Introducció a la Geometria Tropical

T reba ll F ina l de G rau

GRAU DE MATEMÀTIQUES

Introducció a la Geometria Tropical

Jordi Penalva Vadell

Tutor

Francesc Rosselló Llompart

Escola Politècnica Superior

Universitat de les Illes Balears

S ^UMARI

Sumari I

1 Introducció 1

1.1. Orígens . . . 1

1.2. Àlgebra Tropical . . . 1

1.3. Corbes Tropicals . . . 3

1.4. Amebes . . . 5

1.5. Filogenètica . . . 6

1.6. Aquesta memòria . . . 6

2 Conceptes Bàsics 7 2.1. Valoracions . . . 7

2.2. Varietats Algebraiques . . . 13

2.3. Grassmanianes. . . 15

3 Varietats Tropicals 21 3.1. Tropicalitzacions. . . 21

3.2. Hipersuperfícies . . . 27

3.3. El Teorema Fonamental . . . 29

4 Arbres Filogenètics 31 4.1. Arbres filogenètics. . . 31

4.2. Representació tropical . . . 34

5 Conclusions 39

Bibliografia 41

C

1

I ^NTRODUCCIÓ

En aquest capítol donam una breu introducció informal a la geometria tropical, basant-nos en el primer capítol de [10] i els articles [2], [9] i [11].

1.1. Orígens

El nom de geometria tropical apareix a finals de segle XX [14] en honor al matemàtic brasiler Imre Simon. Simon vivia a São Paulo i desenvolupà algunes de les tècniques que esdevindrien la geometria tropical per atacar diversos problemes, la majoria centrats en autòmats, llenguatges i semigrups [18]. Els seus amics francesos D. Perrin i J.-E. Pin, per donar importància a aquest treball i considerant que São Paulo quedava a prop del Tròpic de Capricorn, decidiren anomenar-la geometria tropical. Abans que se l’ano- menàs tropical, se’n deia geometria “min-plus” perquè, com veurem, les operacions bàsiques són el mínim i la suma.

Un dels objectius de la geometria tropical és transformar problemes de varietats algebraiques en problemes sobre complexes polièdrics. A través de la “tropicalització”

de varietats algebraiques, obtenim complexes polièdrics, els quals són objectes més senzills i ens permeten estudiar les varietats des d’una altra perspectiva. Ha resultat que diversos problemes de geometria algebraica “clàssica” han pogut ser atacats d’aquesta manera [12]: donat un problema en geometria algebraica, es tradueix a una qüestió en geometria tropical, se demostra la equivalència (o la traducció) entre les respostes de les dues qüestions, i se treballa en la tropical, que en ser (com veurem) bàsicament una qüestió combinatòria sobre conjunts definits a trossos per funcions lineals, és molt més fàcil d’atacar.

1.2. Àlgebra Tropical

La geometria tropical es basa en l’àlgebra dels semianells tropicals. El paradigma desemianell tropicalés la terna (R∪{∞},⊕,⊗), on⊕és l’operació tropical de la suma i

⊗és l’operació tropical de la multiplicació, que són:

x⊕y:=min{x,y}, x⊗y:=x+y

on+és la suma habitual. Amb aquestes operacions,R∪{∞} és un semianell, ja que (R∪{∞},⊕) és un monoide commutatiu, amb∞com a element neutre.

(R∪{∞},⊗) és un monoide amb el 0 com a element neutre.

Es té distributivitat del producte sobre l’addició:x⊗(y⊕z)=x⊗y⊕x⊗z.

L’infinit∞és un element absorbent:∞ ⊗x=x⊗ ∞ = ∞.

Si reemplaçam el mínim pel màxim i l’infinit per menys infinit−∞, obtenim un altre semianell que ens defineix l’àlgebra “max-plus”.

Exemple 1. Vegem alguns exemples amb les operacions;

4⊕9=min{4, 9}=4 i 4⊗9=4+9=13.

1⊕ ∞ =min{1,∞}=1 i 1⊗ ∞ =1+ ∞ = ∞.

Hem d’anar alerta, ja quex6=x⊕0. Aquí ésx=x⊕ ∞. En general, x⊕0=

½ 0 six≥0, x six<0.

De la mateixa forma,x6=x⊗1=x+1, peròx=x⊗0.

La majoria de les propietats de l’aritmètica clàssica sobreviuen dintre de l’àlgebra tropical. Per exemple, es conserva la commutativitat de la multiplicacióx⊗y=y⊗x. Per contra, el semianell tropical no arriba a ser anell, pel fet que hi manca l’invers respecte de la suma tropical. Per exemple, no existeix cap nombre realxtal quex⊕1=2, ja que x⊕1=min{x, 1}≤1<2. Llavors, el semianell tropical satisfà tots els axiomes d’anell, menys l’existència d’un invers per la suma.

Exemple 2. Podem construir el triangle de Pascal dins el semianell tropical. En aquest cas, com el neutre del producte és el 0, la piràmide queda tota de zeros, és a dir¡_n

k

¢=0 sempre. Llavors, tendrem;

(x⊕y)³ =¡₃

0

¢⊗x³⊕¡₃

1

¢⊗y⊗x²⊕¡₃

2

¢⊗y²⊗x³⊕¡₃

3

¢⊗y³

=0⊗x³⊕0⊗y⊗x²⊕0⊗y²⊗x⊕0⊗y³

=x³⊕x²⊗y⊕x⊗y²⊕y³.

D’aquesta manera, l’àlgebra tropical satisfà el somni de tot estudiant de matemàtiques:

(x⊕y)ⁿ=xⁿ⊕yⁿ,∀n∈Z⁺. La comprovació és senzilla. Sigui

(x+y)ⁿ=xⁿ⊕xⁿ⁻¹⊗y⊕ · · · ⊕x⊗yⁿ⁻¹⊕yⁿ=min{nx, (n−1)x+y, . . . ,x+(n−1)y,yn}.

1.3. Corbes Tropicals

Six≥y, aleshores

nx≥n y, (n−1)x+y≥(n−1)y+y=n y, . . . ,x+(n−1)y≥y+(n−1)y=n y, on min{nx, (n−1)x+y, . . . ,x+(n−1)y,yn}=n y.

En canvi, six<y,

n y>nx, (n−1)x+y>(n−1)x+x=nx, . . . ,x+(n−1)y>x+(n−1)x=nx, on min{nx, (n−1)x+y, . . . ,x+(n−1)y,yn}=nx.

Llavors, min{nx, (n−1)x+y, . . . ,x+(n−1)y,yn}=min{nx,n y}, és a dir (x⊕y)ⁿ=xⁿ⊕yⁿ.

1.3. Corbes Tropicals

Per fer geometria algebraica, hem de definir polinomi. Vegem ara què són els poli- nomis en la geometria tropical.

Definició 1. Unmonomitropical enn variables és qualsevol producte tropical de còpies denvariables

x₁^l1⊗x₂^l2⊗ · · · ⊗x^l_nⁿ:=l1x1+l2x2+ · · · +lnxn.

Per tant, unpolinomitropical és una combinació lineal finita de monomis tropicals:

p(x1, . . . ,xn)=M

i

ai⊗x₁^li1x^l₂ⁱ²⊗ · · · ⊗x_n^lin,

on aquesta suma és, recordem, en realitat un mínim. És a dir, traduït a l’àlgebra clàssica, un polinomi tropical és la funció formal que ens dóna el valor mínim que prenen un conjunt de funcions lineals, o dit d’una altra manera, una funció lineal a trossos

p(x1, . . . ,xn)=min

i {ai+li₁x1+li₂x2+ · · · +li_nxn}. (1.1) Ara ens cal definir les arrels del polinomi. Per una banda, podríem definir-les com ho feim amb els polinomis clàssics, que són els valors pels quals el polinomi s’anul.la.

En el nostre cas, com el neutre de la suma tropical és l’infinit, hauríem de cercar uns x₁, . . . ,x_n de manera quep(x₁, . . . ,x_n)= ∞i no és una definició factible, pel fet que no hi ha valors reals que avaluats a funcions lineals donin infinit. Per resoldre aquest problema, definim les arrels de la següent forma.

Definició 2. Unaarreld’un polinomi tropical és un punt tal que el mínim de (1.1) s’assoleix almenys a dos monomis. Dit d’una altra forma,α=(α1, . . . ,αn) és una arrel del polinomi tropicalp(x1, . . . ,xn)=L

iai⊗x₁^li1x₂^li2⊗ · · · ⊗x_n^lin si existeixeni, j, amb i6=j, tals que, per a totk,

ai+li1α1+li2α2+· · ·+linαn=aj+lj1α1+lj2α2+· · ·+ljnαn≤aklk₁α1+lk₂α2+· · ·+lk_nαn. D’aquesta manera, donat un polinomi tropicalp, definirem lahipersuperfície V(p) com el conjunt de les arrels del polinomip(x), que no és res més que el conjunt dels punts x=(x1, . . . ,xn)∈Rⁿtals que el mínim que defineix la funció associada aps’assoleix almenys a dos monomis.

Restringim-nos per un moment a polinomis de dues variables p(x,y)=M

(i,j)

c_{i j}⊗xⁱ⊗y^j.

En aquest cas, la hipersuperfície tropicalV(p) rep el nom decorba plana tropical.

Exemple 3. Considerem el següent polinomi tropical de primer grau p(x,y)=a⊗x⊕b⊗y⊕c,a,b,c∈R.

Lalínia tropicalés la corba tropicalV(p) que consisteix en tots els punts (x,y) on el mínim min{a+x,b+y,c} s’assoleix almenys a dos llocs. Les rectes a on es dóna igualtat entre dos termes qualssevol són

y=x+(a−b), y=c−b,x=c−a.

En concret, per la primera ha de passar quey≤c−box≤c−a, per la segonac−a≤xi la tercerac−b≤y. Aquestes són tres semirectes que emanen del punt (x,y)=(c−a,c−b).

Una propietat interessant és que dues línies en el pla tropical sempre intersequen.

Depenent d’on es trobin, la intersecció pot ser un únic punt, una semirecta o bé que estiguin superposades. En general, es tenen diversos resultats sobre el nombre de punts d’intersecció entre dues corbes tropicals qualssevol. Un d’ells és el Teorema de Bézout.

Per enunciar-lo ens cal definir multiplicitats:

Definició 3. Siguin dues línies qualssevol amb pendents racionals distintes enR². Si les direccions principals de les línies són (u₁,u₂)∈Z²i (v₁,v₂)∈Z², llavors lamultiplicitat de la intersecció de les dues línies en el punt comú és el determinant|u1v2−u2v1|.

Teorema 1. Consideram dues corbes tropicals C i D de graus c i d enR². Si les dues corbes intersequen transversalment, llavors el nombre de punts d’intersecció, comptant les multiplicitats, és c·d .

Aquest resultat es correspon amb el Teorema de Bézout clàssic, que estableix el mateix per a dues corbes planes del pla projectiu definides per polinomis de grauscid.

Un dels avantatges de la versió tropical, emperò, és que la demostració és elemental, purament combinatòria; vegi’s, per exemple, [16, Thm. 4.2]. Un altre és que a partir del teorema “tropical” es pot deduir el teorema clàssic per al cos K de les sèries de Puiseux [15] (vegi’s l’Exemple6).

1.4. Amebes

1.4. Amebes

Un altre interès que té la geometria tropical és el de definir com una varietat tropical el que és una varietat algebraica. Per a fer-ho, consideram la funció

Log_t: (C^∗)ⁿ → Rⁿ

(z1, . . . ,zn) 7→ (log_t(|z1|), . . . , log_t(|zn|)). (1.2) Definició 4. La imatge d’una subvarietat algebraicaXde (C^∗)ⁿper la funció Log_trep el nom deameba.

Aplicant límits, resulta que

tlim→∞Log_t(X)

és un conjunt lineal a trossos anomenatventall polièdric. Les propietats naturals del logaritme ens diuen que

Log_t(x y)=Log_t(x)+Log_t(y), Log_t(x)= ∞si, i només si,x=0.

Sabent que en el límit és un conjunt lineal a trossos, ens plantejam descriure una funció que es comporti de manera similar en un cos K algebraicament tancat. Consideram per tant unafunció valoracióval, amb les dues propietats anteriors i que a més satisfà

val(x+y)≥min{val(x), val(y)}.

En general, per no haver d’estendre el conjunt imatge a l’infinit, definim la valoració sobre K^∗=K \ {0}.

Exemple 4. Consideram el cos de les sèries de Puiseux K=C{{t}} (Exemple6). Tot element es pot escriure com una sèrie de potències ent:

x= X∞ i=k

cit^i/N,c_k6=0.

La valoració es defineix com la potència detmés petita ambcino nul. En aquest cas serà val(x)=k/N.

Una hipersuperfície del tor algebraicX⊂(K^∗)ⁿés el conjunt de punts sobre els que s’anul.la un polinomi de Laurent en les variablesx1, . . . ,xn. La seva tropicalització ve definida com a trop(X)=val(X), la clausura dinRⁿde la imatge de les valoracions dels seus punts. Així, si tenim la subvarietat definida per la recta

x+y+1=0, escrivimx,yi 1 en termes de sèries de Puiseux:

X∞

i=k

cit^i/N+ X∞ i=m

dit^i/N+t⁰=0.

Aleshores, cercam que la sèrie de potències ent sigui la sèrie 0. Per a aconseguir-ho, necessitam anul.lar tots els coeficients de cadat^j/N, per totj≥min{l,m, 0} Comc_k6=0 idm6=0, necessitarem que el més petit dels dos s’anul.li amb qualcú i per tant, el mínim min{l/N,m/N, 0}=min{val(x), val(y), val(1)} es dóna a dos llocs. Queda clar per tant que trop(X) està contingut dins la hipersuperfície tropicalx⊕y⊕0. Més endavant veurem amb el Teorema de Kapranov que en realitat és una igualtat de conjunts.

1.5. Filogenètica

Un dels objectes d’estudi d’aquesta memòria són els arbres filogenètics. L’espai d’arbres filogenètics denfulles∆nfou introduït per Billera, Holmes i Vogtman [1] per donar una representació geomètrica dels algorismes filogenètics.

Els elementsT ∈∆nsón arbres no arrelatsT =(V,E) ambnfulles, on cada aresta e∈Eté assignat un pes positiul_e. A través d’aquests pesos, podem definir una mètrica sobre el conjunt de vèrtexs i en concret, sobre el conjunt de fulles. Els parells de distàn- cies entre les fulles de l’arbre formen un vectordT de longitud¡n

2

¢. En particular, cada arbre té el seu propi vector de distàncies, ja que és ben sabut que (vegi’s, per exemple, [17, Thm. 7.1.8]):

Teorema 2(Teorema de Smolenskii). Siguin T i T⁰dos arbres i dT i dT⁰les mètriques corresponents als arbres. Si dT=dT⁰, llavors T=T⁰.

L’espai de distàncies d’arbres és un subconjunt deR(ⁿ2). És important tenir resultats que ens caracteritzin aquestes distàncies, ja que no tota mètrica denelements prové d’una mètrica d’arbre. Una forma de caracteritzar aquestes distàncies és a través de la geometria tropical.

A la secció anterior hem vist com definíem la tropicalització d’hipersuperfícies.

En general, la tropicalització de la varietat algebraicaV(I) definida per un idealI es defineix com

trop(V(I))=\

f∈I

trop(V(f)).

Speyer i Sturmfels aconseguiren relacionar els arbres filogenètics amb la tropicalització d’ideals.

Teorema 3. Un vector v∈R(ⁿ2)prové d’una mètrica d’arbre si, i només si,−v és un punt de la varietat tropicaltrop(G⁰(2,n)).

G⁰(2,n) fa referència a la intersecció de la GrassmanianaG(2,n) (que parametritza les rectes dePⁿ⁻¹) sobre un cos algebraicament tancat amb una valoració no trivial, com araC{{t}}, amb el Tor algebraic sobre aquest cos. En els capítols2i4la introduirem com toca.

1.6. Aquesta memòria

L’objectiu d’aquesta memòria ha estat desenvolupar el cos de geometria tropical necessari per arribar a entendre i demostrar el Teorema3, seguint el llibre [10] de Maclagan i Sturmfels. Això ha inclòs, per exemple, establir els teoremes que relacionen varietats algebraiques clàssiques amb la seva tropicalització, però també i sobretot un munt de lemes sobre propietats de tropicalitzacions de varietats. Per desgràcia, algunes de les demostracions amb les que m’he trobat han estat d’un nivell, a criteri del meu tutor, molt superior a l’adequat a un Treball de Final de Grau i les he hagudes de deixar de banda. La meva tasca ha estat llavors entendre els resultats necessaris per arribar a establir aquest teorema i demostrar-los gairebé tots, donant tots els detalls que falten al llibre i esmenant els errors del llibre.

C

2

C ^ONCEPTES B ^ÀSICS

Per introduir-nos dins la geometria tropical, és necessari definir una funció que assigni nombres reals als elements d’un cos K de tal manera que transformi productes en sumes i sumes en mínims. Per evitar problemes i centrar-nos en el cas que ens interessa, suposarem que tots els cossos K que apareixen en aquesta memòria tenen característica 0.

2.1. Valoracions

Siguin K un cos i K^∗=K\{0}. Unafunció de valoracióen K és una aplicació, val : K → R∪{∞}

a 7→ val(a) que satisfà:

1. val(a)= ∞si, i només si,a=0.

2. val(ab)=val(a)+val(b).

3. val(a+b)≥min{val(a), val(b)}, per a totsa,b∈K.

Una valoració éstrivialquan val(a)=0 per a tota∈K^∗.

A continuació enumeram un seguit de propietats que emprarem molt sovint;

Proposició 4. Siguin K un cos ivaluna funció de valoració en K. Es satisfan les següents propietats:

1. Si1∈K és el neutre del producte del cos, llavorsval(1)=0.

2. Si a∈K^∗, llavorsval(a⁻¹)= −val(a).

3. Si a∈K, llavorsval(−a)=val(a).

4. Si a∈K i n∈Z, aleshoresval(a^1/n)=_n¹val(a).

Demostració. 1. Sigui 1∈K, llavors val(1)=val(1·1)=val(1)+val(1) i d’aquí es treu val(1)=0.

2. Prenem a∈K^∗. Aleshores, 0=val(1)=val(a·a⁻¹)=val(a)+val(a⁻¹), d’on es conclou la propietat.

3. Sia∈K, aleshores val(−a)=val(−1)+val(a). Ara , val(−1)= −val(−1) i així val(−1)= 0. És a dir, val(−a)=val(a).

4. En efecte, val(a)=val(a^1/n· · ·a^1/n

| {z }

nvegades

)=val(a^1/n)+ · · · +val(a^1/n)

| {z }

nvegades

=nval(a^1/n).

Aquestes propietats ens permeten veure la imatgeΓval:=val(K^∗) com un subgrup additiu dels nombres reals. Es pot comprovar fàcilment que, donatsx,y∈Γval, tendrem x−y∈Γval. En efecte, podem escriurex=val(a),y=val(b) i aleshores

x−y=val(a)−val(b)=val(a·b⁻¹)∈Γval.

Fixem-nos que en general, no té per què ser ver que l’1 pertanyi a la imatge de la valoració. Ara bé, si la valoració no és trivial, sempre la podem modificar a fi que la seva imatge contengui l’1.

Proposició 5. Siguivaluna funció de valoració. Prenemλpositiu. Llavorsλ·valtambé és una valoració.

Demostració: Vegem-ho per parts:

1. λval(a)= ∞si, i només si,a=0, ja queλval(0)= ∞i siλval(a)= ∞necessària- ment ha de ser perquè val(a)= ∞, que implicaa=0.

2. λval(a·b)=λ(val(a)+val(b))=λval(a)+λval(b).

3. λval(a+b)≥λmin{val(a), val(b)}=min{λval(a),λval(b)}.

Llavors, si existeixλ∈Γvalambλ∈R^∗, tendrem dos casos: siλ>0, llavors ¹_λval torna a ser una valoració i en aquest cas 1∈Γval. Siλ<0, per la Proposició4.(b) tendrem

−λ∈Γvali ja estam en el cas anterior. Per tant, d’ara endavant suposarem sempre que ho necessitem, i sense cap pèrdua de generalitat, que si val no és trivial aleshores 1∈Γval. Lema 6. Sival(a)6=val(b), aleshoresval(a+b)=min{val(a), val(b)}.

Demostració. Com les valoracions d’aibsón distintes, suposarem que val(b)>val(a).

Llavors, val(a)=val(a+b−b)≥min{val(a+b), val(−b)}=min{val(a+b), val(b)}. Com suposam que val(a)<val(b), val(b) no pot ser el mínim anterior i llavors val(a)≥ val(a+b). Per contra, emprant la definició de valoració tenim

val(a+b)≥min{val(a), val(b)}=val(a),

ja que de nou suposam que val(a)<val(b) i per tant el primer és el mínim. En definitiva, juntant les dues desigualtats obtenim val(a+b)=val(a).

2.1. Valoracions

Fixem-nos que el lema anterior el podem estendre a un nombre de sumands qual- sevol de les dues formes següents:

Lema 7. Siguin a1, . . . ,an∈K. Si el mínim deval(a1), . . . , val(ak)s’assoleix en un únic element, llavors

val à _n

X

i=1

ai

!

= min

i=1,...,n{val(ai)}.

Demostració. Siguina1, . . . ,antals que n’hi ha un la valoració del qual és estrictament més petita que les de tots els altres. Reordenant si cal aquests elements, podem suposar que val(an)<val(aj) per a totj=1, . . . ,n−1. Llavors,

val à _n

X

i=1

ai

!

=val Ã_n

−1

X

i=1

ai+an

! .

Ara, val Ãn−1

X

i=1

a_i

!

≥min{val(a₁), . . . , val(a_n−1)}>val(a_n) i per tant, pel lema anterior,

val Ãn−1

X

i=1

ai+an

!

=val(an)= min

i=1,...,n{val(ai)}

Corol.lari 8. Siguin a1, . . . ,an∈K. Sival(ai)6=val(aj), per i6=j , llavors

val à _n

X

i=1

ai

!

= min

i=1,...,n{val(ai)}.

Demostració. Si val(ai)6=val(aj), per a totsi6=j, llavors el mínim de val(a1), . . . , val(ak) s’assoleix en un únic element i aplicam el lema anterior.

Considerem ara el conjunt de tots els elements del cos amb valoració no negativa:

R_K={c∈K : val(c)≥0}.

Llavors,R_Kés un anell local. En efecte, és anell perquè:

Sia,b∈RK, llavorsa+b∈RK, ja que val(a+b)≥min{val(a), val(b)}≥0.

Sia∈RK, l’oposat també hi pertany, ja que val(−a)=val(a)≥0.

1∈RK, doncs val(1)=0.

Sia,b∈R_Kllavorsa·b∈R_K, doncs val(a·b)=val(a)+val(b)≥0.

El seu únic ideal maximal és

MK={c∈K : val(c)>0}

perquè tot element que no és deMkés invertible: six∈RK\MK, llavors val(x)=0 i per tantx6=0 i val(x⁻¹)= −val(x)=0, la qual cosa implica quex⁻¹∈RK\MK.

Aleshores, podem construir l’anell quocientK=RK/MKque, per serMKideal maximal, resulta ser un cos, anomenat elcos residualde (K, val).

A continuació anem a veure les valoracions més usuals.

Exemple 5. Donatpun nombre primer, l’aplicació, val : Q →Z

q 7→k, ambq=p^ka/b, ipno divideix nianib

està ben definida i si l’estenem amb val(0)= ∞, és una valoració. Està ben definida ja que tot nombre racional no nul el podem escriure com un quocient de nombres enters irreductibles i simplement descomposam un d’ambdós (numerador o denomi- nador) com a potència depper quelcom no divisible perp. Hem de comprovar que és valoració:

1. val(x)= ∞siix=0; per conveni.

2. val(x y)=val(x)+val(y). Si x=0 o y =0, és obvi. Si x y 6=0, podem prendre val(x)=val(p^ka/b)=ki val(y)=val(p^qc/d)=q. Llavors

val(x y)=val(p^kp^q(ac)/(bd))=val(p^k+q(ac)/(bd))=k+q,

perquè, tot i que (ac)/(bd) no té per què ser irreductible, segur que ni el numera- dor ni el denominador no són divisibles perp.

3. val(x+y)≥min{v al(x), val(y)}. Si un dels sumands és 0 és obvi, perquè val(x)= min{val(x),∞}. En altre cas, consideram elsxiyanteriors, i per simplicitatq≥k.

Siy= −x, llavors val(x+y)=val(0)= ∞ ≥min{val(x), val(y)}. Suposem ara que x+y6=0. Aleshores,

val(x+y)=val(p^ka/b+p^qc/d)=val(p^k(a/b+p^q−kc/d))=val Ã

p^k

Ãad+p^q−lcb bd

!!

. Ara bé,

bdno és múltiple dep, ja que nibnidho són ipés primer.

ad+p^q−kcb6=0 i el podem escriure com unp^lm, ambl≥0 ipno divideix am. Això implica que val(x+y)≥k+l≥k=min{k,q}.

Aquestes valoracions se’ls anomenavaloracions p-àdiquesi es solen indicar com valp. Per exemple, en el casp=2, tendrem

val2(5/24)=val(2⁻³5/3)= −3, val2(4/3)=val(2²/3)=2.

2.1. Valoracions

Exemple 6. Direm araC{{t}} al cos de lessèries de Puiseuxamb coeficients enC. Els elements d’aquest cos són les sèries formals

c(t)=c1t^a1+c2t^a2+. . . ,

on elscisón nombres complexos ia₁<a₂<. . . són nombres racionals amb denomina- dor comú. Es pot veure que

C{{t}}= [

n≥1

C((t^1/n)),

onC((t^1/n)) és el cos de sèries de Laurent en la variablet^1/n. Aquí podem definir la valoració com l’ordre del pol at=0. Per exemple, si

c(t)=8t²−2t³+3t⁴

−2+t⁴ ,

llavors val(c(t))=2, que és l’ordre del pol. Observem que per qualsevol polinomi cons- tantq(t) distint de zero es té val(q(t))=0.

A més, els axiomes de valoració els compleix de forma evident gràcies a les propi- etats dels polinomis, doncs donats dos polinomis, el grau més petit del producte és sempre la suma dels graus més petits i el grau de la suma és almenys tan gran com el grau més petit.

En alguns punts treballarem ambC{{t}}. Presentam un resultat important que necessitarem i que no demostram perquè la demostració surt de l’abast d’aquest treball:

Teorema 9. SiKés un cos algebraicament tancat de característica0, el cos K=K{{t}}de sèries de Puiseux és algebraicament tancat.

Exemple 7. SiguiK=Q(t) la clausura algebraica del cos de funcions racionals en una variable amb coeficients enQ. ComQ(t)⊂C{{t}} iC{{t}} és algebraicament tancat, llavors K=Q(t)⊂C{{t}}. Un avantatge de K respecte deC{{t}} és que els seus elements es poden descriure com a arrels de polinomisg=Pr

i=0aixⁱamb coeficientsai∈Q(t).

En particular, això ens permet representar-los en ordinadors. La valoració val :K→Rés heretada deC{{t}}. La valoració de les arrels deges pot entendre de la següent manera.

Cadaaiserà un quocient de polinomis racionals ent;

a_i=p_i/q_i, per 1≤i≤ onp_i,q_i∈Q(t).

Sip=Ps

j=1bjt^j∈Q[t], la seva valoració és min{j:bj6=0}, pel fet que k=val(t^k)=val(bkt^k)6=val(blt^l)=val(t^l)=l,

i pel lema7es té que val(p)=minj;bj6=0{val(b_jt^j)}=min{j:b_j6=0}. Llavors, val(a_i)= val(pi/qi)=val(pi)−val(qi) . Finalment, les possibles valoracions de les arrelsαde g són els valorsω∈Ron el graf de la funcióx7→min{val(ai)+i x: 0≤i≤r} no és diferenciable. En efecte, siαés una arrel, tendrem queg(α)=0. En conseqüència, val(g(α))=val(0)= ∞. En definitiva, com

g(α)=X a_iαⁱ

haurà de passar que val(g(α))>mink{val(akα^k)} i això vol dir, pel lema7, que hi ha d’haver almenys dos termesaiαⁱ que tenen la mateixa valoració mínima, és a dir, que existeixen j,k =0, . . . ,r,j 6=k, tals que val(ajα^j)=val(a_kα^k)≤val(a_lα^l) per tot l=0, . . . ,r. Com que val(a_iαⁱ)=val(a_i)+ival(α), això es tradueix en val(aj)+jval(α)= val(ak)+kval(α)≤val(al)+lval(α). És a dir, els possibles valorsω=val(α) són aquells per als quals existeixenj,k=0, . . . ,r,j6=ktals que val(aj)+jω=val(a_k)+kω≤val(a_l)+ lωper totl=0, . . . ,r. Aquests valors són precisament els punts on els segments que formen el graf de la funció anterior canvien de pendent, és a dir, on aquesta funció no és diferenciable.

Exemple 8. Volem saber quina és la valoració 2-àdica deα=p³ 11+p

17. Primer de tot trobam el polinomi irreductible d’αamb un manipulador algebraic. Dóna

p(x)=x⁶−71x⁴−2·11x³+867x²−2·561x−2³·599.

Com quep(α)=0, val(p(α))= ∞i per tant

val(p(α))>min{val(α⁶), val(71α⁴), val(2·11α³), val(867α²), val(2·561α), val(2³·599)}.

Això implica que el mínim del conjunt

{val(α⁶), val(71α⁴), val(2·11α³), val(867α²), val(2·561α), val(2³·599)}

={6val(α), 4val(α), 1+3val(α), 2val(α), 1+val(α), 3}

s’assoleix almenys a dos valors. Hem de trobar, doncs, elsx∈Rtals que el mínim de 6x, 4x, 1+3x, 1+x, 3

s’assoleix com a mínim a dos valors. Si dibuixam aquestes rectes, obtenim que els possibles valors dexsón 0, 1 o 2: aquests són els possibles valors de val(α).

Acabam la secció amb uns resultats sobre divisibilitat de grups.

Definició 5. Un grup commutatiuGés divisible si, per a totsg∈Gin∈Z⁺, existeix un g⁰∈Gtal queng⁰=g.

Lema 10. Sigui K un cos algebraicament tancat amb valoració no trivial. Llavors,Γvalés un subgrup divisible deRdens enR.

Demostració. Sigui val(a)∈Γval, llavorsn·val(a^1/n)=val(a) i per tant és divisible. Des- prés, com que suposam que 1∈Γval, tendrem queZ⊆Γvalper additivitat i per divisibili- tatQ⊆Γval, i comQés dens enR,Γvaltambé.

Lema 11. Si K és algebraicament tancat,val :K^∗→Γvaladmet una seccióψ:Γval→K^∗, que és morfisme de grups de(Γval,+)en(K^∗,·)i satisfàval(ψ(x))=x.

Demostració. Si la valoració és trivial, 07→1∈K^∗n’és una secció, que es un morfisme de grups clar (el neutre de la suma el duu al neutre del producte) i val(ψ(0))=0. Suposem ara que val no és trivial. En aquest cas,Γvalés divisible i per tant li podem donar una estructura natural deQ-subespai vectorial deR: si val(a)∈Γval, llavors (n/m)·val(a)= val(a^n/m)∈Γval. L’additivitat ve regalada amb la definició de valoració.

2.2. Varietats Algebraiques Aleshores, sigui (ωi)_i∈I una base deΓval com aQ-espai vectorial (aquesta base no té perquè ser numerable) i per a cadai∈I, consideramai∈K tal que val(ai)=ωi. Observem que, com a grup amb la suma,Γval∼=L

i∈IQ·ωi. Llavors, per a cadai∈Itenim un morfisme de grupsψi:Q·ωi→K^∗que enviaωiaa_i: en concret, aquest morfisme envia cadax=(n/m)ωiaa^n/m_i i per tant val(ψi(x))=(n/m)val(ai)=(n/m)ωi=x.

Per la propietat universal de les sumes directes, aquestsψi:Q·ωi→K^∗defineixen un morfisme de grupsψ: Γval∼=L

i∈IQ·ωi →K^∗ i tendrà la propietat desitjada: si x∈Γval, podem escriure’l comx=P

ixi, per a una família finita dexi∈Q·ωii llavors ψ(x)=Q

iψi(xi), de manera que val(ψ(x))=P

ival(ψi(xi))=P

ixi=x.

És habitual indicar una secció K^∗→Γval ambω7→t^ω. Això és compatible, per exemple, amb la notació de la valoració definida a l’exemple6sobreC{{t}}: enviar cada q∈Qal monomit^q∈C{{t}} és una secció.

2.2. Varietats Algebraiques

A continuació, anem a recordar un seguit de definicions sobre varietats algebrai- ques.

Definició 6. Sigui K un cos. L’espai afísobre K de dimensiónés Aⁿ_K=Aⁿ={(a1,a2, . . . ,an) :ai∈K}=Kⁿ. L’espai projectiusobre K és

Pⁿ_K=Pⁿ=(Kⁿ⁺¹\ 0)±

∼,

on la relació∼ésv∼λv, per totλ6=0. Sovint emprarem la notació [x0:x1:· · ·:xn] per denotar la classe d’equivalència dex=(x0,x1, . . . ,xn)∈Kⁿ⁺¹.

Eltor algebraic n-dimensional és

Tⁿ_K=Tⁿ={(a₁,a₂, . . . ,a_n) :a_i∈K^∗}.

Ara que tenim els espais definits, passem a les varietats.

Definició 7. L’anell de coordenades de l’espai afíAⁿés l’anell de polinomis K[x1, . . . ,xn].

L’anell de coordenades dePⁿés K[x0, . . . ,xn] i l’anell de coordenades del tor algebraic és l’anell de polinomis de Laurent K[x₁^±1, . . . ,x_n^±1].

Definició 8. Lavarietat afíd’un idealI⊂K[x1, . . . ,xn] és V(I)={a∈Aⁿ_K: f(a)=0, per totf ∈I}.

Un idealIéshomogenisi té un conjunt generador de polinomis homogenis; equi- valentment, quan per a tot polinomi f ∈I, si l’escrivim com a suma de polinomis homogenis f =f1+ · · · +f_k, aleshoresf1, . . . ,f_k∈I. Llavors, lavarietat projectivadefini- da per un ideal homogeniI⊂K[x₀, . . . ,x_n] és

V(I) ={a∈Pⁿ_K: f(a)=0, per totf ∈I homogeni}

={a∈Pⁿ_K: f(a)=0, per totf ∈I}.

Un idealI⊂[x₁^±1, . . . ,x_n^±1] defineix una varietat molt afí del tor;

V(I)={a∈Tⁿ_K: f(a)=0, per totf ∈I}.

Definició 9. Per a qualsevol varietat afí, projectiva o molt afí)X, l’idealdeXés l’ideal IX format per tots els elements de l’anell de coordenades de l’espai ambient (Aⁿ,Pⁿo Tⁿ) que s’anul.len sobre tots els punts deX. Llavors l’anell de coordenades K[X] deX és el quocient de l’anell de coordenades de l’espai ambient perI_X.

Seguidament, definim laTopologia de ZariskienAⁿ, on els tancats són les varietats algebraiques

{V(I) :Iés un ideal de K[x₁, . . . ,x_n]}.

Anem a verificar que és topologia.

1. Evidentment; =V({1}) iAⁿ=V({0}). Llavors el total i el buit són son tots dos tancats i conseqüentment oberts.

2. La unió finita de varietats és una varietat, doncs V(I)∪V(J)=V(I·J).

3. La intersecció arbitrària de varietats també és varietat, ja que

\

i

V(Ii)=V Ã

X

i

Ii

! .

Hem definit la topologia de Zariski enAⁿ, però la podem definir de manera similar en Pⁿi enTⁿ.

Tenim de forma natural les inclusions

T^{n i},→A^{n j}→Pⁿ,

oniés la inclusió conjuntística ijenvia cadax∈Aⁿa [1 :x]∈Pⁿ. Aleshores, la clausura afí d’una varietatX⊂Tⁿési(X)⊂Aⁿi de la mateixa forma la clausura projectiva d’un Y ⊂Aⁿés j(Y)⊂Pⁿ, totes aquestes adherències definides per a la topologia de Zariski del seu respectiu espai.

Definició 10. El grau del polinomi f =Pc_ux^uen K[x₁, . . . ,x_n] ésW =max{|u|:c_u6=0}, on|u| =P

i=1ⁿui. La homogeneïtzació ˜f def és el polinomi homogeni f˜=X

cux^W₀ ^−|u|x^u∈K[x0, . . . ,xn].

Donat un idealI de K[x1, . . . ,xn], la seva homogeneïtzació és l’ideal homogeni Iproj=<f˜: f ∈I>.

Lema 12. Si X és una varietat projectiva, IX és un ideal homogeni de K[x0, . . . ,xn].

Demostració. Agafamf ∈IX i [a0:· · ·:an]∈X. Com [a0:· · ·:an]=[λa0:· · ·:λan] per a totλ6=0, ha de passarf(a0, . . . ,an)=0 i tambéf(λa0, . . . ,λan)=0 per a totλ6=0. Si escrivim f com a suma de polinomis homogenis,f =P

j≥0f_jamb cadaf_jde grauj, aleshores

f(λa0, . . . ,λan)=X

j≥0

fj(a0, . . . ,an)λ^j

i si això ha de ser 0 per a totλ6=0, ha de passar que fj(a0, . . . ,an)=0 per a totj≥0 (no oblidem que K té característica 0, per simplicitat). En resum, sif ∈K[x0, . . . ,xn] pertany aI_X, llavors totes les seves components homogènies també pertanyen aI_X.

2.3. Grassmanianes

Lema 13. Siguin X ⊂Aⁿuna varietat afí, IX ⊂K[x1, . . . ,xn]l’ideal de X i Y =j(X)⊂Pⁿ la seva clausura projectiva. Llavors, IY =(IX)proj.

Demostració. Pel lema anterior sabem que IY és un ideal homogeni. Sigui llavors f ∈IY un polinomi homogeni. Si (a1, . . . ,an)∈X, es té [1 :a1:· · ·:an]∈j(X)⊂Y i aleshores f([1 :a1:· · ·:an])=0. Diguemgal polinomi f(1,x1, . . . ,xn)∈K[x1, . . . ,xn].

Aleshores f és ˜g multiplicat per un monomi x^m₀ (onmés la màxima potència de x0que divideix a tots els monomis de f amb coeficient no nul). Llavors f =x₀^mg˜i 0=f([1 :a1:· · ·:an])=1·g(1,˜ a1, . . . ,an)=g(a1, . . . ,an) per a tot (a1, . . . ,an)∈X, la qual cosa implicag∈IX i per tantf ∈(IX)proj. En resum, comIY està generat per homogenis i els seus homogenis són de (IX)projllavorsIY ⊆(IX)proj.

D’altra banda, si (a1, . . . ,an)∈X, llavorsg(a1, . . . ,an)=0 per totg∈IX i per tant

˜

g([1 :a1:· · ·:an])=0 per totg∈IX, la qual cosa implica f([1 :a1:· · ·:an])=0 per a totf ∈(I_X)proj. Això mostra quej(X)⊂V¡

(I_X)proj

¢i per tantY =j(X)⊆V¡ (I_X)proj

¢del que es dedueix que tots els polinomis de (IX)projs’anul.len sobre tots els punts deY, és a dir (IX)proj⊆IY.

2.3. Grassmanianes

En aquesta secció definim la varietat projectiva Grassmaniana, que parametrit- za tots els subespais d’una dimensió determinada d’un espai vectorial de dimensió determinada. En aquesta secció seguim [7] i les seccions 11.4–1.6 de [4].

Definició 11. LaGrassmanianaG(m,n) és el conjunt de tots els subespais vectorials Λ⊂Kⁿde dimensióm.

En particular,

Gr(0,n)={Subespais de vectors de dimensió 0}=© {0}ª i

Gr(1,n)={Subespais de vectors de dimensió 1}=Pⁿ⁻¹.

Definició 12. SiguiV un K-espai vectorial de dimensió finitani prenem-ne una base {e1, . . . ,en}. Per cadam=0, . . . ,n, lan-èssima potència exterior deV ve definida com el K-espai vectorialVmV de dimensió¡_n

m

¢de base

©ei1∧ei2∧ · · · ∧eim: 1≤i1<i2< · · · <im≤nª .

Per conveni, prendremV0V=K i prendrem com l’element de la base construït a partir d’una família buida de vectors de la base {e1, . . . ,en}, la unitat 1. En canvi,VnV també és un espai vectorial de dimensió 1, però en aquest cas mantendreme1∧ · · · ∧encom la seva base. A més, posarem

^∗

V =

0

^VM^¹ VM

· · ·M^^N V.

Amb tot això, consideram l’aplicació bilineal

VkV×VmV → Vk+mV (ω,ν) 7→ ω∧ν

determinada per les imatges dels parells ordenats de membres de les bases

©(e_i1∧ · · · ∧e_ik,e_j1∧ · · · ∧e_jm) : 1≤i₁< · · · <i_k≤n, 1≤j₁< · · · <j_m≤nª deVkV×VmV següents:

Si {i1, . . . ,ik}∩{j1, . . . ,jm}6= ;, aleshores

(ei1∧ · · · ∧eik)∧(ej1∧ · · · ∧ejm)=0.

Si {i1, . . . ,i_k}∩{j1, . . . ,jm}= ;, i 1≤l1< · · · <l_k+m ≤n indica l’ordenació del conjunt {i₁, . . . ,i_k}∪{j₁, . . . ,j_m} iσés la paritat de la permutació

µi₁ . . . i_k j₁ . . . j_m l1 . . . lk lk+1 . . . lk+m

¶ , llavors

(e_i1∧ · · · ∧e_ik)∧(e_j1∧ · · · ∧e_jm)=(−1)^σe_l1∧ · · · ∧e_lk+m. La funció bilineal ve definida llavors de la manera següent: si

ω= X

i≤i1<···<ik≤n

ai1,...,ikei1∧ · · · ∧eik,ν= X

i≤j1<···<jm≤n

bj1,...,jmej1∧ · · · ∧ejm

llavors

ω∧ν= X

i≤i1<···<ik≤n i≤j1<···<jm≤n

ai₁,...,i_kbj₁,...,j_m(ei₁∧ · · · ∧ei_k)(ej₁∧ · · · ∧ej_m).

Aquestes aplicacions s’engloben en una aplicació V_∗

V×V_∗

V → V_∗ V (ω,η) 7→ ω∧η,

que anomenaremproducte exterior. A partir de la definició, és immediat comprovar que aquest producte exterior satisfà les propietats:

1. ∧és K-bilineal en cada factor, per construcció:

(r1ω1+r2ω2)∧η=r1(ω1∧η)+r2(ω2∧η) η∧(r1ω1+r2ω2)=r1(η∧ω1)+r2(η∧ω2) onr1,r2∈K iω1,ω2,η∈V_∗V.

2. ∧és associatiu: (ω∧η)∧ρ=ω∧(η∧ρ), perω,η,ρ∈V_∗V. 3. ∧és anticommutatiu pels elements de la base. És a dir,

ei∧ej= −ej∧ei

iei∧ei=0.

Que sigui anticommutatiu pels elements de la base no significa que ho sigui en general, tal com mostram al següent exemple.

2.3. Grassmanianes

Exemple 9. Consideramn=4 i agafamω=e1∧e2+e3∧e4. Aleshores ω∧ω = (e1∧e2+e3∧e4)∧(e1∧e2+e3∧e4)

= e1∧e2∧e1∧e2+e1∧e2∧e3∧e4+e3∧e4∧e1∧e2+e4∧e4∧e3∧e4

= e₁∧e₂∧e₃∧e₄+e₃∧e₄∧e₁∧e₂

= e1∧e2∧e3∧e4+e1∧e2∧e3∧e4=2e1∧e2∧e3∧e4.

A continuació veurem que el producte exterior és independent de la base que triam per definir-lo, mòdul un isomorfisme de K-àlgebres.

Proposició 14. Sigui T:V →W una aplicació lineal. Aleshores ho podem estendre a un morfisme de K-àlgebres

^T:

^∗

V →

^∗

W

definit de la manera següent: si empram unes bases{e1, . . . ,ek}i{f1, . . . ,fl}de V i W (respectivament) per definirV_∗V iV_∗W i A=(ai j)i,j és la matriu de T en aquestes bases llavorsVT és l’aplicació lineal definida sobre la base deV_∗V per

¡^T¢

(ej1∧ · · · ∧ejM)= X

i1<...<im

Ai1,...,im;j1,...,jmfi1∧ · · · ∧fim, (2.1) on A_{i1,...,im;j1,...,jm}f_i1és el determinant del menor m×m d’A obtingut d’extreure les files {i1,i2, . . . ,im}i les columnes{j1, . . . ,jm}.

Demostració. Per la bilinealitat del producte exterior, basta veure que l’aplicacióVT així definida preserva el producte exterior de membres de la base:

¡^T¢

(η∧ω)=¡^

T¢

(η)∧¡^

T¢ (ω), quanη=e_j1∧ · · · ∧e_jmiω=e_j0

1∧ · · · ∧e_j0 k.

Suposem primer queω=ej⁰. Si desenvolupam el determinant de la matriu deT per menors a la columnaj⁰-èssima, obtenim la identitat

Ai1,...,im,im+1;j1,...,jm,j⁰=

m

X

r=1

(−1)^m+1+rair,j⁰Ai1,...,ir−1,ir+1,...,im,im+1;j1,...,jm. Aleshores,

¡^T¢

(ej1∧ · · · ∧ejm∧ej⁰) = X

i₁<...<i_m+1

Ai1,...,im+1,j1,...,jm,j⁰fi1∧ · · · ∧fi_m+1

= X

i1<...<im+1

r=1,...,m

(−1)^m+1+rair,j⁰Ai1,...,ir−1,ir+1,...,im+1,j1,...,jmfi1∧ · · · ∧fim+1

= X

i1<...<im+1

r=1,...,m

Ai₁,...,i_r−1,i_r+1,...,i_m+1,j₁,...,j_mfi₁∧ · · · ∧fi_r−1∧fi_r+1∧ · · · ∧fi_m+1∧(ai_r,j⁰fi_r)

= X

i₁⁰<...<i_m⁰

A_i⁰

1,...,i_m⁰ ,j1,...,jmf_i⁰

1∧ · · · ∧f_i⁰_m∧ µm

X

r=1

air,j⁰fir

¶

= ¡ (^

T)(ej1∧ · · · ∧ejm)¢

∧T(ej).

El cas general es demostra ara per inducció sobrek. Consideram

¡^T¢

(e_j1∧ · · · ∧e_jm∧e_j0

1∧ · · · ∧e_j0 k)=(∗).