26th July 2018

26th July 2018

Quantenteleportation

Farzad Schafighpur

26th July 2018

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlegendes

2 Teleportation eines Qubits

3 Teleportation zweier Qubits

4 Teleportation von N Qubits

Grundlegendes

EPR paradox (1935)

Einstein, Podolsky und Rosen:

"Quantenmechanische Beschreibung der Realität durch eine WellenfunktionΨist unvollständig!"

ΨAb=aΨ, ΨBb =bΨ, ^hA,^b B^bi6= 0 a und b sind nicht gleichzeitig messbar. Jedoch:

Φ =φψ, φA^b=a⁰φ, ψB^b =b⁰ψ

a’ und b’ sind gleichzeitig messbar!

Grundlegendes

EPR paradox nach David Bohm

Beispiel anhand von zwei Spinzuständen

1 Präpariere zwei Zustände A und B:

|Φi_AB= ^√1

2(|0i_A⊗ |1i_B− |1i_A⊗ |0i_B)

2 Nachdem die Zustände auseinander propagieren wird an Teilchen A die S_Z-Komponente gemessen:

Für A: |0i −→B: |1i und vice versa

Grundlegendes

EPR paradox (1935)

Quantenmechanik erlaubt "Spooky actions at a distance" durch verschränke

Wellenfunktionen Mögliche Erklärungen durch verborgene Variablen?

Spooky action at a distance¹

Döner

1EPR-Paradox, slideshare, 10.07.2018, www.slideshare.net

Grundlegendes

Verschränkte Zustände

Ein reiner Zustand |Φi heißt verschränkt falls:

|Φi 6=|0i^A⊗ |1i^B, mit: |0i^A∈ H_A, |1i^B∈ H_B Döner

Ein gemischter Zustand ρ heißt verschränkt falls:

6=^X

i

p_iρ^A_i ⊗ρ^B_i, mit: p_i≥0, ^X

i

p_i= 1

Grundlegendes

Bell-Zustände

Verschränkte Zustände können nach Verschränktheitsgrad in vollseparierbar, biseparierbar oder maximalverschränkt eingeteilt werden.

Beispiel für maximal verschränkte Zustände(Bell-Zustände):

|Φ^±i= ^√1

2(|0i_A⊗ |0i_B± |1i_A⊗ |1i_B)

|Ψ^±i= ^√1

2(|0i_A⊗ |1i_B± |1i_A⊗ |0i_B)

Teleportation eines Qubits

Teleportationsablauf

Alice will einen Zustand zu Bob teleportieren.

Was braucht sie dafür?

Döner

1 Zu teleportierender Zustand:

|ψi₁ =α|0i₁+β|1i₁ Döner

2 Vorpräparierter Bell-Zustand:

|Ψ⁻i₂₃= ^√1

2(|0i₂⊗ |1i₃− |1i₂⊗ |0i₃) = ^√1

2(|01i − |10i)

Teleportation eines Qubits

Teleportationsablauf

Nach Bell-Zustand Messung (BSM) wird die Teilchen 1 und 2 auch verschränkt, damit folgt:

Döner

|φi=|ψi₁⊗ |Ψ⁻i₂₃= ^√α

2(|001i − |010i) +^√β

2(|101i − |110i) Dö= ¹₂{|Ψ⁻i(−α|0i −β|1i) +Ψ⁺(−α|0i+β|1i)

Dö+|Φ⁻i(α|1i+β|0i) +Φ⁺(α|1i −β|0i)}

Schematische Darstellung des Teleportationsablaufes²

|φi= ¹₂{|Ψ⁻i(−α|0i −β|0i) +Ψ⁺(−α|0i+β|0i) +|Φ⁻i(α|1i+β|1i) +Φ⁺(α|1i −β|0i)}

2D. Bouwmeester, et al, Nature, Vol 390, 11, 1997

Teleportation eines Qubits

Was bisher geschah, offene Fragen

Ist nun Zustand 1 bereits teleportiert?

Oder vielleicht geklont?

Wofür noch die Übertragung einer klassischen

Information?

Ist Bobs Position

wichtig? Schematische Darstellung des Teleportationsablaufes²

Döner

2D. Bouwmeester, et al, Nature, Vol 390, 11, 1997

Teleportation zweier Qubits

Teleportationsablauf

Zu teleportierender Zustand:

|ψi=α|00i+β|01iγ|10i+δ|11i Döner Vorpräparierter Bell-Zustand:

|g₁i= ¹₂(|0000i+|0101i+|1010i+|1111i) Döner Bell-Zustände bilden eine Orthonormalbasis:

16

P

i=1

|g_ii hg_i|=I, |g_ii hg_k|=δ_ik

Generalisierte Bell-Zustände

16 Bell-Zustände

|g₁i= ¹₂(|0000i+|0101i+|1010i+|1111i)

|g₂i= ¹₂(|0000i+|0101i − |1010i − |1111i)

|g₃i= ¹₂(|0000i − |0101i+|1010i − |1111i)

|g₄i= ¹₂(|0000i − |0101i − |1010i+|1111i)

|g₅i= ¹₂(|0001i+|0100i+|1011i+|1110i)

|g₆i= ¹₂(|0001i+|0100i − |1011i − |1110i)

|g₇i= ¹₂(|0001i − |0100i+|1011i − |1110i)

|g₈i= ¹₂(|0001i − |0100i − |1011i+|1110i)

Generalisierte Bell-Zustände

16 Bell-Zustände

|g₉i= ¹₂(|0010i+|0111i+|1000i+|1101i)

|g₁₀i= ¹₂(|0010i+|0111i − |1000i − |1101i)

|g₁₁i= ¹₂(|0010i − |0111i+|1000i − |1101i)

|g₁₂i= ¹₂(|0010i − |0111i − |1000i+|1101i)

|g₁₃i= ¹₂(|0011i+|0110i+|1001i+|1100i)

|g₁₄i= ¹₂(|0011i+|0110i − |1001i − |1100i)

|g₁₅i= ¹₂(|0011i − |0110i+|1001i − |1100i)

|g₁₆i= ¹₂(|0011i − |0110i − |1001i+|1100i)

Teleportation zweier Qubits

Teleportationsablauf

Analog zum vorherigen Beispiel werden auch hier die Zustände durch eine BSM verschränkt:

Döner

|φi=|ψi ⊗ |g₁i= ^α₂{|000000i+|000101i+|001010i+|001111i}

|φi=|ψi ⊗ |g₁i+^β₂{|010000i+|010101i+|011010i+|011111i}

|φi=|ψi ⊗ |g₁i+^γ₂{|000000i+|100101i+|101010i+|101111i}

|φi=|ψi ⊗ |g₁i+₂^δ{|110000i+|110101i+|111010i+|111111i}

|φi=|ψi ⊗ |g₁i= ^P16

i=1

|g_ii_A|ψ_ii_B mit: |AAAABBi

Teleportation zweier Qubits

Transformationstabelle

|ψ_ii Messergebnis A Transformation B

|ψ₁iI =|ψi |g₁i I

|ψ₂iσ₁^z =|ψi |g₂i σ₁^z

|ψ₃iσ₂^z =|ψi |g₃i σ₂^z

|ψ₄iσ₂^zσ₁^z=|ψi |g₄i σ^z₂σ^z₁

|ψ₅iσ₂^x=|ψi |g₅i σ^x₂

|ψ₆iσ^z₁σ^x₂ =|ψi |g₆i σ₁^zσ₂^x

|ψ₇iσ^z₂σ^x₂ =|ψi |g₇i σ₂^zσ₂^x

|ψ₈iσ₁^zσ₂^zσ₂^x=|ψi |g₈i σ₁^zσ₂^zσ₂^x

Teleportation zweier Qubits

Transformationstabelle

|ψ_ii Messergebnis A Transformation B

|ψ₉iσ₁^x=|ψi |g₉i σ^x₁

|ψ₁₀iσ^z₁σ^x₁ =|ψi |g₁₀i σ₁^zσ₁^x

|ψ₁₁iσ^z₂σ^x₁ =|ψi |g₁₁i σ₂^zσ₁^x

|ψ₁₂iσ₂^zσ₁^zσ₁^x=|ψi |g₁₂i σ^z₂σ^z₁σ₁^x

|ψ₁₃iσ₂^xσ₁^x=|ψi |g₁₃i σ₂^xσ^x₁

|ψ₁₄iσ^z₁σ^x₂σ^x₁ =|ψi |g₁₄i σ₁^zσ^x₂σ₁^x

|ψ₁₅iσ^z₂σ^x₂σ^x₁ =|ψi |g₁₅i σ₂^zσ^x₂σ₁^x

|ψ₁₆iσ₂^zσ₁^zσ₂^xσ₁^x=|ψi |g₁₆i σ₂^zσ₁^zσ₂^xσ₁^x

Teleportation von N Qubits

Teleportationsablauf

Ein-Qubit-Teleportation −→Zwei verschränkte Qubits nötig Zwei-Qubit-Teleportation −→ Vier verschränkte Qubits nötig N-Qubit-Teleportation −→2N verschränkte Qubits nötig Döner

Wir müssen Bell-Zustände aus 2N Qubits präparieren:

Teleportation von N Qubits

Bell-Zustände

1 |s₀i= 2^{−N2 2}

N−1

P

j=0

|x_ji_A⊗ |x_ji_B Döner

2 |s_ji=⊗^N_k=1 (σ_k^z)^j2k−1 (σ^x_k)^j2k|s₀i Döner

3 U_j =⊗^N_k=1 (σ^z_k)^j2k−1 (σ_k^x)^j2k Döner

xj: Binäre Darstellung der Zahl j

j_k das k-the Bit (von rechts), 0≤j≤2^N −1

k: Qubit auf dasσ wirkt, U_j: Bobs unitäre Transformation

Teleportation von N Qubits

Beispiel Bell-Zustände präparieren für N = 2

|s₀i= ¹₂

3

P

j=0

|x_ji_A⊗ |x_ji_B

= ¹₂(|x₀i_A|x₀i_B+|x₁i_A|x₁i_B+|x₂i_A|x₂i_B+|x₃i_A|x₃i_B) Döner

mit: |x₀i= 00, |x₁i= 01, |x₂i= 10, |x₃i= 11 Döner

|s₀i= ¹₂(|0000i+|0101i+|1010i+|1111i) =|g₁i (|g₁i vgl. Zwei-Qubit-Teleportation)

Teleportation von N Qubits

Beispiel Bell-Zustände präparieren für N = 2

|s_ji=⊗²_k=1 (σ_k^z)^j2k−1 (σ_k^x)^j2k|s₀i

Dön=(σ^z₁)^j1 (σ₁^x)^j2 ⊗(σ₂^z)^j3 (σ₂^x)^j4|s₀i Döner

Nach Übertragung von Alices Messergebnis kann nun Bob die nötige Transformation durchführen und die N-Qubits erhalten.

1 slideshare, 10.07.2018, www.slideshare.com

2 D. Bouwmeester, et al., Nature, Vol 390, 1997

3 G. Rigolin et al., Phys. Rev., 71, 032303, 2005

4 P. Fabritius, nanopdf, 10.07.2018, www.nanopdf.com

5 A. Einstein, et al., Phys. Rev., 47, 777-780, 1935

6 C. H. Bennet, et al., Phys. Rev., 70, 1895-1900, 1991

Danke für die

Aufmerksamkeit!!!

Verschränkte Photonen

Experiment

Erzeugung verschränkter Quanten im nichtlinearen optischen Kristall³

Döner

2D. Bouwmeester, et al, Nature, Vol 390, 11, 1997