Oppgaver til seminaret 20/11 P˚a settet: S.1, S.2, S.3, S.4, S.5
Oppgaver til gruppene uke 48
Løs disse først s˚a disse Mer dybde Avsn. 6.6 3
Avsn. 6.7 3, 7
Avsn. 7.9 28, 29
P˚a settet G.1, G.2, G.3, G.4 G.5, G.6, G.7
G.8, G.9 G.10 G.11
Merk at undervisningstilbudet frem til eksamen vil bli varslet p˚a hjemmesiden og i timeplanen p˚a MITTUIB
Flere studentaktiviteter Uke 47
Aktivitet 1-11. Oppsamlingsheat for de som fremdeles mangler ˚a ha ledet en ak- tivitet: fremfør den av G.1-G.11 som gruppeleder tilegner din gruppe. Alle har d˚arlig tid s˚a tett p˚a eksamen, s˚a om det er mange som mangler m˚a de kanskje fremføre for et begrenset publikum og rapporten m˚a være levert digitalt til gruppelærer innen 20/11. (Ingen aktiviteter i uke 48.)
Obligatoriske oppgaver Ingen nye oppgaver!
Gjør masse eksamensoppgaver. Kunne du svart p˚a “lignende” spørsm˚al eller har du bare akkurat klart ˚a svare p˚a disse? De første settene bør du løse og sjekke fortløpende opp i dine notater og i boken at du har kontroll p˚a det du gjør. Senere sett bør du gjøre helt uten hjelpemiddel, men n˚ar du er ferdig med et sett, tenk over hvilke deler som er dekket og om du har en robust forst˚aelse av det som ble spurt om. Ikke hele pensum dekkes i hver enkelt eksamen.
1
OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-V08–Oppg. 7)
OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO)
Du skal bruke trapesformelen til ˚a beregne en tilnærmet verdi for integralet R1/2
0 e−x2 dx. Hvor mange delintervaller m˚a du bruke for ˚a være sikker p˚a at feilen er mindre enn 10−10?
Er den tilnærmede verdien for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien?
OPPGAVE S.3 (Eksamen UiB-V07–Oppg. 3)
OPPGAVE S.4 (Eksamen UiB-V13-Oppg. 9)
OPPGAVE S.5 (Eksamen NTH)
(a) Hva blir volumet av figuren som fremkommer n˚ar y=x2, 0≤y≤h roteres om y-aksen?
(b) Figuren i (a) er en tank som fylles med vann med konstant hastighet 2 m3/s.
Hvor raskt øker vannhøyden n˚ar den er 1 m?
OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-H10-Oppg. 7)
OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V15-Oppg. 6)
OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU)
Grunntalletetil den naturlige logaritmen kan defineres som løsningenxav lignin- gen
1 = Z x
1
dt
t . (∗)
Forklar hvorfor trapesmetoden med n= 1 gir en for stor verdi for integralet i (∗).
Bruk dette til ˚a utlede ulikheten
e2−2e−1>0.
Hvilken nedre skranke gir dette for e?
OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V09-Oppg. 3)
OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-H03-Oppg. 4)
OPPGAVE G.6 (Eksamen UiB)
Et legeme er laget av en kule med radius R slik: først dreier en ut en sylinder med radius b og med akse gjennom kulesenteret. Langs sylinderaksen borer en s˚a et hull med radius a. Dette blir et rørliknende legeme med veggtykkelse b−a, der endene p˚a rørstubben er en del av kuleoverflaten (se figuren).
Regn ut volumet av legemet uttrykt ved a, b ogR
OPPGAVE G.7 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 7)
OPPGAVE G.8 (Eksamen UiB-H07-Oppg. 6)
OPPGAVE G.9 (Eksamen NTNU)
For alle c >0 lar vi Bc være omr˚adet i xy-planet begrenset av kurvene x= 1, eπ/c, y =
rln(x)
x sin(cln(x)) og y= 0.
Bestem c >0 slik at volumet som fremkommer n˚ar omr˚adet Bc roteres omx-aksen er π22.
OPPGAVE G.10 (Eksamen NTNU) (a) Finn det ubestemte integralet
Z 2
u(2 +u)du.
(b) Finn alle løsninger av differensialligningen (2 +ex)dy
dx + 2y= 0.
Finn en løsningy(x) som oppfyller limx→∞y(x) = 1.
OPPGAVE G.11 (Eksamen NTNU)
Du f˚ar til denne oppgaven oppgitt at buelengden s til en kurve i planet gitt ved ligningen y=f(x) fra x=a til x=b er gitt ved
s= Z b
a
p1 + (f0(x))2 dx.
Du bor 3 km fra havet, og fra huset ditt i origo (se figuren under) g˚ar det en vei langs kurven 25y2 = 4x5, x∈ [0,3] ned til stranden som ligger p˚a linjen x = 3. En dag bestemmer du deg for ˚a sykle eller g˚a ned til stranden for ˚a bade. N˚ar du sykler m˚a du sykle p˚a veien, men du kan n˚ar som helst parkere sykkelen og g˚a det siste stykket i en rett linje vinkelrett mot strandkanten (det spiller ingen rolle hvor p˚a stranden du bader).
(a) P˚a hvilket punkt (x, y) p˚a veien vil du parkere sykkelen og begynne ˚a g˚a dersom du ønsker ˚a komme frem p˚a kortest mulig tid n˚ar du vet at du sykler 3 ganger raskere enn du g˚ar? Husk ˚a bevise at din løsning faktisk gir den korteste reisetiden. (Vi antar at b˚ade gang- og syklehastigheten er konstant.)
(b) La funksjonen f være gitt vedf(x) =√
1 +x3. For 0< x <2 er|f00(x)|<3/2 (du behøver ikke ˚a vise det). Bruk trapesmetoden for ˚a finne tallet
I = Z 2
0
√1 +x3 dx
med en feil mindre eller lik 1/16. Kan du ut ifra denne tilnærmingen konkludere med at det tar mindre enn 21 minutter ˚a dra ned til stranden p˚a raskest mulig m˚ate n˚ar ganghastigheten er v = 6 km/t?
Fasit/hint p˚a neste side
Fasit/hint til oppgavene
For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://org.uib.no/mi/eksamen/MAT111/
Oppgave S.5. (a) πh22. (b) π2 m/s.
Oppgave G.3. For stor verdi siden grafen til 1/t er konveks (=”concave up”).
Trapesmetoden med n = 1 gir den tilnærmede verdien T1 = (e2 − 1)/2e, som er større enn Re
1(1/t) dt = 1, som gir ulikheten. Faktoriseringen e2 −2e− 1 = [e−(1 +√
2)][e−(1−√
2)] gir e >1 +√ 2.
Oppgave G.6. 4π3 h
(R2−a2)3/2−(R2−b2)3/2i . Oppgave G.9. c=√
2 Oppgave G.10. (a) −ln
1 + 2u
+C. (b)y(x) = C+ 2Ce−x, y(x) = 1 + 2e−x. Oppgave G.11. Se Oppgave 6 i
https://wiki.math.ntnu.no/ media/tma4100/eksamen/lf tma4100 2014k.pdf
