Estudi de l’estructura d’estrelles compactes en la Relativitat General amb les equacions de Tolmann-Oppenheimer-Volkoff

(1)

Facultat de Física

Memòria del Treball de Fi de Grau

Estudi de l’estructura d’estrelles compactes en la Relativitat General amb les equacions de

Tolmann-Oppenheimer-Volkoff

Alfred Castro Ginard Grau de física

Any acadèmic 2013-14

DNI de l’alumne: 43176364M Treball tutelat per Sascha Husa Departament de Física

S'autoritza la Universitat a incloure el meu treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línea, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació

Paraules clau del treball:

estrella, neutrons, relativitat.

(2)

(3)

Index

1 Introducci´o 4

2 Equacions de Tolman-Oppenheimer-Volkof 5

2.1 Soluci´o de Schwarzschild . . . 5

2.2 Tolman-Oppenheimer-Volkof . . . 6

3 Equaci´o d’estat 7 3.1 Model de densitatρ₀ constant . . . 7

3.2 Enanes blanques. Gas de Femi . . . 8

3.3 Estrelles de Neutrons . . . 11

3.3.1 Equaci´o d’estat . . . 11

3.3.2 Supernoves . . . 11

3.3.3 Ones Gravitacionals . . . 13

4 Resoluci´o num`erica 15 4.1 Runge-Kutta . . . 15

4.2 Tests de converg`encia . . . 16

4.2.1 Extrapolaci´o de Richardson . . . 17

5 Formulaci´o Newtoniana 19 6 Relativitat General 22 6.1 Model estrella de neutrons . . . 22

6.2 Relaci´o Massa-Radi . . . 24

6.3 Variant l’index politr`opic de l’equaci´o d’estat . . . 25

7 Conclusions 29

(4)

Estudi de l’estructura d’estrelles compactes en la Relativitat General amb les equacions de

Tolmann-Oppenheimer-Volkoff

Alfred Castro

1 Introducci´ o

Podem definir una estrella com una esfera de gas que manté la seva forma gràcies a un equilibri hidrostàtic de forces; per una banda, tenim la for¸ca de la gravetat, que empeny la matèria cap al centre de l’estrella; i per un altre costat tenim la pressió tèrmica que fa el gas cap a fora. Aquest equilibri seguirà aix´ı sempre que l’estrella tengui la capacitat de produir aquesta pressió mitjanant reaccions nuclears de fusió de nuclis de Hidrogen i Heli principalment. Cap al final de la vida d’una estrella, una vegada s’acaba el combustible nuclear, la for¸ca de la gravetat guanya i es produeix el que es coneix com a colapse gravitatori, és a dir, l’estrella es comprimeix fins a que una nova for¸ca pugui equilibrar la gravetat i aguantar l’estrella, donant lloc a la formació d’una estrella compacta. Hi ha tres tipus d’estrelles compactes, per orde de menys a més compacta són: enanes blanques, soportades per la pressió de degeneració dels electrons; estrelles de neutrons, soportades per la pressió de degeneració dels neutrons més interaccions nuclears; i els forats negres, que no troben mecanismes que compensin l’atracció gravitatòria i colapsen a singularitats.

El factor determinant per saber si una estrella acaba com una enana blanca, estrella de neutrons o forat negre ´es la seva massa. Estrelles incialment menors a unes 9-10 masses solars moren convertint-se en enanes blanques; les estrelles de neutrons i forats negres s’originen d’estrelles inicialment m´es massives.

Al 1934 Walter Baade (1893-1960) i Fritz Zwicky (1898-1974) [2] van proposar la idea de estrella de neutrons, indicant que tendrien una densitat molt elevada, un radi molt petit (comparat amb el radi del Sol) i que estarien molt més lligades gravitatoriament que les altres estrelles. També van fer la predicció de que les estrelles de neutrons serien formades a explosions de tipus supernova. El primer càlcul d’un model d’estrella de neutrons va ser dut a terme per Oppenheimer i Volkoff al 1939, on van assumir la matèria formada per un gas de neutrons a alta densitat. Al 1967 Jocelyn Bell i Anthony Hewish van descobrir el primer púlsar, objecte que emet polsos de radiació electromagnètica a intervals regulars relacionats amb el per´ıode de rotació del mateix objecte.

(5)

2 Equacions de Tolman-Oppenheimer-Volkof

Una vegada Albert Einstein (1879-1955) havia formulat la seva teor´ıa de la relativitat especial al 1905, va comen¸car a pensar com descriure els fenòmens gravitatoris en la nova teor´ıa. Al 1915 va presentar a l’Acadèmia Prusiana de les Ciències un article que contenia les Equacions de Camp d’Einstein; que especif´ıquen com la densitat de matèria i energia determina la geometr´ıa de l’espaitemps.

Al 1916, l’astrof´ısic Karl Schwarzschild va trobar la primera solució exacta no trivial a les Equacions d’Einstein, coneguda com la mètrica de Schwarzschild [1]; que és la base per la descripció d’objectes que han sofert un colapse gravitatori on els efectes relativistes comen¸cen a ser importants: estrelles de neutrons i forats negres.

2.1 Soluci´ o de Schwarzschild

Partim inicialment de les equacions d’Einstein, G^µν = 8

c⁴T^µν, (1)

on G^µν és el tensor d’Einstein, que descriu la curvatura de l’espaitemps i T^µν és el tensor d’energia-moment, que descriu les fonts d’energia/matèria en la curvatura de l’espaitemps.

Com que una estrella ´es una massa de fluid lligat gravitat`oriament, pot venir descrit pel tensor d’energia-moment d’un fluid ideal:

T^µν = (ρ(1 + c²) + p

c²)u^µu^ν +pg^µν. (2) On ρés la densitat de massa en repòs,és la densitat d’energia,pés la pressió del fluid, u^α és la 4-velocitat, i g^µν és la 4-metrica, que usam per mesurar distàncies en l’espaitemps (ds² =gµνdx^µdx^ν, notar el conveni de la suma d’Einstein).

Sabem que cossos suficientment massius són incapa¸cos de soportar-se ells mateixos contra la for¸ca de la gravetat. Després del colapse gravitatori que es produeix, suposant que acaba com un cos esfèric, la solució de Schwarzschild ens descriu completament la geometria de l’espaitemps. A més de la suposició de cos esfèric, també suposam que és estàtic, és a dir, no rota sobre si mateixa. Amb aquestes condicions trobam la mètrica de Schwarzschild, donada per:

ds² =−e^2φ(r)c²dt²+ 1− 2Gm(r) rc²

!−1

dr²+r²dΩ², (3) onm(r) és la massa gravitacional dins d’un radir,φ(r) és l’anàlog al potencial Newtonià a la Relativitat General, i dΩ² és la part angular: dΩ² = (dθ²+sin²ϕ²). És una solució trobada al buit, T^µν = 0, m=M_{T otal}, i φ= ¹₂ln(1− ^2GM_rc2 ).

(6)

2.2 Tolman-Oppenheimer-Volkof

Usant la mètrica de Schwarzschild, i assumint zero 3-velocitat (u^α = (c,0,0,0)), simetria esfèrica, i el tensor d’energia-moment tal i com l’hem definit abans, podem reformular les equacions d’Einstein. Tolman, Oppenheimer i Volkof van resoldre aquest problema per a estrelles barotròpiques, és a dir, estrelles on la pressió és una funció de la densitat, arribant a un sistema d’equacions diferencials ordinàries conegudes com TOV:

dp

dr =−G r²

"

ρ(r) + p(r) c²

# "

m(r) + 4πr³p(r) c²

# "

1− 2Gm(r) c²r

#−1

, (4)

dm

dr = 4πr²ρ(r), (5)

dφ

dr = m+ 4πr³_c^p2

r(r− ^2Gm_c2 ). (6)

Aquestes equacions corregeixen les equacions Newtonianes introduint la Relativitat General, això és necessari quan els efectes relativistics es fan importants, a masses més grans. La formulació Newtoniana pot ser adequada per modelar objectes compactes com les enanes blanques, per modelar estrelles de neutrons és necessari introduir-hi els efectes de la Relativitat General.

Podem comparar aquestes amb les equacions de Newton per l’equilibri hidrost`atic que coneixem, per veure com s´on les correccions en el cas relativista:

dp

dr =−Gρ(r)m(r)

r² , (7)

dm

dr = 4πr²ρ(r), (8)

dφ dr = m

r². (9)

Com veiem, l’equació per la massa és la mateixa, mentre que per la pressió és l’equació d’equilibri hidrostàtic clàssica que coneixem. També obtenim una versió per a la curvatura al l´ımit no relativista, és a dir, quan c→ ∞.

Les equacions no lineals acoblades per p(r) i m(r) poden ser resoltes integrant desde r = 0 amb una condició inicial de p0, fins a un punt R on p(R) = 0 per determinar una massa totalM =m(R) i un radiRper a un valor donat dep₀. Aquestes equacions imposen un balan¸c entre les forces gravitacionals i la pressió interna, que és una funció de l’equació d’estat. També, les equacions impliquen que hi ha una massa màxima que l’estrella pot tenir.

(7)

3 Equaci´ o d’estat

3.1 Model de densitat ρ

₀

constant

La diferència més important entre la formulació Newtoniana i la relativitat general, és que en una configuració d’equilibri, la equació que dóna la pressió amb la fórmula de Newton

´

es sempre de menor magnitud que la expressió amb les equacions de TOV. Això significa que per a una densitat central donada, necessitarem una major pressió en la relativitat general per mantenir l’equilibri.

Podem il·lustrar aquest fet fent un model d’estrella en equilibri amb una densitat constant per qualsevol valor de R:

ρ(r) =

( ρ₀ sir ≤R

0 sir > R (10)

Ara podem integrar l’equaci´o per la massa, com´u a les dues formulacions, i per a un r≤R obtendrem

m(r) = 4

3πρr³, (11)

per a r > 0 la massa sera la massa total de l’estrella. A continuació integram la pressió, primer Newtoniana i després en la relativitat general, fins a una condició de contorn tal que p(R) = 0. Aquestes equacions, amb la suposició de densitat constant, poden ser integrades anal´ıticament, llavors obtindriem:

Newton

p(r) = 2

3πρ²₀(R²−r²). (12)

Relativitat general

p(r) = ρ₀





(1−2^M_R)¹² −(1−2^{M r}_R3²)¹² (1−2^{M r}_R3²)¹² −3(1−2^M_R)¹²



. (13)

Veiem que en la relativitat general, la pressi´o central requerida per l’equilibri ´es:

p_c=ρ₀





1−(1−2^M_R)¹² 3(1−2^M_R)¹² −1



, (14)

que al l´ımit on R >> M obtenim la pressi´o central necessper mantenir l’equilibri en la formulaci´o Newtoniana

p_c = 2

3πρ²R², (15)

(8)

equació que no presenta cap discontinu¨ıtat, en canvi l’equació (14) té un comportament singular quan

3(1−2M

R)¹² −1 = 0, (16)

per a una R = ⁹₄M. Per evitar que la pressió central es faci infinita, és necessari imposar un l´ımit superior a la massa que pot tenir una configuració en equilibri a la relativitat general. Aquest l´ımit es precisamentM < ^4R₉ . Llavors la massa màxima que pot tenir una estrella de densitat uniforme és:

M_max = 4

9(3πρ₀)¹². (17)

Aquesta condici´o no ´es deguda al model de densitat constant, assumint que la densitat

´

es positiva sempre i que és una funció decreixent amb el radi, arribam al mateix resultat per la massa màxima.

3.2 Enanes blanques. Gas de Femi

Per trobar l’equació d’estat, comen¸carem amb el cas d’una enana blanca. On trobar l’equació d’estat és més fàcil, ja que estan formades per electrons degenerats, que n’és un bon model un gas de Fermi d’electrons degenerats.

El gas de Fermi ve descrit per l’estad´ıstica de Fermi-Dirac, donada per la distribuci´o ni = 1

e^β(^k^−µ)+ 1, (18)

on n_i ´es el n´umero de part´ıcules, β = _k¹

BT i µés el potencial qu´ımic. Aquesta distribució té un comportament singular quan T →0, β → ∞:

f(x) = 1 e^βx+ 1 =

( 0 six >0

1 six <0 (19)

Que ho converteix en la funci´o escal´o de Heaviside:

Aqu´ı veiem que fins una certa energia, energia de Fermi, tots els estats estaran ocupats;

mentre que una vegada haguem passat aquesta energia, no trobarem cap electró. Amb això el número d’estats disponibles per a un moment k,

(9)

dn= 4πk²dk

(2π¯h)³ , (20)

que podem integrar fins a un moment k_F corresponent a l’energia de Fermi, tendrem que la densitat d’electrons ser`a:

n= 8π (2π¯h)³

Z kF

0

k²dk = k_F³

3π²¯h³. (21)

On el factor dos apareix de la degeneració electrònica, ja que hi ha dos estats d’esp´ı per a cada electró.

La massa total de l’estrella vendrà donada pels N =nV electrons (V és el volum) que formen aquest gas de Fermi més els nuclis ionitzats, que en el cas d’una enana blanca són majoritariament d’heli i n’hi haurà ^N₂. En el cas d’una estrella de neutrons, on el nuclis ionitzants són d’elements pesats, la densitat de l’estrella serà:

ρ=n(m_e+ A

Zm_N)≈nm_NA

Z. (22)

On m_e és la massa de l’electró, m_N és la massa del nucleó, A i Z són els números mi atòmics dels nuclis ionitzats. Ara tenim que la densitat de l’estrella és una funció de la densitat electrònica, amb això podem escriure el moment de Fermi en funció de la densitat de l’estrella:

k_F(ρ) = (3π²¯h³Zρ

m_NA )¹³. (23)

Podem calcular-nos ara la contribució dels electrons a l’energia, sabent que la relació de dispersió per a una particula relativista és:

0 =^q(kc)²+ (mec²)², (24) i, amb això i l’equació 21 podem calcular la contribució de tots els electrons.

_e(k_F) = 8π h³

Z kF

0

(k²c²+m²_ec⁴)¹²k²dk, (25) La densitat d’energia total serà la contribució electrònica _e més la contribució dels nucleons. Ara, si agafam el primer principi de la termodinàmica, definint les quantitats per part´ıcula, tenint en conta que el procés sempre ocorre en equilibri, per tant dQ=T ds, podem escriure:

d(

n) =−pd(1

n) +T ds, (26)

d’on veiem que la pressi´o ´es

p=−∂(_n)

∂(_n¹) =n²∂(_n)

∂n . (27)

(10)

Per tant, amb aquesta i l’equaci´o (25) arribam a

p(kF) = 8π 3(2π¯h)³

Z k_F 0

k⁴dk

qk²c²+m²_ec⁴,

= m⁴_ec⁵

24π²¯h³[(2x³−3x)(1 +x²)¹² + 3sinh⁻¹(x)]. (28) On x ´es un par`ametre adimensional que val x = _m^k^F

ec. Aquesta expresió la podem calcular per qualsevol valor d’x, inclús ha estat tabulada per Chandrasekhar; però és més

´

util veure’n els resultats assimpt`otics, 8

5x⁵−4

7x⁷+ 1

3x⁹− 5

22x¹¹+. . . si x <<1, 2x⁴−2x²+ 3(ln2x− 7

12) + 5

4x⁻²+. . . si x >>1. (29) Corresponents als casos no relativista i relativista respectivament.

Equaci´o Politr`opica.

En qualsevol dels dos casos, relativista o no, si ens quedam amb el primer ordre, trobam una constat per la nostra variable x elevada a una potència, diferent en cada cas. Aquest tipus d’equacions s’anomenen equacions politròpiques, són de la forma:

p=Kρ^γ. (30)

Una equació d’aquest tipus serà la que usarem per integrar numèricament el nostre model d’estrella.

Cas No Relativista.

En el cas no relativista, quan x <<1, tenim que la pressi´o ve donada per:

p(k_f) = m⁴_ec⁵

15π²¯h³x⁵. (31)

Substituint la x pel seu valor i escrivint k_F en funci´o de ρ trobam una constant politr`opica,

Kno−rel= ¯h²

15π²m_e(3π²Z

m_NA)⁵³. (32)

Cas Relativista.

En aquest cas feim el mateix per`o ambx >>1, llavors trobam una constat politr`opica, K_rel = c¯h

12π²(3π²Z

m_NA)⁴³. (33)

(11)

3.3 Estrelles de Neutrons

Les estrelles de neutrons són les més denses que es coneixen, i tot això en un radi de l’ordre d’uns 10 km; estan compostes majoritàriament de neutrons, encara que hi ha una petita fracció de protons i electrons per evitar el decay dels neutrons, que tenen una vida mitjana aproximada d’uns 15 minuts. La massa d’una estrella de neutrons varia t´ıpicament d’entre 1.44−3 masses solars, això implica una densitat per sobre de la densitat nuclear.

3.3.1 Equaci´o d’estat

L’equació d’estat d’una estrella de neutrons encara no es coneguda. Una primera aproxi- mació podria ser un gas de Fermi de neutrons degenerats, ja que a aquestes densitats i en una estrella de neutrons, seria lògic pensar que la pressió que soporta l’estrella és la deguda al principi d’exclusió de Pauli; que diu que dos fermions (els neutrons, aix´ı com els protons i electrons ho són) no poden estar al mateix estat quàntic a l’hora. Aquesta suposició no té en conta la presència dels protons i electrons que hi trobam; aix´ı com tampoc comptabilitza les interaccions fortes nucleó-nucleó, les quals donen una contribució important.

Si suposessim que la pressió que soporta l’estrella ve donada tota per la pressió de degeneració dels neutrons trobar´ıem una equació d’estat politròpica de la mateixa manera que en una enana blanca. Ara, haur´ıem de canviar les constants politròpiques ja que vendrien de la pressió de neutrons i no d’electrons. Obtenim unes constants:

Krel = c¯h

12π²(3π²Z

m_NA)⁴³, (34)

Kno−rel= ¯h²

15π²m_n(3π²Z

m_NA)⁵³, (35)

on la K_rel es queda igual i aKno−rel hem de canviar la massa de l’electr´o per la del neutr´o.

Per tot això, a partir de l’observació i de l’estudi d’estrelles de neutrons conegudes s’adjusta l’equació d’estat. A altes densitats, la correcció més important a l’equació d’estat descrita pel gas de Fermi degenerat és deguda al β−decay

n→p+e⁻+ν_e. (36)

Aquesta reacció no es pot dur a terme, amb la presència d’electrons i protons a l’estrella, ja que si la densitat es suficientment gran com per que els nivells de Fermi que haurien d’ocupar els productes de la reacció ja estiguin ocupats.

3.3.2 Supernoves

Una supernova de tipus II formaria una estrella de neutrons, o forat negre, ja que la im- posibilitat de produir energia al nucli de ferro o niquel d’una estrella; ja que per fusionar-se requereixen energia, fa que l’estrella colapsi tan r`apidament que deixa un espai de baixa

(12)

densitat entre el nucli que colapsa i la resta de l’estrella. Quan l’envoltura comen¸ca a decaure cap al nucli, es crea un front de neutrins que escapen a gran energia xocant aix´ı amb les capes externes de material. L’ona de xoc generada provoca un gran increment de lluminositat. Si la massa del nucli que colapsa és suficientment petita perquè la degeneració de neutrons puguin frenar el colapse, es formarà una estrella de neutrons; de no ser aix´ı, la matèria seguirà colapsant formant un forat negre.

Figure 1: Explosi´o art´ıstica d’una supernova de tipus II. Credit: NASA/Swift/Skyworks Digital/Dana Berry

Les explosions en forma de supernova de tipus Ia venen d’un sistema binari generalment format per una enana blanca i una gegant vermella, la gegant vermella transfereix massa a l’enana blanca fins que aquesta supera el l´ımit de Chandrasekhar, llavors els electrons degenerats ja no poden soportar més l’estrella amb lo qual colapsa gravitatòriament cap al centre d’aquesta. La temperatura de l’interior es dispara i això provoca l’inici de la fusió del carboni del nucli, aquesta ignició abarca tota l’estrella, des del nucli fins a extendrer-se ràpidament a tota l’estrella. Aquesta detonació, crema una quantitat de carboni en questió de segons el que a una estrella normal li duria anys, i és aquesta energia la que provoca una poderosa ona de xoc que destrueix l’estrella i causa un augment extrem de la lluminositat.

(13)

Figure 2: Supernova Ia. Credit: NASA/CXC/M. Weiss

Aquestes darreres són de gran importància, ja que l’estrella sempre explota quan arriba a la seva massa cr´ıtica, la quantitat d’energia lliurada és molt similar en tots els casos. Per això, aquests events ens permeten deduir la distància a la qual es troben de la terra a partir de la quantitat de llum que rebem. Observacions de supernovas de tipus Ia a galaxies molt llunyanes van manifestar que l’univers es troba actualment en un estat d’expansió.

3.3.3 Ones Gravitacionals

Fins al 1967 que es va descobrir el primer púlsar, que es van associar a les estrelles de neutrons degut a l’evidència dels intensos camps magnètics predits per a aquestes. A- quests camps magnètics, produ¨ıts per l’alta velocitat de rotació de la matèria condensada, indueixen a l’emisió de polsos de radiació electromagnètica periòdics amb una freqüència ben determinada. L’aplicació més important de l’estudi de pulsars és detectar i analitzar ones gravitacionals.

Aix´ı les estrelles de neutrons poden convertir-se en laboratoris per verificar prediccions de la teor´ıa de la relativitat general, com poden ser les ones gravitacionals.

L’observació del púlsar binari PSR B1913+16 ens diu que perd energia rotacional su- posadament degut a l’emissió d’ones gravitacionals, d’acord amb la teoria.

(14)

Una ona gravitacional és una ondulació de l’espaitemps produ¨ıda per un cos massiu accelerat. Actualment, hi ha grans observatoris que haurien de ser capa¸cos de detectar ones gravitacionals, com per exemple LIGO als Estats Units, o VIRGO a Fran¸ca i Itàlia;

una missi´o espacial anomenada LISA, en fase d’estudi, podria ser el primer observatori espacial d’ones gravitacionals.

Aquests observatoris consiteixen en un sistema interferomètric dos bra¸cos perpendicu- lars en condicions de buit per on hi fem passar llum laser. Es pretén mesurar els petits moviments que s’han de produir als miralls, que resultaria en un patró de difracció en la senyal del interferòmetre.

Aquestes observacions serien una important validaci´o de la teoria de la relativitat general.

(15)

4 Resoluci´ o num` erica

Les equacions a integrar, tant la versió Newtoniana com les TOV, són un conjunt d’equacions diferencials ordinàries que, analiticament, no són senzilles de resoldre. Per això recurrim a mètodes numèrics per fi de trobar-ne una solució.

Programarem dues versions de la mateixa familia de m`etodes coneguda com Runge- Kutta, que arribarem fins a segons i quart ordre.

4.1 Runge-Kutta

Aquests mètodes, inicialment desenvolupats al 1900 pels matemàtics Carl Runge i Martin Wilhem Kutta, són mètodes iteratius que ens donen una aproximació a la solució d’una equació diferencial ordinaria. Partint d’una condició inicial donada, avaluen la solució en passos d’integració successius, agafant aquests com a inici de la propera integració.

Donada una funci´o diferencial ordinaria de la forma [5]:

y⁰(x) =f(x, y(x)). (37)

Amb una condici´o inicial y(x₀) = y₀

L’algoritme per aquests m`etodes ve donat per:

Runge-Kutta de segon ordre:

k₁ = f(x, y),

k₂ = f(x+ ∆x, y+ ∆xk₁). (38)

On ∆x és el pas d’integració, i la solució al seguent pas és:

yⁿ=yⁿ⁻¹+∆x

2 (k₁+k₂). (39)

Runge-Kutta de quart ordre:

k₁ = f(x, y), k₂ = f(x+∆x

2 , y+∆x 2 k₁), k₃ = f(x+∆x

2 , y+∆x 2 k₂),

k4 = f(x+ ∆x, y+ ∆xk3). (40)

Amb la soluci´o al seguent pas:

yⁿ=yⁿ⁻¹+∆x

6 (k1+ 2k2+ 2k3+k4). (41)

(16)

Les nostres variables seran x ≡r per a la variable independent, i un vector de dimen- sions 2×1 per la variable dependent, que inclourà l’equació a resoldre per la massa i per la pressió.

El procediment serà dur a terme una integració des del centre de l’estrella r= 0 fins a un radi R_max, o bé fins que la pressió sigui nul·la,p(R) = 0, condició necessaria perquè hi hagui equilibri. És necessari imposar condicions inicials per comen¸car a integrar, aquestes seran:

m(0) = 0, (42)

p(0) = p₀, (43)

onp₀ vendra donada imposant una densitat central ρ₀ i calculant la pressi´o amb l’equaci´o d’estat.

Com podem veure, exiteix una discontinu¨ıtat en les equacions per la pressi´o quanr= 0, aquest punt ha de ser tractat separadament. Per aix`o s’han comen¸cat les integracions en r= ∆r, d’aquesta manera s’evita la singularitat.

4.2 Tests de converg` encia

Una vegada que les equacions han estat resoltes, seguint els mètodes numèrics que hem comentat abans, hem de verificar la validesa i la presició de la solució. Una de les maneres més exteses per dur a terme aquestes comprovacions són els tests de convergència.

La idea principal d’aquests tests és calcular-nos la solució numèricament amb diferents resolucions, i veure que la velocitat amb la que convergeix aquesta és l’esperada teòricament. Això també ens donarà una idea de l’error que estam assumint a la solució.

Quan la solució original no és coneguda, el que fem és avaluar la solució obtinguda de manera numèrica a diferents passos d’integració: ∆x, ^∆x₂ i ^∆x₄ . Després hem de comprar les solcuions als diferents pasos d’integració, s’ha d’anar molt en compte ja que hem de ser cuidadosos d’avaluar la comparació en el mateix punt de x per cada una de les solucions. Per un pas d’integració més petit, tendrem més punts calculats a la solució, però la comparació s’ha de fer als punts que aquestes tenguin en comú.

Sigui una funció y(x), trobam la solució numèrica per als diferents ∆x:

∆x→y1,

∆x 2 →y₂,

∆x

4 →y₄. (44)

Una vegada tenim les tres solucions, per trobar l’ordre p al qual convergeix el nostre algoritme les hem de comparar de la seg¨uent manera:

(17)

y₁ −y₂

y₂ −y₄ = (∆x)^p−(^(∆x)₂ )^p

(^(∆x)₂ )^p−(^(∆x)₄ )^p = 2^p. (45) Llavors, avaluant les diferències de y_i i multiplicant pel valor de p adequat, podrem verificar o trobar l’ordre de convergència del nostre mètode numèric.

Tendrem també una estimació de l’error que cometem al calcular la solució numèricament, a més de l’error que assumim quan triam un cert pas d’integració.

Veiem que la solució per a la massa, per exemple, convergeix a segon ordre, amb el següent gràfic:

Figure 3: Gàfica on veim la convergència a segon ordre. Elaboració pròpia.

4.2.1 Extrapolaci´o de Richardson

Per tenir una idea de l’error que cometem a l’hora de calcular la solució amb el nostre mètode numèric, usam l’extrapolació de Richardson. Aquesta ens permet, si tenim la nostra funció de la forma:

y(∆x) = y₀+e(∆x)^p, (46)

ony(∆x) és la nostra aproximació numèrica, pés l’ordre de convergència del mètode y₀ és la funció exacte i els altres termes són correccions d’ordre superior, si poguéssim obteniry₀, tenguenty(∆x), ens podrien fer una idea de l’error e que cometem. Llavors l’extrapolació de Richardson és una manera de obtenir y₀ a partir de les solucions calculades a diferents

∆x. Ve donat per l’algoritme:

(18)

y₀ = t^py(^∆x_t )−y(∆x)

t^p−1 . (47)

Llavors calculant aquest valor, podrem tenir una estimaci´o de l’errore que comentem amb l’algoritme.

El paràmetret és la precisió amb la que hem agafat la solució. Aqu´ı ha estat calculat agafantt = 2 i p= 2, ja que els nostres algor´ıtmes només convergeixen a segon ordre.

Pel nostre mètode, Runge-Kutta 4 hem aplicat aquesta manera de per conèixer una estimació de l’error sobre la massa, que es pot calcular:

∆y =y₀−y(∆x_m´_espetit), (48)

fent aix`o, hem trobar un error per a la massa, calculada amb les equacions de TOV:

Figure 4: Error sobre la massa usant les equacions de TOV. Elaboraci´o pr`opia

(19)

5 Formulaci´ o Newtoniana

A l’hora de resoldre les equaciones newtonianes per la pressió i la massa, a més de l’equació d’estat, s’han emprat els algoritmes de Runge-Kutta d’ordre 2 i 4. Com hem comentat abans s’ha de tenir en compte que l’or´ıgen s’ha de tractar separadament, comen¸cant aix´ı l’integració quan r= ∆x, per evitar el punt r= 0.

El sistema d’unitats que s’ha usat durant totes les simulacions numèriques és el sistema cegesimal, també conegut com CGS. És un sistema basat en el cent´ımetre, el gram i el segon; el seu nom és l’acrònim d’aquestes tres unitats.

El valor d’algunes constants que s’han usat es poden trobar a la seguent taula:

Constant Magnitud Valor

Massa Solar (M_S) grams 1.9891·10³³ Radi Solar (R_S) centimetres 6.96·10¹⁰ Constant gravitaci´o universal (G) ^dyncm_gr2 ² 6.67·10⁻⁸ Velocitat de la llum (c) ^cm_s 29979245800

El sistema d’unitats escollit és arbitrari, s’ha escollit aquest per familiaritat. Un sistema d’unitats que també pot resultat convenient és aquell on G=c=MS = 1.

L’equaci´o d’estat per fer aquest model, de tipus politr`opica, ha estat:

p= 1.982·10⁻⁶ρ^2.75, (49)

Sempre en unitats CGS.

Amb una densitat inicial de ρ₀ = 5·10¹⁴ [7] trobam un perfil per a la nostra estrella:

Figure 5: Perfil de densitat en la gravetat newtoniana. Elaboraci´o pr`opia.

(20)

Veiem que decau desde el valor inicial que hem donat com a condici´o fins a un valor m´ınim que correspon a quan ens trobam a la superficie de l’estrella.

Figure 6: Perfil de massa en la gravetat newtoniana. Elaboraci´o pr`opia.

Creix desde 0 fins a un valor m`axim quan arribam a la superf´ıcie de l’estrella.

Per a la pressi´o, veiem com des d’un valor inicial, calculat amb l’equaci´o d’estat a partir d’una densitat inicial donada, cau fins a arribar a 0 quan ens trobam a la superf´ıcie.

(21)

Figure 7: Perfil de pressió en la gravetat newtoniana. Elaboració pròpia.

Aquest ´es el comportament que hauriem d’esperar al perfil d’una estrella de neutrons.

Fent el mateix c`alcul per a diferents densitats inicial, sempre per sobre de la densitat nuclear, i dins el rang corresponent a estrelles de neutrons; podem escriure una taula amb els resultats obtinguts per aquest model d’estrella en equilibri newtoni`a.

Densitat Massa (M_S) Radi (km) 5·10¹⁴ 2.858 17.56 6·10¹⁴ 4.210 18.80 7·10¹⁴ 5.843 19.92 8·10¹⁴ 7.759 20.94

Sembla que pels resultats obtinguts no tenim una massa l´ımit sobre la qual no tenim m´es una estrella, simplement quan anam augmentant la densitat central, augmenta la massa total i el radi de la nostra estrella.

Aquest model newtonià és molt més permisiu, és a dir, la gravetat és més fluixa i per tant trobam estrelles més grans en volum, i en massa total. Això no és un fenòmen que observem, ja que la massa observada per una estrella de neutrons és menor que les calculades resolent aquestes equacions.

Per solventar aix`o s’han d’introduir correccions dins el marc de la relativitat general, que ´es la que governa aquests tipus d’objectes.

(22)

6 Relativitat General

6.1 Model estrella de neutrons

Per introduir aquestes correccions dins la relativitat general, el que hem de fer es resoldre les equacions de TOV per a la pressió i la massa (mateixa que en el cas anterior). També juntament amb l’equació d’estat de politròpica que ens relaciona la pressió que soporta l’estrella amb la densitat d’aquesta,

p= 1.982·10⁻⁶ρ^2.75. (50)

Usarem la mateixa que en el cas newtoni`a per poder comparar com afecten els canvis introdu¨ıts al perfil.

Llavors, integrant les equacions de TOV, amb una densitat inicial donada (en unitats CGS) de 5·10¹⁴, desde dins cap a fora, on la condici´o ´es que p(R_max) = 0; obtenim un perfil que, comparat amb el cas anterior:

Figure 8: Comparació perfil densitats en la gravetat newtoniana i relativitat general. Veiem que l’estrella decau més ràpidament. Elaboració pròpia.

On veim que la densitat decau de la mateixa forma, però més ràpidament, arribant a un radi màxim d’uns quants kilòmetres menor que el radi màxim amb la gravetat newtoniana.

(23)

Figure 9: Comparació dels perfils de massa. Elaboració pròpia.

Aqu´ı veiem que arriba a un radi màxim també menor que en el cas newtonia (coincideix amb la gràfica anterior), fins a una massa total bastant inferior que la calculada a l’apartat anterior. Veiem una mostra de que la gravetat en la relativitat general és més forta que en l’altre cas.

Per la pressió tendrem un perfil semblant que en la calculada amb la formulació newtoniana, amb la diferència que caura més ràpidament.

(24)

Figure 10: Comparació perfils de pressió. Elaboració pròpia

Comparant els valors obtinguts per a cada una de les dues formulacions, amb el mateix valor de densitat central:

Radi (km) Massa (M_S)

Newton 17.56 2.858

Relativitat General 14.23 1.513

On veim que les diferències que em observat als gràfics són significatives.

6.2 Relaci´ o Massa-Radi

Podem anar canviant la densitat central del nostre model per obtenir diferents estrelles amb diferents radis i masses finals, i amb això, podem representar les diferents estrelles per veure l’existència d’una massa màxima.

Les massa màxima d’una estrella de neutrons pot arribar fins a les 3M_S, en aquest model les estrelles que superen aquesta massa no són estables i colapsen gravitatòriament cap a un forat negre. Les estrelles de massa per sota de 1.44M_S són considerades enanes blanques.

Representant la massa en funció del radi per a estrelles amb diferents densitats inicials, podem veure gràficament l’existència d’una massa màxima en aquest model.

(25)

Figure 11: Gràfic Massa-Radi, calculat en diferents densitats centrals. Elaboració pròpia.

Veiem que pel nostre cas, abarcam un rang de 2− 3M_S més o menys, i que per a diferents radis, d’uns 10−14km, la massa màxima no és superada. Aquesta puja fins a un màxim i torna a baixar.

Les configuracions de massa que es troben a la dreta del màxim són estables, ja que la massa decreix amb la densitat; i pel contrari, les configuracions a l’esquerra del màxim són inestables, hi ha un canvi en ^∂M_∂ρ

c que en aquest segment creix.

6.3 Variant l’index politr` opic de l’equaci´ o d’estat

Una altra cosa que també podem fer, és variar l’exponent γ de l’equació d’estat amb la finalitat de construir models de diferents tipus d’estrelles. Unes poden ser més lligades gravitatòriament o unes altres pot ser inclús tenguin atmosfera.

Per exemple, canviant la γ a un valor de 2.7 en lloc dels 2.75 originals, i calculant el nostre model amb una densitat deρ_c= 5·10¹⁴per comparar-ho amb els resultats obtinguts a l’apartat anterior, obtenim:

(26)

Figure 12: Perfil de pressió per a una γ = 2.7. Elaboració pròpia.

On veiem que el radi s’ha redu¨ıt bastant. Encara que la massa hagi augmentat respecte de l’altre model deγ = 2.75, ja que la massa total que obtenim aqu´ı ´es de 1.742MS, mentres que l’altre era 1.513 M_S.

Seguint amb el mateix procediment, canviant la γ a dos valors nous, de 2.82 i 2.87 podem veure com aquest model soporta m´es massa que l’anterior amb la mateixa densitat central, ja que arriba fins a masses totals de 5.641 i 8.179 M_S respectivament, front a 1.513 M_S.

(27)

Figure 13: Perfil de pressió per a una γ = 2.82. Elaboració pròpia.

Figure 14: Perfil de pressió per a una gamma= 2,87. Elaboració pròpia.

A n’aquestes dues gr`afica, la primera l´ınia vertical mostra que s’ha arribat al 50% de la massa total, la segona al 90% i la tercera al 99.99% del radi total. Veiem que en els dos models diferents hi ha un creixement desigual de la massa. Podem considerar que

(28)

quan hem arribat al 99.99% de la massa total ja hem arribat al radi m`axim de l’estrella i tot el que trobam despr´es (de l’ordre d’un centenar de metres) es pot considerar com una atmosfera de l’estrella.

(29)

7 Conclusions

Des del punt de partida del nostre model d’estrella de neutrons, veiem que en la relativitat general la gravetat és més forta que en la relativitat newtoniana, per tant, és més dif´ıcil mantenir l’equilibri en la relativitat general.

L’equació d’estat d’una estrella de neutrons és molt dif´ıcil de predir teòricament ja que, encara que sabem de que està formada la matèria, no sabem ben bé les interaccions que es produeixen als nuclis d’estrelles de neutrons.

Aix`o ´es un tema interessant d’estudi desenvolupat en l’actualitat. Ara com ara, es creu que una estrella de neutrons podria tenir una estructura com:

Figure 15: Idea actual de l’estructura d’una estrella de neutrons. Imatge de:

http://www.atnf.csiro.au/outreach/education/everyone/pulsars/index.html

on encara no sabem les forces que existeixen entre la mat`eria al nucli.

Aqu´ı, s’han tengut en compte estrelles estàtiques amb simetria esfèrica, però també en els models més realistes, s’han de tenir en compta la rotació de les estrelles de neutrons.

Poden arribar a rotar molt ràpid, un punt a la superf´ıcie es pot arribar a moure a velocitats de fins a 70000km/sprovocant que les estrelles que girin tan ràpidament s’expandeixin pel seu equador. Això ajuda a que els radis d’aquestes estrelles siguin d’uns kilòmetres (de l’ordre de 10km), ja que la for¸ca centr´ıfuga generada a aquesta velocitat és molt gran i només un potent camp gravitatori és capa¸c d’evitar que es desfacin.

(30)

Bibliografia

[1] Robert M. Wald. 1984. General Relativity. The University of Chicago Press.

[2] Stuart L. Shapiro, Saul A. Teukolsky. 1983. Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars. The physics of compact objects. John Wiley & Sons.

[3] David R. Will´e. 1995.Advanced Scientific Fortran. John Wiley & Sons.

[4] I. Hawke, S. Husa, B. Szil´agyi.School04 computer lab exercicies: Simple stellar models and the TOV equation. (Apunts de clase aportats pel tutor)

[5] I. Hawke, S. Husa, B. Szil´agyi.Numerical methods for ODEs. (Apunts de clase aportats pel tutor)

[6] Richard R. Silbar, Sanjay Reddy. ”Neutron Stars for Undergraduates”. Am. J. Phys.

72, 892-905. 2004

[7] Christian D. Ott. 2013.Static Spherically-Symmetric Stellar Structure in General Rel- ativity. TAPIR, California Institute of Technology.

[8] Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna, Elisabeth Schlegl. 2007. La introducci´on no-tan-corta a L^ATEX.