Kinematisk kartlegging og posisjonering av jernbane ved bruk av en enkel måletralle

Masteroppgave 2018 30 stp Fakultetet for realfag og teknologi

Kinematisk kartlegging og

posisjonering av jernbane ved bruk av en enkel måletralle

Kinematic mapping and positioning of railroad using a simple trolley

Kjetil Hatlen

Geomatikk

Oppgaven hovedform˚al er ˚a undersøke om en enkelt m˚aletralle i form av et mini mobile mapping system vil klare ˚a tilfredsstille Bane NOR sine nøyaktighetskrav for kartlegging av jernbane.

Resultatetene vil være basert p˚a innsamlede data ved bruk av en m˚alesekk p˚a Kongsvingerbanen. I tillegg er det brukt et ekstra datasettet, samlet inn av Ter- raTec sitt Lynx Mobile Mapper system. Datasettet fra Lynx er bruk til ˚a undersøke effekten av de nye satellittsystemene Galieo og BeiDou, i h˚ap om ˚a underbygge resultatene fra m˚alesekken.

Resultatene vise at datasettet fra m˚alesekken ikke tilfredsstiller kravene til Bane NOR. Mye tyder likevel p˚a at under de rette forutsetningen og rette utstyret vil dette endre seg. Metoden antas derfor ˚a ha et stort potensiale.

The main purpose for this master thesis is to investigate whether or not a single trolly, in the form of a mini mobile mapping system, will be able to satisfy the requirements for railroad mapping set by Bane NOR.

The results will be based on collected data using a backpack with built in sen- sors’ on Kongsvingerbanen. An additional data set collected by TerraTec’s Lynx Mobile Mapper system will also be used. The data set from Lynx is used to investi- gate the effect of the new satellite systems Galieo and BeiDou, hoping to support the results from the built-in backpack.

The results show that the data set from the built-in backpack does not meet the requirements set by Bane NOR. However, much suggests that under the right circumstances, and using the right equipment, this will change. The method is therefore assumed to have a great potential.

Denne oppgaven symboliserer en avslutning p˚a min 5-˚arige mastergrad i geomatikk ved Norges Miljø- og Biovitenskaplige universitet (NMBU). Oppgaven er skrevet i samarbeid med TerraTec AS, v˚aren 2018 og tilsvarer 30 studiepoeng.

Jeg vil takke min veileder Narve Schipper Kjørsvik ved TerraTec AS for hjelp med oppgaven. Døren til kontoret sto alltid ˚apen, og jeg hadde ikke kommet i m˚al med oppgaven uten hans kunnskap og veiledning

Jeg vil ogs˚a rette en stor takk til mine venner, familie og studiekamerater for all motivasjon, og støtte gjennom hele studieløpet. En ekstra stor takk til min samboer Kathrine Tanbjør som har holdt ut med meg i alle lange, og tunge dager dette siste halv˚aret.

Til slutt vil jeg rette en spesiell takk til min far, Lars Olav Hatlen. Han har hjulpet meg gjennom disse fem ˚arene med faglig innput, praksis, diskusjon og støtte. Jeg hadde ikke vært der jeg er i dag uten innspill fra han. Denne oppgave er derfor dedikert til han.

Sammendrag iii

Abstract vii

Forord ix

1 Introduksjon og problemdefinisjon 1

1.1 Bakgrunn . . . 1

1.2 Problemdefinisjon . . . 3

2 Dagens metode 7 2.1 Jernbanesporets beliggenhet . . . 7

2.2 Dagens metoder . . . 8

2.2.1 Sporbukk . . . 8

2.2.2 Roger 1000 . . . 10

2.2.3 Testprosjekt med GNSS og CPOS . . . 12

3 Navigasjonssystemer 15 3.1 Introduksjon . . . 15

3.2 Referanserammer . . . 16

3.2.1 Inertiell referanseramme: i-frame . . . 16

3.2.2 Jordas referanseramme (ECEF): e-frame . . . 16

3.2.3 Lokalt geografisk referanseramme (NED): g-frame . . . 17

3.2.4 Kjøretøyets referanseramme: b-frame . . . 18

3.2.5 s-frame: Sensorens referanseramme . . . 18

3.3 Satellittnavigasjon: GNSS . . . 19

3.3.1 Observasjonsmetoder . . . 19

3.3.2 Observasjonsligninger . . . 22

3.4 Treghetsnavigasjon: INS . . . 23

3.4.1 Gyroskop . . . 25

3.4.2 Akselerometer . . . 27

3.5 Navigasjonsligninger . . . 31

3.5.1 Navigasjonsligninger i e-frame . . . 31

3.6 Treghetsnavigasjon med støttesensorer . . . 34

3.7 Kalmanfilter . . . 36

3.7.1 Linealiserte feilligninger . . . 42

4 Laserskanning 45 4.1 Introduksjon . . . 45

4.2 Prinsippet bak laserskanning . . . 46

4.2.1 Time-of-flight m˚alinger . . . 46

4.2.2 Trianguleringsbasert m˚aling . . . 48

4.2.3 Stasjonær skanmatching . . . 49

4.2.4 Kinematisk skanmatching . . . 49

5 Utstyr og Metode 51 5.1 Introduksjon . . . 51

5.2 Sensorer som ble brukt . . . 51

5.2.1 GNSS . . . 52

5.2.2 INS . . . 52

5.2.3 Laserskanner - VLP-16 . . . 53

5.2.4 M˚alesekk . . . 54

5.3 Datainnsamling og feltarbeid . . . 55

5.3.1 Ekstra datasett fra Lynx Mobile Mapper . . . 55

5.3.2 Feltarbeid . . . 57

6 Resultater 61 6.1 Introduksjon . . . 61

6.2 Nye satellittsystem . . . 62

6.2.1 Lynx Mobile Mapper . . . 64

6.2.2 M˚alesekken . . . 74

6.2.3 Vurdering av resultatet . . . 81

6.3 Tids- og økonomiske p˚avirkninger . . . 82

6.3.1 Tidsp˚avirkning . . . 82

6.3.2 Økonomiske p˚avirkninger . . . 84

6.4 Rollen til m˚aletrallen . . . 86

6.4.1 Sporbukk . . . 86

6.4.2 Roger 1000 . . . 86

6.4.3 M˚aletrallen . . . 86

6.4.4 Vurdering . . . 87

6.5 Systemets nøyaktighet . . . 88

6.5.1 Absolutt posisjonering . . . 88

6.5.2 Relativ posisjonering . . . 91 6.5.3 Feilbudsjett . . . 94 6.5.4 Vurdering av systemets nøyaktighet . . . 97

7 Konklusjon 99

7.1 Konklusjon . . . 99 7.2 Veidere arbeid . . . 100

Bibliografi 103

2.2.1 Sporbukk . . . 10

2.2.2 Roger 1000 . . . 12

3.2.1 Inertiell referanseramme: i-frame . . . 16

3.2.2 Jordas referanseramme: e-frame . . . 17

3.2.3 Lokal geografisk referanseramme: g-frame . . . 17

3.2.4 Kjøretøyets referanseramme: b-frame . . . 18

3.3.1 Basic konsept for DGNSS . . . 21

3.3.2 Multipath . . . 21

3.4.1 Gimbalmontering . . . 24

3.4.2 Integrasjon av gimbal observasjoner . . . 24

3.4.3 Integrasjon av strapdown observasjoner . . . 25

3.4.4 Ulike typer gyroskoper . . . 27

3.4.5 Ulike typer akselerometer . . . 29

3.7.1 Flytdiagram for integrasjon av treghetsnavigasjon med andre sen- sorer, som f.eks. GNSS . . . 37

4.2.1 Flere returer fra en laserskanning . . . 47

4.2.2 Footprint til en laserskanner . . . 47

4.2.3 Puls og returavstand . . . 48

4.2.4 Enkelpunkts triangulering . . . 49

5.2.1 Septentrio PolaNt-x . . . 52

5.2.2 Applanix APX-15 UAV GNSS Inertial System . . . 53

5.2.3 Velodyne LiDAR PUCK VLP-16 . . . 54

5.2.4 M˚alesekken med de fastmonterte sensorene . . . 55

5.3.1 Optech Lynx Mobile Mapper SG1 . . . 57

5.3.2 Oversikt over kartlagt strekning med m˚alesekk . . . 58

5.3.3 Rombel lastetraktor . . . 59

6.2.1 Kartlagt strekning med Lynx Mobile Mapper & M˚alesekk . . . 62

6.2.2 Frekvensdomenet tli GNSS . . . 64

6.2.3 Lynx navigasjonsløsning GNSS . . . 65

6.2.4 DGNSS løsning for Lynx datasettet med bruk av GPS, GLONASS, Galileo & BeiDou . . . 66

6.2.5 Lynx posisjons nøyaktighet GNSS . . . 67

6.2.6 Lynx posisjons nøyaktighet GLONASS . . . 68

6.2.7 Antall satellitter GNSS . . . 69

6.2.8 Antall satellitter GPS + GLONASS . . . 70

6.2.9 Utvalgt d˚arlig del Lynx 13:15-13:30 . . . 70

6.2.10Lynx navigasjonsløsning 13:15-13:30 . . . 71

6.2.11Lynx DGNSS 13:15-13:30 . . . 72

6.2.12Antall satellitter GLONASS, Lynx 13:15-13:30 . . . 73

6.2.13Malesekken sin navigasjonsløsning GNSS . . . 75

6.2.14DGNSS M˚alesekk . . . 75

6.2.15Fix & Float ved bruk av GNSS og m˚alesekk . . . 76

6.2.16M˚alesekk posisjonsnøyaktighet GNSS . . . 77

6.2.17M˚alesekk posisjonsnøyaktighet GNSS . . . 77

6.2.18Antall GLONASS satellitter ved bruk av m˚alesekk . . . 78

6.2.19Fix & Float ved bruk av GLONASS og m˚alesekk . . . 79

6.2.20Antall GLONASS & Galileo satellitter ved bruk av m˚alesekk . . . . 80

6.5.1 Laserdata fra VLP-16 og Lynx . . . 89

6.5.2 Langsg˚aende høyre skinnestreng . . . 90

6.5.3 Langsg˚aende venstre skinnestreng . . . 90

6.5.4 Sporvidden m˚alt ved et landm˚alt kontrollpunkt . . . 92

6.5.5 Sporvidden m˚alt over en jernbanesville . . . 93

6.5.6 Sporvidden m˚alt 70m vest for kontrollpunkt . . . 93

Introduksjon og problemdefinisjon

1.1 Bakgrunn

Kartlegging og posisjonering av eksisterende og nye jernbanespor spiller en viktig rolle for Bane NOR sin drift av jernbanen i Norge. Denne informasjonen brukes b˚ade til ˚a kontrollere sporets beliggenhet og tilstand. I tillegg indikerer denne infor- masjonen hvor det er behov for vedlikehold. P˚alitelige og oppdaterte opplysinger fra kartlegging og posisjonering vil være et godt grunnlag for drift og vedlikehold for Bane NOR.

Det ˚a ha rett informasjon om skinnenes innbyrdes beliggenhet er derfor helt av- gjørende. Denne informasjon f˚ar man ved at man m˚aler skinnenes faktiske posisjon i forhold til Bane NOR sitt fastmerkenettverk. I tillegg m˚ales den relative avstan- den mellom skinnene. Denne avstanden kalles sporvidde og m˚ales mellom skinnenes innerkant. I Norge skal denne avstanden være 1435 mm [BaneNor, 2017d, kap 3].

Sentersporet beregnes ut fra m˚alt skinnebeliggenhet og disse beregningene brukes for ˚a fastsette sporets faktiske beliggenhet.

I tillegg m˚a man vite hvilken skinne som er referanseskinnen. Kunnskap om refe- ranseskinne er essensielt for lokomotivførerne for ˚a vite hvilken skinne toget skal legge vekt p˚a. Bane NOR har definert at strekninger sør for Trondheim har løpende kilometerstand ut fra Oslo S med to unntak. Hvor Østfoldbanen østre linje (Ski- Mysen-Sarpsborg) har nullpunkt p˚a Ski stasjon og Alnabanen (Alnabru-Grefsen) har nullpunkt p˚a Grefsen stasjon. Banene nord for Trondheim har nullpunkt ut fra Trondheim stasjon med unntak av Ofotbanen (Narvik-Riksgrensen) som har nullpunkt p˚a Narvik Havn. St˚ar man med nullpunktet i ryggen vil høyre skinne

dermed være p˚a høyre h˚and. Bane NOR sin standard sier da at n˚ar skinnene er parallelle vil det p˚a rette strekninger og i venstrekurver være den høyre skinnen som er referanseskinnen. I høyrekurver blir dermed venstre skinne definert som referanseskinne. Dersom skinnene er korrekt plassert skal de være like høye. Ved ulik høyde defineres den laveste skinnen som referanseskinnen [BaneNOR, 2018].

Bakgrunnen for denne oppgave er ˚a undersøke om det er mulig ˚a utvikle en m˚aletralle med ulike sensorer som kan erstatte dagens metode for kartlegging og posisjonering av jernbanesporet. Dagens metoder vurderes som b˚ade tungvinte og tidskrevende. M˚alet er at nye m˚alemetoder med bruk av en ny m˚aletralle vil vise seg ˚a være b˚ade bedre arbeidsmessig og økonomisk enn metodene som brukes i dag.

I tillegg kreves det at kvaliteten p˚a m˚aledataene m˚a være innenfor Bane NOR sine gjeldene nøyaktighetskrav.

1.2 Problemdefinisjon

Bane NOR er avhengig av jevnlig kartlegging av eksisterende jernbanespor for ˚a sikre forsvarlig drift og vedlikehold. Informasjonen denne kartleggingen gir brukes til ˚a kontrollere tilstanden, beliggenheten og kvaliteten til sporet. Videre analyse forteller om man er nødt til ˚a utføre tiltak p˚a sporet for ˚a sikre seg at de kan brukes forsvarlig.

P˚a grunn av de store hastighetene togene holder blir hjulene p˚avirket av sm˚a ujevnheter og variasjoner i sporgeometrien. En d˚arlig beskrivelse av høyeste og la- veste skinne kan føre til at toget legger vekt p˚a feil skinne i kurver. I verste tilfelle kan dette føre til at toget sporer av. I tillegg vil forskjeller i skinnehøyden føre til at det er ubehagelig ˚a sitte i toget, ved at man kan føle kast og rykk i selve togsettet.

Det stilles derfor ekstremt strenge krav til m˚alemetode og m˚alenøyaktighet for

˚a bestemme beliggenheten til sporet. M˚alinger av d˚arlig kvalitet kan resultere i at man detekterer feil som ikke er der. Unøyaktigheter og feilm˚alinger medfører en unødvendig økonomisk utgift for Bane NOR. Verre er det dersom en med grunnlag i m˚aleresultatene ikke oppdager de reelle feilene. Konsekvensene av dette kan være fare for store materielle skader p˚a skinner og togsettet i tillegg til personskader.

Dagens metode for kartlegging benytter i hovedsak en s˚akalt sporbukk (se del- kapittel 2.2.1) og totalstasjon hvor man utnytter Bane NOR sitt fastmerkenett til

˚a bestemme sporets faktiske beliggenhet i forhold til den teoretisk bestemte lin- jen. Sporets teoretiske beliggenhet bestemmes ut fra veldefinerte GVUL-punkter.

GVUL er Bane NOR sitt eget fastmerkenett. Dette er fastsatt ved bruk av en kom- binasjon av statisk GNSS m˚aling, polygondragsm˚alinger med totalstasjon samt nivellering [Statens Kartverk Geodesidivisjonen, 2009] og [BaneNor, 2017c, kap 4].

Ut ifra disse punktene bruker man en matematisk koordinatbestemt linjeberegning til ˚a finne sporets teoretiske beliggenhet.

M˚alingene som er relatert til det fysiske sporet gir oss informasjon om sporets geometri. M˚alingene gjøres ved bruk av en sporbukk som er kalibrert mot skin- nene. Den relative avstanden mellom sporene m˚ales normalt hver 10 meter. Dette er svært tidskrevende ettersom sporbukken m˚a horisonteres i hver oppstilling. En mulig effektivisering av denne m˚aleprosessen er ˚a bruke en laserskanner som er koblet sammen til plattformen som best˚ar av en eller to GNSS-mottakerer og et INS. Dette gjør at laserdataen blir direkte koblet sammen med GNSS observasjo- nene, og kan p˚a denne m˚aten relateres til det fysiske sporet. Fordelen med denne metoden er at m˚alingene kan gjøres mens man er i bevegelse. Dette resultere i at m˚aleprosessen blir mer effektiv. Ved etterprosessering i ulike software kan man da

beregne sporets geometri direkte fra laserdataene.

Bane NOR har i 2017 og 2018 utført et par testprosjekter hvor man brukes GNSS med støtte fra CPOS til denne kartleggingen. CPOS er en posisjonstjenes- te levert fra Kartvekert, som lar brukeren bestemme posisjonen med centimeters nøyaktighet [Kartverket, 2017a]. Forventningene er at denne metoden skal gi god absolutt posisjonering av sporbeliggenheten. Datainnsamlingen med denne meto- den er tidskrevende da man m˚a innom samme m˚alepunkt flere ganger for ˚a f˚a flere uavheninge registeringer [Statens Kartverk Geodesidivisjonen, 2009].

En av hovedgrunnen til at kartlegging og posisjonering med GNSS ikke har blitt tatt i bruk av Bane NOR, er de strenge kravene til nøyaktighet og p˚alitelighet som er satt. Enkelpunktbestemmelse med RTK m˚alinger ikke gir den nødvendige p˚aliteligheten eller nøyaktigheten som kreves. Bane NOR sin standard er laget p˚a en tid hvor man kun hadde tilgang til signal fra GPS og GLONASS. I nyere tid er systemene Galileo og BeiDou blitt operative. Muligheten for posisjonering med bruk av GNSS bør derfor vurderes p˚a ny i lys av denne utviklingen med flere systemer som gir oss bedre geometri og nøyaktighet.

D˚arlig eller ingen GNSS-dekning er ogs˚a en utfordring med denne metoden. Det- te medfører at man m˚a g˚a polygondrag med totalstasjon for ˚a deretter ˚a foreta detaljinnm˚alinger. Dette er utfordrende b˚ade med tanke p˚a tid og økonomi. Ved bruk av en kombinasjon med GNSS og treghetssystem kan man f˚a gode posisjons- estimater der GNSS-dekningen er d˚arlig. Dersom strekningene ikke er for lange og man har god GNSS-dekning i omr˚adene før og etter vil bruken av totalstasjon kunne reduseres eller ikke være nødvendig i det hele tatt.

Roger 1000 er Bane NOR sitt eget m˚aletog og brukes for ˚a kontrollere jernbane- sporets status. Men fordi Roger 1000 kun gir oss en god relativ nøyaktighet, kan ikke dette systemet brukes til ˚a finne en absolutt posisjon. Det er kanskje mulig

˚a løse dette problemet, ved ˚a sette flere multi-frekvente GNSS-mottakere som f˚ar inn signal fra GPS og GLONASS i tillegg til b˚ade Galileo og BeiDou p˚a systemet.

Men dette ligger utenfor omfanget av denne oppgaven. Et annet problem med Roger 1000 er størrelsen samt at det er et proprietært ¹ og lukket system. Dette betyr at det er problematisk ˚a f˚a ut r˚adata fra m˚alingene. Man har kun tilgang til de oppgitte parameterne bestemt av produsenten. Dersom man ønsker ˚a gjøre modifiseringer p˚a toget m˚a ogs˚a dette godkjennes av produsenten. Ved vedlike- holdsarbeid p˚a et mindre omr˚ade krever det en del logistikk ˚a f˚a et stort tog inn mellom alle anleggsmaskinene. En mulig løsning kan være en liten m˚aletralle med

1https://no.wikipedia.org/wiki/Propriet%C3%A6r_programvare

fastmonterte sensorer som er lett ˚a f˚a av og p˚a uten ˚a for˚arsake ulemper for resten av arbeidet. Dette har ført til følgende problemstilling.

Dette har ført til følgende hovedproblemstilling:

• Kan en enkel m˚aletralle med fastmontert laserskanner, GNSS-antenner og INS-sensorer innhente data som tilfredsstiller nøyaktighetskravene til jern- banesporene slik Bane NOR krever.

I tillegg reises følgende underproblemstillinger:

• Hva er rollen til et lite og fleksibelt system i forhold til dagens metoder.

• I lys av den teknologiske utviklingen, kan de nye satellittsystemene Galileo og BeiDou bidra til en bedre nøyaktighet og dermed til en revurdering av det tekniske regelverket til Bane NOR.

• Vurdere om det finnes en tids- og økonomisk besparelse ved ˚a bruke et nytt og mindre system sammenlignet med dagens m˚alemetoder.

Dagens metode

2.1 Jernbanesporets beliggenhet

Informasjon om beliggenheten til jernbanesporet deles inn i to grupper - en teore- tisk beliggenhet og en faktisk beliggenhet. I henhold til det tekniske regelverket til Bane NOR finnes det to metoder ˚a bestemme jernbanesporets teoretiske beliggen- het,VULogGVUL. Den teoretiske beliggenheten forteller hvor jernbanesporet skal være plassert i et ytre referansesystem ved stabil temperatur. Mens den faktiske beliggenheten forteller hvor sporet faktisk ligger plassert i dette referansesystemet.

I de tilfeller hvor det er avvik mellom den teoretiske og den faktiske beliggenheten m˚a man foreta en justering av det eksisterende sporet, [BaneNor, 2017c].

VUL

VUL st˚ar for”Varig utfesting av linjen”. Denne metoden definerer sporets faktiske beliggenhet i et ytre referansesystem. Dette gjøres ved ˚a m˚ale avstanden fra sporet til VUL-merker. Disse merkene er ofte kontaktmastene som st˚ar langs jernbanen.

Dersom det er store avvik mellom den teoretiske og den faktiske beliggenheten m˚a sporet justeres, , [BaneNor, 2017c, Kap 2].

GVUL

GVUL st˚ar forGeodetisk varig utfesting av linjen”. Denne metoden definerer ogs˚a sporets faktiske beliggenhet i forhold til den teoretiske beliggenheten. Forskjellen mellom VUL og GVUL er at GVUL- metoden definerer sporets beliggenhet ved bruk av en matematisk koordinatbestemt linjeberegning, [BaneNor, 2017c, Kap 3].

I motsetning til VUL-merkene danner GVUL-merkene det geodetiske fastmerke- nettet til Bane NOR. Dette betyr at GVUL-merkene er bedre definert b˚ade i grunnriss og i høyde enn VUL- merkene. Dette resulterer i at man ønsker ˚a bruke

GVUL-merkene framfor VUL-merkene n˚ar man beregner den teoretiske beliggen- heten.

SVUL

Etter samtaler med fagansvarlig for geomatikk i Bane NOR, Jon Haugland, har det blitt informert om at Bane NOR nylig har vedtatt at de ˚apner for mulighe- ten til ˚a kartlegge med bruk av GNSS med støtte fra CPOS p˚a strekninger med hastigheter under 130 km/t. Etterhvert vil denne metoden ogs˚a bli implementert p˚a alle jernbanestrekninger i Norge, og vil dermed kunne være en erstatning for dagens metode. Denne nye metoden har foreløpig f˚att navnet SVUL som st˚ar for Satellittbasert varig utfesting av linjen”.

Hovedm˚alet med den satellittbaserte metoden er ˚a slippe ˚a benytte seg av det geodetiske fastmerkenettverket til Bane NOR. Dette skyldes blant annet at det ikke finnes fastmerker p˚a alle jernbanestrekningene, i tillegg er det b˚ade tidkreven- de og økonomisk kostbart ˚a etablere nye fastmerker. Bane NOR har som m˚al at i en nær framtid kan man gjøre nøyaktige m˚alinger p˚a jernbane med nye og moderne metoder som er mer lønnsomme enn de metodene som allerede er implementert i det tekniske regelverket. Dette betyr at feltet innenfor jernbanekartlegging g˚ar en spennende tid i møte.

2.2 Dagens metoder

Kartlegging av jernbanesporet gjøres med to ulike metoder avhengig av hvilken informasjon man ønsker. Dersom man skal bestemme jernbanesporets absolutte posisjon brukes det en sporbukk og totalstasjon. I tillegg trengs informasjon om hvordan skinnene er plassert relativt til hverandre. Til dette form˚alet bruker Bane NOR sitt eget m˚aletog, Roger 1000.

Informasjon og beskrivelse av metodene er basert p˚a samtaler med Kine Sjøberg prosjektleder for samferdsel (bane) i TerraTec AS og Jon Haugland fagansvarlig for geomatikk i Bane NOR.

2.2.1 Sporbukk

For ˚a kartlegge eksisterende jernbanespor i henhold til Bane NOR sitt tekniske re- gelverk brukes idag en sporbukk. En sporbukk kan beskrives som en avansert form for prismestang, se figur 2.2.1. Det festes et prisme til sporbukken og ved ˚a m˚ale høyden til prismet over selve sporbukken kan man beregne sporets geometri med

en høy nøyaktighet. Det er ogs˚a mulig ˚a feste en GNSS-mottaker p˚a sporbukken istedenfor et prisme for ˚a bestemme sporbukkens posisjon. Denne metoden er per dags dato ikke implementert i Bane NOR sitt tekniske regelverk.

For at kartleggingen av sporene skal være innenfor nøyaktighetskravene spesifisert av Bane NOR, m˚a man bruke totalstasjon og Bane NOR sitt eget fastmerkenett.

Fastmerkene (GVUL-punktene) er definerte i b˚ade grunnriss og høyde og brukes som tilsiktingspunkt for frioppstilling med totalstasjon. Dette gjør at posisjonen til totalstasjonen vil bli nøyaktig bestemt. N˚ar totalstasjonen er korrekt etablert kan selve arbeidet med innm˚aling av jernbaneskinnen starte. Da sikter man fra total- stasjonen til prismet p˚a sporbukken for ˚a bestemme sporbukken sin posisjon. Det er avgjørende at sporbukken er horisontert korrekt før man starter innm˚alingene da dette er essensielt for den senere beregningsmetoden. N˚ar sporbukken er korrekt horisontert vil den registrere senterspor og høyden fra laveste skinne. Dersom det ikke er noen overhøyde, høydeforskjell mellom skinnene, hentes høyden fra høyre skinnestreng etter stigende kilometrering. Nullpunktet for kilometreringen til jern- banen er valgt ˚a være Oslo S. Dette betyr at p˚a rette strekninger og venstrekurver er det høyreskinne som betegnes som referanseskinnen, mens det i høyrekurver er venstre skinnen som er referanseskinnen. Det er ogs˚a viktig at sporbukken er plassert rett i forhold til hvilken skinnestreng som betegnes som referanseskinnen.

Dette betyr at dersom man har en høyrekurve eller en rett strekning i stigende kilometrering trenger man ikke gjøre noe, men dersom man kommer til en venstre- kurve m˚a man snu sporbukken i overgangskurvens begynnelse.

I henhold til teknisk regelverk JD 530 kap 13 [BaneNor, 2017c] skal det m˚ales inn spormidt og overhøyde hver 10 meter, og hver 5 meter i kurver som er mindre enn 500 meter. P˚a grunn av de høye nøyaktighetskravene som stilles er det vik- tig at avstanden (siktlengden) mellom totalstasjonen og sporbukken ikke blir for stor. Normal praksis er at man tar en ny frioppstilling for hver 200 meter. Denne praksisen fører til at man kan m˚ale skinnegangen 100 meter i hver retning fra to- talstasjonen.

En av de største ulempene med denne metoden er at det er ekstremt tidkrevende.

Denne metoden krever at man m˚a ha en ny frioppstilling hver 200 meter hvor man bruker GVUL-punkter eller andre veldefinerte punkter til ˚a etablere posisjonen. I tillegg m˚a man horisontere sporbukken i alle punkter og sørge for at den st˚ar rett vei i forhold til referanseskinnen. Tilgang til spor spiller ogs˚a en stor rolle ettersom man m˚a avbryte arbeidet dersom det kommer tog. Dersom det er høyt trafikkerte strekninger sier det seg selv at arbeidet kommer til ˚a ta betydelig lengre tid av sikkerhetsmessige ˚arsaker.

Figur 2.2.1: Sporbukk

2.2.2 Roger 1000

Roger 1000 er Bane NOR sin egen m˚alevogn som brukes til ˚a kontrollere sporets tilstand og kontaktledningens beliggenhet, se figur 2.2.2. M˚alevognen er produsert i Italia og st˚ar for Riliveo Ottico Geometrica delle Rotale”. Roger 1000 er 24 meter lang og har en vekt p˚a 62 tonn. Om bord er det med fire ulike typer m˚alesystemer [BaneNor, 2017a].

• Optisk system (laser og kamera)

• Treghetssystem (gyroskoper og inclinometer)

• Elektromekanisk system (strømavtagere med lastceller)

• Radiosystem (GSM-R)

Disse ulike systemene m˚aler følgende parameter. Sporvidden som er avstanden m˚alt mellom skinnenes innerkant. Normalt er denne 1435 mm. Overhøyden som sier noe om differansen mellom høyeste og laveste skinne, samt overhøyden i kur- ven. Situasjonen til skinnene m˚ales for ˚a avdekke slitasje. I tillegg gjøres det flere m˚alinger med tanke p˚a kontaktledningene. Høyden fra skinnetopp til kontaktled- ningene registreres, trykket mellom m˚alepantograf (strømavtager) til kontaktled- ning og sideveis beliggenhet av kontaktledningen registreres. Det brukes ogs˚a et radiosystem for ˚a bestemme dekningskvalitet p˚a jernbanen sitt mobilnett. I tillegg er det montert to kameraer som tar bilder hver 20 meter p˚a hele strekningen som kjøres, [BaneNor, 2017b].

Informasjonen samlet inn fra m˚alingene brukes til ˚a kontrollere status og videre for

˚a planlegge framtidig vedlikeholdsarbeid p˚a jernbanestrekningene. Alle jernbane- strekningen skal kontrolleres flere ganger i ˚aret for ˚a kunne avdekke eventuelle feil b˚ade i sporet og ved kontaktledningene. Hvor ofte en strekning m˚ales er fastsatt i Bane NOR sitt tekniske regelverk JD 532, kap 13 [BaneNor, 2017d]. P˚a strekninger med en hastighetsbegrensning p˚a 130 km/t skal det kontrolleres to ganger ˚arlig.

Ved tillatte hastigheter opp til 160 km/t skal det kontrolleres fire ganger i ˚aret, og med hastigheter over 160 km/t, slik som Gardermobanen, skal det kontrolleres hele seks ganger i ˚aret. Disse m˚alingene gjennomføres normalt p˚a v˚aren og høsten fordi sporet da oftere er i en stabil tilstand med en skinnetemperatur p˚a rundt 21

◦C. Det godkjennes at skinnetemperaturen kan variere med ±3^◦C.

En av de største fordelene med Roger 1000 er ogs˚a dens største ulempe – m˚alevognens størrelse og tilgang til ledig spor. I de tilfellene hvor lengre strekninger kontrolle- res har Roger 1000 en betydelig fordel. Fordi systemene er fastmontert p˚a selve m˚aletoget kan man kjøre med en hastighet opptil 160 km/t og f˚a kontrollert store strekninger p˚a kort tid og uten ˚a m˚atte ta hensyn til personell i sporet. Roger 1000 kan ogs˚a kjøre mellom normal togtrafikk noe som vil redusere problemer for reisende. Ved kontroll over korte strekninger kan det være nødvendig ˚a stenge for normal togtrafikk. Dette fører til utfordringer med ˚a f˚a Roger 1000 inn p˚a aktu- elle spor over korte strekninger. Samtidig krever det mye logistikk n˚ar man skal ha flere anleggsmaskiner inn p˚a et lite strekk fordi maskinene m˚a plasseres i den rekkefølgen de skal utføre arbeidet i. Det ˚a komme inn med Roger 1000 mellom andre anleggsmaskiner har vist seg ikke ˚a være optimalt ettersom hele arbeids- prosessen blir forsinket. Dette fører til at man m˚a omorganisere p˚a rekkefølgen til anleggsmaskinene og kjøre av og p˚a sporet for til enhver tid ˚a ha rett plassering. En liten kompakt m˚aletralle vil være et betydelig bedre alternativ ettersom det ikke vil være et problem ˚a f˚a den inn mellom anleggsmaskinenes planlagte kjøreruter. I tillegg er m˚aletrallen s˚a liten at man raskt kan ta den av og p˚a sporene for ˚a slippe fram de store maskinene. Dette medfører at det er lettere ˚a opprettholde planlagt arbeidstid.

Figur 2.2.2: Roger 1000

2.2.3 Testprosjekt med GNSS og CPOS

Bane NOR sitt tekniske regelverk setter store begrensinger for hvilke m˚alemetoder som er tillatt for kartlegging og posisjonering av jernbanen. Dette opprettholdes fortsatt selv om det har vært en betydelig forbedring i teknologi og metoder si- den det tekniske regelverket ble utarbeidet og godkjent. I h˚ap om ˚a finne en mer effektiv metode for ˚a beregne sporets beliggenhet p˚a har Bane NOR i 2017 og 2018 gjennomført testprosjekter p˚a Rørosbanen og Nordlandsbanen. Her ble det brukt GNSS med støtte fra CPOS til ˚a kartlegge jernbaneskinnene. M˚alet med dette testprosjektet var ˚a undersøk om det er mulig ˚a oppn˚a Bane NOR sine egne nøyaktighetskrav med bruk av sanntidsm˚alinger med CPOS.

Det ble bestemt at man skulle m˚ale punktene like tett som man gjør ved bruk av tradisjonell sporbukk og totalstasjon. Det vil si at man skulle m˚ale et punkt hver 10 meter. For at punktenes posisjon skulle bli godt bestemt skulle det logges data i intervall p˚a 20-30 sekunder og med flere uavhengige registeringer hvor man bryter fix-løsningen i hvert punkt. Denne prosessen skulle gjentas tre ganger, slik at man f˚ar flere uavhengige registeringer. I testprosjektet ble det bestemt at hvert punkt skal m˚ales fire ganger med minimum 15 minutters mellomrom for at satellit- tenes posisjon skal endre seg. Dette tilfredsstiller Kartverket sin standard [Statens Kartverk Geodesidivisjonen, 2009, Kap 6.4.3]. I tillegg til dette skal det ogs˚a log- ges statisk i eksisterende grunnlagspunkter i lengre tidsperioder p˚a minimum 2 timer. Disse tidskravene er i henhold til Kartverkets standard om satellittbasert posisjonsbestemmelse[Statens Kartverk Geodesidivisjonen, 2009, Kap 8.2]

Disse dataene har blitt analysert av Kartverket (Olav Vestøl) og resultatet viser at man m˚a innom samme punkt tre til fire ganger for ˚a f˚a en p˚alitelighet innenfor Bane NOR sine spesifikasjoner med en nøyaktighet innenfor 10 mm i 90 % av tilfellene. Denne m˚alemetoden vil bare fungere i omr˚ader hvor man har god GNSS dekning, noe som ikke er tilfellet for hele jernbanenettet i Norge. Flere strekninger er preget av mye vegetasjon, fjellskjæringer og tuneller. Dette medfører at det ofte m˚a etableres nye polygondrag med totalstasjon og brukes disse sammen med ek- sisterende fastmerker for ˚a oppn˚a ønsket nøyaktighet. Et annet problem med disse testprosjektene var den store avstanden mellom Kartverket sine permanente GNSS basestasjoner. Dette p˚avirket ogs˚a sanntidsm˚alingene som ikke ble nøyaktige nok.

Noen av disse problemene kan løses p˚a følgende m˚ate. Man kan bruke multifre- kvente GNSS-mottakere som f˚ar inn signal fra alle de fire store satellittsystemene.

I omr˚ader hvor det tidligere var f˚a satellitter kan en dermed f˚a tilgang til Galileo- og eventuelt BeiDou satellitter. Summen av dette gir en bedre satellittgeometri, bedre GNSS-dekning og oftere fix-løsning. En annen løsning er ˚a ha med ekster- ne basestasjoner som logger statisk. Ved ˚a ha med egne basestasjoner kan man sørge for at baselinjene blir kortere og posisjonsbestemmelsen bedre. Bane NOR har i samarbeid med Kartverket vedtatt at det skal etableres flere basestasjoner i Nord-Norge for ˚a prøve ˚a løse dette problemet.

Navigasjonssystemer

3.1 Introduksjon

Det finnes flere ulike typer navigasjonssystemer som er i bruk i dag. Disse brukes til ˚a bestemme posisjonen til et stasjonært eller et bevegelig objekt. Det er vanlig ˚a dele posisjonsbestemmelsen inn i absolutt- ogrelativ posisjonering. Den absolutte posisjonen bestemmes ved bruk av satellittnavigasjon, mens det er vanlig ˚a bruke treghetsnavigasjon til ˚a bestemme den relative posisjonen til objektet. Begge disse systemene har sine fordeler og ulemper. Det er helt nødvendig ˚a kunne kombinere disse navigasjonssystemene ettersom det i noen bruksomr˚ader stilles ekstremt høye krav til nøyaktighet og p˚alitelighet. Hver for seg klarer ikke disse systemene ˚a oppfylle disse kravet alene.

3.2 Referanserammer

Moderne referanserammer er definert ved et tredimensjonalt geosentrisk koordinat- system [Kartverket, 2017b]. Fordi de ulike navigasjonssystemene gjør observasjoner i forskjellige referanserammer trengs det en metode for ˚a transformere mellom de ulike referanserammene. Dette gir oss muligheten til ˚a utnytte informasjon fra alle de tilgjengelige sensorene. Transformasjonen gjøres ved hjelp av rotasjonsmatriser.

De vanligste referanserammene er definert og hentet fra [Farrell, 2008, kap. 2.2, s.

23-27].

3.2.1 Inertiell referanseramme: i-frame

En inertiell referanseramme er en referanseramme hvor Newtons bevegelseslover gjelder, noe som betyr at referanserammen ikke akselererer. Origo kan velges vilk˚arlig i denne referanserammen. Aksene m˚a st˚a vinkelrett p˚a hverandre men kan ogs˚a peke i vilk˚arlige retninger. Alle treghetssensorer som gyroskoper og ak- selerometre gjør m˚alinger relativt til den inertielle referanserammen.

Figur 3.2.1: Rotasjonen av ECEF-rammen med hensyn til det jord-sentrerte iner- tial rammen. Vektorenen xi, yi, zi definerer aksene til ECI rammen. Vekotren xe

definerer x-aksen i ECEF. [Farrell, 2008].

3.2.2 Jordas referanseramme (ECEF): e-frame

ECEF st˚ar for Earth-Centered Earth-Fixed, denne referanserammen har origo i jordas massemiddelpunkt. Aksene er definert slik at z-aksen peker opp langs ro- tasjonsaksen gjennom Nordpolen, x-aksen peker mot Greenwich-meridianen ved ekvator, ogy-aksen st˚ar 90^◦ p˚ax-aksen. Dette gjør at aksene fullfører et kartesisk

høyreh˚andssystem. I dette systemet roterer aksene med jordrotasjonen, noe som resulterer i at Newtons lover ikke kan anvendes direkte. Alle observasjoner fra sa- tellittnavigasjon blir gitt i denne referanserammen.

Figur 3.2.2: Aksene x, y, z definert i ECEF. [Farrell, 2008].

3.2.3 Lokalt geografisk referanseramme (NED): g-frame

En lokal geografisk referanseramme er definert slik at aksene peker mot nord, øst og ned. Dette er kjent som et NED-system som st˚ar for north, east, down. Her pekerx-aksen mot sann nord,z-aksen peker inn mot jordas indre ogy-aksen peker mot øst og fullfører dermed det kartesiske systemet. Systemet er definert lokalt relativt til jordas geoide. Dette betyr at origo og referansesystemet beveger seg i samsvar med sensoren, og vil rotere n˚ar kjøretøyet beveger seg mot nord eller øst.

Figur 3.2.3: Lokalt geofrafisk refranserame i forhold til ECEF. [Farrell, 2008].

3.2.4 Kjøretøyets referanseramme: b-frame

Denne referanserammen er festet og definert i et gitt punkt i kjøretøyet, ofte i massemiddelpunktet. Denne referanserammen brukes i hovedsak til ˚a bestemme hvordan sensorene er monter i forhold til hverandre.U-aksen peker i kjøreretningen, w-aksen peker ned mot bunnen av kjøretøyet og v-aksen fullfører et høyreh˚ands kartesisk system. Rotasjonen om aksene u, v og w kalles roll(p), pitch(q) og heading/yaw(r). I etstrapdownsystem sammenfaller sensorens akser med kjøretøyets akser.

Figur 3.2.4: Oversiktsbilde av kjøretøyets koordinatsystem. Hvor rotasjonen p = roll , q=pitchog r=yaw. [Farrell, 2008].

3.2.5 s-frame: Sensorens referanseramme

Dette er treghetssensorenes referanseramme. Aksene i s-frame utspenner et karte- sisk høyreh˚andssystem.

3.3 Satellittnavigasjon: GNSS

Form˚alet med satellittnavigasjon er ˚a bestemme den absolutte posisjonen til ob- jekter og punkter p˚a landjorda, p˚a havet, i lufta eller i rommet. Dette gjøres ved bruk av satellitter som g˚ar i bane rundt jorda. Disse satellittene sender ut radiosig- naler med informasjon om satellittens posisjon, hastighet og tidspunkt for signalet.

Sammen med tilhørende kontrollstasjoner p˚a bakken er det mulig ˚a bestemme po- sisjonen til de aktuelle objektene [Hofmann-Wellenhof et al., 2007].

GNSS st˚ar for ”Global Navigation Satellite System”og er en felles betegnelse for alle satellittnavigasjonssystemer som finnes i dag. I dag har vi fire store systemer og flere sm˚a støttesystemer. Av de store systemene er kun to av disse fullstendig utbygget. Disse to er det amerikanske GPS (”Global Positioning System”) og det russiske GLONASS (”Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema”). Dis- se to kan dermed gi oss en global dekning p˚a hele landjorda uten støtte fra andre systemer. De to siste store systemene som fremdeles er under utbygging forven- tes ˚a være fullstendig operative i løpet av 2020 [Tegedor, 2015]. Den europeiske romorganisasjonen (ESA) og EU sitt samarbeidssystem Galileo har per november 2017 18 oppskutte satellitter ¹. Det siste systemet er det kinesiske BeiDou som per 12.februar 2018 har 26 operative satellitter ². B˚ade Galileo og BeiDou kan brukes sammen med GPS og GLONASS for ˚a gi en bedre global dekning, spesielt i omr˚ader hvor det er f˚a GPS- og GLONASS- satellitter tilgjengelig. Men de klarer ikke per dags dato ˚a gi oss en global dekning alene.

3.3.1 Observasjonsmetoder

Dagens GNSS-mottakere anvender to ulike observasjonsmetoder for ˚a m˚ale avstan- den mellom satellitter og mottakere.

Kodem˚alinger

Ved bruk av kodem˚alinger observeres avstanden mellom mottakeren og satellitten direkte. Dette gjøres ved ˚a registrere tiden signalet bruker fra satellitten til det treffer mottakeren. Siden signalet beveger seg med lysets hastighet, er det ikke spesielt krevende ˚a regne ut avstanden. Det er mulig ˚a bestemme mottakerens posisjon med en nøyaktighet ned p˚a 0,5 m - 3 m ved ˚a triangulere signalet til minst fire satellitter ved samme tidspunkt [Hofmann-Wellenhof et al., 2007]. Siden denne metoden ˚a beregne posisjonen p˚a ikke er veldig avansert, er mottakerne

1http://mgex.igs.org/IGS_MGEX_Status_GAL.php#Satellites

2http://mgex.igs.org/IGS_MGEX_Status_BDS.php#Satellites

billige og brukes i for eksempel mobiltelefoner og klokker, som ikke krever høyere nøyaktighet enn p˚a meterniv˚a.

Fasem˚alinger

Fasem˚alinger gir en betydelig bedre nøyaktighet enn kodem˚alinger. Det er mu- lig ˚a oppn˚a en nøyaktighet helt ned p˚a millimeters niv˚a (typisk 0.005 m – 0.002 m) [Hofmann-Wellenhof et al., 2007]. Denne nøyaktigheten oppn˚as ved at man m˚aler antall hele bølgelengder p˚a signalets bærebølge fra satellitten til mottake- ren. Dette tallet kalles ogs˚a for heltallet. Det er mulig ˚a finne dette heltallet ved

˚a m˚ale mot to satellitter og to mottakere samtidig. I motsetning til kodem˚alinger blir fasem˚alinger p˚avirket av forhold i atmosfæren, noe som medfører at man er nødt til ˚a foreta korreksjoner for atmosfæriske forstyrrelser. Dette løses ved ˚a m˚ale p˚a flere frekvenser samtidig og ved modellering av de atmosfæriske forstyrrelsene.

Mottakere som utnytter fasem˚alinger anvendes til profesjonelt bruk. Dette skyldes blant annet at fasem˚alinger er mer nøyaktighet enn kodem˚alinger, samt at proses- sen med ˚a beregne heltallsløsningen er krevende og utstyret blir dermed dyrere.

Differensiell GNSS (DGNSS)

Differensiell posisjonering med GNSS er en sanntidsteknikk der to eller flere mot- takere blir brukt samtidig. Ved bruk av dobbeltdifferanse er det mulig ˚a oppn˚a en nøyaktighet ned mot noen centimeters nøyaktighet. Dersom dataen etterprosesse- res er det mulig ˚a oppn˚a en nøyaktighet p˚a 5mm+ 1ppm[Statens Kartverk Geode- sidivisjonen, 2009]. Normalt ligger en av mottakerne i ro, med en posisjon med antatt kjente koordinater i form av en referanse- eller basestasjon. Den/de andre mottakerne er i bevegelse, og man ønsker ˚a bestemme posisjonen til mottakerne som er i bevegelse se figur 3.3.1. Ved ˚a bruke flere mottakere samtidig er det mulig

˚a danne en dobbeltdifferanse. Dobbeltdifferanser har en rekke fordeler framfor en- keltdifferanser, hvor man kun bruker en mottaker. Det gjør det mulig ˚a eliminere en rekke feil i observasjonsligningen, blant annet klokkefeilen til b˚ade satellitt og mottaker. Videre kan man ogs˚a redusere p˚avirkningene fra troposfæren og ionos- færen. Dette gjør at man kan estimere heltallsløsningen for antall hele bølgelengder fra satellitten til mottakeren [Hofmann-Wellenhof et al., 2007].

Det er ogs˚a mulig ˚a eliminere heltallsløsningen ved ˚a danne trippeldifferanser.

I trippeldifferanser bruker man flere mottakere og i tillegg gjøres observasjonene over to ulike tidsepoker. Problemet med denne metoden er at dersom det er et fasebrudd er det ikke mulig ˚a eliminere heltallsløsningen. Et annet problem ved bruk av trippeldifferanser er at man f˚ar en korrelasjon over tid, ettersom fasebrudd er et vanlig og reelt problem i den den virkelige verden. Dette har resultert i at

man foretrekker ˚a bruke dobbeltdifferanser fremfor trippeldifferanser [Kristiansen, 2015].

Figur 3.3.1: Basic konsept for DGNSS [Hofmann-Wellenhof et al., 2007].

Multipath

Multipath eller flerveisinterferens er det fenomenet som oppst˚ar n˚ar radiosignalet fra satellittene blir reflekter fra andre objekter før det treffer mottakeren, slik at signalet har mer enn en reisevei, se figur 3.3.2. P˚avirkningen av multipath er størst i omr˚ader med d˚arlig satellittgeometri, noe som betyr at det er utbredt i omr˚ader som byer, daler og skogsomr˚ader. Satellitter som st˚ar lavt p˚a horisonten opplever ogs˚a ofte multipath. Der deler av signalet blir reflektert før det treffer mottakeren blir reisetiden signalet bruker lengre og dette resulterer i at posisjonen blir feilbestemt. En mulig løsning ved multipath er ˚a gjøre m˚alingene p˚a flere frekvenser [Hofmann-Wellenhof et al., 2007].

Figur 3.3.2: Multipath [Kumar, 2014].

3.3.2 Observasjonsligninger

Observasjonsligningen for henholdsvis kodem˚alinger (P) og fasem˚alinger (L) mel- lom en mottaker (r) og en satellitt (s), for en gitt frekvens (f_i), kan settes opp p˚a følgende m˚ate, [Tegedor, 2015]:

P_R^s_i =ρ^s_r+T_r^s+I_r^s+c(δt_r−δt^s) +c(p_{r i}−p^s_i) +_P (3.3.1) L^s_ri =ρ^s_r+T_r^s+I_r^s+c(δt_r−δt^s)−c(l_{r i}−l_i^s) +N_r^sλ+_L (3.3.2) hvor:

• ρ^s_r er den geomatriske avstanden mellom satellitt og mottaker.

• cer lysets hastighet i vakum

• δt^sogδt_r er klokkefeil i henholdsvis satellitten og mottakeren.

• T_r^s er den troposfæriske forsinkelsen mellom satellitt og mottaker.

• I_r^s er forsinkelsen gjennom ionosfæren. Denne kan reduseres dersom man sender p˚a flere ulike frekvenser.

• p_{r i} og p^s_i er pseudorange hardware forsinkelsen til mottaker og satellitt for den gitt frekvensen f_i.

• l_{r i} ogl_i^s er fase hardware forsinkelsen til mottaker og satellitt for frekvensen f_i.

• λ er signalets bølgelengde.

• N_r^s er antall hele bølgelender (heltallet) mellom satellitt og mottaker.

• _P og _L er restfeil for henholdsvis kode og fasem˚alinger. Denne inneholder blandt annet støy og multipath (flerveisinterferens).

3.4 Treghetsnavigasjon: INS

Treghetsnavigasjon er en navigasjonsteknikk hvor observasjoner gitt av akselero- metere og gyroskoper brukes til ˚a beregne objektets endring i posisjon, hastighet og orientering. Det er en forutsetning at man har en kjent starttilstand, oriente- ring og hastighet. De ulike observasjonene gjøres ved bruk av en IMU ”Inertial measurement unit”. En IMU inneholder tre ortogonale akselerometer og tre orto- gonale gyroskoper p˚a de tre aksene til systemet. En IMU er et høyhastighetssensor som typisk logger med en frekvens p˚a noen hundre hertz. I en IMU m˚aler akselero- meteret den lineære akselerasjonen mens gyroskopet m˚aler vinkelhastigheten. Ved

˚a kombinere en IMU med en datamaskin er det mulig ˚a beregne posisjonen og orienteringen til det ønskede objektet. Dette systemet kalles da for et INSInertial Navigation System”.Et problem med INS er at feilene i sensoren drifter over tid, fordi et INS kontinuerlig legger til den m˚alte endringen til den siste beregnede posisjonen. Det er vanlig ˚a bruke eksterne støttesensorer som for eksempel GNSS til ˚a forbedre posisjonen og orienteringen gitt av et INS, slik at man kan beregne en absolutt posisjon. Et INS kan deles inn i to ulike grupper etter hvordan de er monter i forhold til kjøretøyet. Disse metodene kalles for skrogmonterte systemer og gimbal systemer [Woodman, 2007].

Gimbal system

I et gimbal system er treghetssenorene montert ved bruk av gimbaler som korri- gerer for all rotasjon i kjøretøyet. Dette gjør at alle sensorene kan bevege seg fritt i de tre aksene, se figure 3.4.1. Det resulterer i at uansett hvordan plattformen er definert vil sensorene alltid gjøre m˚alinger relativt til den globale referanse- rammen. Orienteringen til sensoren beregnes ved at man m˚aler vinkelen mellom de omkringliggende gimbalene. Da kan man beregne den endelige posisjonen til sensorene ved ˚a integrere m˚alingene fra akselerometeret to ganger og korrigere for tyngdeakselerasjonen, se figur 3.4.2 [Woodman, 2007].

Figur 3.4.1: Gimbalmontering [Woodman, 2007].

Figur 3.4.2: Integrasjon av gimbal observasjoner [Woodman, 2007]..

Skrogmontert system (Strapdown)

I et skrogmontert system er treghetssensorene montert fast i kjøretøyet. Dette medfører at alle observasjonene gitt av IMU er relativt til kjøretøyets referanse- ramme. Ved ˚a integrere vinkelobservasjonene gitt av gyroskopet kan man estimere orienteringen. Akselerasjonsobservasjonene transformeres deretter til den globale referanserammen ved hjelp av den estimerte orienteringen. Da er det mulig ˚a fin- ne et estimat til posisjonen ved ˚a integrerer de transformete akselerasjonene, se figur 3.4.3. Ulempen med et skrogmontert system er at det krever betydelig mer regnekraft for ˚a beregne den endelige posisjonen, enn hva som trengs i et gimbal system. Fordelen med et skrogmonter system er at de har en tendens til ˚a være b˚ade fysisk mindre og mekanisk enklere. Noe som resulterer i at de skrogmonterte systemene er mest brukt [Woodman, 2007].

Figur 3.4.3: Integrasjon av strapdown observasjoner [Woodman, 2007]..

3.4.1 Gyroskop

Det finnes tre hovedtyper gyroskoper. Et gyroskop sin oppgave er ˚a m˚ale vinkel- hastigheten. Følgende definisjoner er hentet fra [Woodman, 2007].

Mekaniske gyroskoper

Et mekanisk gyroskop best˚ar av et spinnhjul som er montert p˚a to gimbaler. Dette lar gyroskopet rotere fritt om alle tre aksene, se figur 3.4(a). Gyroskopet vil motst˚a endringer i orientering og forblir derfor i en konstant global orientering. Vinkelen mellom de tre aksene finnes ved ˚a lese av gimbalenes vinkelendring. Mekaniske gyroskop har ulempen med at det best˚ar av bevegelige deler som skaper friksjon mellom delene. Denne friksjonen fører videre til at man opplever en drift i obser- vasjonene over tid. De mekaniske gyroskopene trenger ogs˚a noen minutter p˚a ˚a starte opp og bli skikkelig varme, noe som ikke er ideelt i mange tilfeller.

Optiske gyroskop

I optiske gyroskoper m˚ales rotasjonen med at to lysstr˚aler/laserstr˚aler sendes inn i spoler i motsatt retning, se figur 3.4(b). Dersom sensoren er i rotasjon vil den utsendte str˚alen som beveger seg med rotasjonsretningen bruke lengre tid enn str˚alen som beveger seg mot rotasjonen. Dermed vil disse str˚alene lage et inter- ferenmønster, denne prosessen kalles Sagnac-effekten. Ved hjelp av det aktuelle intereferensmønsteret er det mulig ˚a beregne vinkelhastigheten.

Optiske gyroskoper kan deles inn i to undergrupper, fiberoptiske- og ringlaser- gyroer. Forskjellen p˚a et fiberoptisk gyroskop (FOG) og et ringlaser gyroskop (RLGs) er m˚aten de styrer lyset p˚a. Et fiberoptisk gyroskop bruker optisk fib- er, mens et ringlaser gyroskop bruker speil til dette form˚alet.

Optiske gyroskop har en fordel framfor de mekaniske gyroskopene med at de starter opp p˚a bare noen f˚a sekunder og har ingen bevegelige deler. Ulempen med de op- tiske gyroskopene er at nøyaktigheten er avhengig av lengden p˚a lysstr˚alen/spolen.

Nøyaktigheten øker med størrelsen p˚a lysbanen, noe som betyr at de store optiske gyroskopene er de mest nøyaktige. Fordi man gjerne ønsker at gyroskopene skal være sm˚a er ikke dette optimalt til navigasjonsform˚al.

MEMS gyroskoper (Mikroelektromekaniske systemer)

MEMS gyroskoper ble utviklet for ˚a finne et mer rimelig alternativ til de me- kaniske og optiske gyroskopene som var dyre og besto av flere deler. Dette har resultert i at MEMS gyroskoper er veldig sm˚a, enkle og best˚ar av billige sensorer.

Et MEMS gyroskop inneholder vibrerende elementer som gjør at man kan m˚ale Coriolis-kraften, se figur 3.4(c). N˚ar gyroskopet roteres vil det oppst˚a en ny vibra- sjon, og denne vibrasjonen brukes til ˚a beregne vinkelhastigheten.

Den grunnleggende observasjonsligningen til et gyroskop er definert i [Kjørsvik, 2010], og kan skrives som:

ω^s_es=ω^s_is−C_e^sω_ie^e (3.4.1) Hvor

• ω^s_es er gyroskopets vinkelhastighet i s-frame, relativt e-frame.

• ω^s_is er gyroen sin m˚alte vinkelhastighet i s-frame, relativt i-frame.

• ω^e_is er jordas rotasjonshastighet, naturligvis gitt i e-frame, relativt i-frame.

• C_e^s er rotasjonsmatrisa for ˚a transformere jordrotasjonen slik at den blir gitt i s-frame.

(a) Mekanisk gyroskop (b) Optisk Gyroskop

(c) MEMS gyroskop

Figur 3.4.4: Ulike typer gyroskoper [Woodman, 2007]

3.4.2 Akselerometer

Oppgaven til et akselerometer er ˚a m˚ale akselerasjonen langs sensorens tre akser.

Man kan klassifisere akselerometre i tre hovedtyper. Følgende definisjoner er hentet fra [Woodman, 2007].

Mekanisk akselerometer

Et mekanisk akselerometer har en testmasse som er festet til en fjær, se figur 3.5(a).

N˚ar sensoren opplever en akselerasjon vil testmassen bevege seg bort fra likevekts

punktet. Denne forskyvningen registreres og brukes til ˚a bestemme akselerasjonen ved hjelp av Newtons andre lov F =ma.

Solid state akselerometer

Kjennetegnet med Soild state akselerometre er at de er sm˚a, p˚alitelige og robuste.

Denne typen akselerometre kan igjen deles inn i tre undergrupper. Disse gruppe- ne er frekvens-, vibrasjons- og silikonbaserte. En type soild state akselerometer er Surface Acoustic Wave akselerometre (SAW), se figur 3.5(b). Denne type ak- selerometer best˚ar av en bjelke med en testmasse. Denne testmassen kan bevege seg fritt i den ene enden, mens den andre enden er montert fast. N˚ar sensoren akselererer vil testmassen svinge med en gitt frekvens som er avhengig av aksele- rasjonen. Det er da mulig ˚a beregne den aktuelle akselerasjonen ved ˚a m˚ale denne frekvensendringen.

MEMS akselerometer

MEMS (Mikroelektromekanisk system) akselerometrene kan deles inn i to under- grupper. Begge typene er bygget med MEMS teknologi. Dette betyr at de er mindre og mer robuste enn de tradisjonelle akselerometrene. I tillegg har de en kortere oppstartstid og er betydelig billigere ˚a produsere. Den første typen MEMS akselerometre er mekaniske akselerometre. Disse operere med de samme prinsippe- ne som et vanlig mekanisk akselerometer. Den andre typen MEMS akselerometre m˚aler frekvensendringer i et vibrerende element p˚a samme m˚ate som et Solid state akselerometer. Selv om MEMS akselerometrene bygger p˚a de samme prinsippene som de tradisjonelle akselerometrene, vil pris og størrelse medføre at nøyaktigheten ikke blir like bra som hos de større tradisjonelle akselerometrene.

Observasjonligningen for akselerasjonen er definert i [Kjørsvik, 2010]. Gitt i i-frame kan observasjonsligningen skrives som:

¨

xⁱ =fⁱ+g_attⁱ (3.4.2)

Hvor

• x¨ⁱ er akselerasjonen gitt i i-frame.

• fⁱ er den observerte spesifikke kraften.

• g_att^g er graviitasjonsakselerasjonen.

(a) Mekanisk akselerometer (b) Surface Acoustic Wave akselerome- ter

Figur 3.4.5: Ulike typer akselerometer [Woodman, 2007]

Inertial Measurment Unit (IMU)

En typisk IMU inneholder som nevnt tidligere et akselerometer og gyroskop p˚a sensorens tre akser, og klarer ikke bestemme en absolutt posisjon alene. For at man i det hele tatt skal kunne f˚a noen posisjonsestimater fra en IMU trenger man noen startverdier for posisjon, hastighet og orientering.

I et tenkt ideelt tilfelle har man korrekte startverdier og ingen instrumentfeil.

Da vil en IMU gi kontinuerlig oppdatert posisjon, hastighet og orientering til den bevegelige plattformen, uten bruk av andre sensorer. I den faktisk verden er ikke dette et realistisk tilfelle. Det vil alltid være diverse instrumentfeil tilstede. Dette fører til at en IMU er svært ustabilt helt alene og er avhengig av eksterne sensorer som f.eks GNSS for ˚a kunne gi et nøyaktig nok estimat.

Videre definisjoner og utledninger av observasjonene fra en IMU er hentet fra [Kjørsvik, 2010].

Akselerometeret sin oppgave er ˚a m˚ale akselerasjonen langs de tre aksene. Ty- piske verdier man f˚ar ut fra akselerometeret er hastighetsinkrementer som er m˚alt i sensorens ramme (s-frame). Disse m˚a korrigeres for deterministiske sensor feil.

Dermed kan m˚alingene skrives som:

∆ ˜v^s= Z

δt

f˜^sdt= Z

δt

f^s+δf^sdt (3.4.3)

hvor tilde (˜) brukes for observerte verdier,f^s er den m˚alte spesifikke kraften,δf^s er instrumentfeilen, og δter IMU dataen sitt logge intervall.

Et gyroskop m˚aler vinkelhastigheter langs gyroens tre akser. Typiske verdier man f˚ar ut fra et gyroskop er vinkelinkrementer som er gitt i s-frame som er korrigert for deterministiske sensor feil. Disse m˚alingene kan skrives som:

∆ ˜Θ^s = Z

δt

˜ ω^s_isdt =

Z

δt

ω^s_is+δω^s_isdt (3.4.4) hvor tilde (˜) igjen brukes for den observerte verdien, ω_is^s er sensorens m˚alte vin- kelhastigheten relativt i-fram, gitt i s-frame, ogδω^s_is betegner instrumentfeil.

Deretter brukes informasjon om vinkelinkrementene gitt av gyroen til ˚a oppda- tere sensorens orientering. Videre brukes denne oppdaterte rotasjonsmatrisen til ˚a transformere hastighetsinkrementene gitt i s-frame til e-frame. Dette lar oss finne den oppdaterte posisjons- og hastighetsestimatet ved tiden t₀+δt ved hjelp an en enkel numerisk integrasjonsprosedyre.

3.5 Navigasjonsligninger

De ulike sensorene som brukes i et navigasjonssystem er relatert til hverandre.

Disse gjør, som nevnt tidligere, observasjoner i ulike referanserammer. For ˚a løse dette problemet trenger man en m˚ate ˚a transformere mellom disse ulike referanse- rammene. Dette løses ved hjelp av rotasjonsmatriser. I denne oppgaven betegnes en rotasjonsmatrisene somC, hvor rotasjonsmatrisenC_a^b transformerer observasjo- ner fra referanseramme a til referanseramme b. P˚a samme m˚ate vil da den inverse av rotasjonsmatrisen C_a^b transformere fra referanseramme b til referanseramme a.

Fullstendig utledning av disse transformasjonene kan ses i [Farrell, 2008, kap. 2.4, s. 35-39]

3.5.1 Navigasjonsligninger i e-frame

Bruk av treghetssystemer til navigasjons- og posisjoneringsform˚al gjøres ved hjelp av integrasjon av den observerte akselerasjonen. Det er da helt nødvendig ˚a finne en sammenheng mellom de observerte og de ukjente tilstandene i navigasjonssys- temet. Til dette form˚alet trenger man et sett med navigasjonsligninger hvor man tar utgangspunkt i de primære navigasjonstilstandene: posisjon, fart og akselera- sjon. For ˚a finne akselerasjonsligningen m˚a man først derivere posisjonsligningen slik at man f˚ar en fartsligning. Denne deriveres igjen slik at man f˚ar den endelige akselerasjonsligningen.

Den følgende spesifikke utledningen for navigasjon i e-frame er hentet fra [Kjørsvik, 2010]. En generell utledning for de ulike referanserammene kan ogs˚a finnes i [Jekeli, 2001, kap 4.3].

Rotasjonsmatrisen C_eⁱ transformerer fra e-frame til i-frame. Det er mulig ˚a fin- ne posisjonen gitt i i-frame xⁱ ved ˚a venstre multiplisere posisjonen gitt i e-frame med rotasjonsmatrisen.

xⁱ =C_eⁱx^e (3.5.1)

Ved ˚a derivere posisjonsligningen med hensyn p˚a tiden f˚ar vi et uttrykk p˚a has- tigheten ˙xⁱ:

˙

xⁱ = ˙C_eⁱx^e+C_eⁱx˙^e (3.5.2) Den tidsderiverte av rotasjonsmatrisen forteller noe om hvor mye to systemer ro- terer i forhold til hverandre, i forhold til det ene systemet.

C˙_e^e=C_eⁱΩ^e_ie (3.5.3) Ettersom transformasjonen ogs˚a er avhengig av jordrotasjonen, m˚a man ta hensyn til denne. Jordrotasjonen er definert som Ω^e_ie = [ω_ie^e×]. Dette medfører at det faktiske utrykket for hastigheten blir:

˙

x=C_eⁱΩ^e_iex^e+C_eⁱx˙^e (3.5.4)

Videre kan man finnes akselerasjonen ¨xⁱ ved ˚a dobbeltderivere posisjonsligningen med hensyn p˚a tiden. Da f˚ar man følgende uttrykk:

¨

xⁱ =C_eⁱ(Ω^e_ieΩ^e_ie+ ˙Ω^e_ie)x^e+ 2C_eⁱΩ^e_iex˙^e+C_eⁱx¨^e (3.5.5) Det antas at jordrotasjonen er konstant ( ˙Ω^e_ie = 0). Dette medfører at akselerasjonen gitt i e-frame kan skrives som:

¨

x^e =C_i^efⁱ+C_i^eg_attⁱ −Ω^e_ieΩ^e_iex^e−2Ω^e_iex˙^e (3.5.6)

¨

x^e =f^e+g_att^e −Ω^e_ieΩ^e_iex^e−2Ω^e_iex˙^e (3.5.7) Ved ˚a brukeg_att^e =g^e+Ω^e_ieΩ^e_iex^esom representerer tyngde- akselerasjonen i e-frame blir den endelige formelen for akselerasjonen i e-frame:

¨

x^e=f^e+g^e−2Ω^e_iex˙^e (3.5.8) Posisjon og hastighet i e-frame

Den endelige ligningen for posisjon (x^e) og hastighet ( ˙x^e) er da definert som:

d

dtx^e= ˙x^e (3.5.9)

d

dtx˙^e =f^e+g^e−2Ω^e_iex˙^e (3.5.10) Ved ˚a innføre ett sett av kjente startbetingelser kan disse differensialligningene løses ved bruk av numerisk integrasjon.

Orientering i e-frame

I et skrogmontert treghetssystem er sensoren fastmontert til kjøretøyet. Dette be- tyr at b˚ade vinkelhastigheten m˚alt av gyroskopene og akselerasjonen m˚alt av ak- selerometrene gjøres i s-frame relativt til i-frame. Noe som betyr at observasjonene m˚a transformeres til e-frame. Dette gjøres ved hjelp av rotasjonsmatrisenC_s^e. Sen- sorens orientering blir da gitt i s-frame relativt til i-frame, definert som:

C˙_s^e =C_s^eΩ^s_es (3.5.11) hvor Ω^s_es = [ω_es^s ×].

3.6 Treghetsnavigasjon med støttesensorer

Treghetsnavigasjon brukes som tidligere nevnt til ˚a bestemme den relative posi- sjonen. Dette gjøres med hjelp av en IMU. En IMU har en typisk m˚alefrekvens i intervallet 100-500 Hz. I motsetning til en IMU kan GNSS gi en god absolutt posisjon. Normalt er m˚alefrekvensen i et GNSS-system i intervallet 1-2 Hz. Dette resulterer i at man f˚ar betydelig flere observasjoner per sekund med en IMU. Det er vanlig at en IMU betegnes som en høyhastighetssensor, mens GNSS betegnes som en lavhastighets- sensor.

For noen navigasjons- og posisjoneringsform˚al kreves det en bedre nøyaktighet enn hva man klare ˚a oppn˚a kun ved bruk av GNSS eller INS (treghetsnavigasjons- system) separat. Dette gjelder spesielt i tilfeller hvor man samler inn data ved kinematisk logging og der dataene m˚a etterprosesseres.

Fordelen med GNSS er at den gir en god absolutt posisjon i omr˚ader med god satellittgeometri og dekning. Dette er sjelden tilfellet i Norge som er preget av svært varierende topografi med fjell og daler, samt p˚a samferdselsstrekninger med tuneller. Dette resulterer i at man ikke klarer ˚a bestemme en god absolutt posisjon ved kinematisk datafangst i store deler av Norge.

Fordelen med en IMU er at den kan bestemme en god relativ posisjon samt at IMU’en har en høy m˚alefrekvens som resulterer i at den relative posisjonen opp- dateres ofte. Ulempen med en IMU er at nøyaktigheten p˚a den relative posisjonen avtar med tid. Dette skyldes hovedsakelig at b˚ade gyroskopene og akselerometrene drifter over tid. De billige IMU drifter mer og raskere enn de dyre.

Problemene beskrevet over kan løses med ˚a kombinere et GNSS og en IMU. Da vil de høyfrekvente IMU-observasjonene kunne gi gode posisjonsestimater mellom de lavfrekvente GNSS-observasjonene. Effekten er at den absolutte posisjonen ikke vil drifte like fort i omr˚ader med d˚arlig eller ingen satellittdekning. I tillegg vil de nøyaktige GNSS-observasjonene brukes til ˚a rette opp de høyfrekvente IMU- m˚alingene. Dette resulterer videre i at driften minker ogs˚a i dette systemet. For

˚a kombinerer disse metodene m˚a man integrere observasjonene. Dette kan gjøres ved ulike algoritmer hvor en av de vanligste metodene er ˚a integrere observasjonen i et Kalmanfilter.

Ønsker man ˚a bestemme en absolutt posisjon ved bruk av et INS er man helt avhengig av ˚a kombinere dette systemet med eksterne sensorer. Normalt vil man velge ˚a bruke GNSS som den eksterne støttesensoren. I de tilfellene hvor det ikke brukes en ekstern sensor, har man ingen m˚ate ˚a korrigere for driften til IMU’en p˚a.

Dette resultere i at den absolutte posisjonen heller ikke kan bestemmes nøyaktig nok.

3.7 Kalmanfilter

Et Kalmanfilter er en algoritme og et nyttig beregningsverktøy for flere naviga- sjonsform˚al n˚ar man benytter flere ulike typer sensorer. Kalmanfilteret brukes spesielt i kinematisk datafangst som i bilb˚aren kartlegging (mobile mapping) eller kartlegging fra lufta ved bruk av fly og helikoptre. Fordelen med et Kalmanfilter er at algoritmen klarer ˚a h˚andtere at nye observasjonen tilføres n˚ar en kjenner til- standen p˚a foreg˚aende tidspunkt [Hofmann-Wellenhof et al., 2007]. Samtidig kan et Kalmanfilter i motsetning til flere andre algoritmer h˚andtere informasjon fra ulike sensorer samtidig. Det er normalt at man deler algoritmen inn i to steg:

Tidsoppdatering ogM˚aleoppdatering.

Ved p˚afølgende beregninger over tid vil estimatet p˚a de ukjente tilstandene gitt fra Kalmanfilteret falle sammen med den sanne verdien. Variansen vil ogs˚a mini- meres og dermed gi minst mulig feil p˚a estimatet. Dette fordi algoritmen utnytter og kombinerer informasjonen gitt fra ulike sensorer. I tilfeller hvor man bruker ett GNSS og en IMU vil et Kalmanfilter estimere eventuell drift og feilkilder i treghetssensorene, samtidig som IMU observasjonen brukes til ˚a forbedre GNSS posisjonene. Det er ønskelig at man opererer med et lineært system, noe som betyr at Kalmanfilteret estimerer feiltilstandene og ikke de faktiske tilstandene. Denne formen for Kalmanfilter kalles for et komplementærfilter, [Farrell, 2008].

De følgende avsnittene vil gi en beskrivelse av gangen i et Kalmanfilter, og denne flyten kan ses i figur 3.7.1.

Figur 3.7.1: Flytdiagram for integrasjon av treghetsnavigasjon med andre sensorer, som f.eks. GNSS [Kjørsvik, 2010].

Numerisk integrasjon

Ved ˚a innføre et sett av startbetingelser kan man finne en løsning p˚a differensial- ligningen ved hjelp av numerisk integrasjon [Kjørsvik, 2010].

Det første steget i algoritmen er ˚a beregne tilstanden ved tidspunktk, ved hjelp av numerisk integrasjon der man kjenner informasjonen om forrige tilstandk−1,. Ved hvert tidspunkt har man tre m˚alte gyroinkrementer og tre hastighetsinkrementer.

Ettersom disse inkrementene er gitt i s-frame m˚a de transformeres til e-frame. Den gjennomsnittlige rotasjonen over tidsintervallet (δt) er gitt ved:

¨

x^e=C_s^ex¨^s−(2Ω^e_iex˙^e−C_g^eg^g)δt (3.7.1)

Der rotasjonsmatrisen (C_s^e) er definert som:

C =C_s^e(tk+1)[I− 1

2(ρ²×)] (3.7.2)

I løpet av en m˚aling vil jorda rotere relativt til inertialsystemet. Dette betyr at gyroskopm˚alingene m˚a korrigeres for dette. Dette gjøres ved at vinkelinkrementene fra fra gyroskopene (∆θ^s_is) blir korrigert ved hjelp av:

ρ^s= ∆^s_is−C_e^sω^e_ieδt (3.7.3) Hvor ω_ie^e er jordas rotasjonshastighet relativt til i-frame. Ved hjelp av rekkeut- vikling kan da rotasjonsmatrisen som inneholder informasjon om orienteringen fremskrives [Titterton and Weston, 2004, kap 11, s.309-214].

C_k+1 =C_kA_k (3.7.4)

σ =q

ρ²_x+ρ²_y+ρ²_z (3.7.5)

X= [σ×] (3.7.6)

Der kryssproduktet er definert som:

[σ×] =





0 −σ_z σ_y σ_z 0 −σ_x

−σ_y σ_x 0



 (3.7.7)

A_k =I+ sinσ σ

X+(1−cosσ) σ²

2

X (3.7.8)

C_s^e(t_k+1) = C_s^e(t_k)A (3.7.9) Dermed kan man oppdatere posisjonen og hastigheten ved hjelp av forrige tilstand:

x^e(t_k+1) = x^e(t_k) + ˙x^e(t_k)δt+ ¨x^eδt

2 (3.7.10)

˙

x^e(t_tk+1) = ˙x^e(t_k) + ¨x^e (3.7.11)