Midtsemesterprøve onsdag 7. mars 2007 kl 1300 – 1500.

Institutt for fysikk, NTNU

FY1003 Elektrisitet og magnetisme I TFY4155 Elektromagnetisme

V˚ar 2007

Midtsemesterprøve onsdag 7. mars 2007 kl 1300 – 1500.

Løsningsforslag.

Versjon A

1) Hvilken p˚astand om elektrisk potensial er feil?

A Dersom det elektriske feltet i et omr˚ade er uniformt, er potensialet i dette omr˚adet konstant.

I et uniformt elektrisk felt endres potensialet lineært med posisjonen.

2) Hvilken p˚astand om elektrisk ladning er riktig?

A Netto ladning p˚a en metallkule ligger alltid p˚a overflaten.

Se forelesningene. I en isolator befinner netto ladning seg der vi plasserer den.

3) Hvilken p˚astand om en ladet leder er feil?

C P˚a overflaten av lederen er det null elektrisk felt.

P˚a overflaten av en leder st˚ar det elektriske feltet normalt p˚a overflaten.

4) Hvilken p˚astand er riktig? Kapasitansen til en parallellplatekondensator ...

C ... blir mindre hvis vi øker avstanden mellom platene.

5) Hva blir kraften p˚a ladningen q som er plassert i posisjon (x, y) = (−3a/2, a/2)?

D xˆ√

2q²/πε⁰a² a/2

−2a −a

−q 2q

q

q

x y

a

De tre andre punktladningene ligger alle i like stor avstand fra den i midten. Kraften fra ladningen 2q nederst til venstre virker p˚a skr˚a oppover mot høyre (med retning 45 grader i forhold til positiv x-retning), mens kraften fra de to andre begge virker p˚a skra˚a nedover mot høyre. Total kraft m˚a dermed virke i positiv x-retning.

6) Hva er total potensiell energi til de fire punktladningene i oppgave 5?

B 3q²/4√ 2πε⁰a

U =^X

ij

qiqj

4πε⁰rij

Dermed kansellerer bidragene til U fra vekselvirkningen mellom 2q ogq oppe til venstre og mellom 2q og−q nede til høyre, og fra vekselvirkningen mellom q i midten og q oppe til venstre og mellom qi midten og −q nede til høyre. Vi st˚ar igjen med bidrag fra vekselvirkningen mellom q i midten og 2q og mellomq oppe til venstre og −q nede til høyre:

U = q² 4πε⁰a

2√

2−1/√

2 = 3q² 4√

2πε⁰a

7) Tre av ladningene i oppgave 5 holdes fast mens den fjerde, den øverst til venstre, med ladningq og masse m, slippes med null starthastighet fra posisjonen (−2a, a). Hvor stor er farten v til denne ladningen n˚ar den har kommet svært langt unna de tre andre?

A v =^h√4² + 1q²/mπε⁰a^i1/2

Før den slippes har ladningen oppe til venstre potensiell energiU¹ (i forhold til om den var uendelig langt borte)

U¹ = q² 4πε⁰a

2 +√

2−1/√ 2

N˚ar denne ladningen har kommet langt bort, harU¹ blitt omgjort til kinetisk energimv²/2. Dermed følger det atv er gitt som i alternativ A.

8) To sm˚a metallkuler har ladning henholdsvis 6.0 µC og −5.0 µC. Avstanden mellom kulene er 60 cm. Innbyrdes kraft mellom de to kulene er da

B 0.75 N

Innbyrdes kraft er gitt ved Coulombs lov:

F = q¹q²

4πε⁰r² = 9·10⁹· 6·5·10⁻¹²

0.6² = 0.75 N

9) I stor avstand r = Lxˆ fra en liten (dvs: utstrekning mye mindre enn L) elektrisk dipol med dipolmoment p=p⁰yˆer det elektriske feltet −E⁰y. Feltet i avstand 3Lˆˆ xfra dipolen er da omtrent lik

A −0.037E⁰yˆ

Elektrisk feltstyrke fra en elektrisk dipol avtar med avstanden opphøyd i 3. potens. Tre ganger s˚a stor avstand m˚a dermed gi en feltstyrke redusert til 1/27. (Selv om en ikke visste at E(r) ∼ 1/r³, bør en i det minste vite at det m˚a avta raskere enn som 1/r², noe feltet fra en punktladning gjør.

Dermed blir bare A aktuelt svar.)

10) Hva er den elektriske feltstyrken i avstand 30 cm fra de fire ladningene i figuren dersomq= 1µC oga= 1 mm?

B 200 V/mm

a a

a a

−2q

q 3q

−4q

I avstand 30 cm ser dette ut som en enkelt punktladning Q=−2q=−2µC. Dermed:

E = 9·10⁹·2·10⁻⁶

0.3² = 2·10⁵V/m = 200 V/mm

11) Figuren nedenfor viser elektriske feltlinjer i et omr˚ade som inneholder to metallkuler. Hva kan du si om netto ladning p˚a de to kulene?

D Negativ p˚a kule 1, null p˚a kule 2. ^{1 2}

A

B C

D

Elektriske feltlinjer starter p˚a positiv ladning og ender p˚a negativ ladning. Derfor netto negativ ladning p˚a kule 1 mens kule 2 er nøytral.

12) I figuren i oppgave 11, i hvilken av de fire posisjonene A, B, C og D er potensialet størst?

A

Elektrisk felt peker fra høyt mot lavt potensial.

13) En parallellplatekondensator har kvadratiske metallplater med arealA=a², og avstanden mellom platene er d. Volumet mellom platene er delvis fylt med luft (høyre halvdel) og delvis fylt med et dielektrikum med relativ permittivitetε_r= 5 (venstre halvdel) Metallplatene er store sammenlignet med avstanden mellom dem, dvs a ≫ d. Hva blir kapasitansen til denne kondensatoren? (C⁰ ≡ ε⁰a²/d)

C 3C0

r

d

ε = 5

A/2 A/2

Dette er en parallellkobling av to kapasitanser, begge med plateavstand d, areal a²/2, den ene med permittivitet ε⁰ og den andre med permittivitet 5ε⁰. Dermed:

C=ε⁰a²/2

d + 5ε⁰a²/2

d = 3ε⁰a²

d = 3C⁰

14) I et omr˚ade er det elektriske feltet

E(r) =E⁰ r r⁰ − r³

r0³

!

ˆ r

Her er E⁰ og r⁰ konstanter, mens r angir avstanden fra origo. Hvor mye netto ladning er det da innenfor et kuleskall med radius 2r⁰ og sentrum i origo?

B −96πε⁰r²0E⁰

Med Gauss’ lov finnes netto ladning innenfor kuleskall med radius 2r⁰: Qin(2r⁰) = ε⁰E⁰ 2r⁰

r⁰ − (2r⁰)³ r0³

!

ˆ

r·4π(2r⁰)²rˆ=−96πε⁰E⁰r²0

15) Ei metallkule har radius R og positiv ladning Q. Kula er belagt med et lag plast (dvs: dielek- trikum) med tykkelse R og relativ permittivitet εr = 3. I plastlaget er en negativ (fri, men ikke mobil) ladning−2Q jevnt fordelt (dvs: konstant ladning pr volumenhet). Hvilken av grafene A – D viser det resulterende elektriske feltet E(r) (slik at E(r) =E(r) ˆr)?

D

ε_r=3

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000

111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111

r E

E

r

r E

R Q

r E

2R

−2Q

A

C

B

D

Uten ˚a g˚a i detalj: Like utenfor r =R gir Gauss’ lov for D-feltet at D =Q/4πR², og dermed E = Q/12πε⁰R². Tilsvarende, like innenfor r= 2R gir Gauss’ lov forD atD=−Q/4π(2R)², og dermed E = −Q/48πε⁰R². Endelig, for r > 2R har vi D(r) = −Q/4πr², og dermed E(r) = −Q/4πε⁰r². Figur D passer med alt dette.

16) Ei metallkule har radius R og positiv ladning Q. Kula er belagt med et lag elektrisk nøytral plast (dvs: dielektrikum) med tykkelse 3R og relativ permittivitet εr= 5. Utenfor plastlaget er det et metallisk kuleskall med tykkelse R og netto ladning −3Q. Hvor mye ladning befinner seg da p˚a ytre overflate av det metalliske kuleskallet?

B −2Q

000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000

111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111

Q 5R

−3Q

4R P

R

ε_r=5

8R

Vi m˚a ha null elektrisk felt inne i det metalliske kuleskallet. Da m˚a, med Gauss’ lov, en ladning −Q befinne seg p˚a kuleskallets indre overflate. Da er det igjen en ladning −2Q som m˚a befinne seg p˚a ytterste overflate.

17) I oppgave 16, hva er den elektriske feltstyrken i punktet P, dvs i avstand 8Rfra systemets sentrum (origo)?

A Q/128πε⁰R²

Med Gauss’ lov, gaussflate med radius 8R, netto ladning −2Q innenfor har vi E(r= 8R) = 2Q/4πε⁰(8R)² =Q/128πε⁰R²

(Med retning innover, men her var det bare snakk om feltstyrken, og ikke retningen.)

18) I oppgave 16, hva er potensialforskjellen mellom den innerste metallkula og punktet P?

C 0

∆V =VP −V(R) =−

Z ⁸R

R E(r)dr = 0

dersom vi setter inn at E(r) = −2Q/4πε⁰r² for r > 5R, E(r) = 0 for 4R < r < 5R og E(r) = Q/20πε⁰r² for R < r <4R.

19) Hvor stort arbeid m˚a utføres for ˚a endre ladningen fra null til −2Q p˚a ei metallkule med radius R?

C Q²/2πε⁰R

W =UE =

Z _∞

R

1

2ε⁰E(r)²·4πr²dr =Q²/2πε⁰R

dersom vi setter inn at E(r) = −2Q/4πε⁰r² for r > 5R, E(r) = 0 for 4R < r < 5R og E(r) =

−Q/20πε⁰r² for R < r <4R.

20) En tynn ring med radiusR har ladningλ(θ) =λ⁰cosθ pr lengdeenhet. Ringen ligger ixy-planet med sentrum i origo, og vinkelen θ er som angitt i figuren nedenfor. Hva er ringens dipolmoment?

B πλ⁰R^{2 +}

_

+ + + + +

+ + _

_ _ _ _ _

_

θ

x y

R

Total positiv ladning p˚a halvringen til høyre er q =

Z _π/2

−π/2λ⁰cosθ·Rdθ= 2λ⁰R

Tilsvarende negativ ladning befinner seg p˚a halvringen til venstre. Ettersom vi har mest ladning i nærheten av x-aksen, skulle midlere avstand mellom positiv og negativ ladning ligge et sted mellom Rog 2R. La oss gjette p˚a en midlere avstand omtrent lik 3R/2. Det gir et dipolmoment p˚a omtrent 3λ⁰R², s˚a alternativ B m˚a være det riktige.

Eksakt utregning:

p =

Z

dp

=

Z

dq·∆x

=

Z _π/2

−π/2(λ⁰cosθRdθ)·(2Rcosθ)

= 2λ⁰R²

Z π/2

−π/2cos²θ dθ

= πλ⁰R²

21) Figuren viser et tverrsnitt av en uendelig lang rett tr˚ad med radius a og uniform ladning ρ⁰ pr volumenhet. Hvilken av grafene A – D viser potensialet V som funksjon av avstanden r fra tr˚adens senterakse? (Her har vi valgtV = 0 i r= 0.)

A

ρ₀ a

r V

V

r

r V

r V

A

C

B

D

Utenfor tr˚aden avtar den elektriske feltstyrken proporsjonalt med avstanden fra tr˚adens senterakse (se tidligere øving), og feltet er rettet utover ettersom ladningen er positiv. Det m˚a bety at potensialet m˚a avta som lnr utenfor tr˚aden, ettersom E = −∇V. Dette er egentlig nok til ˚a konkludere med at A er riktig. Vi kan videre bruke Gauss’ lov til ˚a finne at E vokser lineært med r inne i tr˚aden, hvilket m˚a bety atV g˚ar som −r² inne i tr˚aden.

22) Figuren viser et tverrsnitt gjennom to parallelle uendelig lange rette tr˚ader som begge har radius a. Avstanden mellom tr˚adene (senter-til-senter) er 10a. De to tr˚adene har uniform ladning pr volumenhet henholdsvisρ⁰ og−ρ⁰. Hva er da potensialforskjellen mellom punktene A og B i figuren?

(Avstanden fra A til B er 8a.)

D ρ⁰a²ln 9/ε⁰

8a

2a + A B _

Med Gauss’ lov har vi elektrisk felt fra slike uendelig lange rette tr˚ader:

E(x) =±ρ⁰a² 2ε⁰x

der positivt fortegn gjelder positivt ladet tr˚ad og omvendt. Her har vi valgtx-aksen til ˚a g˚a gjennom sentrum av begge tr˚adene. La oss velge x= 0 i sentrum av den positivt ladde. Totalt elektrisk felt blir da

E(x) = ρ⁰a² 2ε⁰

1

x + 1 10a−x

Potensialforskjellen mellom A og B blir dermed

∆V =VA−VB =−

Z A

E·dl=

Z ⁹a

E(x)dx= ρ⁰a²ln 9

23) Figuren viser tre kondensatorer koblet i serie. Hva er systemets totale kapasitans?

A 6C/11

C 2C 3C

C_tot =

1 C + 1

2C + 1 3C

−1

= 6C/11

24) Figuren viser ti kondensatorer koblet sammen. Hver av dem har kapasitansC. Hva er systemets totale kapasitans?

C 4C/13

Hver av parallellkoblinene i midten har kapasitans 2C, som i serie med to kapasitanser C gir i alt 2C/5. To slike i parallell gir dermed 4C/5, som endelig i serie med to stykker C gir 4C/13.

25) Fire uendelig store plan er plassert ix=a,2a,3aog 4a. De fire planene har ladning pr flateenhet henholdsvis σ,−2σ, σ og −2σ. Hvilken figur viser det resulterende elektriske feltet E(x) (slik at E(x) =E(x) ˆx)?

B

a 2a 3a 4a

a 2a 3a 4a

a 2a 3a 4a a 2a 3a 4a

x = a 2a 3a 4a

σ −2σ σ −2σ E

x

E

E

E

x

x x

A B

C D

Plan med ladning σ pr flateenhet gir feltstyrke σ/2ε⁰, rettet bort fra planet hvis postiv ladning og inn mot planet hvis negativ ladning. Plan med ladning 2σ pr flateenhet gir feltstyrke σ/ε⁰. I enheter av σ/2ε⁰ blir totalt elektrisk felt dermed, for x < a lik -1+2-1+2=+2, for a < x < 2a lik +1+2-1+2=+4, for 2a < x <3a lik +1-2-1+2=0, for 3a < x <4a lik +1-2+1+2=+2 og endelig for 4a < x lik +1-2+1-2=-2. Figur B passer fint med dette.

Institutt for fysikk, NTNU

FY1003/TFY4155 Elektrisitet og magnetisme I/Elektromagnetisme Midtsemesterprøve onsdag 7. mars 2007 kl 1300 – 1500.

Fasit – Versjon A

Oppgave A B C D Oppgave A B C D

1 X 14 X

2 X 15 X

3 X 16 X

4 X 17 X

5 X 18 X

6 X 19 X

7 X 20 X

8 X 21 X

9 X 22 X

10 X 23 X

11 X 24 X

12 X 25 X

13 X