C O N T R I B U C I O N S A L’ E S T U D I D E L E S I M P L I C A C I O N S B O R R O S E S . N O V E S C O N S T R U C C I O N S I A P L I C A C I O N S A
L’ A N À L I S I D ’ I M AT G E S Tesi Doctoral
au t o r: Sebastià Massanet Massanet
d i r e c t o r s: Joan Torrens Sastre i Manuel González Hidalgo
Departament de Ciències Matemàtiques i Informàtica Escola Politècnica Superior
Universitat de les Illes Balears Desembre 2011
Doctoral
Palma, Desembre2011
D. Joan Torrens Sastre, Doctor en Informàtica per la Universitat de les Illes Balears i Catedràtic d’Escola Universitària de l’àrea de Ciències de la Computació i Intel.ligència Artificial del Departament de Ciències Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de les Illes Balears, i
D. Manuel González Hidalgo, Doctor en Informàtica per la Universitat de les Illes Balears i Professor Titular d’Universitat de l’àrea de Ciències de la Computació i Intel.ligència Artificial del Departament de Ciències Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de les Illes Balears,
FAN CONSTAR:
que la present memòria “CONTRIBUCIONS A L’ESTUDI DE LES IMPLICACIONS BORRO- SES. NOVES CONSTRUCCIONS I APLICACIONS A L’ANÀLISI D’IMATGES” presentada per Sebastià Massanet Massanet per optar al grau de Doctor en Matemàtiques, ha estat realitzada sota la seva direcció i reuneix la suficient matèria original per ser considerada com a tesi doctoral.
Palma, Desembre2011
Signat: Joan Torrens Sastre Signat: Manuel González Hidalgo
A la meva família.
A B S T R A C T
Fuzzy implications are the logical operators generalizing the binary classical implication and they have become one of the most important operations in fuzzy logic. In this thesis, we deal with and solve some open problems on fuzzy implications, going deeper into some of the most fashionable areas in this field. We study the relationship between two of the main properties that can be satisfied by a fuzzy implication, the exchange principle and the law of importation, proving that the second one is strictly stronger than the first one.
In addition, from this study we characterize some classes of implications like(S,N)and R-implications as well as their counterparts for uninorms.
According to this topic, we characterize also Yager’sfandg-generated implications and theirϕ-conjugates for the first time, obtaining particular cases for the Reichenbach, Yager and Goguen implications. At this point, we fully determine the intersection of this class of implications withQLandD-implications. After that, in the same way of Yager’s method to generate his implications, we propose and characterize some new classes of implications, called (h,e) and h-implications, with their generalized counterparts from an additive generator of a representable uninorm. These implications are obtained through two Yager’s implications with an adequate scaling on the second variable. The generalization of this process to implications in general allows us to get a new generation method of a fuzzy implication from two given ones, called horizontale-generation, preserving the exchange principle and the law of importation.
Next, we focus our attention on the application of fuzzy implications to image processing and specifically, to fuzzy mathematical morphology. We propose a new morphology based on discrete t-norms overcoming the problems that there exist when we consider the morphologies on[0,1], i.e., the fuzzification process and the related numerical problems.
From this new morphology, after showing an overview of its applications, we propose a novel edge detector. This edge detector is established after analysing the transformation process from a fuzzy edge image to a binary edge image with edges of one pixel wide through the use of objective performance measures. Finally, it is compared with Canny’s edge detector, obtaining quite good results.
R E S U M
Les implicacions borroses són els operadors lògics que generalitzen la implicació binària clàssica i que han esdevingut una de les operacions més importants en la lògica borrosa. En aquesta tesi, es tracten i resolen alguns dels problemes oberts sobre implicacions borroses, aprofundint en algunes de les línies d’investigació més candents actualment en aquest camp. Així, s’estudia la relació entre dues de les principals propietats que pot satisfer una implicació borrosa, el principi d’intercanvi i la llei d’importació, demostrant que la segona propietat és estrictament més forta que la primera. Per altra banda, a partir d’aquest estudi es caracteritzen alguns tipus d’implicacions com les(S,N)iR-implicacions, així com les seves generalitzacions a uninormes.
Seguint amb les caracteritzacions dels distints tipus d’implicacions, es caracteritzen per primera vegada les implicacionsfig-generades de Yager i les sevesϕ-conjugades, obtenint
vii
A continuació, seguint el mètode de generació de les implicacions de Yager, es proposen i caracteritzen nous tipus d’implicacions, anomenades (h,e) i h-implicacions, amb les seves versions generalitzades, a partir del generador additiu d’una uninorma representable.
Aquestes implicacions s’obtenen a partir de dues implicacions de Yager mitjançant un escalat adequat en la segona variable. La generalització a implicacions qualssevol d’aquest procés ens permet obtenir un nou mètode de generació d’implicacions borroses a partir de dues donades, anomenate-generació horitzontal, que preserva el principi d’intercanvi i la llei d’importació.
Seguidament, es tracta l’aplicació de les implicacions borroses al processament d’imatges i en particular, a la morfologia matemàtica borrosa. Es proposa una nova morfologia basada en t-normes discretes que permet superar els inconvenients que existeixen en les morfologies borroses habituals en[0,1], és a dir, el procés defuzzificaciói els errors numèrics que se’n deriven. A partir d’aquesta morfologia, després de proporcionar una visió general de les seves aplicacions, es construeix un nou detector de contorns. Aquest detector de contorns sorgeix després d’analitzar el procés de transformació d’una imatge de contorns borrosos en una de binaris amb amplada un píxel amb mesures objectives de rendiment.
Aquest detector es compara amb l’algoritme de Canny, obtenint resultats notables.
R E S U M E N
Las implicaciones borrosas son los operadores lógicos que generalizan la implicación binaria clásica y que se han convertido en una de las operaciones más importantes en la lógica borrosa. En esta tesis, se tratan y resuelven algunos de los problemas abiertos sobre implicaciones borrosas, profundizando en algunas de las líneas de investigación más de moda actualmente en este campo. Así, se estudia la relación entre dos de las principales propiedades que puede satisfacer una implicación borrosa, el principio de intercambio y la ley de importación, demostrando que la segunda es estrictamente más fuerte que la primera. Por otro lado, a partir de este estudio se caracterizan algunos tipos de implicaciones como las(S,N)y lasR-implicaciones, así como sus generalizaciones a uninormas.
Siguiendo con las caracterizaciones de los distintos tipos de implicaciones, se caracte- rizan por primera vez las implicaciones de Yagerf y g-generadas y sus ϕ-conjugadas, obteniendo casos particulares para las implicaciones de Reichenbach, Goguen y Yager.
En este punto, se determina la intersección de este tipo de implicaciones con las QL y D-implicaciones. A continuación, siguiendo el método de generación de las implicaciones de Yager, se proponen y caracterizan nuevos tipos de implicaciones, llamadas (h,e) y h-implicaciones, con sus versiones generalizadas, a partir del generador aditivo de una uninorma representable. Estas implicaciones se obtienen a partir de dos implicaciones de Yager mediante un escalado adecuado en la segunda variable. La generalización de este proceso a implicaciones cualesquiera nos permite obtener un nuevo método de generación de implicaciones borrosas a partir de dos dadas, el método dee-generación horizontal, que preserva el principio de intercambio y la ley de importación.
Seguidamente, se trata la aplicación de las implicaciones borrosas al procesamiento de imágenes y en particular, a la morfología matemática borrosa. Se propone una nueva
viii
morfología basada en t-normas discretas que permite superar los inconvenientes que existen en las morfologías borrosas habituales en[0,1], es decir, el proceso defuzzificación y los errores numéricos asociados. A partir de esta morfología, después de proporcionar una visión general de sus aplicaciones, se construye un nuevo detector de contornos. Este detector de contornos surge después de analizar el proceso de transformación de una imagen de contornos borrosos en una de binarios con amplitud un píxel con medidas objetivas de rendimiento. Este detector se compara finalmente con el algoritmo de Canny, obteniendo resultados notables.
ix
P U B L I C A C I O N S
La majoria de resultats obtinguts durant el període d’investigació que ha conduït a la realització d’aquesta memòria han estat publicats en diverses revistes, i presentats en alguns congressos nacionals i internacionals.
Els articles publicats en revistes de difusió internacional amb índex d’impacte són:
1. The law of importation versus the exchange principle on fuzzy implications, publicat a
“Fuzzy Sets and Systems”. [127]
2. On a new class of fuzzy implications: h-Implications and generalizations, publicat a “Infor- mation Sciences”. [129]
3. Intersection of Yager’s implications withQLandD-implications, publicat a “International Journal on Approximate Reasoning”. [126]
4. On the characterization of Yager’s implications, acceptat a “Information Sciences”. [131] 5. e-threshold generation method of construction of a new implication from two given ones,
acceptat a “Fuzzy Sets and Systems”. [124]
A més, s’han enviat els següents articles a revistes de difusió internacional:
1. On some properties ofe-generated implications, enviat a “Fuzzy Sets and Systems”.
2. On some properties of(h,e)-implications. Distributivities with t-norms and t-conorms., enviat a “Journal of Artificial Intelligence and Soft Computing ”.
D’altra banda, les comunicacions a congressos presentades i publicades a les corresponents actes o llibres editats de cada congrés són:
1. Fuzzy Implications and the Weak Law of Importation, IFSA-EUSFLAT-2009. [120] 2. WLI for implications derived from uninorms, EUROFUSE-2009. [121]
3. Some Remarks on the Solutions to the Functional EquationI(x,y) = I(x,I(x,y)) forD- Operations, IPMU-2010. [123]
4. Discrete t-norms in a Fuzzy Mathematical Morphology: Algebraic Properties and Experimen- tal Results, WCCI-FUZZ-IEEE-2010. [75]
5. Sobre Implicaciones borrosas basadas en uninormas que verifican la ecuación I(x,y) = I(x,I(x,y)), CEDI-2010. [122]
6. Operadores Apertura y cierre en la morfología matemática derivada de t-normas discretas.
Transformaciones de Top-Hat y filtros básicos, CEDI-2010. [76]
7. Implications Generated from Additive Generators of Representable Uninorms: (h,e)-Implications, SSCI-2011. [125]
8. A new method of generating fuzzy implications from given ones, EUSFLAT-LFA-2011. [128] 9. Towards an objective edge detection algorithm based on discrete t-norms, EUSFLAT-LFA-
2011. [74]
xi
11. Solutions of EquationI(x,y) =I(x,I(x,y))for implications derived from uninorms, WILF- 2011. [132]
12. On e-vertical generated implications, EUROFUSE-2011. [130]
13. Objective comparison of some edge detectors based on fuzzy morphologies, EUROFUSE-2011. [78]
14. Discrete t-norms in noisy Image edge detection, VIPIMAGE-2011. [77]
15. Caracterización de las implicacionesfyg-generadas de Yager, acceptat a ESTYLF-2012. 16. New results on metrics aggregation, acceptat a ESTYLF-2012.
17. Determinación de la mejor pareja t-norma-implicación en el gradiente morfológico, acceptat a ESTYLF-2012.
Destacar també que, durant la realització d’aquest treball, he gaudit de la subvenció del projecte MTM2009-10320del Ministeri d’Educació i Ciència (DGI) i de la beca FPI-UIB de la Universitat de les Illes Balears.
xii
A G R AÏMENTS
En els temps que corren avui en dia, és complicat que els desitjos i objectius d’una persona s’acompleixin i més quan, aquests eren ja des de petit arribar un dia a ser professor de Matemàtiques a la universitat. Amb aquesta tesi, s’assoleix una fita més en aquesta direcció i per això, m’agradaria agrair a totes aquelles persones que han fet possible que aquesta memòria s’hagi duit a bon terme.
En primer lloc, agrair a en Joan i en Manolo el fet d’haver confiat en mi des de l’inici, el grau d’independència del que he disposat, el recolzament i els consells que dia a dia he rebut d’ells han facilitat en gran mesura aquesta tasca. Agrair-los tot el que m’han ensenyat durant aquests anys, la seva capacitat de feina, les ganes d’aprendre i de proposar-se nous reptes i objectius demostren la seva competència professional i acadèmica. Emperò, allò més important encara és que són millors persones.
Per una altra banda, recordar a tots els membres del grup LOBFI, liderat per en Gaspar, amb els que he passat molt bons moments en els seminaris, discutint temes d’allò més interessants. Extensible és l’agraïment al conjunt del Departament de Ciències Matemàti- ques i Informàtica, amb n’Arnau al cap. És un plaer treballar en aquesta casa i amb aquests companys.
I would like to thank Professor Michał Baczy ´nski for his advises and great company at WILF2011conference, and specially for his excellent book on fuzzy implications, my bedside book during these years. I hope we continue our scientific relationship in the future.
Agradecer también los consejos y el contagioso espíritu de trabajo de Humberto Bustince y de todo el grupo GIARA de la Universidad Pública de Navarra. Espero que sigamos en contacto y que las futuras colaboraciones den sus frutos.
Donar les gràcies en general també a tots els meus professors de Matemàtiques que he tengut des de petit, especialment a en Salvador i n’Albert, que em mostraren la bellesa de les matemàtiques i em confirmaren la meva passió per elles.
Els companys dels escacs, i especialment els companys d’equip dels Dimonis d’Algaida, també mereixen ser recordats. Gràcies pel suport en aquests anys i esper, a partir d’ara, tornar a dur l’equip al lloc que mai hauria d’haver abandonat.
I per acabar, vull agrair als meus pares i padrins, a la meva germana i en especial, a la meva al·lota, haver-me recolzat en tot moment i haver facilitat el meu camí fins arribar a aquí. Sense el vostre suport aquesta feina no hagués pogut ser la realitat que és ara.
xiii
Í N D E X
1 Introducció 1 2 Preliminars 9
2.1 Automorfismes i funcions conjugades 9 2.2 Negacions borroses 9
2.3 t-normes i t-conormes 11 2.4 Uninormes 14
2.5 Implicacions borroses 16
2.5.1 Classes d’implicacions 19
3 Relació entre el principi d’intercanvi i la llei d’importació 23 3.1 Introducció 23
3.2 La llei d’importació feble 24
3.2.1 Contraexemple per aplicacions binàries 26 3.3 (WLI) i les (S,N)-implicacions 26
3.3.1 Contraexemple de l’equivalència entre (EP) i (LI) per implicaci- ons 32
3.3.2 El cas de les(S,N)-implicacions ambNno contínua 33 3.4 Generalització al cas d’uninormes 34
3.4.1 La llei d’importació feble conjuntament ambNeI contínua 34 3.4.2 (WLIc) i les (U,N)-implicacions 36
3.5 Caracteritzacions d’implicacions basades en la llei d’importació feble 39 3.5.1 (S,N)-implicacions 39
3.5.2 (U,N)-implicacions 40 3.5.3 R-implicacions 41 3.5.4 RU-implicacions 43 3.6 Conclusions 45
4 Construcció d’implicacions a partir de generadors 47 4.1 Introducció 47
4.2 Caracteritzacions de les implicacions de Yager 48 4.2.1 Implicacionsf-generades 49
4.2.2 Implicacionsg-generades 60
4.2.3 Caracterització d’algunes implicacions de Yager conegudes 62 4.2.4 Interseccions de les implicacions de Yager 66
4.3 Implicacions generades a partir de generadors additius d’uninormes rep 75 4.3.1 h-implicacions 75
4.3.2 Generalitzacions de lesh-implicacions 84 4.3.3 Interseccions amb altres famílies 103 4.4 Conclusions 104
5 Noves construccions d’implicacions borroses a partir de dues donades 105 5.1 Introducció 105
5.2 Mètode dee-generació horitzontal d’una implicació borrosa 106 5.2.1 Preservació de les propietats 108
5.2.2 Contraposició 113
5.2.3 Principi d’intercanvi i la llei d’importació feble 122
5.2.4 Caracterització de les implicacionse-generades horitzontals 127 5.2.5 Equacions de distributivitat 129
5.3 Conclusions 139
xv
6 Cap a una morfologia matemàtica discreta 141 6.1 Introducció 141
6.2 Les morfologies borroses basades en t-normes o uninormes en[0,1] 142 6.2.1 Morfologia basada en t-normes en[0,1] 142
6.2.2 Morfologia basada en uninormes en[0,1] 143
6.3 Detecció morfològica de contorns emprant t-normes en[0,1] 144 6.3.1 Metodologia de la comparació 145
6.3.2 Resultats i Anàlisi 147
6.4 El pas de les imatges a conjunts borrosos 152 6.4.1 Sobre l’elecció de la funció defuzzificació 153 6.4.2 Errors numèrics computacionals 153
6.5 Conclusions 156
7 Morfologia matemàtica borrosa basada en t-normes discretes: fonaments i ap 159 7.1 Introducció 159
7.2 Preliminars 160
7.3 Morfologia Matemàtica Borrosa Discreta i les seves Propietats 161 7.3.1 Operadors morfològics borrosos discrets 161
7.3.2 Propietas algebraiques dels operadors morfològics discrets usant t-normes discretes 161
7.4 Objectes borrosos oberts i tancats 168 7.5 Aplicacions inicials 171
7.5.1 Detecció de contorns 172
7.5.2 Reducció de renou i transformacions de Top-Hat 175 7.6 Conclusions 180
8 Detecció de contorns en la morfologia matemàtica discreta 181 8.1 Introducció 181
8.2 Dels contorns borrosos als contorns binaris d’amplada1 182 8.2.1 Algoritmes de binarització 183
8.2.2 Mesures objectives de rendiment per a la detecció de contorns 184 8.3 Resultats i anàlisi 186
8.3.1 Transformació usant algoritmes dethresholding 187 8.3.2 Transformació usant algoritmes d’histèresi 196 8.3.3 Comparació amb l’algoritme de Canny 198 8.4 Conclusions 202
9 Conclusions i treball futur 203 b i b l i o g r a f i a 209
Í N D E X D E F I G U R E S
Figura1 Exemples de t-normes i t-conormes. 12
Figura2 Estructura general d’una uninormaUamb neutree. 15 Figura3 Representació gràfica de les implicacions de la Taula2. 18
Figura4 La negació contínuaNi la t-conormaSdefinides a l’Exemple3.3.11. 30 Figura5 Família de t-normes amb la que la (S,N)-implicació I, obtinguda
a partir de la t-conorma S i la negació contínua Nde la Figura 4, verifica (LI). 31
Figura6 Uninorma representable U, negació contínua no estricta Ni impli- cació IU,N generada a partir de les dues operacions de l’Exemple 3.4.9. 38
Figura7 Dibuix d’algunes implicacions que són alhoraQL-operacions i impli- cacionsf-generades ambf(0)<+∞. 74
Figura8 Dibuixos d’algunesh-implicacions. 77
Figura9 Dibuix de les implicacions generadoresIf iIg de lah-implicacióIh1 de l’Exemple4.3.3-(i). 84
Figura10 Dibuixos d’algunes(h,e)-implicacions. 86
Figura11 t-normes que són solucions de l’equació (4.18) per una(h,e)-implicació fixada. 94
Figura12 Dibuixos d’algunesh-implicacions generalitzades. 98 Figura13 Estructura d’unah-implicacióIh. 105
Figura14 Estructura de la implicacióe-generada horitzontalII1−I2. 107 Figura15 Dibuixos d’algunes implicacionse-generades horitzontals. 109 Figura16 IIGD−IRS, una implicacióe-generada horitzontal que satisfà (IPe). 112 Figura17 Dibuixos de les implicacions construïdes en el Lema5.2.27a partir
deILK iNC. 121
Figura18 Dibuix de la implicacióe-generada horitzontalII1
ILK,NC−I0ILK,NC. 121 Figura19 Dibuix de la implicacióe-generada horitzontalIIGD−I
ULK,NC. 123 Figura20 Dibuix de la implicacióe-generada horitzontalIIU,NC−IU,NC. 126 Figura21 Algunes de les implicacions i operacions de la Taula5. 147 Figura22 Pas d’una imatge de contorns borrosos a una de binaris d’amplada
un píxel. 148
Figura23 Algunes imatges i les corresponents imatges de contorns de referèn- cia. 149
Figura24 Algunes imatges de contorns obtingudes per distintes configuracions (T,I). 150
Figura25 Algunes imatges amb textura i les imatges de contorns obtingudes amb(TLK,ILK)i(TnM,IKD). 152
Figura26 Comparativa d’erosions, dilatacions i imatges de contorns borrosos per distintes funcions defuzzificació. 154
Figura27 UninormaUNKi la seva implicació residualIUNK. 155
Figura28 Exemple d’una imatge amb errors numèrics de computació al seu tancament borrós. 156
Figura29 El mínim nilpotentTnMi la seva generalitzacióTnMa. 168 Figura30 Efectes erosió i dilatació borroses discretes. 172
Figura31 Efectes tancament i obertura borroses discretes. 173
xvii
Figura33 Comparació de les imatges de contorns borrosos delseritròcitsusant el gradient de distintes morfologies. 175
Figura34 Comparació de les imatges de contorns borrosos de les piràmides usant el gradient de distintes morfologies. 175
Figura35 Evolució de la imatge de contorns borrosos segons el valor del parà- metreaenTnMa en la imatge del castell. 176
Figura36 Evolució de la imatge de contorns borrosos segons el valor del parà- metreaenTnMa en la imatge del desert. 177
Figura37 Comparació de les imatges de Top-Hat i Top-Hat dual usant usant distintes morfologies. 178
Figura38 Imatge original i amb diversos tipus de renou afegits pels experiments de filtratge. 178
Figura39 Imatges filtrades de l’experiment amb renou de tipus sal i pebre. 179 Figura40 Imatges filtrades de l’experiment amb renou de tipus Gaussià. 179 Figura41 Diagrama de blocs dels dos algoritmes considerats per a la transfor-
mació de la imatge de contorns borrosos. 182
Figura42 Transformació de la imatge de contorns borrosos a una de contorns binaris d’amplada1amb els Algoritmes1i2. 183
Figura43 Comparació de l’algoritme d’histèresi UTHT amb distints algoritmes dethresholding. 185
Figura44 Algunes imatges de contorns obtingudes aplicant NMS i Ata12. 188 Figura45 Algunes imatges de contorns obtingudes aplicant NMS i Ata23. 190 Figura46 Comparació de les quatre imatges binàries de contorns òptimes se-
gons les distintes mesures obtingudes amb configuracions amb algo- ritme de thresholding. 192
Figura47 Comparació dels Algoritmes1i2. 195
Figura48 Algunes imatges de contorns òptimes segons la mesura∆. 195 Figura49 Procés de transformació d’una imatge de contorns borrosos a una
de contorns binaris d’amplada 1 aplicant histèresi i aprimament binari. 196
Figura50 Comparació de les tres configuracions per transformar una imatge de contorns borrosos a una de contorns binaris d’amplada 1aplicant NMS i histèresi. 199
Figura51 Comparació entre la configuració NMS i Otsu, i NMS amb INS. 200 Figura52 Comparació entre el detector discret ambTnMi l’algoritme de Canny
amb distints valors de σ. 202
Figura53 Estructura de la implicacióe-generada verticalII1|I2. 206
Í N D E X D E TA U L E S
Taula1 Taula de valors de veritat d’una implicació. 16 Taula2 Implicacions borroses bàsiques. 17
Taula3 La independència mútua de les propietats del Teorema4.2.14-(ii). 57
xviii
Índex de taules xix
Taula4 T-normes T considerades en les distintes configuracions(T,I)pels gradients morfològics. 145
Taula5 Implicacions i operacionsIconsiderades en les distintes configuraci- ons(T,I)pels gradients morfològics. 146
Taula6 Dades estadístiques obtingudes a partir dels valors de FoM per a cada configuració(T,I). 151
Taula7 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment obtinguts per a cada configuració amb algoritme dethresholding en els experiments ambB1. 187
Taula8 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme dethresholding respecte a cada imatge ambB1. 188 Taula9 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment
obtinguts per a cada configuració amb algoritme dethresholding en els experiments ambB2. 189
Taula10 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme dethresholding respecte a cada imatge ambB2. 190 Taula11 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment
obtinguts per a cada configuració amb algoritme dethresholding en els experiments ambB3. 191
Taula12 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme dethresholding respecte a cada imatge ambB3. 193 Taula13 Classificació de les configuracions amb algoritme dethresholdingse-
gons la mesura i l’element estructurant. 194
Taula14 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment obtinguts per a cada configuració amb algoritme d’histèresi en els experiments ambB1. 196
Taula15 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme d’histèresi respecte a cada imatge ambB1. 197
Taula16 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment obtinguts per a cada configuració amb algoritme d’histèresi en els experiments ambB2. 197
Taula17 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme d’histèresi respecte a cada imatge ambB2. 197
Taula18 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment obtinguts per a cada configuració amb algoritme d’histèresi en els experiments ambB3. 198
Taula19 Recompte dels valors majors i menors per a cada configuració amb algoritme d’histèresi respecte a cada imatge ambB3. 198
Taula20 Valors estadístics associats a les mesures objectives de rendiment obtinguts en la comparació amb l’algoritme de Canny. 201
Taula21 Recompte dels valors majors i menors per a cada algoritme respec- te a cada imatge obtinguts en la comparació amb l’algoritme de Canny. 201
1
I N T R O D U C C I Ó
As complexity rises, precise statements lose meaning and meaningful statements lose precision.
Lofti Zadeh (1921-. . . ).
Cada vegada més, la idea de què el món no és blanc o negre sinó que s’han de tenir en compte tots els grisos intermedis s’ha anat assentant tant en el pensament matemàtic com en la pròpia societat. D’aquesta manera, va desapareixent la rígida bivalència de les afirmacions amb origen a la Lògica Clàssica. Ja en l’època de la Grècia Clàssica, Plató i Aristòtil foren els pioners d’aquesta visió, encara que els vertaders orígens de les lògiques multivaluades es situen en el segle XX amb els estudis de J. Łukasiewicz i E. Post. Emperò, s’ha d’esperar fins a la publicació del treball de L. A. Zadeh ([185]) en 1965 per trobar la formalització matemàtica d’aquestes idees i l’aparició, per primera vegada, del terme
“borrós”. És aquest el punt de partida de la Lògica Borrosa i dels conjunts borrosos.
Emperò, Zadeh va molt més enllà introduint les operacions bàsiques entre els conjunts borrosos. Aquest fet respon a la necessitat d’elaborar un llenguatge mínimament sistemàtic pel raonament. Així, es segueix un procés similar al de la Lògica Clàssica amb la publi- cació del treball “The Mathematical Analysis of Logic” per part de G. Boole en1847. La conseqüència directa d’aquestes aportacions és que es deixen de deduir els teoremes de la lògica a partir del llenguatge ordinari per passar a la construcció de sistemes formals que mitjançant procediments algebraics permeten deduir resultats interpretables després en el llenguatge ordinari. Des de llavors, la teoria de conjunts i el raonament algebraic han anat de la mà de la Lògica Matemàtica, tant en el seu estudi i el seu desenvolupament com en totes les generalitzacions i extensions que han aparegut, en especial, la Lògica Borrosa.
És complicat imaginar que Zadeh fos conscient en aquell moment de l’enorme impacte i les conseqüències que la seva teoria tendria en el món actual. A més, com tota revolució en la forma de pensar i treballar, va costar que fos admesa en el món matemàtic i va experimentar nombroses dificultats en els seus inicis (veure [186]). Emperò, avui en dia, la Lògica Borrosa, submergida en un camp més ampli denominatSoft Computing, es troba en un moment de màxima esplendor i amb un futur encara més prometedor.
De fet, en moltes situacions i problemes concrets s’ha comprovat que la utilització de la Lògica Borrosa dóna millors resultats que la Lògica Clàssica. Com a conseqüència, cada vegada és més habitual trobar noves tecnologies que incorporen en el seu funcionament la Lògica Borrosa. Des de la NASA pel control de posició del Transbordador Espacial, la Ford i altres cases d’automòbils, amb el sistema d’estacionament automàtic, el sistema de frenada ABS o el canvi de marxes automàtic; fins diverses marques d’electrodomèstics amb rentadores, sistemes de condicionament d’aire o enfocament automàtic de càmeres fotogràfiques, han incorporat aquestes tecnologies. Fins i tot, en pel·lícules com les de la trilogia de “The Lord of the Rings” o “Avatar” s’ha emprat amb notable èxit la tecno- logia MASSIVE (acrònim deMultiple Agent Simulation System in Virtual Environment) per modelitzar escenes amb la presència d’una multitud d’individus com són les batalles.
Així, cada agent simulat individual es troba dirigit per la seva pròpia Lògica Borrosa de forma individualitzada, com si estàs prenent decisions reals en temps real. Emperò, tota
1
aquesta explosió d’aplicacions i productes de mercat no hagués estat possible sense la dedicació de nombrosos investigadors centrats en els diversos camps de la Lògica i dels conjunts borrosos, tant des del seu punt de vista aplicat com del purament teòric (algunes recopilacions es poden trobar a [64] i [179]).
En aquest marc teòric, un dels punts més importants consisteix en l’estudi dels connectius lògics emprats per operar amb conjunts borrosos. Tradicionalment, s’exigeix que qualsevol concepte borrós ha de generalitzar el corresponent concepte clàssic. En aquesta lògica doncs, la conjunció o intersecció s’interpreta habitualment mitjançant una t-norma (veure [9], article mare de l’aplicació de les t-normes en Lògica Borrosa); la disjunció o unió, per una t-conorma; la negació o complementari, per una negació borrosa i els condicionals, per les implicacions borroses. Aquests tipus d’operadors no són només importants en l’àmbit dels conjunts borrosos, sinó que també tenen un paper rellevant en molts altres camps com els espais mètrics probabilístics (on van néixer les t-normes), la probabilitat i estadística, l’economia, la teoria de la mesura, els sistemes experts, la presa de decisions i l’agregació de la informació. En especial, el problema de l’agregació de la informació ha conegut un gran desenvolupament en els darrers anys per la necessitat d’agregar certa quantitat de dades en un resultat concret. Des del punt de vista matemàtic, aquesta agregació es duu a terme mitjançant les anomenades funcions d’agregació, que no són sinó funcions binàries,F: [0,1]2 → [0,1], (on-dimensionals en general), creixents en cada variable tals queF(0,0) =0iF(1,1) =1. Donat el seu caràcter tan general, funcions d’agregació n’hi ha moltes i de molts tipus. Per això, el principal objectiu és la recerca dels tipus de funcions d’agregació que siguin més adequats en cada context depenent de les seves propietats (veure els llibres [28], [47] i [82]).
Depenent dels objectius i el context on s’han d’utilitzar, sovint es requereixen més pro- pietats addicionals a les funcions d’agregació. En el context dels operadors lògics, entre d’altres propietats, es requereix que siguin o bé conjuntives (F(1,0) = F(0,1) = 0) o bé disjuntives (F(0,1) =F(1,0) =1). Així, s’han proposat moltes alternatives que van des de les conjuncions en general, fins a les còpules, les quasi-còpules i els duals d’aquests operadors.
Però, dues de les generalitzacions de les t-normes i t-conormes més estudiades i utilitzades, són les anomenades uninormes ([45,46,69,107,161,183]) i les nulnormes ([45] i [108] on apareixen sota el nom de t-operadors). Tot aquest estudi de les propietats addicionals de les funcions d’agregació va lligat a la resolució d’equacions funcionals ([44,45,70,111,135]).
Emperò, aquesta memòria es centra especialment en les anomenades funcions d’impli- cació, o simplement, implicacions borroses. Un dels problemes més importants en lògica borrosa és el tractament de condicionals borrosos del tipus “Sip, aleshoresq” ambpiq afirmacions borroses. Un mètode que s’empra per dur a terme aquest tractament es basa en l’ús de les implicacions borroses, funcionsI: [0,1]2 →[0,1]de tal manera que el valor de veritat del condicional es determina a partir dels valors de veritat de les proposicions inicials p i q aplicant-los aquesta funció I. Seguint la directriu de la generalització de la Lògica Clàssica, la restricció a{0,1}2 de la implicació borrosa ha de coincidir amb la implicació material clàssicap→q≡¬p∨q.
Recentment, les implicacions borroses s’han convertit en un dels temes d’investigació més candents en la Lògica Borrosa, especialment en control borrós, el raonament aproximat i en tots els camps on s’apliquen aquestes teories. Aquest fet és degut a què, a més de modelitzar els condicionals borrosos, també s’empren per dur a terme les inferències en qualsevol sistema basat en regles borroses (veure per exemple [81] o [88]) a través del
3
Modus Ponens i el Modus Tollens mitjançant la utilització de la regla composicional d’infe- rència de Zadeh ([8,173,174,175,176]). També, s’apliquen regularment les implicacions borroses en molts altres camps com són les equacions relacionals borroses i la morfologia matemàtica borrosa ([119]), les mesures borroses de la qualitat (DI) de subconjunt i el processament d’imatges ([39] i [40]) i la mineria de dades ([184]). Aquesta gran quantitat d’aplicacions de les implicacions ha permès a molts d’autors centrar el seu interès en un es- tudi teòric de les mateixes. Aquest estudi s’ha centrat en l’anàlisi de propietats addicionals de les implicacions ([36,42,63,67, 68,94,167,177], així com en la resolució d’equacions funcionals relacionades amb aquests operadors i en la caracterització de diversos tipus d’im- plicacions. La resolució d’equacions funcionals (veure el llibre mare [2]) és una de les línies de recerca més importants en aquest camp ja que qualsevol tautologia en la Lògica Clàssica, esdevé una equació funcional en la Lògica Borrosa ([11,16,23,24,54,67,87,118,167,172]).
Com a exemples de l’estudi de les implicacions borroses, es tenen els articles recopilatoris [17] i [119]. Fins i tot, s’ha publicat recentment el llibre [16], exclusivament dedicat a les implicacions borroses amb una extensa relació de referències.
En aquesta línia de l’estudi de propietats addicionals de les implicacions borroses, un dels objectius essencials d’aquesta memòria serà l’estudi de la llei d’importació. Aquesta propietat prové de la següent tautologia en la Lògica Clàssica,
(p∧q)→r≡p→(q→r) (1.1)
que, traslladada a la Lògica Borrosa, esdevé la següent equació funcional:
I(T(x,y),z) =I(x,I(y,z)), per a totsx,y,z∈[0,1]
onT és una t-norma, iI és una implicació borrosa. Així, es resoldran alguns problemes oberts (Problema8.1 a [92]) relatius a aquesta propietat en el Capítol3. Concretament, s’estudiarà la relació de la llei d’importació amb una de les propietats més importants que pot satisfer una implicació borrosa, com és el principi d’intercanvi. Així s’aprofundeix en un dels temes actuals d’aquest camp, l’estudi de les dependències entre les distintes propi- etats de les implicacions per delimitar els distints models existents (veure [36], [105] i [164]).
A més, tots els estudis teòrics esmentats han conclòs la necessitat d’utilitzar molts models diferents per modelitzar les implicacions borroses. La raó principal és perquè qualsevol regla del tipus “Si-Aleshores” és interpretada, com s’ha dit, mitjançant una d’aquestes implicacions i així, depenent del context, de la pròpia regla i del seu comportament, implica- cions diferents poden ser adequades en cada cas. Com que a més, les implicacions s’empren per dur a terme les inferències en el raonament aproximat, l’elecció de la implicació borrosa no pot fer-se independentment de la regla d’inferència que s’ha d’aplicar. En aquest sentit, la importància de tenir tants models diferents d’implicacions borroses és defensada a [176] (veure també [119]), on els autors arriben a la conclusió que fins i tot són necessaris nous models d’implicacions borroses. Així, les caracteritzacions dels distints tipus d’implicacions existents i la recerca de nous tipus són també dos dels objectius d’aquesta memòria.
Existeixen bàsicament dues estratègies a l’hora de definir implicacions borroses. La més habitual és la basada en les funcions d’agregació. Així, entre les implicacions obtingudes mitjançant t-normes i t-conormes trobam els següents tipus d’implicacions:
1) (S,N)-implicacions definides per
I(x,y) =S(N(x),y), x,y∈[0,1]
onS és una t-conorma i Nés una negació forta. Apareixen com la generalització immediata de la implicació clàssica booleanap→q≡¬p∨q.
2) R-implicacions definides per
I(x,y) =sup{z∈[0,1]| T(x,z)6y}, x,y∈[0,1]
onT és una t-norma. En el cas de t-normes contínues per l’esquerra, vénen de reticles residuats basats en la propietat de residuació
T(x,y)6z⇔I(x,z)>y, per a totsx,y,z∈[0,1].
3) QL-operacions definides per
I(x,y) =S(N(x),T(x,y)), x,y∈[0,1]
onSés una t-conorma,T és una t-norma iNés una negació borrosa. Provenen de la lògica de la mecànica quàntica.
4) D-operacions definides per
I(x,y) =S(T(N(x),N(y)),y), x,y∈[0,1]
onSés una t-conorma,T és una t-norma iNés una negació borrosa. Són la contrapo- sició respecte aNde lesQL-operacions quanNés forta. Són conegudes així ja que provenen de la fletxa de Dishkantp→q≡q∨(¬p∧ ¬q)dels reticles ortomodulars.
Veure, entre d’altres, [16] o [119]. A més, aquests tipus s’han generalitzat gràcies a l’ús de còpules, quasi-còpules i fins i tot conjuncions en general ([65]), funcions d’agregació representables ([50]), funcions T S([37]) i principalment uninormes ([3,19,57,115,157]) en lloc de les t-normes i t-conormes. Així neixen també les anomenades (U,N) i RU- implicacions i lesQLUiDU-operacions amb noves propietats ([19,57,115]). D’altra banda, existeix un enfocament distint a l’hora d’obtenir implicacions borroses basat en l’ús de funcions generadores additives. En aquest sentit, les implicacionsfig-generades de Yager ([182]) es poden interpretar com implicacions generades a partir de generadors additius de t-normes i t-conormes contínues i arquimedianes, respectivament. Aquestes implicacions tenen les expressions següents:
1) Implicacionsf-generades definides per
I(x,y) =f−1(x·f(y)), x,y∈[0,1]
onfés el generador additiu d’una t-norma contínua arquimediana.
2) Implicacionsg-generades definides per I(x,y) =g(−1)
1 x·f(y)
, x,y∈[0,1]
ongés el generador additiu d’una t-conorma contínua arquimediana.
Yager ha analitzat en profunditat l’impacte d’aquesta nova classe d’implicacions en el camp del raonament aproximat introduint conceptes associats a una implicacióI comstrictness indexosharpness of inference, útils en processos d’inferència ([182]). També, una classe recent anomenada implicacionsh-generades va ser introduïda amb la mateixa idea de generació,
5
però ara usant generadors multiplicatius de t-conormes contínues i arquimedianes ([24]).
Un tema important radica en la caracterització axiomàtica dels diferents tipus d’im- plicacions. Molts d’autors s’han centrat en aquesta línia d’investigació. Així, s’han obtin- gut caracteritzacions per les (S,N)-implicacions a [14, 68, 177], per les R-implicacions a [4, 11, 17, 68], per les QLiD-operacions a [114], per les (U,N)-implicacions a [19] i per lesRU-implicacions a [3]. Mentre que les(S,N)i lesR-implicacions estan completament caracteritzades (excepte quan la negació N no és contínua), les QL i D operacions no- més estan caracteritzades en alguns casos concrets. Aquestes caracteritzacions no s’han realitzat en una única passa, sinó que han estat necessàries diverses aproximacions per arribar a l’actual caracterització. Si ens centram en les caracteritzacions d’aquests tipus, en aquesta memòria es presenten caracteritzacions alternatives a les existents per a les(S,N) i R-implicacions en la Secció3.5. A més, en la Secció4.2es caracteritzen per primera vegada les implicacionsf ig-generades de Yager, responent un problema obert proposat en la literatura (veure problema3.3.1a [16]). Totes aquestes caracteritzacions estan basades en la citada llei d’importació. A partir de les caracteritzacions de les implicacions de Yager, es respon a un altre problema obert (Problema4.8.3a [16]) relatiu a la intersecció d’aquestes implicacions amb lesQL-implicacions i més encara, es determina la intersecció amb les D-implicacions. Aquesta part de la memòria s’afegeix al gran nombre d’articles en la litera- tura que estudien les interseccions entre els distints tipus d’implicacions ([15,16,20,21]).
Respecte a la recerca de noves funcions d’implicació, aquest tema es tracta en profunditat en la Secció 4.3 i en el Capítol 5. En primer lloc, seguint el model de generació de les implicacions de Yager, es proposen nous tipus d’implicacions basats en l’ús de generadors additius d’uninormes representables, és a dir, funcionsh : [0,1]→ [−∞,+∞]contínues i estrictament creixents amb h(0) = −∞, h(1) = +∞ i tals que h(e) = 0 per a un cert e∈(0,1). Aquestes implicacions, que anomenamh-implicacions, són estudiades en detall, centrant l’estudi en les propietats addicionals que verifiquen. Així, verifiquen algunes de les propietats més importants que pot satisfer una implicació, com són el principi d’inter- canvi i la llei d’importació, entre d’altres. A partir d’aquestes implicacions, es proposen generalitzacions i modificacions en la definició donant lloc a les(h,e)-implicacions i a lesh-implicacions generalitzades. El fet més destacat d’aquests tres tipus d’implicacions és que són literalment noves implicacions ja que no intersequen amb els tipus existents i a més, es poden caracteritzar axiomàticament amb un escalat adequat d’una implicació f-generada i una implicacióg-generada.
Finalment, com que l’estructura de les h-implicacions es pot generalitzar a dues im- plicacions generals, es pot definir un nou tipus de mètode de construcció d’implicacions borroses a partir d’altres implicacions existents. En la literatura, tenim disponibles diversos mètodes per generar implicacions borroses a partir d’altres (Capítol6a [16]), però per a la majoria d’aquests mètodes no és possible determinar quines implicacions poden ser construïdes mitjançant aquests. En canvi, el mètode presentat en el Capítol5, que ano- menam mètode dee-generació horitzontal, sí permet determinar quines implicacions es poden generar amb aquest mètode. D’altra banda, la importància d’aquests mètodes radica en la preservació de les propietats de les implicacions inicials a la implicació generada.
Així, un fet significatiu és que la majoria dels mètodes existents no preserven el principi d’intercanvi, que sí es preserva amb les implicacionse-generades horitzontals. A més del principi d’intercanvi, es preserven moltes altres propietats i en especial, les equacions de distributivitat. La distributivitat de les implicacions borroses amb diferents connectius lògics és un dels temes importants en la Lògica Borrosa. El creixement exponencial de
l’interès en aquest tema prové de l’article de Combs i Andrews ([52]) on s’usa la tauto- logia distributiva clàssica per reduir la complexitat de les regles borroses “Si-Aleshores”
evitant així l’explosió combinatòria de regles. Després d’això, molts d’autors han tractat amb aquestes propietats distributives ([12, 13, 25, 43, 66, 110, 158]) i amb versions més febles o alternatives ([6,7,112]). En el nostre cas, les implicacionse-generades horitzontals verifiquen les equacions de distributivitat sempre que les implicacions inicials les satisfacin.
Com hem comentat abans, les implicacions borroses són útils en molts de camps. En aquesta memòria, ens centrarem en el camp de l’anàlisi d’imatges, en concret, en la mor- fologia matemàtica borrosa. La morfologia matemàtica és una eina útil en l’extracció de components d’una imatge i, per tant, en la identificació d’objectes i en la detecció d’ano- malies en qualsevol procés industrial automatitzat. Les eines bàsiques de la morfologia matemàtica són els operadors morfològics. Un operador morfològicPtransforma la imatge Aque volem analitzar, mitjançant un objecte Banomenat element estructurant, en una nova imatgeP(A,B). La mida i la forma deBsón determinants pel resultats finals i per tant, han de ser elegits segons l’aplicació que es vulgui realitzar. Els operadors morfològics bàsics són la dilatació i l’erosió, els quals donen lloc a altres operadors més complexos com l’obertura i el tancament, entre d’altres. Aquests operadors, que estan basats en la teoria de conjunts, van ser introduïts en primer lloc per imatges binàries i més tard, es- tesos amb èxit a imatges en nivells de gris a [162] i [170]. Emperò, com que les imatges presenten una ambigüitat i incertesa inherent al procés de captació i processament de la imatge, la teoria de conjunts borrosos s’ha aplicat generant la morfologia matemàtica borrosa (veure [31,58,59,142]). En aquesta teoria, la dilatació es modelitza mitjançant una conjunció, normalment t-normes contínues encara que recentment s’han utilitzat també uninormes conjuntives (veure [60,72,79]), i l’erosió es modelitza mitjançant una implicació, normalment la implicació residual de la conjunció considerada. Així, les implicacions juguen un paper important en la morfologia matemàtica borrosa. Quan es proposa una morfologia matemàtica, es requereix que els operadors morfològics verifiquin una sèrie de propietats algebraiques ([72,142]). Aquestes propietats depenen de les propietats de la conjunció i implicació considerades i per tant, l’estudi teòric de les implicacions borroses permet determinar quines propietats algebraiques satisfan els operadors morfològics. Així, el principi d’intercanvi o la llei d’importació són propietats necessàries de la implicació, així com l’estudi de la intersecció entre(S,N)iR-implicacions per satisfer la dualitat.
Fins ara, les morfologies matemàtiques borroses proposades estan basades en conjun- cions i implicacions en [0,1]. Aquest fet provoca una sèrie d’inconvenients en el seu ús.
Les imatges, per les limitacions actuals dels ordinadors, són emmagatzemades en matrius finites amb entrades (els distints valors de nivells de gris) que pertanyen a la cadena finita L={0,. . .,255}. En conseqüència, per poder aplicar els operadors morfològics, les imatges han de patir un procés de fuzzificació per passar d’una funció de Z2 → L a una funció Z2 → [0,1], interpretable com un conjunt borrós en[0,1]. Aquest procés de fuzzificació i l’associat de desfuzzificació provoquen errors numèrics no desitjables que fan que a la pràctica no es verifiquin algunes de les propietats algebraiques que teòricament s’han de satisfer. A més, aquest pas a[0,1], exigeix propietats addicionals a la conjunció i implicació considerades com són continuïtats per l’esquerra o per la dreta, restringint el ventall de possibles eleccions. Aquests inconvenients s’analitzaran en detall al Capítol6. Mentre que al Capítol7, es proposarà una morfologia matemàtica borrosa basada en t-normes discretes que resultarà una possible solució a tots aquests inconvenients.
En darrer lloc, aprofundirem en una aplicació d’aquesta morfologia matemàtica, com és
7
la detecció de contorns. Aquest camp es troba en constant expansió ja que la detecció de contorns és una operació de baix nivell fonamental en el processament d’imatges ([149]).
Així, trobam algoritmes que van des dels algoritmes clàssics, basats en la convolució de la imatge amb una màscara [49,154,169], a les tècniques modernes basades en conjunts bor- rosos i les seves extensions [35,102]. Abans de proposar el detector basat en la morfologia discreta, en el Capítol8es durà a terme una comparació objectiva dels distints mètodes automàtics de transformació de la imatge de contorns borrosos a una imatge binària de contorns, per satisfer així les restriccions de Canny ([48,49]). Aquesta comparació es realitzarà mitjançant l’ús de mesures objectives de comparació de contorns. Una vegada determinat el mètode òptim de transformació, es compararan els resultats, emprant les mateixes mesures, amb el detector de Canny, que a dia d’avui segueix essent el detector de referència per establir la qualitat dels nous algoritmes proposats.
Per acabar, volem fer notar que s’han destacat aquí les línies generals d’aquesta memòria amb els corresponents problemes que l’han motivada. Però és evident que durant el procés de resolució d’aquests problemes, han anat apareixent qüestions relacionades, amb interès per elles mateixes, que s’han resolt. Finalment, les conclusions de la memòria, així com el treball futur que es vol realitzar s’han recopilat en el Capítol9.
2
P R E L I M I N A R S
Mathematics is written for mathematicians.
Nicholaus Copernicus (1473-1543).
En aquest capítol, s’introdueixen les definicions i notacions bàsiques que seran emprades durant tot aquest treball. Després d’introduir els automorfismes i les funcions conjugades, es mencionen els conceptes bàsics sobre negacions borroses. A continuació, es recorden els resultats més importants sobre dues operacions ben conegudes i estudiades, les t-normes i les t-conormes. Més endavant, s’introdueixen les uninormes, que es poden veure com una generalització de les t-normes i t-conormes, i els resultats bàsics sobre les mateixes.
A la cinquena secció, es recorda la definició de funció d’implicació borrosa. La gran part dels resultats d’aquesta investigació estan relacionats amb aquests operadors i les seves propietats. També, s’enumeren els distints tipus d’implicacions en què es centrarà la memòria i les propietats més importants que els poden ser exigides.
2.1 au t o m o r f i s m e s i f u n c i o n s c o n j u g a d e s
Definició2.1.1. Una funcióϕ : [0,1]→ [0,1]és un automorfisme si és contínua i estrictament creixent i satisfà les condicions de fronteraϕ(0) = 0iϕ(1) = 1, i.e., és una bijecció creixent en [0,1].
Definició2.1.2. Sigui ϕ : [0,1] → [0,1]un automorfisme. Dues funcions f,g : [0,1]n → [0,1]
sónϕ-conjugades sig=fϕ, on
fϕ(x1,. . .,xn) =ϕ−1(f(ϕ(x1),. . .,ϕ(xn))), x1,. . .,xn∈[0,1].
2.2 n e g a c i o n s b o r r o s e s
Com s’ha apuntat anteriorment, una negació borrosa, com qualsevol concepte borrós, és una generalització de la negació o complement clàssic¬, la taula de veritat de la qual es limita a dues condicions:¬0=1 i¬1=0. Les següents definicions i resultats inicials es poden trobar en qualsevol llibre bàsic de lògica borrosa (veure, per exemple, [68] o [147]).
Definició 2.2.1. Una funció N : [0,1] → [0,1]s’anomena una negació borrosa si és decreixent, N(0) =1iN(1) =0.
Com es pot veure fàcilment, la primera propietat reflexa la idea de que així com la pertinença d’un element en un conjunt augmenta, la seva pertinença al complement del conjunt decreix. La resta són una generalització de les condicions de frontera de la negació clàssica. Com que aquesta definició és molt general, s’han introduït altres axiomes per caracteritzar certs tipus de negacions.
Definició2.2.2. (i). Una negació borrosaNés estricta si, a més,Nés contínua i estrictament decreixent.
(ii). Una negació borrosaNés forta si és una involució, i.e.,N(N(x)) =x,per a totx∈[0,1].
9
(iii). Una negació borrosaNes diu que no s’esvaeix siN(x) =0⇔x=1. (iv). Una negació borrosaNes diu que no s’emplena siN(x) =1⇔x=0.
És senzill comprovar que la propietat característica de les negacions fortes és una generalització de la llei clàssica de la doble negació:
¬(¬p)≡p.
Exemple2.2.3. Entre les negacions borroses, destaquen el complement borrós clàssic (estàndard) NC(x) =1−x, x∈[0,1]que és la negació forta més usada; la negació intuïcionista (o negació de Gödel) que és la mínima negació borrosa
ND1(x) =
1 six=0, 0 six∈(0,1].
i la negació dual intuïcionista (o negació dual de Gödel), que és la negació borrosa més gran ND2(x) =
0 six=1, 1 six∈[0,1).
Algunes característiques importants de les negacions es presenten en els següents resultats:
Proposició2.2.4. Tota negació forta és també estricta.
Teorema 2.2.5. ([171]) Donada una funció N : [0,1] → [0,1], les següents afirmacions són equivalents:
(i) Nés una negació forta.
(ii) Existeix un automorfismeϕ: [0,1]→[0,1]tal queN= (NC)ϕ.
Teorema2.2.6. Tota negació borrosa contínua Nté un únic punt fix, i.e., existeix une ∈ (0,1) tal queN(e) =e.
El següent resultat presentat a [14] jugarà un paper molt important en els resultats d’aquesta memòria. La seva utilitat és que es construeix una funció a partir d’una negació borrosa contínua que juga el paper d’inversa de la negació original.
Lema2.2.7. SiNés una negació borrosa contínua, aleshores la funcióRN: [0,1]→[0,1]definida com
RN(x) =
N(−1)(x) six∈(0,1], 1 six=0, onN(−1)correspon a la definició de pseudo-inversa deN, és a dir,
N(−1)(x) =sup{z∈[0,1]|N(z)> x} per a totx∈[0,1], és una negació estrictament decreixent. A més
R(−1)N =N, N◦RN=id[0,1], RN◦N|Ran(RN)=id|Ran(RN), on Ran(RN)denota el rang de la funcióRN.
2.3 t-n o r m e s i t-c o n o r m e s 11
2.3 t-n o r m e s i t-c o n o r m e s
Com a conseqüència de ser dos operadors ben coneguts, a continuació només es recordaran les definicions i algunes propietats amb la finalitat de fixar la notació que es seguirà durant tot el treball. A part, es donaran per coneguts en aquest treball els resultats sobre t-normes i t-conormes que es poden trobar, entre d’altres llocs, a [93], [47] i [5].
Definició2.3.1. Unat-norma (o norma triangular)és una funcióT : [0,1]2 →[0,1]tal que per a totsx,y,z∈[0,1]se satisfan les següents propietats:
1. T(x,y) =T(y,x)(Commutativitat)
2. T(T(x,y),z) =T(x,T(y,z))(Associativitat) 3. T(x,y)6T(x,z)siy6z(Monotonia Creixent) 4. T(x,1) =x(Element Neutre)
Definició2.3.2. Unat-conorma (o conorma triangular)és una funcióS: [0,1]2 →[0,1]tal que per a totsx,y,z∈[0,1]se satisfan les següents propietats:
1. S(x,y) =S(y,x)(Commutativitat)
2. S(S(x,y),z) =S(x,S(y,z))(Associativitat) 3. S(x,y)6S(x,z)siy6z(Monotonia Creixent) 4. S(x,0) =x(Element Neutre)
Exemple2.3.3. El mínimTM(x,y) = min{x,y}, el producteTP(x,y) =x·yi la funció donada perTLK(x,y) =max{0,x+y−1}(t-norma de Lukasiewicz) són t-normes.
El màxim SM(x,y) = max{x,y}, la suma probabilística SP(x,y) = x+y−xy i la funció donada perTLK(x,y) =min{x+y,1}(t-conorma de Lukasiewicz) són t-conormes.
A continuació, les proposicions següents donen dues propietats bàsiques que satisfan aquests operadors en general.
Proposició2.3.4. Per tota t-normaT, tota t-conormaSi tot(x,y)∈[0,1]2, se satisfà:
T(x,y)6TM(x,y)6SM(x,y)6S(x,y).
Una característica important d’aquests operadors és que a partir d’una família de t- normes (o t-conormes) es poden construir noves t-normes (o t-conormes), com es veu en la següent proposició.
Proposició 2.3.5. ([5], definició 2.4.1, teorema 2.4.2) SiguinA un conjunt d’índexos finit o numerable,(Tα)α∈Auna família de t-normes i(]aα,bα[)α∈Auna família de subintervals de[0,1]
disjunts entre sí. L’operació binària definida per
T(x,y) =
aα+ (bα−aα)·Tα
x−aα
bα−aα, y−aα bα−aα
si existeixα∈A amb(x,y)∈[aα,bα]2,
min{x,y} altrament,
és una t-norma, i s’anomena la suma ordinal de sumands(aα,bα,Tα),α∈A. S’escriu T = (haα,bα,Tαi)α∈A.
(a)TM (b)SM
(c)TP (d)SP
(e)TLK (f)SLK
Figura1: Exemples de t-normes i t-conormes.
De manera similar es pot definir la suma ordinal de t-conormes, canviant els valors mínims per màxims en la proposició anterior. A continuació, es presenten alguns resultats relatius a la idempotència d’un element i a alguns tipus de t-normes que apareixeran durant la memòria. És important recalcar que aquests resultats es poden donar també per a t-conormes, adaptant-los de manera convenient.
Definició2.3.6. SiguiT una t-norma. Un elementα∈[0,1]es diu unelement idempotentde T siT(α,α) =α. Els elements0i1s’anomenenelements idempotents trivialsdeT, ja que són sempre idempotents, per a qualsevol t-norma T, i els elements idempotents de ]0,1[, s’anomenen elements idempotents no trivials.
Per altra banda, com que tota t-normaT és associativa, es pot definir de forma recurrent l’anomenada “potència” enèsima d’un elementα∈[0,1]perT com:
αT(n)=T(α,α,. . .,α).
Aquesta notació resultarà útil a continuació en la definició d’element nilpotent.
2.3 t-n o r m e s i t-c o n o r m e s 13
Definició2.3.7. Sigui T una t-norma. Un elementα ∈ [0,1]es diuelement nilpotent deT si existeixn∈Ntal queαT(n)=0.
Definició2.3.8. Una t-normaT s’anomena
(i) idempotent, siT(x,x) =xper a totx∈[0,1],
(ii) arquimediana, si per a totsx,y∈(0,1)existeix unn∈Ntal quex(n)T < y,
(iii) estricta, si és contínua i estrictament monòtona, i.e.,T(x,y)< T(x,z)sempre quex > 0 i y < z,
(iv) nilpotentsi és contínua i totα∈]0,1[és element nilpotent, (v) positivasiT(x,y)> 0per a totsx,y6=0.
Aquestes definicions poden ser fàcilment adaptades per t-conormes. Vegem alguns resultats relatius a aquestes definicions.
Nota2.3.9. (i) L’única t-norma que és idempotent ésTM, i l’única t-conorma que és idempotent ésSM.
(ii) Donada una t-norma contínua, la propietat arquimediana es pot reescriure comT(x,x)< x, per a totx∈(0,1).
(iii) Si una t-norma és estricta o nilpotent, llavors és arquimediana.
El següent teorema ens dóna la caracterització de les t-normes arquimedianes contínues.
Teorema2.3.10. ([93], teorema5.1)Donada una funcióT : [0,1]2 →[0,1]les següents afirma- cions són equivalents:
(i) T és una t-norma contínua arquimediana.
(ii) T té un generador additiu continu, i.e., existeix una funció f : [0,1] → [0,∞]contínua i estrictament decreixent ambf(1) = 0, que ve determinada únicament excepte una constant multiplicativa positiva, de la següent forma
T(x,y) =f(−1)(f(x) +f(y)), x,y∈[0,1], onf(−1)és la pseudo-inversa defdonada per
f(−1)(x) =
f−1(x) six∈[0,f(0)], 0 six∈(f(0),∞].
A més a més,T és estricta (resp. nilpotent) si el generador additiu continu f deT satisfà f(0) =∞(resp.f(0)<∞).
Finalment, també tenim els següents teoremes de representació per t-normes estrictes i nilpotents.
Teorema 2.3.11. ([93], proposició 5.9) Donada una funció T : [0,1]2 → [0,1] les següents afirmacions són equivalents:
(i) T és una t-norma estricta.
(ii) T ésϕ-conjugada amb la t-norma producteTP, i.e., existeix un automorfismeϕde[0,1]tal que
T(x,y) = (TP)ϕ(x,y) =ϕ−1(ϕ(x)·ϕ(y)), x,y∈[0,1].
Teorema 2.3.12. ([93], proposició 5.10) Donada una funció T : [0,1]2 → [0,1] les següents afirmacions són equivalents:
(i) T és una t-norma nilpotent.
(ii) T ésϕ-conjugada amb la t-norma de ŁukasiewiczTLK, i.e., existeix un automorfismeϕ de [0,1]tal que
T(x,y) = (TLK)ϕ(x,y) =ϕ−1(max{ϕ(x) +ϕ(y) −1,0}), x,y∈[0,1]. 2.4 u n i n o r m e s
Les uninormes són un tipus especial d’operador d’agregació que ha resultat útil en molts de camps com sistemes experts, xarxes neuronals, agregació, i modelització en sistemes borrosos. També són interessants a causa de la seva estructura, una combinació especial d’una t-norma i una t-conorma, esdevenint una generalització d’aquests operadors. En aquestes operacions, existeix un element neutre que està entre0i1. És ben conegut que una uninorma pot ser conjuntiva o disjuntiva segonsU(1,0) =0oU(1,0) =1, respectivament.
Aquest fet els permet ser emprades en la definició de les implicacions borroses.
Definició 2.4.1. ([183])Una uninorma és una operació binàriaUsobre[0,1], tal que per a tots x,y,z∈[0,1]se satisfà:
1. U(x,y) =U(y,x)(Commutativitat)
2. U(x,U(y,z)) =U(U(x,y),z)(Associativitat) 3. U(x,y)6U(x,z)siy6z(Monotonia creixent)
4. Existeixe∈[0,1]anomenatelement neutretal queU(x,e) =x(Element neutre)
És immediat comprovar que l’operació Ués una t-norma en el cas en què e = 1 i és una t-conorma quane=0. A continuació, s’enunciaran una sèrie de resultats i definicions bàsiques sobre les uninormes.
Proposició2.4.2. Per a qualsevol uninormaU, es verifica queU(0,1)∈{0,1}.
Definició2.4.3. Donada una uninormaU, es diu que ésconjuntivaquanU(1,0) =0i disjuntiva quanU(1,0) =1.
Definició 2.4.4. En general, direm que un operador binari (i en particular una uninorma) U és continu per l’esquerra (dreta) si ho són les seves seccionsU(x,−)iU(−,y).
Tot seguit, es donarà l’estructura general d’una uninorma.
Proposició2.4.5. Sigui Uuna uninorma amb element neutre e∈]0,1[. Definim dues operacions TUiSU : [0,1]2 →[0,1]com
TU(x,y) = 1
e·U(e·x,e·y), SU(x,y) = 1
1−e·(U(e+ (e−1)·x,e+ (e−1)·y) −e).
LlavorsTUés una t-norma iSUés una t-conorma, que s’anomenen t-norma i t-conorma associades aU, respectivament.
2.4 u n i n o r m e s 15
Així doncs, l’estructura d’una uninorma en els quadrats[0,e]2 i[e,1]2, està molt relacio- nada amb les t-normes i les t-conormes. És a dir, tenim
U(x,y) =e·TU xe,ye
, si06x,y6e, U(x,y) =e+ (1−e)·SU x−e1−e,y−e1−e
, sie6x,y61, per a una t-normaTUi una t-conormaSU.
Proposició 2.4.6. Sigui U una uninorma amb element neutre e ∈]0,1[. Aleshores, per a tots (x,y)∈[0,e]×[e,1]∪[e,1]×[0,e]es compleix
min{x,y}6U(x,y)6max{x,y}.
0 e 1
e 1
min6U6max
min6U6max
t-normaT
t-conormaS
Figura2: Estructura general d’una uninormaUamb neutree.
Entre els tipus més coneguts i usats d’uninormes destaquen les uninormes representables, exemples de les quals sortiran durant la memòria. A diferència del que passa amb t-normes i t-conormes, se sap que no existeixen uninormes contínues a[0,1]2 amb element neutre e∈]0,1[. Emperò existeixen classes d’uninormes que tenen continuïtat a conjunts grans. És aquí on, entre d’altres tipus, destaquen les uninormes representables.
Definició 2.4.7. ([69]) Una uninorma U, amb element neutre e ∈]0,1[, es diu representable si existeix una funció estrictament creixenth : [0,1] → [−∞,+∞] (que s’anomena un generador additiu deU, i és únic llevat d’una constant multiplicativa k > 0), ambh(0) = −∞,h(e) =0 i h(1) = +∞, tal queUve donada per
U(x,y) =h−1(h(x) +h(y))
per a tot(x,y)∈[0,1]2\ {(0,1),(1,0)}. Tenim o bé queU(0,1) =U(1,0) =0o bé queU(0,1) = U(1,0) =1.
Nota2.4.8. Una uninorma representable és clarament contínua a[0,1]2\ {(0,1),(1,0)}i estricta- ment creixent a]0,1[2. A més a més, existeix una negació fortaNU amb punt fixetal que per a tots(x,y)∈[0,1]2\ {(0,1),(1,0)}
U(x,y) =NU(U(NU(x),NU(y))).
Aquesta negació fortaNUve donada perNU(x) =h−1(−h(x)), onhés un generador additiu de U.
