Oppgaver til seminaret 11/10 Avsn. 4.3: 29
Avsn. 4.4: 13 Avsn. 4.6: 33
P˚a settet: S.1, S.2, S.3
Oppgaver til gruppene uke 42
Løs disse først s˚a disse Mer dybde Avsn. 4.3: 17, 19, 21, 23, 32 35
Avsn. 4.4: 14, 30, 35(∗), 47 46, 49
Avsn. 4.5: 17, 33 42
Avsn. 4.6: 13, 19, 35(∗), 40
P˚a settet: G.1, G.2, G.3, G.4, G.8, G.9, G.10 G.5, G.6, G.7
Oppgavene underMer dybdebehandles i 2. time av det raske seminaret 19/10.
(*) Funksjonen er den samme i begge oppgavene.
Obligatoriske oppgaver
Oppgavene 1, 2 og 3 i Obligatorisk innlevering 3 (innleveringsfrist mandag 28/10 kl 14:00).
1
OPPGAVE S.1 (Eksamen UiO) Finn konstanten k slik at funksjonenf :R→R gitt ved
f(x) =
(1−cos
x
x2 , x6= 0,
k x= 0
er kontinuerlig i 0. Er f ogs˚a deriv´erbar i 0 for denne verdien av k?
OPPGAVE S.2 (Eksamen UiB-modifisert) La
f(x) =
(ex(x−1)2 −2≤x <0
√x+ 1, 0≤x≤2.
(a) Avgjør omf er kontinuerlig og/eller deriv´erbar ix= 0.
(b) Finn uttrykket forf0 og bestem kritiske punkt forf.
(c) Finn vendepunkt tilf og avgjør hvorf er konkav/nedoverkrummet (=”con- cave down”) og konveks/oppoverkrummet (=”concave up”).
(d) Bestem alle lokale og globale ekstremalverdier til f.
OPPGAVE S.3 (Deleksamen UiB-H03-Oppg. 1) Finn dei kritiske punkta til funksjonen
f(x) = 1
3x3+ 1
2x2 −2x+ 3
og avgjer absolutte (globale) minimums eller maksimumsverdiar til f p˚a intervallet [−3,3).
OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V13-OPPGAVE 4 pluss (c) lagt til) (a) Finn grenseverdien eller vis at den ikke eksisterer:
x→2lim x−2 x2−4.
(b) La funksjonen f være definert p˚a intervallet (0,∞) ved f(x) =
(lnx
x−1, for x6= 1, 1, for x= 1.
Vis at f er kontinuerlig.
(c) Erf fra (b) ogs˚a deriv´erbar?
OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 4)
OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 7)
OPPGAVE G.4 (Eksamen UiO) La f(x) være definert for allex >0 ved
f(x) = lnx+ 1 2x.
(a) Undersøk hvorf er voksende og hvor den er avtagende og bestem eventuelle ekstremalpunkter.
(b) Bestem de intervallende hvorf er konveks (=”concave up”) og konkav (=”con- cave down”).
(c) Undersøk limx→0+f(x) og skisser grafen til f.
(d) Drøft hvor mange løsninger ligningenf(x) = ahar for forskjellige verdier av konstanten a.
OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 9)
OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO) La f være funksjonen definert ved
f(x) = arcsin x 1 +x.
(a) Vis at definisjonsomr˚adet Df til f er Df = [−1/2,∞). Angi eventuelle nullpunkter forf og finn ogs˚a eventuelle asymptoter for f.
(b) Vis at f er strengt voksende p˚a Df. Har f noen ekstremalpunkter?
(c) Bestem hvorf er konveks og hvorf er konkav. Finn eventuelle vendepunkter forf og skisser grafen tilf.
(d) Vis at ligningen 2 arcsin 1+xx
−1 = 0 har presis en løsning x0 p˚a Df og at 0< x0 <1.
(e) P˚a Df har f en omvendt funksjon g. Finn definisjonsomr˚adet Dg og ver- diomr˚adetVg tilg, og finn ogs˚a et uttrykk for g p˚aDg. Skisser grafen tilg i samme aksekors som grafen tilf.
OPPGAVE G.7 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 2)
OPPGAVE G.8 (Eksamen NTNU) La y=f(x) være en løsning av differensialligningen
dy dx =p
xy−1, for x >1, slik at limx→1+f(x) = 1. Beregn grenseverdiene
(i) lim
x→1+
xf(x)−1
x−1 , (ii) lim
x→1+
f(x)−1 (x−1)3/2.
Hint: du skal ikke løse differensialligningen. Du kan bruke resultatet fra (i) i del (ii).
OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) Sett
Ln= lim
x→0+x(lnx)n, n= 0,1,2, . . .
Finn L0 og vis rekursjonsformelen Ln=−nLn−1. Bruk dette til ˚a finne Ln.
OPPGAVE G.10 (Eksamen UiO)
Vis at funksjonen f(x) = xe(1−x2)/2 er ´en-til-´en p˚a intervallet [−1,1]. Finn definisjonsomr˚adet til den omvendte funksjonen g og beregn limy→1−(1−y)[g0(y)]2.
Fasit/hint p˚a neste side
Fasit og hint til oppgavene
For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://org.uib.no/mi/eksamen/MAT111/
Oppgave G.1(c). Ja.
Oppgave G.4. (a) Avtagende p˚a (0,1/2], voksende p˚a [1/2,∞). Minimum (1/2,1−ln 2). (b) Konveks p˚a (0,1], konkav p˚a [1,∞). (c) limx→0+f(x) =∞. (d) To løsninger fora >1−ln 2, ´en løsning fora= 1−ln 2, ingen løsning fora <1−ln 2.
Oppgave G.6. (a) Nullpunkt x = 0, asymptote y = π/2. (b) Abs. min.
(−1/2,−π/2). (c) f er konkav p˚a hele Df. (e) Vg =Df = [−1/2,∞), Dg = Vf = [−π/2, π/2). g(x) = 1−sinsinxx.
Oppgave G.8. (i) 1, (ii) 2/3.
Oppgave G.9. L0 = 0. Ln= 0 for alle n.
Oppgave G.10. D(g) =V(f) = [−1,1]. Grensen = 14.
