var få partikler utenfor kondensatet fordi dette partikkeltallet var proporsjonalt med gassparameteren. Når vi nå studerer korrelasjonsfunksjonen for T >0, ser vi bort fra konstantleddet proporsjonalt med 1/ξ i ligning (7.95).
Men øker vi temperaturen slik at T > TBKT splittes parene og dette resulterer i at systemet ikke lenger blir viskositetsfritt og går over til normalfasen.
Tre dimensjoner
I denne oppgaven har vi sett på Bose-Einstein-kondensering i svakt interagerende Bose-gasser og i mer generelle ikke-relativistiske superfluider, ved bruk av effektive feltteorier. Oppførselen til korrelasjonsfunksjonen på store avstander er nært knyttet til Bose-Einstein kondensasjon, og vi så at vi hadde BEK i tre dimensjoner ved alle temperaturer og ved T = 0 i to dimensjoner. Det var interessant å gjøre en dypere studie av Bose-Einstein-kondensering, og det var spesielt spennende å studere en effektiv feltteori som beskriver ikke-relativistiske superfluider ved lave temperaturer.
Nobel lecture: When atoms behave like waves: Bose-Einstein condensation and the atomic laser.
