I tre romlige dimensjoner, er eksponenten gitt ved:
h[ ˆφ(r)−φ(0)]ˆ 2i= 1 c2c
Z dp (2π)3
1
p[1 + 2np][1 + cos(p·r)], (7.100) og hvis vi går over til kulekoordinater og utfører integrasjonene over alle vinklene, nner vi at den kan skrives som:
h[ ˆφ(r)−φ(0)]ˆ 2i= 1 2π2c2c
Z 1/ξ 0
dp p[1 + 2np][1−sin(pr)
pr ]. (7.101)
7.8. KORRELASJONSFUNKSJONEN I ÉN, TO OG TRE DIMENSJONER 97 I grensen derr → ∞vil
r→∞lim
sin(pr)
pr = 0, (7.102)
og eksponenten vil gå mot en konstant. Bose-Einstein kondensasjon er derfor mulig i tre dimensjoner selv omT >0.
Vi har nå brukt den eektive feltteorien for fasen til å studere korrelasjonsfunksjonen ved lange avstander. Med dette fant vi ut at både temperaturen og antallet dimensjon- er har stor innytelse på om vi kan ha BEK. Resultatene vi kk er også i samsvar med Hohenberg-Mermin-Wagner teoremet og andre utregninger gjort av for eksempel Popov i ref. [30]. Vi kan likevel merke oss at det i 2001 ble påvist BEK i både én og to dimensjoner [41]. Dette ble funnet ved å studere Bosegasser som var fanget i feller. Disse Bosegassene hadde en endelig størrelse, og slike systemer kan inneholde et Bose-Einstein kondensat når systemet er korrelert over avstander som er lengre enn gassens fysiske utstrekning.
Kapittel 8
Oppsummering
I denne oppgaven har vi sett på Bose-Einstein kondensasjon i svakt vekselvirkende Bosegasser og i mer generelle ikke-relativistiske superuid, og til dette brukte vi eektive feltteorier. En svakt vekselvirkende Bosegass beskrev vi ved hjelp Bogoliubovs metode, og vi fant ut at systemet kunne beskrives ved hjelp av kvasipartikler som i lavenergi- grensen hadde en lineær dispersjonsrelasjon. Vi så også at det til enhver tid måtte være partikler som var eksitert ut av kondensatet, og at dette var en liten andel av partiklene.
At eksitasjonsspekteret ikke hadde noe energigap i lavenergigrensen, var en følge av at den globale U(1)-symmetrien var brutt spontant.
I den ikke-relativistiske grensen, kunne vi beskrive en Bosegass med spontant brutt glob- al U(1)-symmetri ved hjelp av en eektiv feltteori for fasen φ(r, t). Det eneste vi antok da vi fant denne feltteorien, var Galileiinvarians, og dette medførte at teorien ble syste- muavhengig og meget generell. Likevel kunne vi relatere den til et gitt system gjennom å bestemme parameterne c1, c2..., og generelt måtte parameterne bestemmes eksperi- mentelt. For en svakt vekselvirkende Bosegass fant vi imidlertid at c1 og c2 var relatert til massenm, partikkeltetthetenρ og spredningslengdena.
I det siste kapittelet kvantiserte vi feltteorien, og studerte korrelasjonsfunksjonenρ(r0−r) i grensen der|r0−r| → ∞. Oppførselen til korrelasjonsfunksjonen ved store avstander, er nært knyttet til Bose-Einstein kondensasjon, og vi så at vi hadde BEK i tre dimensjoner ved alle temperaturer og ved T = 0 i to dimensjoner. Det faktum at vi ikke har BEK i lavere dimensjoner ved T > 0 og i én dimensjon ved T = 0 er også i samsvar med Hohenberg-Mermin-Wagner teoremet. I tillegg avtok korrelasjonsfunksjonen algebraisk i to dimensjoner ved endelig temperatur og i én-dimensjon ved T = 0. I slike tilfeller inneholder systemet derfor et kvasikondensat og har egenskaper som et superuid.
99
Epilog
Arbeidet med denne oppgaven har vært svært lærerikt og spennende. Den har gitt meg god innsikt hvordan vi kan bruke eektive feltteorier til å studere kompliserte kvante- mekaniske systemer, og hvordan dette kan forenkle beregningene betraktelig. Det har vært interessant å gjøre et dypere studium av Bose-Einstein kondensasjon, og særlig spennende var det å studere en eektiv feltteori som beskriver ikke-relativistiske super- uider ved lave temperaturer.
Jeg vil avslutningsvis rette en takk til Jens O. Andersen for spesielt god veiledning.
Han har gitt gode og konstruktive tilbakemeldinger og har hjulpet meg til å yte mitt beste. Jeg vil også rette en spesiell takk til venner og familie som har vært støttende gjennom hele prosessen.
101
Bibliogra
[1] Ketterle W. Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensa- tion and the atom laser. Rev. Mod. Phys. 2002; 74:1131.
[2] Pitaevskii L, Stringari S. Bose-Einstein Condensation. Oxford: Clarendon Press;
2003.
[3] Pethick CJ, Smith H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cam- bridge University Press; 2004.
[4] Strobl G. Condensed Matter Physics - Crystals, Liquids, Liquid Crystals and Poly- mers. Berlin: Springer; 2004.
[5] Andersen JO. Introduction to Statistical Mechanics, Second edition - Now including Markow chains!. Trondheim: NTNU; 2008.
[6] Reichl LE. A Modern Course in Statistical Physics. Austin: University of Texas Press; 1980.
[7] Dickho WH, Van Neck D. Manybody Theory Exposed! Propagator descripiton of quantum mechanics in manybody systems. Hackensack, NJ: World Scientic; 2005.
[8] Hemmer PC. Kvantemekanikk. Trondheim: Tapir Akademisk Forlag; 2000.
[9] Sudbø A. Forelesningsnotater til faget TFY4210 Anvendt Kvantemekanikk. Trond- heim: NTNU; 2009
[10] Blaizot JP, Ripka G. Quantum Theory of Finite Systems. Cambridge Mass.: The MIT Press; 1986.
[11] Fetter AL, Walecka JD. Quantum Theory of Many Particle Systems. New York:
McGraw-Hill; 1971.
[12] Brevik IH. Kompendium i faget TEP4145 Klassisk Mekanikk. Trondheim: NTNU;
2006.
[13] Mandl F, Shaw G. Quantum Field Theory. Chichester: John Wiley & Sons; 1993.
[14] Peskin ME, Schroeder DV. An Introduction to Quantum Field Theory. Boulder, Colo.: Westview Press; 1995.
103
[15] Economou EN. Greens functions in Quantum Physics. Berlin: Springer; 2006.
[16] Kapusta JI. Finite-temperature eld theory. Cambridge: Cambridge University Press; 1989.
[17] Negele JW, Orland H. Quantum Many-Particle Systems. Redwood City, Calif.:
Addison-Wesley; 1988.
[18] Elliot SR. The Physics and Chemistry of Solids. Chichester: John Wiley & Sons 2006.
[19] Georgi H. Eective Field Theory. Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1993; 43:209.
[20] Pich A. Eective Field Theory. arXiv:hep-ph/9806303v1. 1998.
[21] Andersen JO. Theory of weakly interacting Bose gas. Rev. Mod. Phys. 2004; 76:599.
[22] Skagerstam BS. Forelesningsnotater til faget TFY4292 Kvanteoptikk. Trondheim:
NTNU; 2008.
[23] Lee TD, Yang CN. Many-Body Problem in Quantum Mechanics and Quantum Sta- tistical Mechanics. Phys. Rev. 1957; 105:1119.
[24] Proukakis NP, Jackson B. Finite Temperature Models of Bose-Einstein condensation.
arXiv:0810.0210v2. 2008.
[25] Weinberg S. Quantum Theory of Fields. 2. utg. Cambridge: Cambridge University Press; 1996.
[26] Andrews MR, Townsend CG, Miesner HJ, Durfee DS, Kurn DM, Ketterle W. Ob- servation of Interference Between Two Bose Condensates. Science. 1997; 275:637.
[27] Lange RV. Nonrelativistic Theorem Analogous to the Goldstone Theorem. Phys.
Rev. 1966; 146:301.
[28] Andersen JO. Eective eld Theory for Goldstone Bosons in Nonrelativistic Super- uids. arXiv:cond-mat/0209243v1. 2002.
[29] Liu WV. Eective eld theory approach to Bose-Einstein condensation. arXiv:cond- mat/9711250v4. 1998.
[30] Popov VN. Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics.
Dordrecht: D. Reidel; 1983.
[31] Zagoskin AM. Quantum Theory of Many-Body Systems : Techniques and applica- tions. New York: Springer; 1998.
[32] Abrikosov AA, Gorkov LP, Dzyaloshinskii IE. Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics. Englewood Clis: Prentice Hall; 1963.