UNIVERSITETET I BERGEN
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Obligatorisk innlevering 2 i emnet MAT111, høsten 2016
Innleveringsfrist: Mandag 24. oktober 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen p˚a Realfagbygget.
Husk forside!
Oppgavesettet er p˚a 4 sider (med oppgavene 1-7) og best˚ar av 31 deloppgaver som alle teller likt ved sensurering (eksempelvis teller oppgave 1(a) like mye som oppgave 3(b)).
Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Det m˚a være med nok mellomregning til at fremgangsm˚aten fremg˚ar tydelig av besvarelsen.
Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og sterkt anbefalt ˚a diskutere oppgavene.
Oppgave 1
Hvilke(n) av de fire funksjonenef i (a-d) nedenunder, med den oppgitte definisjon- smengde D(f), har en invers funksjon? Begrunn svaret.
(a) f(x) = xtan πx2
, D(f) = (−1,1);
(b) f(x) = xtan πx2
, D(f) = [0,1);
(c) f(x) = 3x2x−1, D(f) = (−∞,0)∪(0,∞);
(d) f(x) =
(1, x rasjonal;
0, x irrasjonal, D(f) =R.
(e) I tilfellene ovenfor derf har en invers funksjon, finndefinisjonsmengdentil den inverse funksjonen.
1
2
Oppgave 2
La T(t) være temperaturen til et legeme ved tiden t, og la A være den konstante temperaturen til omgivelsene. Newtons avkjølingslov sier:
(∗) T0(t) =k(T(t)−A),
der k er en konstant. La T0 være temperaturen til legemet ved tiden t= 0.
(a) Omskriv differensialligningen (∗) ved hjelp av substitusjonenu(t) =T(t)−A og bruk dette til ˚a finne T(t) uttrykt ved T0, A ogk.
(b) Du kommer hjem til studentkollektivet og finner en av dine samboere myrdet p˚a gulvet. Du merker at termostaten i rommet er satt p˚a 22◦C. Mens du venter p˚a politiets ankomst, tar du frem C.S.I.-begynnersettet du fikk til jul og m˚aler kroppstemperaturene 25,5◦C kl 22:11 og 24,2◦C kl 23:11 p˚a den døde kroppen. N˚ar ble din samboer drept, dersom vi regner med at hans vanlige kroppstemperatur er 37◦C ?
Oppgave 3
Husk at en funksjonf kallesbegrenset (=”bounded”) p˚a et intervall I dersom det finnes en konstant K slik at |f(x)| ≤K for alle x∈I.
(a) La f være en deriv´erbar funksjon p˚a et lukket intervall [x1, x2], der x1 og x2 er reelle tall slik at x1 < x2. Begrunn at f da er begrenset.
(b) La f være en deriv´erbar funksjon p˚a et ˚apent intervall (x1, x2), der x1 og x2 er reelle tall slik at x1 < x2. Vis at dersom den deriverte f0 er begrenset p˚a (x1, x2), s˚a er f det ogs˚a.
Oppgave 4
(a) En radar er plassert i en stolpe 7 meter over bakken. En bil nærmer seg stolpen (se figur). I det øyeblikket avstanden fra bilen til stolpen er 24 meter, viser radaren at avstanden fra bilen til radaren avtar med 30 meter per sekund.
Hvor fort kjører bilen?
3
(b) To punkter A og B p˚a en motorvei ligger 75 km fra hverandre. To biler passerer begge punkt A kl 10 og punkt B kl 11.
Vis at bilene m˚a ha hatt nøyaktig samme hastighet p˚a minst ett tidspunkt mellom de to klokkeslettene.
Hvor mye informasjon trenger du egentlig for ˚a løse oppgaven?
Oppgave 5
I denne oppgaven studerer vi ligningen
(∗) e−x =x3, der x∈R.
(a) Begrunn at ligningen (∗) har en løsning mellom 0 og 1.
(b) Begrunn at ligningen (∗) ikke har flere enn denne ene løsningen.
I resten av oppgaven kaller vi (den entydige) løsningen til (∗) for r.
(c) Bruk Newtons metode ´en gang med startverdix0 = 12 til ˚a finne en tilnærmet verdi for r.
(d) Begrunn om den tilnærmede verdien du fant i (c) er større eller mindre enn r, uten bruk av kalkulator og uten ˚a sette inn verdien i (∗). (Hint: tenk p˚a hvordan Newtons metode fungerer rent geometrisk.)
(e) Begrunn atr er et fikspunkt til funksjonen f(x) = √3 e−x.
(f) Bruk fikspunktiterasjon ´en gang med startverdix0 = 12 til ˚a finne en tilnærmet verdi for r.
(g) Vil fikspunktiterasjonen med et hvilket som helst startpunkt x0 i intervallet I = [0,1] konvergere motr? Begrunn svaret ved ˚a vise til egnede matematiske setninger.
(h) Begrunn at r ogs˚a er et fikspunkt til funksjonen g(x) = −3 lnx. Hvorfor fungerer ikke fikspunkiterasjon p˚a denne funksjonen s˚a bra?
Oppgave 6
(a) Avgjør om funksjonen f(x) =
(arctanx
sinx forx∈(−π2,0)∪(0,π2)
1 forx= 0
er kontinuerlig i 0.
4
(b) Vis at
x→0lim
arctanx−sinx xsinx = 0.
(c) Avgjør om funksjonen f fra (a) er deriv´erbar i 0. (Du f˚ar bruk for grensen i (b).)
(d) Finn den horisontale asymptoten til funksjonen g(x) = x√1x, x > 0.
(e) Finn feilen(e) i følgende resonnement: “Vi har ved L’Hˆopital at
x→∞lim
x+ sinx
x = lim
x→∞
d
dx(x+ sinx)
d
dx(x) = lim
x→∞
1 + cosx
1 = lim
x→∞(1 + cosx),
men denne siste grensen eksisterer ikke, og er hverken ∞ eller −∞, derfor eksisterer heller ikke limx→∞x+sinx
x , og er heller ikke ∞ eller −∞.”
Regn s˚a ut grensen p˚a korrekt m˚ate.
Oppgave 7
La f være funksjonen definert ved f(x) = √3
3x2−x3, x∈R.
(a) Finn nullpunktene til f og avgjør hvor den er positiv og hvor den er negativ.
(b) Avgjør hvor funksjonen er voksende og hvor den er avtagende.
(c) Bestem eventuelle lokale og globale ekstremalverdier til f.
(d) Avgjør hvor (grafen til) f er oppoverkrummet (=konveks/”concave up”) og hvor den er nedoverkrummet (=konkav/”concave down”).
(e) Finn eventuelle vertikale og horisontale asymptoter til f. (f) Vis at linjen y = 1−x er en skr˚a asymptote tilf.
(g) Finn det største intervalletI som inneholder 3 slik atf har en invers funksjon f−1 p˚a I. Finn ogs˚a
lim
x→√3 4−
(f−1)0(x).
Hva er den geometriske forklaringen p˚a resultatet?
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen
